1.1.1空间向量及其线性运算（2）
教学目标：
1.理解向量共面定理；
2.能利用向量共面定理证明三个向量共面；
3.利用向量共面定理探究四点共面.
学科素养：
1.利用向量共面定理证明三个向量共面,发展逻辑推理素养；
2.利用向量共面定理探究四点共面，发展数学运算素养.
教学重点与难点：
向量共面定理的理解与应用.
教学过程：
一、两个概念
1.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做 向量或平行向量.
思考：此定义与以前学的共线向量定义含义相同吗？
规定：零向量与 向量平行，即对于 向量a，都有.
向量共线定理：对任意两个空间向量，（），存在实数，使 .
2.共面向量
平行于同一个 的向量，叫做共面向量.
思考：1.一些向量共面，它们都在同一平面内吗？如果共面向量的起点放一起呢？
2.空间中任意两个向量都是共面的吗？三个向量呢？
向量共面定理：向量、不共线，向量与向量、共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .
推论：E、F、G、H四点共面、、共面(即=).
二、典型例题
【例1】如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且， 求证：向量，，共面．
证明：=.
==；
==.
=，向量，，共面．
解题流程梳理：
方法总结：证明三个向量共面，就是证明其中一个向量由另两个向量的线性运算得出.
【例2】已知点在平面内，并且对空间任意一点，有，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：M、A、B、C四点共面，=.
=，=，
+=，=.
，解此方程组，得．
故选D．
总结：M、A、B、C四点共面，O为空间任意一点，且，则x+y+z=
思考：证明四点共面，你能说出哪些方法？
三、巩固练习
1.已知在四面体中，点，分别是，的中点.
求证：、共面.
证明：
=
=
=
=
=
、共面.
2.已知，，三点不共线，是平面外一点，下列条件中能确定点与点，，一定共面的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
3.已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
.
.
、、、四点共面，
，.
故选A．
练习失误处反馈：
四、小结
1.共线向量的定义：
2.共面向量的定义：
3.向量共面定理：
4.证明四点共面的方法：
五、课后作业
1.对于空间一点和不共线三点，，，且有，则( )
A. ，，，四点共面 B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面 D. ，，，，五点共面
【答案】B
解析：，，
，，，四点共面．
故选B．
2.如图，正方体中，，分别为和的中点求证：向量，，是共面向量．
证明：=
=；=.
=，
向量，，是共面向量．
1.1.1空间向量及其线性运算（2）
教学目标：
1.理解向量共面定理；
2.能利用向量共面定理证明三个向量共面；
3.利用向量共面定理探究四点共面.
学科素养：
1.利用向量共面定理证明三个向量共面,发展逻辑推理素养；
2.利用向量共面定理探究四点共面，发展数学运算素养.
教学重点与难点：
向量共面定理的理解与应用.
教学过程：
一、两个概念
1.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做 向量或平行向量.
思考：此定义与以前学的共线向量定义含义相同吗？
规定：零向量与 向量平行，即对于 向量a，都有.
向量共线定理：对任意两个空间向量，（），存在实数，使 .
2.共面向量
平行于同一个 的向量，叫做共面向量.
思考：1.一些向量共面，它们都在同一平面内吗？如果共面向量的起点放一起呢？
2.空间中任意两个向量都是共面的吗？三个向量呢？
向量共面定理：向量、不共线，向量与向量、共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .
推论：E、F、G、H四点共面、、共面(即=).
二、典型例题
【例1】如图所示，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且， 求证：向量，，共面．
解题流程梳理：
方法总结：证明三个向量共面，就是证明其中一个向量由另两个向量的线性运算得出.
【例2】已知点在平面内，并且对空间任意一点，有，则的值为( )
A. B. C. D.
总结：M、A、B、C四点共面，O为空间任意一点，且，则x+y+z=
思考：证明四点共面，你能说出哪些方法？
三、巩固练习
1.已知在四面体中，点，分别是，的中点.
求证：、共面.
2.已知，，三点不共线，是平面外一点，下列条件中能确定点与点，，一定共面的是( )
A. B.
C. D.
3.已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
练习失误处反馈：
四、小结
1.共线向量的定义：
2.共面向量的定义：
3.向量共面定理：
4.证明四点共面的方法：
五、课后作业
1.对于空间一点和不共线三点，，，且有，则( )
A. ，，，四点共面 B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面 D. ，，，，五点共面
2.如图，正方体中，，分别为和的中点求证：向量，，是共面向量．
