人教A版数学选修2-1 3.2.5 空间向量与空间角问题 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
3.2.5空间向量与空间角问题
1.空间平行关系的向量表示：
复习回顾：
2.空间垂直关系的向量表示：
（1）异面直线所成的角
范围:θ∈(0,π/2]
则直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
θ
3.空间角的概念：
（2）斜线与平面所成的角
平面的一条斜线
和它在这个平面内的射影
所成的锐角
A
O
B
θ
（3）二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，
这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
O
θ
l
m
l
m
探究一：线线角
例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB,A1D1的中点，求直线EF与BD1所成角的余弦值.




l
探究二：线面角
l
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，
求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
A
A1
C1
B1
D
C
B
D1
例2:求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
x
y
z
A
D
B
A1
D1
C1
B1
解： (1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：
A(0,0,0)
B1(1,0,1)
C(1,1,0)
C1(1,1,1)
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
所以
X1+z1=0
X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1
故n=(1,-1,-1)
C
故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为
注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角
探究三：面面角
注意法向量的方向：同进同出，两平面的夹角等于
法向量夹角的补角
例3:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、DD1的中点，
求二面角F-AE-D的余弦值。
A
A1
C1
B1
D
C
B
D1
E
F
x
y
z
A
D
C
A1
D1
C1
B1
B
F
E
例3 点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余弦值。
取y2=1,得x2=z2=-2
(2)由题意知
设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2),
所以
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角F-AE-D为锐角，所以所求二面角F-AE-D的余弦值为
一、.空间夹角的向量表示：
小结：
θ
θ