导数恒成立问题培优 讲义-2023届高三数学一轮复习

导数恒成立问题培优讲义
一．单调性分析最值.
例1.设函数.
（1) 若,求的单调区间;
（2）当时恒成立，求的取值范围.
解析：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（2），由（1）知，当且仅当时等号成立.故
，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，
，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
二．分离参数
例2.（2020全国1卷）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
解析（2）当时，恒成立，当时，恒成立分离参数之后等价于，求导可得：，一方面由于（易证，略），故，代入得：.
练习1.已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若，当时，，求k的取值范围．
解析：（2）当时，恒成立；当时，原不等式等价于，
令函数，，则，
当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，
∴，∴．综上所述，k的取值范围是．
三．端点效应与必要性探路
例3．（2022新高考2卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
解析：（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有， 所以在上为减函数，所以.综上，.
例4.设函数.
当时，判断是否为函数的极值点，并说明理由；
当时，不等式恒成立，求的最小值.
解:（1）当时，.令，则
当时，. 即在内为减函数，且
∴当时，;当时，. ∴在内是增函数，在内是减函数. 综上，是函数的极大值点.
（2）由题意，得，即. 现证明当时，不等式成立，即. 即证，令
则 ∴当时，;当时，. ∴在内单调递增，在内单调递减， 的最大值为.
∴当时，.即当时，不等式成立. 综上，整数的最小值为.
四．不等式证明与放缩
例5.已知函数.
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
解析：一方面，由于，等号成立当且仅当，另一方面，，等号成立当且仅当.将上述两式相乘可得：
因此，只需证明：成立即可.这个不等式易证，此处不再赘述.
例6.设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求
（2）证明：.
此处仅就第二问给出不等式放缩角度的证明.
（2）证明：由，得，即，故（当且仅当时取等号） ①，又由，得，故，两边取自然对数得，
即（当且仅当时取等号）②
由于①、②式等号不能同时成立，两式相加得，两边同乘以，得.
练习2.已知函数的导函数为.
（1）当时，判断的零点个数，并说明理由.
（2）证明：，.
解析：将所证不等式转化为，令，可知，利用导数可证得，由此可得到
，
令，只需证明当时，即可.
练习3.已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
解：（1）的定义域为．
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当时，．故．
（2）由（1）知当时，令得，从而
故，而，所以的最小值为3．
五．同构变换
若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换.
例如：....
例7.求下列恒成立问题的结果
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
解析：（1），
．又，，令，得或，令，得，所以在，递减，在递增，所以，当时，，时，
（2），当时，原不等式恒成立；当时，，由于，当且仅当等号成立，所以．
（3），当时，原不等式恒成立；当时，，由（1）中可得，当时，等号成立，所以，当且仅当等号成立，
所以．
（4），由于，所以．
（5）．
由于，当且仅当等号成立，所以．
（6），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（7），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（8），由于，两者都是当且仅当等号成立，所以，则，所以．
（9），当且仅当，即时等号成立．由有解，
，，易知在上递增，在递减，，所以
练习4. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
（1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：，设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以，
，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；
（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.
六．主元法
例8．已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
解法1：（1）)的定义域为，．由题设知，，所以．
从而，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．
（2）当时，．设，则
当时，；当时，．所以是的最小值点．
故当时，．因此，当时，．
解法2.主元法
令，则，故在上递增，那么
，由于，等号成立当且仅当，另一方面：，等号成立当且仅当.综上，，等号成立当且仅当.证毕.