第4课：距离公式与对称问题讲义-2023届高三数学一轮复习

第4课：距离公式与对称问题
1.距离公式
（1）两点间的距离公式
平面上的两点间的距离.
特别地，原点与任一点的距离.
若轴时，；若轴时，.
（2）点到直线的距离公式
已知点，直线：，则点到直线的距离.
已知点，直线：，则点到直线的距离.
已知点，直线：，则点到直线的距离.
注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式.
（3）两条平行直线间的距离公式
已知两平行直线：和：，若点在上，则两平行直线和的距离可转化为到直线的距离.
已知两平行直线：和：，则两直线和的距离.
注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且项的系数必须对应相等.
2.对称问题
（1）中心对称
①点关于点的对称
点关于的对称点为.
②直线关于点的对称
在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用∥，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程.
(2）轴对称
①点关于直线的对称
点关于的对称点为,则有,由此可求出.
特别地, 点关于的对称点为，点关于的对称点为.
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行.
三．典例分析与练习题
1．点关于直线对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设直线 与直线的交点为,则到直线的距离最大值为( )
A． B． C． D．
3．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )
A．(0,0) B．(，) C．(，) D．(，)
4．已知直线过定点，点在直线上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．平行线与之间的距离等于（ ）．
A． B． C． D．
6．若点到直线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．已知方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0与点P（－2，2）.
（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
（2）证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于.
8．已知直线l：x＋2y－2＝0.
（1）求直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
（2）求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
9．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
本章知识结构