第三章圆锥曲线的方程 单元测试卷（Word版含答案）

第三章　圆锥曲线的方程（单元测试卷）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.
2.椭圆C的两个焦点分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，点P为椭圆C上一点，且|PF1|＋|PF2|＝10，那么椭圆C的短轴长是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
3.在平面直角坐标系Oxy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且·＝2，则点P的轨迹方程为(　　)
A.x2＋y2＝2 B.x2－y2＝2
C.x＋y2＝2 D.x－y2＝2
4.椭圆C：＋＝1(a>0)的长轴长为4，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5.“m>3”是“曲线mx2－(m－2)y2＝1为双曲线”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为的直线l1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)
A.4 B.3
C.4 D.8
7.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F与抛物线C2：y2＝2px(p>0)的焦点相同，C1与C2交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线C1的离心率为(　　)
A. B.
C.2 D.＋1
8.直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C.－1 D.4－2
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)
9.若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是(　　)
A.若1C.若C为双曲线，则焦距为4 D.若C为焦点在y轴上的椭圆，则310.已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且·＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　)
A.＝2 B.e1e2＝ C.e＋e＝ D.e－e＝1
11.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则(　　)
A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程为y＝±x
C.∠PAF2＝45° D.直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点
12.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D．若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A.p＝4 B.＝
C.|BD|＝2|BF| D.|BF|＝4
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1的渐近线的距离为________
14.过直线y＝2与抛物线x2＝8y的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________
15.椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是________
16.已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．
18.(12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
19.(12分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．
(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值．
20.(12分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．
(1)证明：动点D在定直线上；
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．
21.(12分)设M(x，y)与定点F(1,0)的距离和它到直线l1：x＝3的距离的比是常数.记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过定点F的直线l2交曲线C于A，B两点，以O、A、B三点(O为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB，若点P刚好在曲线C上，求直线l2的方程．
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，点A在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
参考答案：
单项选择题
1.B　 2.C 　3.B 　4.B 　5.A 　6.C　 7.D 　8.C　
多项选择题
9.BD　 10.BD　 11.ABD　 12.ABC　
填空题
13.答案：　 14.答案：x2＋(y－2)2＝16 15.答案： 16.答案：－1，2　
解答题
17.解:因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.
双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，
所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.
18.解:依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求抛物线的方程为y2＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组得或(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19.解:(1)|PF1|·|PF2|≤2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.
(2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，∴|PF1|·|PF2|＝，①
由题意知：∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2 ②
由①②得c＝6，∴b＝8.
20.证明:(1)依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，
得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2，
则交点D的坐标为.
又x1x2＝－8，x＝4y1，则有＝＝＝－2，
即D点在定直线y＝－2上(x≠0)．
(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0.
设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)，
即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(－4a)2＋16b＝0，
化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2.
分别令y＝2，y＝－2，得N1，N2，
则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
21.解:(1)由题意得，＝，则3[(x－1)2＋y2]＝(x－3)2，
即2x2＋3y2＝6，∴＋＝1，故曲线C的方程为＋＝1.
(2)设直线l2的方程为x＝my＋1，P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0.
则y1＋y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝＋2＝，
∴x0＝x1＋x2＝，y0＝y1＋y2＝.
∵P(x0，y0)在椭圆＋＝1上，∴＋＝1，即2m2＋3＝4，解得m＝±.
∴直线l2的方程为x＝y＋1或x＝－y＋1，即x－y－＝0或x＋y－＝0.
22．解:(1)设椭圆C的焦距为2c，则c＝1，
∵A在椭圆C上，∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝2，
∴a＝，b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y＝2x＋t，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P，Q(x4，y4)，MN的中点为D(x0，y0)，
由，消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，∴y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36(t2－8)＞0，
故y0＝＝且－3＜t＜3，
由＝，知四边形PMQN为平行四边形，
而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ的中点，
∴y0＝＝，得y4＝，又－3＜t＜3，可得－＜y4＜－1，
∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l.