4.3.1 对数函数的概念 4.3.2 对数函数y=log2x的图象和性质 同步练习（Word版含答案）

《第三节　对数函数》同步练习
（课时1　对数函数的概念　课时2 对数函数y=log2x的图象和性质）
一、基础巩固
知识点1　对数函数的概念
1. 下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=log2x2
B.y=log(π-e)x
C.y=logx2(x>0,x≠1)
D.y=log2
2. 若函数f(x)=(a2-a+1)lox是对数函数,则a=　　　　.
3.已知f(x)为对数函数,f()=-2,则 f()= 　　　　.
知识点2　反函数
4.已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),其图象过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是(　　)
A.g(x)=4x
B.g(x)=2x
C.g(x)=9x
D.g(x)=3x
5. 函数f(x)=log2(3x+1)的反函数y=f-1(x)的定义域为(　　)
A.(1,+∞) B.[0,+∞)
C.(0,+∞) D.[1,+∞)
6.[2022重庆八中高一期末考试]已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)=(　　)
A.-5 B.-6
C.5 D.6
知识点3　对数函数y=log2x的图象和性质
7.函数f(x)=log2的定义域为(　　)
A.(1,4) B.[1,4)
C.(-∞,1)∪(4,+∞) D.(-∞,1]∪(4,+∞)
8.已知集合A={x|log2x<0},集合B={y|y=()x,x<1},则A∩B=(　　)
A.(,1) B.(0,)
C.(1,+∞) D.(,+∞)
9.函数f(x)=log2|2x-4|的图象为(　　)
10.log2(a2+a+1)与log2的大小关系为(　　)
A.log2(a2+a+1)≥log2
B.log2(a2+a+1)>log2
C.log2(a2+a+1)≤log2
D.log2(a2+a+1)11.[2022天津杨村一中等五校高一上期末联考]已知函数f(x)=x2+log2(1+|x|)+2,则使f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)
A.(-∞,)∪(1,+∞)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(,1)
D.(-,)
12.函数f(x)=log2(x2-4x-5)的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　.
13.设函数f(x)=(log24x)(log22x),x∈[,8].
(1)求函数f(x)的最大值和最小值,并求出取得最值时对应的x的值;
(2)解不等式f(x)-12>0.
14.[2022安徽亳州高一期末考试]已知函数f(x)=log2(x2-ax+2),a∈R.
(1)若f(x)是偶函数,求a的值及函数f(x)的值域.
(2)若函数f(x)在区间[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
15.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).
(1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为(-∞,-1],求实数a的值;
(3)若函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,求实数a的取值范围.
二、能力提升
1.已知函数y=log2(1-x)的值域为(-∞,0),则其定义域是(　　)
A.(-∞,1) B.(0,)
C.(0,1) D.(1,+∞)
2.[2022安徽芜湖高一上期末考试]函数f(x)=xlog2|x|的图象大致为(　　)
3.已知函数f(x)=,若f(m)A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
4.[2022安徽合肥六中高一上期末考试]若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:① P,Q都在函数f(x)的图象上;② P,Q关于原点对称,则称点对[P,Q]是函数f(x)的一个“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一个“友好点对”).已知函数f(x)=,则此函数的“友好点对”有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5. (多选)[2022辽宁辽阳高一上期末考试]已知函数f(x)在定义域上是增函数,且f(1)=-1,若f(x)的反函数为f -1(x),则(　　)
A.f -1(-1)=1
B.f -1(x)在定义域上是增函数
C.f -1(-1)=-1
D.f -1(x)在定义域上是减函数
6.已知函数f(x)=,则不等式f(x)≤1的解集为　　　　.
7.已知函数f(x)=log2(a为常数)是奇函数.
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
8.已知f(x)是对数函数,并且它的图象过点(2,),g(x)=[f (x)]2-2b·f(x)+3,其中b∈R.
(1)当b=2时,求y=g(x)在[,16]上的最大值与最小值;
(2)求y=g(x)在[,16]上的最小值.
参考答案
一、基础巩固
1.B
2.0
3.1
4.D 5.C 6.C 7.A 8.A 9.A 10.A 11.C
12.(5,+∞)　(-∞,-1)
13.(1)f(x)=(log24x)(log22x)=(log2 4+log2x)(log22+log2x)=(2+log2x)(1+log2x),
令t=log2x,∵x∈[,8],∴t=log2x∈[-3,3],
则y=(2+t)(1+t)=t2+3t+2,t∈[-3,3].
根据二次函数的性质,可得当t=-,即x=时,y=t2+3t+2取得最小值,ymin=(-)2+3×(-)+2=-;
当t=3,即x=23=8时,y=t2+3t+2取得最大值,ymax=32+3×3+2=20.
综上,当x=8时,f(x)取得最大值,为20;当x=时,f(x)取得最小值,为-.
(2)由(1)知,f(x)-12>0可化为t2+3t-10>0,解得t>2或t<-5,
又t∈[-3,3],∴2∴log24故不等式f(x)-12>0的解集为{x|414.(1)若f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),
即log2(x2+ax+2)=log2(x2-ax+2),
则x2+ax+2=x2-ax+2,
即2ax=0恒成立,所以a=0.
经验证,a=0时,f(x)=log2(x2+2)为R上的偶函数,符合题意.
因为x2+2≥2,所以f(x)=log2(x2+2)≥log22=1,
故函数f(x)的值域是[1,+∞).
(2)因为函数f(x)在区间[2,3]上单调递增,且y=log2t为定义域上的增函数,
所以t=x2-ax+2在[2,3]上单调递增,且x∈[2,3]时,x2-ax+2>0,
故实数a的取值范围是(-∞,3).
15.(1)令u(x)=x2-2ax+3,则由题意可知1,3为方程x2-2ax+3=0的两个根,
所以函数u(x)的图象的对称轴方程为x==2,即a=2.
(2)由题意,对于方程x2-2ax+3=0,Δ=(-2a)2-4×1×3<0,即-由函数f(x)的值域为(-∞,-1],可得当x=a时,f(a)=lo(a2-2a×a+3)=-1,解得a=1或-1.
故实数a的值为1或-1.
(3)函数f(x)在(-∞,1]上单调递增,则u(x)=x2-2ax+3在(-∞,1]上单调递减.
易知函数u(x)的图象的对称轴为直线x=a,所以a≥1.
易知u(x)在x=1时取得最小值,
当x=1时,有u(1)=1-2a+3>0,得a<2,
所以实数a的取值范围是[1,2).
二、能力提升
1.C 2.A 3.C 4.C
5.AB
6.{x|0≤x≤2}
7.(1)∵函数f(x)=log2是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴log2=-log2,即log2=log2,∴a=1或-1(舍去),
∴f(x)=log2.
令>0,得或,
解得x<-1或x>1.
∴函数f(x)的定义域为{x|x<-1或x>1}.
(2)∵f(x)+log2(x-1)=log2(1+x),
当x>1时,x+1>2,∴log2(1+x)>log22=1.
∵当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,.
∴实数m的取值范围是(-∞,1].
8.(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
∵f(x)的图象过点(2,),
∴f(2)=,即loga2,
∴=2,即a=2,∴f(x)=log2x.
∵≤x≤16,∴log2≤log2x≤log216,即≤f(x)≤4.
设t=f(x),则y=h(t)=t2-4t+3=(t-2)2-1,t∈[,4],
∴ymin=h(2)=-1.
又h()=(-2)2-1=,h(4)=(4-2)2-1=3,
∴ymax=h(4)=3.
∴当b=2时,y=g(x)在[,16]上的最大值为3,最小值为-1.
(2)设t=f(x),则y=m(t)=t2-2bt+3=(t-b)2+3-b2,
由(1)知t∈[,4],对称轴为直线t=b.
①当b≤时,m(t)在[,4]上是增函数,
ymin=m()=-b;
②当③当b≥4时,m(t)在[,4]上单调递减,ymin=m(4)=19-8b.
综上所述,ymin=.