第5讲 轴对称与轴对称图形，设计轴对称图案
知识归纳
案例1：根据之前所学，结合预习的内容，画出下列图形的对称轴：
思考：通过观察以上三个图形，同学们总结一下对称图形的特征：
案例2：根据图形的平移、旋转的性质，结合预习的内容，试完成：
如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．
思考：通过上面的案例，结合以前学过的画对称图形的内容，同学们总结一下关于一条直线（对称轴）对称的图形的性质：
典型例题
知识点1：轴对称和轴对称图形
1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
例1：请将右边的镜子里的英语翻译成汉语．
解：这一句话是“I love my family”在镜子中看到的像，
故它的意思是：我爱我家．
例2：下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同请指出这个图形，并说明理由．答：这个图形是： （写出序号即可），理由是 ．
解：只有前三个图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，∴④不是轴对称图形．
例3：如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ．
解：由图中可以看出，此时的时间为9：30．
【巩固练习】
1、如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3= °．
解：∵∠6=∠1=50°，∠5=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=2∠2-∠6=60°．
故答案为：60．
2、画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有 条对称轴．
解：如图，
故填3，4，5，6，7，n．
知识点2：轴对称的性质
1、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
2、画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
例4：如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-∠BDC．求证：AC=BD+CD．
证明：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D（如图），
则有B′D=BD，AB′=AB=AC，
∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°-∠BDC，
所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°-∠BDC+∠BDC=180°，
所以C、D、B′在一条直线上，
所以△ACB′是等边三角形，
所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．
例5：将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°．
（1）求∠1的度数；
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°-64°×2=52°（2分），
∵AD∥BC（3分），
∴∠1=∠BEG=52°（5分）．
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC（7分），
∴∠GEF=∠GFE（8分），
∴GE=GF，
∴△EFG是等腰三角形（10分）．
巩固练习
1.探究：
（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2 ∠B+∠C（填“＞”“＜”“=”），当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2= ；
（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°- = ，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为
解：（1）根据三角形内角是180°可知：∠1+∠2=180°-∠A，∠B+∠C=180°-∠A
∴∠1+∠2=∠B+∠C
（2）∵∠1+∠2+∠BDE+∠CED=∠B+∠C+∠BDE+∠CED=360°
∴∠1+∠2=∠B+∠C
当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2=140×2=280°
（3）如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°-300°=60°
所以∠BDA+∠CEA与∠A的关系为：∠BDA+∠CEA=2∠A
知识点3：设计轴对称图案
轴对称与轴对称图形的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
例6：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．
解：如图所示：
例7：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
解：
巩固练习
1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）
解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△BCF，△GEH，△AEG．
2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
解：如图所示，答案不唯一，参见下图．
知识点4：线段、角的轴对称性
线段的轴对称性
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
线段垂直平分线的性质与判定
性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两段的距离相等。
判定定理：到线段两段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
注：线段的垂直平分线及线段自身所在的直线都是线段的对称轴。
角的对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
角平分线的性质与判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
注：“距离”指垂直到直线的线段长度。
例8：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．
解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
∠DCE＝∠DCF
∠DEC＝∠DFC
CD＝CD
∴△DEC≌△DFC，（AAS）
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2=4×2÷2=4
答：△BCD的面积是4．
故答案为：4．
例9：如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴△ABC的周长-△EBC的周长=AB，
∴AB=40-24=16（cm）．
故答案为：16．
例10：如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
解：∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
例11：如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若∠DAE=50°，则∠BAC= 度，若△ADE的周长为19cm，则BC= cm．
解：①∵DM、EN分别垂直平分AB和AC，
∴AD=BD，AE=EC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠EAC（等边对等角），
∵∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE+∠B+∠C；
又∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°，
∴∠BAC=115°；
②∵△ADE的周长为19cm，
∴AD+AE+DE=19cm，
由②知，AD=BD，AE=EC，
∴BD+DE+EC=19，即BC=19cm．
故答案为：115，19．
巩固练习
1.直线 l1、l2、l3 表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有 处．
解：∵中转站要到三条公路的距离都相等，
∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点，
而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点，
∴货物中转站可以供选择的地址有4个．
故答案为：4．
2.已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 度．
解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE=EB=EF，
又∵∠B=90°，且AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB=∠EAF．
又∵∠CED=35°，∠C=90°，
∴∠CDE=90°-35°=55°，
∴∠CDA=110°，
∵∠B=∠C=90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∴∠DAB=70°，
∴∠EAB=35°．
故答案为：35．
3.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，
BD＝DF ;
DC＝DE ;，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC与△ADE中，
∵CD＝DE
AD＝AD
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
4.如图，在△ABC中，直线ON是AB的垂直平分线，OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上．
解：连接OB，
∵直线ON是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OC，
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
课上练习
1、在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有 个．
解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形．
故答案为：3．
2、开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是 ．
解：由图分析可得题中所给的“”与“9087”成轴对称．
故答案为：9087
3、在下列的图形上补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴
解：
4、如图在中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC= 度．
解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠C=∠ABC=70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=40°，
∴∠DBC=30°．
故答案为30°．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
6、如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴△OED≌△OEC（AAS），
∴OC=OD；
（3）在△DOE和△COE中，
∵OC＝OD
∠EOC＝∠BOE
OE＝OE，
∴△DOE≌△COE，
∴DE=CE，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
课后作业
1、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）
解：（1）有以下答案供参考
2、如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，
在△DEF和△BCF中，
∠DFE＝∠BFC
∠E＝∠C
DE＝BC，
∴△DEF≌△BCF（AAS）；
（2）解：在Rt△ABD中，
∵AD=3，BD=6，
∴∠ABD=30°，
由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，
∴∠EBC=90°-30°-30°=30°．
3、已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，
求证：∠B=∠E．
证明：连接AC，AD，
∵AF⊥CD，F为CD的中点，
∴AC=AD，
在△ABC和△AED中
AB＝AE
BC＝ED
AC＝AD，
∴△ABC≌△AED，
∴∠B=∠E．第5讲 轴对称与轴对称图形，设计轴对称图案
知识归纳
案例1：根据之前所学，结合预习的内容，画出下列图形的对称轴：
思考：通过观察以上三个图形，同学们总结一下对称图形的特征：
案例2：根据图形的平移、旋转的性质，结合预习的内容，试完成：
如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．
思考：通过上面的案例，结合以前学过的画对称图形的内容，同学们总结一下关于一条直线（对称轴）对称的图形的性质：
典型例题
知识点1：轴对称和轴对称图形
1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）
3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
例1：请将右边的镜子里的英语翻译成汉语．
例2：下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同请指出这个图形，并说明理由．答：这个图形是： （写出序号即可），理由是 ．
例3：如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 ．
【巩固练习】
1、如图，光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角．若已知∠1=50°，∠2=55°，则∠3= °．
2、画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有 条对称轴．
知识点2：轴对称的性质
1、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
2、画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
例4：如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-∠BDC．求证：AC=BD+CD．
例5：将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°．
（1）求∠1的度数；
（2）求证：△EFG是等腰三角形．
巩固练习
1.探究：
（1）如图①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1+∠2 ∠B+∠C（填“＞”“＜”“=”），当∠A=40°时，∠B+∠C+∠1+∠2= ；
（3）如图③，是由图①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A=30°，则x+y=360°-（∠B+∠C+∠1+∠2）=360°- = ，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为
知识点3：设计轴对称图案
轴对称与轴对称图形的区别和联系
区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
联系：1：都是折叠重合 2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。
例6：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．
例7：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．
巩固练习
1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）
2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．
知识点4：线段、角的轴对称性
线段的轴对称性
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
线段垂直平分线的性质与判定
性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段两段的距离相等。
判定定理：到线段两段距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
注：线段的垂直平分线及线段自身所在的直线都是线段的对称轴。
角的对称性
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
角平分线的性质与判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
注：“距离”指垂直到直线的线段长度。
例8：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 ．
例9：如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
例10：如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
例11：如图所示，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D、E，若∠DAE=50°，则∠BAC= 度，若△ADE的周长为19cm，则BC= cm．
巩固练习
1.直线 l1、l2、l3 表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有 处．
2.已知如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是 度．
3.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
说明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
4.如图，在△ABC中，直线ON是AB的垂直平分线，OA=OC．求证：点O在BC的垂直平分线上．
课上练习
1、在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有 个．
2、开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是 ．
3、在下列的图形上补一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，并画出对称轴
4、如图在中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC= 度．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
6、如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是线段CD的垂直平分线．
课后作业
1、图①、图②均为7×6的正方形网格，点A，B，C在格点上．在图①、②中确定格点D，并画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（各画一个即可）
2、如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．
（1）求证：△EDF≌△CBF；
（2）求∠EBC．
3、已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，
求证：∠B=∠E．
