专项训练 新题型精选试题（含解析）

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专项训练
新题型精选试题
类型— 新定义(运算型和概念型)
1.对于实数a，b，现用“☆”定义新运算：a☆b=a -ab，那么将多项式a☆4因式分解，其结果为( )
2.定义运算“※”： 则x的值为( )
或10 C.10 或
3.一般情况下， 不成立，但有些数可以使它成立，例如：a=1，b=2，我们称使 成立的一对数a，b为“有效数对”,记为(a,b).
(1)在数对①(-2,1),②(3,3)中,是“有效数对”的是___________;(只填序号)
(2)若(k,-1)是“有效数对”,求k的值;
(3)若(4,m)是“有效数对”,求代数式 的值.
4.我们定义：△ABC如图①所示，AB绕点A顺时针旋转得到 AC绕点A逆时针旋转β得到 连接 当时,我们称 是△ABC的“旋补三角形”,的边 上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.
特例感知
(1)在图②③中, 是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
(i)如图②,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=________BC;
(ii)如图③,当∠BAC=90°,BC=8时,AD=_________.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
猜想论证
(2)在图①中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明.
类型二 找规律
5.探索发现：
根据你发现的规律，回答下列问题：
(2)利用发现的规律计算：
(3)利用以上规律解方程：
类型三 阅读理解题
6.阅读
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和.巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解.
下面是多项式因式分解的过程：
请利用上述方法解决下列问题.
应用
(1)因式分解:;
(2)若,试比较与0的大小；
灵活应用
(3)若 求的值.
参考答案
☆.故选A.
2.B 当时,原方程可整理得 解得
经检验， 是原方程的解，
又因为 所以 符合题意；
当时，原方程可整理得 解得x=10,
经检验，x=10是原方程的解.
又因为1符合题意。
综上，x的值为 或10.故选B.
3.解析 (1)将a=-2,b=1代入 中,得原式
又因为 所以(-2,1)不是“有效数对”。
将a=3,b=3代入 中,得原式
因为 所以(3,3)是“有效数对”.
故答案为②.
(2)把a=k,b=-1代入 中，得 解得k=1.经检验,k=1是原方程的根,故k=1.
(3)把a=4,b=m代入 中，得 化简整理得m -4m=-1,
所以
4.解析
(2)猜想:
证明:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接
∵AD是△ABC的“旋补中线”,
又∵DE=AD,∴四边形 是平行四边形， ∥
由“旋补三角形”的定义可知
5.解析
∴解得
经检验，x=25是原分式方程的解.
∴x=25.
6.解析
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