第6讲 相似三角形的性质
知识归纳
【例1】求证：相似三角形对应高的比等于相似比．
【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、的高．
求证：．
证明：，，；
又、分别是、的高，
，，．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．
【例2】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．
【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是边、的
中线．
求证：．
证明：，
，；
又、分别是边、的中线，，，
，，，．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用．
【例3】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、 的角平分线．
求证：．
证明：，
，，；
又、分别是、的角平分线，
，，
，．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质．
典型例题
【题型一：相似三角形性质定理1】
相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
【例4】如图，D是的边BC上的点，，BE是的角平分线，交
AD于点F，，，求BF：BE．
【解析】
解：是的角平分线，，又，
，，又，
，，，，，
．
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用
【例5】如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，
AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
【解析】解：矩形，，
，又是高，，
,,
，，
，又，，，
，．
【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．
【例6】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加
工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．
【解析】解：,又，
在中，．
①按甲的设计：设，正方形，，
,，，，
，；
②按乙的设计：过点作交于点，得，,
设，则，正方形，，
，，
，，，
，；
综上，甲设计方案好．
【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题．
【题型二：相似三角形性质2】
相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
【例7】如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C
不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
【解析】解：，
，
，
，，，
，，
，，，
，．
【总结】本题考查了三角形一边的平行线性质，主要考查了学生的推理能力．
【例8】如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，
将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上．
（1）求证：∽；
（2）求BF的长．
【解析】（1）证明：翻折成．
，，
是等边三角形，，
，
，，
，
．
（2）由（1）知，，又，
，，，
，．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，轴对称的性质，应用相似三角形周长比等
于相似比是解决本题的关键．
【题型三：相似三角形性质定理3】
相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【例9】如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，，
，，则的面积与的面积之比等于（ ）
（A）1:3 （B）2:3 （C） （D）
【解析】解：是等边三角形，，
又，，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
设，则，，，
，
．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识．
【例10】如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，
，求四边形DEAB的面积．
【解析】解：，．
，，．
，，，
，，又，
，，，，
，．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．
【例11】如图，BE、CD是的边AC、AB上的中线，且相交于点F，联结DE．
求的值．
【解析】分别过点A、F作、，
交BC分别于点H、G，得，．
联结AF并延长交BC于点K．
、是的中线，，，
是重心，，．
，
，．
【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等．
【例12】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值．
【解析】解：，，，
，，
，，，，
是中线，,．
【总结】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形一边的平行线等知识．
【例13】如图，在中，于点D，于点E，EC和BD相交于点 O，联结DE．若，，求的值．
【解析】解：，
，,
，，
，．，，
，，，
，，．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定知识．
【例14】如图，，于点F，，，且CE = 5， 求：（1）BC的长；（2）．
【解析】解：（1），，
，，，
，，，
又，，，．
，，；
，，，，
又，．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识．
课上习题
如图，DE是的中位线，N是DE的中点，CN的延长线交AB于点M， 若= 24，求．
【解析】解：联结．
是的中位线，
，，，
，是的中点，
，
，，，
，
，．
【总结】本题考查相似三角形面积比等于相似比的平方，还考查了等高三角形面积比等于底边的比．
如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、 AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．
【解析】设正方形的边长为，
，．
，，
正方形的边长为24．
【总结】本题考查三角形内接正方形的相关知识，主要还是通过比例相等来列式建立关系．
如图，在中，点D在边BC上，DE//AB，DE交AC于点E，点F在边 AB上，且．
（1）求证：DF//AC；
（2）如果BD:DC = 1:2，的面积为18cm2，求四边形AEDF的面积．
【解析】（1）证明：，，
，，；
（2）解：，，
，．
，，
，,，，
，，．
【总结】本题考查三角形内接平行四边形的相关知识，还考查了相似三角形的性质等．
梯形ABCD的面积为S，AB//CD，AB = b，CD = a（a < b），对角线AC、BD 相交于点O，的面积为，求a:b的值．
【解析】解：如图，设的面积为，
的面积为，，
，，
，，
得......①
，......②
联立①②，，
解得：，，
，，
，
， ，
．
【总结】本题考查了梯形的对角线分割成的四个三角形的面积关系．
在锐角中，矩形DEFG的顶点D在AB边上，顶点E、F在BC边上， 顶点G在AC边上，如果矩形DEFG的长为6，宽为4，设底边BC上的高为， 的面积为，求与的函数关系式．
【解析】解：如图，矩形，
，
．又AH是高，
．，
，，
，，
，又，
．
【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识．
如图，在中，，BC = 10，的面积为25，点D为AB边 上任意一点（点D不与点A、B重合），过点D作DE//BC，交AC于点E．设DE = x， 以DE为折线将翻折（使落在四边形DBCE所在的平面内），所得的 与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．
（1）用x表示的面积；
（2）求出时，y与x的函数关系式．
【解析】解：（1），，
．，，，
．
（2），， ．
若点在边上，则的高为，
，，，．
①当时，；
②当时，，如图2，，．
，．，．
∵， ，
，
即；综上，．
【总结】本题考查了相似三角形的性质和判定，以及建立函数关系式，审题很关键，而且要分清楚运动过程中重叠部分面积到底怎么求．
课后作业
【作业1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，= 4平方米，= 9平方米，则 平方米．
【解析】解：，,
，．
，
，．
【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高三角形的面积比等于底边的比．
【作业2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，．
（1）写出图中所有与相似的三角形（不必证明）；
（2）如果CD = 20cm，BC = 30cm，的面积为18cm2，求的面积．
【解析】（1），，
，；
（2）由（1）知：，
∴ , ，
，，，，．
∵，∴． ，，
，∴， ∴
【总结】本题考查相似三角形的判定和性质知识．
【作业3】如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是腰AB上的一点，过点E作BC的平行线 交CD于点F，已知AD = 2，BC = 6．
（1）如果，试求EF的长；
（2）如果，试求EF的长．
【解析】解：（1）过点A作交BC于点N，交EF于点M．
，
四边形ANCD是平行四边形，
四边形AMFD是平行四边形，
，，．
，，，，
，，．
（2）分别延长BA、CD交于点G．
，,
设，，则，
，
，，
，，．
【总结】本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有相似三角形的性质及判定等知识．
【作业4】中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC．
（1）如果的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长；
（2）如果的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长．
【解析】解：（1），．，，
，，，；
（2），，
，．
，，，
，．
【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．
【作业5】如图，在中，，．若，，求的 度数．
【解析】解：，，
，，，
，，又，
，
，，．
【总结】本题考查相似三角形的性质及判定以及直角三角形的性质等知识．
【作业6】如图，在等边中，点D、E分别在BC、AC上，BD = CE，AD与BE交 于点F．如果AB = 12，BD = 4，求．
【解析】解：过点A作交BC于点G．
是等边三角形，
，
∵BD = 4， ．
，
，．
，．
，
，,，
．
在中，，，
在中，，,
．
【作业7】如图，梯形ABCD中，AD//BC，BC = 3AD，E是腰AB上的一点，连接CE．
（1）如果，AB = CD，BE = 3AE，求的度数；
（2）设和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1 = 3S2，试求的值．
【解析】解：（1）分别延长BA、CD交于点M，如图所示．
，，
，即．
设，则，．
，．
，又，，
又，
为等边三角形，
．
（2），，．
设，则，．
又，，，，
，
设，则，
，，
．
【总结】本题考查梯形的相关知识，包括梯形的辅助线的添法，还有同高三角形的面积比可以转化为底边的比等知识．第6讲 相似三角形的性质
知识归纳
【例1】求证：相似三角形对应高的比等于相似比．
【例2】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比．
【例3】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
典型例题
【题型一：相似三角形性质定理1】
相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
【例4】如图，D是的边BC上的点，，BE是的角平分线，交
AD于点F，，，求BF：BE．
【例5】如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，
AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
【例6】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）．
【题型二：相似三角形性质2】
相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
【例7】如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C
不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．
【例8】如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，
将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上．
（1）求证：∽；
（2）求BF的长．
【题型三：相似三角形性质定理3】
相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【例9】如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，，
，，则的面积与的面积之比等于（ ）
（A）1:3 （B）2:3 （C） （D）
【例10】如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积．
【例11】如图，BE、CD是的边AC、AB上的中线，且相交于点F，联结DE．
求的值．
【例12】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值．
【例13】如图，在中，于点D，于点E，EC和BD相交于点 O，联结DE．若，，求的值．
【例14】如图，，于点F，，，且CE = 5， 求：（1）BC的长；（2）．
课上习题
【习题1】如图，DE是的中位线，N是DE的中点，CN的延长线交AB于点M， 若= 24，求．
【习题2】如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、 AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长．
【习题3】如图，在中，点D在边BC上，DE//AB，DE交AC于点E，点F在边 AB上，且．
（1）求证：DF//AC；
（2）如果BD:DC = 1:2，的面积为18cm2，求四边形AEDF的面积．
【习题4】梯形ABCD的面积为S，AB//CD，AB = b，CD = a（a < b），对角线AC、BD 相交于点O，的面积为，求a:b的值．
【习题5】在锐角中，矩形DEFG的顶点D在AB边上，顶点E、F在BC边上， 顶点G在AC边上，如果矩形DEFG的长为6，宽为4，设底边BC上的高为， 的面积为，求与的函数关系式．
【解析
【习题6】如图，在中，，BC = 10，的面积为25，点D为AB边 上任意一点（点D不与点A、B重合），过点D作DE//BC，交AC于点E．设DE = x， 以DE为折线将翻折（使落在四边形DBCE所在的平面内），所得的 与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．
（1）用x表示的面积；
（2）求出时，y与x的函数关系式．
课后作业
【作业1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，= 4平方米，= 9平方米，则 平方米．
【作业2】如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，．
（1）写出图中所有与相似的三角形（不必证明）；
（2）如果CD = 20cm，BC = 30cm，的面积为18cm2，求的面积．
【作业3】如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是腰AB上的一点，过点E作BC的平行线 交CD于点F，已知AD = 2，BC = 6．
（1）如果，试求EF的长；
（2）如果，试求EF的长．
【作业4】中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC．
（1）如果的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长；
（2）如果的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长．
【作业5】如图，在中，，．若，，求的 度数．
【作业6】如图，在等边中，点D、E分别在BC、AC上，BD = CE，AD与BE交 于点F．如果AB = 12，BD = 4，求．
【作业7】如图，梯形ABCD中，AD//BC，BC = 3AD，E是腰AB上的一点，连接CE．
（1）如果，AB = CD，BE = 3AE，求的度数；
（2）设和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1 = 3S2，试求的值．
