人教A版(2019）数学选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 单元测试（Word版含答案）

第一章　空间向量与立体几何（单元测试卷）
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　)
A.(0,34,10) B.(－3,19,7) C.44 D.23
2.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A.1 B.2 C. D.3
3.在空间四边形ABCD中，若向量＝(－3,5,2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A.(2,3,3) B.(－2，－3，－3)
C.(5，－2,1) D.(－5,2，－1)
4.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若＝＋x＋y，则(　　)
A.x＝－，y＝ B.x＝，y＝－ C.x＝－，y＝－ D．x＝，y＝
5.已知A(2，－5,1)，B(2，－4,2)，C(1，－4,1)，则与的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.45° D.90°
6.已知二面角α l β的大小为，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　)
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离(　　)
A.等于a B.和EF的长度有关 C.等于a D.和点Q的位置有关
8.如图所示，ABCD A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9.已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有(　　)
A.＋与＋是一对相反向量
B.－与－是一对相反向量
C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量
D.－与－是一对相反向量
10.在以下选项中，不正确的命题有(　　)
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
C.对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面
D.若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
11.下列说法正确的是(　　)
A.直线l的方向向量a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝，则l与m垂直
B.直线l的方向向量a＝(0,1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，则l⊥α
C.平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β
D.平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1
12.如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示，则下列结论中正确的是(　　)
A.·＝0 B.平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直
C.异面直线BC与AD所成的角为60° D.直线DC与平面ABC所成的角为30°
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥BC，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________
14.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝________
15.已知A(0,0，－x)，B(1，，2)，C(x，，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则x＝________，与的夹角为________．(本题第一空2分，第二空3分)
16.如图，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C AB D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值为________
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值．
18.(12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．
(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD．
19.(12分)如图，已知四边形ABCD为矩形，四边形ABEF为直角梯形，FA⊥AB，AD＝AF＝FE＝1，AB＝2，AD⊥BE.
(1)求证：BE⊥DE；(2)求点F到平面CBE的距离．
20.(12分)如图，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1，AB的中点．
(1)证明：EF∥平面BCC1B1；(2)求B1F与平面AEF所成角的正弦值．
21.(12分)如图所示的几何体中，BE⊥BC，EA⊥AC，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，AD∥BC，BC＝2AD．
(1)求证：AE⊥平面ABCD；
(2)若∠ABE＝60°，点F在EC上，且满足EF＝2FC，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值．
22.(12分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，F为棱PD的中点．
(1)在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE？并说明理由；
(2)当二面角D FC B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．
参考答案：
单项选择题
1.C　 2.B　 3.B　 4.A　 5.B　 6.B　 7.A　 8.B　
选择题
9.ACD　 10.ABC 11.AD　 12.AD　
填空题
13.答案：　 14.答案：　 15.答案：－1，　 16.答案：　
解答题
17.解：(1)∵c∥，∴存在实数m，使得c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．
∵|c|＝3，∴＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－.∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－.
18.解：如图，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)．
(1)设BA＝a，则A(a,0,0)．
所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)．所以·＝0，·＝0＋4－4＝0.
所以B1D⊥BA，B1D⊥BD．
又BA∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD．
(2)由题意及(1)，知E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，所以＝，＝(0,1,1)．
所以·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
又EG∩EF＝E，所以B1D⊥平面EGF.
由(1)，知B1D⊥平面ABD，故平面EGF∥平面ABD．
19.解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
又AD⊥BE，AB∩BE＝B，∴AD⊥平面ABEF，
又AD 平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ABEF.
∵FA⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴FA⊥平面ABCD．∴FA⊥AD．
(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(1,2,0)，D(1,0,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，
∴＝(0，－1,1)，＝(－1,1,1)，
∴·＝0×(－1)＋(－1)×1＋1×1＝0，∴⊥，∴BE⊥DE.
(2)由(1)得＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，＝(0,1,0)，
设n＝(x，y，z)是平面CBE的法向量，则由得
令y＝1，得z＝1，∴n＝(0,1,1)是平面CBE的一个法向量．
设点F到平面CBE的距离为d，则d＝＝＝.∴点F到平面CBE的距离为.
20.(1)证明：如图，连接EC1，BC1，因为三棱柱A1B1C1 ABC为直三棱柱，所以E为AC1的中点．
又因为F为AB的中点，所以EF∥BC1.
又EF 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1.
(2)解：以A1为原点，A1C1，A1B1，A1A所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，
则A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3)，F(0,2,6)，
所以＝(0，－2,6)，＝(2,0，－3)，＝(0,2,0)，
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则
令x＝3，得n＝(3,0,2)，
记B1F与平面AEF所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝.
21.(1)证明：在△ABC中，BC＝2，AC＝2，∠ACB＝45°，
由余弦定理可得AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cos 45°＝4，所以AB＝2(负值舍去)，
因为AC2＝AB2＋BC2，所以△ABC是直角三角形，AB⊥BC．
又BE⊥BC，AB∩BE＝B，所以BC⊥平面ABE.
因为AE 平面ABE，所以BC⊥AE，
因为EA⊥AC，AC∩BC＝C，所以AE⊥平面ABCD．
(2)解：由题易得EB＝2AB＝4，由(1)知，BC⊥平面ABE，所以平面BEC⊥平面ABE，如图，
以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则C(0,2,0)，E(4,0,0)，A(1,0，)，D(1,1，)，
因为EF＝2FC，所以F，易知＝(0,1,0)，＝，
设平面FAD的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令z＝，则x＝9，所以n＝(9,0，)．
由(1)知EA⊥平面ABCD，所以＝(－3,0，)为平面ABCD的一个法向量．
设平面FAD与平面ADC的夹角为α，则cos α＝＝＝，
所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.
22.解：(1)在棱AB上存在点E，使得AF∥平面PCE，且E为棱AB的中点．
理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ，FQ，由题意得，FQ∥DC且FQ＝CD，
因为AE∥CD且AE＝CD，所以AE∥FQ且AE＝FQ.所以四边形AEQF为平行四边形．所以AF∥EQ.
又EQ 平面PCE，AF 平面PCE，所以AF∥平面PCE.
(2)连接BD，DE.由题意知△ABD为正三角形，所以ED⊥AB，即ED⊥CD，
又∠ADP＝90°，所以PD⊥AD，且平面ADP⊥平面ABCD，平面ADP∩平面ABCD＝AD，所以PD⊥平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设FD＝a，则由题意知F(0,0，a)，C(0,2,0)，B(，1,0)，则＝(0,2，－a)，＝(，－1,0)，
设平面FBC的法向量为m＝(x，y，z)．则
令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝，易知平面DFC的一个法向量n＝(1,0,0)，
因为二面角D FC B的余弦值为，所以|cos〈m，n〉|＝＝，即＝，解得a＝1(负值舍去)．
因为PD⊥平面ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，
所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角，
由题意知在Rt△PBD中，tan∠PBD＝＝＝1，所以∠PBD＝45°，
所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°.