专项训练 利用平行四边形的性质和判定解题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专项训练
利用平行四边形的性质和判定解题
类型一 证两条线段相等或平行
1.如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,EF过点O且与AD、BC分别交于点E，F，猜想线段AF、CE的关系，并说明理由.
2.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，AC是对角线，连接AE并延长，交DC边的延长线于点F，连接BF.
求证:(1)AE=EF;
(2)BF∥AC.
类型二 求线段长的取值范围
3.如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD为△ABC的中线,则线段AD长的取值范围是_________.
类型三 证两条线段互相平分
4.如图,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、AB、AC上,且DE∥AC,DE=AF,延长FD到G,使DG=DF.求证:AG和DE互相平分.
类型四 证线段的和差关系
5.如图,AB,CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若∠FAC=2∠BAC,求证:AC+DF=AF.
6.如图,在△ABC中,D是边BC的中点,点E在△ABC内,AE平分∠BAC,CE⊥AE,点F在边AB上,EF∥BC.求证:
(1)四边形BDEF是平行四边形；
类型五 解决面积问题
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为DC的中点.求证：
参考答案
1.解析 AF=CE且AF∥CE.
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(ASA),∴OE=OF,
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE且AF∥CE(平行四边形的对边相等且平行).
2.证明 (1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥DC,∴∠ABE=∠ECF,
又∵E为BC的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE(ASA),∴AE=EF.
(2)由(1)知AE=EF,BE=CE,
∴四边形ABFC为平行四边形，∴BF∥AC.
3.答案
解析 如图,延长AD到E,使ED=AD,连接BE,CE.
∵AD为△ABC的中线,∴DC=BD.
∵DC=BD,ED=AD,∴四边形ABEC是平行四边形.∴BE=AC=6.
在△ABE中,由三角形的三边关系得
即
4.证明 连接EG、AD,如图所示:
∵ED∥AF,且ED=AF,∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF,AE∥DF,
又DG=DF,∴AE=DG,∴四边形AEGD是平行四边形，∴AG和DE互相平分.
5.证明 连接AD,BC,如图所示.
∵AB，CD相交于点E且互相平分，∴四边形ACBD是平行四边形，
∴AC=BD,AC∥BD,∴∠BAC=∠ABF,
∵∠FAC=2∠BAC=∠BAC+∠FAB,∴∠ABF=∠FAB,∴AF=BF,
∵AC+DF=BD+DF=BF,∴AC+DF=AF.
6.证明 (1)延长CE交AB于点G,如图所示:
∵AE平分∠BAC,∴∠GAE=∠CAE.
∵AE⊥CE,∴∠AEG=∠AEC=90°,
在△AGE和△ACE中∴△AGE≌△ACE(ASA),∴GE=EC,
又∵D是边BC的中点，∴DE为△CGB的中位线,∴DE∥AB.
又∵EF∥BC,∴四边形BDEF是平行四边形.
(2)由(1)可知四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE.
∵D、E分别是BC、GC的中点,
∵△AGE≌△ACE,∴AG=AC,
7.证明 如图,过点E作FH∥AB,交AD的延长线于点F,交BC于点H.
∵AD∥BC,FH∥AB,∴四边形ABHF为平行四边形.
∵AD∥BC,∴∠F=∠1,∠2=∠C.
∵E为DC的中点,∴DE=CE,
四边形ABCD.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)