第6讲 等腰三角形的轴对称性
典型例题
知识点1：等腰三角形的性质
等腰三角形性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
例1：如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2的关系为 ．
解：∵AB=AC=BD，
∴∠B=∠C=180°-2∠1，
∴∠1-∠2=180°-2∠1，
∴3∠1-∠2=180°．
故答案为：3∠1-∠2=180°．
例2：等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是
解：底边是24-2x，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．得：0＜24-2x＜2x．
解得6＜x＜12．
故答案为：6＜x＜12．
例3：如图1，定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形，如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠E．
证明：∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD与△BAC中，
AD＝BC
∠EAB＝∠EBA
AB＝BA，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ABD=∠BAC，∠ADB=∠BCA，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠BCA=90°，
巩固练习
已知等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD把这个△ABC的周长分成15cm和6cm两部分，求这个等腰三角形的各边长？
解：设AB=AC=2x，BC=y，则AD=CD=x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
∴有两种情况：
①当3x=15，且x+y=6，
解得x=5，y=1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+y=15且3x=6时，
解得X=2，y=13，此时腰为4，
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，
故这种情况不存在．
∴这个等腰三角形的各边长分别为10，10，1．
知识点2：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
例4：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或直线AC上取一点P，使△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有 个点．
解：第1个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
第2个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第3个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；
第4个点取一点P，使AP=BA；
第5个点取一点P，使PB=BA；
第6个点取一点P，使AP=AB．
∴符合条件的点P有6个点．
故填6．
例5：如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：
（1）符合条件的点P共有 个；
（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数．
解：（1）如图所示．
故答案为：8个；
（2）如图所示：
22.5°，90°，67.5°，45°．
巩固练习
1、如图：F在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DF交BC于点E，DE=EF，BD=CF．
求证：△ABC是等腰三角形．
证明：过D作DG∥AC交BC于G，
∵DG∥AC，
∴∠GDF=∠CFE，∠DGE=∠FCE．
在△DGE和△FCE中
∵∠GDE＝∠CFE
∠DGE＝∠FCE
DE＝FE，
∴△DGE≌△FCE（AAS）．
∴DG=CF，
∵BD=CF，
∴DG=BD．
∴∠DGB=∠B．
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB．
∴∠B=∠ACB．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
2、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；
即EO=EB，FO=FC；
∴EF=EO+OF=BE+CF．
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC=∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，
∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF=EO-FO=BE-FC．
知识点3：等边三角形的性质
例64：如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为 ．
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A6B6=32B1A2=32．
故答案是：32．
例7：如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
【巩固练习】
1、三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= °．
解：∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，
∴∠ABC=180°-60°-50°=70°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴70°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，
∴∠1+∠2=130°．
2、学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
（1）证明：在△ABM和△BCN中，
BM＝NC
∠ABM＝∠BCN
AB＝BC，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．
（2）①是；②是；③否
②的证明：如图，
在△ACM和△BAN中，
CM＝AN
∠ACM＝∠BAN＝120°
AC＝AB，
∴△ACM≌△BAN（SAS），
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．
③的证明：如图，
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
BM＝CN
∠ABC＝∠C
AB＝BC，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），
∴∠AMB=∠BNC．
又∵∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．
知识点4：等边三角形的判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
例8：下列条件：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；
④有一条边上的高和中线重合的三角形，
其中是等边三角形的有 （填序号）．
解：①有两个角等于60°，则可知该三角形的三个内角都相等，所以是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形，可知其三个角都为60°，所以是等边三角形；
③三个外角都相等，可知其三个内角也相等，所以是等边三角形；
④当三角形为等腰三角形时也满足有一条边上的高和中线重合，所以不一定是等边三角形；
故答案为：①②③．
例9：已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-ba-ca=0，则△ABC是 三角形．
解：∵a2+ab-ac-bc=0
∴a（a+b）-c（a+b）=0
∴（a-c）（a+b）=0
∵a+b＞0
∴a-c=0
∴a=c
∵b2+bc-ba-ca=0
∴b（b+c）-a（b+c）=0
∴（b-a）（b+c）=0
∵b+c＞0
∴b-a=0
∴b=a
∴a=b=c
∴△ABC是等边三角形
例10：如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，
∴BC是线段AE的垂直平分线，
∴DE=DA，
∴DE=DB；
△ABE是等边三角形；理由如下：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
巩固练习
1、如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形，理由如下：
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠CEF=90°，
∴∠A+∠ADE=90°，∠C+∠F=90°，
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵∠ADE=∠BDF，
∴∠ADE=∠F，
∴∠A=∠C，
又∵∠ABC=∠A，
∴∠ABC=∠A=∠C，
∴△ABC是等边三角形．
2、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵AB＝AC
∠ABP＝∠ACQ
BP＝CQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，
∴△APQ是等边三角形．
知识点5：直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例11：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
求证：CD=AB；
证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AD=BD=CD=DE，
∴CD=AB．
例12：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．请问CF=DE成立吗？试说明理由．
证明：∵∠ACB=90°，点D是AB的中点，
∴CD=BD，
∴∠B=∠DCE，
∵∠FEC=∠B，
∴∠FEC=∠DCE，
∵点E是BC的中点，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠ECF=90°，
在△CDE和△ECF中，
∠CED＝∠ECF＝90°
CE＝EC
∠FEC＝∠DCE，
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF=DE．
【巩固练习】
1、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
解：△EMC是等腰直角三角形．理由如下：
连接MA．
∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，
∴∠DAB=90°，
∵△EDA≌△CAB，
∴DA=AB，ED=AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．
又∵M为BD的中点，
∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD（三线合一），
AM=BD=MD，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠EDM=∠MAC=105°，
在△MDE和△CAM中，
ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM
∴△MDE≌△MAC．
∴∠DME=∠AMC，ME=MC，
又∵∠DMA=90°，
∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．
∴△MEC是等腰直角三角形．
课上练习
1、如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，则∠A= ．
解：∵AB=BC=CD=DE，
∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，
根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，
又∵∠EDM=84°，
∴∠A+3∠A=84°，
解得，∠A=21°，
故答案为：21°；
2、如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
3、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
解：如图（1）所示：在BC上取一点D，使∠ADB=110°，∠ADC=70°，∠BAD=35°，∠CAD=40°，
如图（2）所示：在AC上取一点D，使∠ABD=32°，∠CBD=16°，∠ADB=32°，∠BDC=148°．
4、如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．则∠DFC= 度．
解：∵AB=AC，BD=AE，∠B=∠ACB=60°
∴△ABD≌△CAE，
∴∠ACE=∠BAD，
∵∠BAD+∠DAC=60°
∴∠CAD+∠ACE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，
∠CAD+∠ACE=∠DFC，
∴∠DFC=60°．
故答案为：60．
5、如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为 ．
解：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，
∴BD为∠ABC的平分线，且∠ABC=60°，
即∠DBE=30°，又DE=DB，
∴∠E=∠DBE=30°，
∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°，即∠CDE=∠E，
∴CD=CE；
∵等边△ABC的周长为9，∴AC=3，
∴CD=CE=AC=
课后作业
1、如图，已知：在△ABC中，D为BC边上一点，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC各角的度数．
解：∵AD=BD
∴设∠BAD=∠DBA=x°，
∵AB=AC=CD
∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°，∠DBA=∠C=x°，
∴∠BAC=3∠DBA=3x°，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°
∴5x=180°，
∴∠DBA=36°
∴∠BAC=3∠DBA=108°，∠B=∠C=36°．
2、已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且△ABD与△ADC面积相等，求证：△ABC是等腰三角形．
解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=AB×DE，S△ADC=AC×DF，
又∵△ABD与△ADC面积相等，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形．
3、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD=AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵AE⊥AB，
∴∠E=90°=∠ADB，
∵AB平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
在△ADB和△AEB中，
∠ADB＝∠E
∠1＝∠2
AB＝AB，
∴△ADB≌△AEB（AAS），
∴AD=AE；
（2）△ABC是等边三角形．理由：
∵BE∥AC，
∴∠EAC=90°，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠BAC=∠1+∠3=60°，
∴△ABC是等边三角形．
4、已知，如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG平分∠CDE，DC=AE，
求证：CG=EG．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴E是AB的中点，
∴DE=AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
又∵AE=AB，
∴AE=DE，
∵AE=CD，
∴DE=CD，
即△DCE是等腰三角形，
∵DG平分∠CDE，
∴CG=EG（等腰三角形三线合一）．第6讲 等腰三角形的轴对称性
典型例题
知识点1：等腰三角形的性质
等腰三角形性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
例1：如图，已知AB=AC=BD，那么∠1与∠2的关系为 ．
例2：等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是
例3：如图1，定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形，如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=∠E．
知识点2：等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
例4：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或直线AC上取一点P，使△ABP是等腰三角形，符合条件的点P有 个点．
例5：如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：
（1）符合条件的点P共有 个；
（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数．
巩固练习
1、如图：F在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DF交BC于点E，DE=EF，BD=CF．
求证：△ABC是等腰三角形．
2、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
知识点3：等边三角形的性质
例64：如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为 ．
例7：如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
【巩固练习】
1、三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= °．
2、学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
知识点4：等边三角形的判定
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 。
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
例8：下列条件：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点各取一个外角）都相等的三角形；
④有一条边上的高和中线重合的三角形，
其中是等边三角形的有 （填序号）．
例9：已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-ba-ca=0，则△ABC是 三角形．
例10：如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
巩固练习
1、如图，在△ABC中，D是AB上任意点，DE⊥AC点E，ED的延长线与CB的延长线交于点F，BD=BF，∠ABC=∠A，试判断△ABC的形状，并说明理由．
2、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
知识点5：直角三角形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例11：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）
例12：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别为AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．请问CF=DE成立吗？试说明理由．
【巩固练习】
1、两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
课上练习
1、如图，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，则∠A= ．
2、如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
3、如图，请将下列两个三角形分成两个等腰三角形．（要求标出每个等腰三角形的内角度数）
4、如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．则∠DFC= 度．
5、如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为 ．
课后作业
1、如图，已知：在△ABC中，D为BC边上一点，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC各角的度数．
2、已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且△ABD与△ADC面积相等，求证：△ABC是等腰三角形．
3、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．
（1）求证：AD=AE．
（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
4、已知，如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG平分∠CDE，DC=AE，
求证：CG=EG．
