第二十四章 圆【挑战满分】2022-2023学年九年级数学上册精选精练（人教版）

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第24章 圆
一、单选题
1．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3.8cm，则点A与⊙O的位置关系是( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．以上都有可能
3．如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与所在直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
4．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
5．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠BCD＝（　　）
A．105° B．110° C．115° D．120°
6．已知每个网格中小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．π﹣2 C．1+ D．1﹣
7．已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
8．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
9．如图以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
二、填空题
11．如图，的直径AB与弦CD相交于点P，且，若，则的半径为______．
12．某圆的周长是12.56米，那么它的半径是______________，面积是__________．
13．如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）
14．如图，⊙O的直径AB＝26，弦CD⊥AB，垂足为E，OE：BE＝5：8，则CD的长为______．
15．如图，，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作，过点作的平行线交两弧于点、，则阴影部分的面积是________.
16．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
17．已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是________．
三、解答题
18．如图，AB是的直径，弦于点E．若，，求弦CD．
19．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
（1）若，，求的直径；
（2）若，求的度数．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数．
21．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．
求作：线段BD，使得点D在线段AC上，且∠CBD＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；
②以点C为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点P（不与点B重合）；
③连接BP交AC于点D．
线段BD就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接PC．
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上．
∵点P在⊙A上，
∴∠CPB＝∠BAC．（ 　 　）（填推理的依据）
∵BC＝PC，
∴∠CBD＝　 　．（ 　 　）（填推理的依据）
∴∠CBD＝∠BAC．
22．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE=AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．
23．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
(1)如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
(2)如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．
参考答案：
1．A
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系解答即可.
【详解】①若，则，正确；
②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；
④若，则，错误.
故选A.
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形的性质.
2．A
【详解】如图，连接OA，则在直角△OMA中，根据勾股定理得到OA=．
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．
故选A．
3．A
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，由题意易得AB=5，然后可得，进而根据直线与圆的位置关系可求解．
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
根据等积法可得，
∴，
∵以点为圆心，为半径的圆，
∴该圆的半径为，
∵，
∴圆与AB所在的直线的位置关系为相交，
故选A．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
4．D
【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．C
【分析】连接AC，然后根据圆内接四边形的性质，可以得到∠ADC的度数，再根据点D是弧AC的中点，可以得到∠DCA的度数，直径所对的圆周角是90°，从而可以求得∠BCD的度数．
【详解】解：连接AC，
∵∠ABC＝50°，四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＝130°，
∵点D是弧AC的中点，
∴CD＝AC，
∴∠DCA＝∠DAC＝25°，
∵AB是直径，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA+∠DCA＝115°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．B
【分析】如图，标注顶点，连接AB，由图形的对称性可得阴影部分面积=S扇形AOB-S△ABO，从而可得答案.
【详解】解：标注顶点，连接AB，
由对称性可得：
阴影部分面积=S扇形AOB-S△ABO= ．
故选：B．
【点睛】本题考查的是阴影部分的面积的计算，扇形面积的计算，掌握“图形的对称性”是解本题的关键.
7．D
【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜半径＝4
故选D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交 d＜r②直线l和⊙O相切 d＝r，③直线l和⊙O相离 d＞r．
8．B
【分析】由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD= A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= A′B，进而可求解CE的长．
【详解】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，
∵，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD= A′D=AB，
∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，
∴AE= A′E，又AD=BD，
∴DE是△AB A′的中位线，
∴DE= A′B，
∵，，
∴CD=7cm，DE=2cm，
∴CE=CD-DE=7-2=5cm，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．B
【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．
【详解】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=8，
在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，
∴MD=CD-CM=20-16=4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
10．B
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数．
【详解】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
11．4
【分析】过点作 连接根据垂径定理可得根据得到对式子进行变换，即可求出半径.
【详解】解：设的半径为R
过点作 连接
∴
解得：
故答案为：4
【点睛】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键.
12． 2米 12.56平方米
【分析】根据周长公式转化为，将C=12.56代入进行计算得到半径，继续利用面积公式，代入半径的值求出面积的结果．
【详解】因为C=2πr，所以==2,所以r=2（米），
因为S=πr2 =3.14×22=12.56（平方米）．
故答案为：2米 12.56平方米．
【点睛】考查圆的面积和周长与半径之间的关系，学生必须熟练掌握圆的面积和周长的求解公式，选择相应的公式进行计算，利用公式是解题的关键．
13．5π
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式计算即可求解．
【详解】∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积5π．
故答案为5π．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题的关键．
14．24
【分析】连接OC，由题意得OE=5，BE=8，再由垂径定理得CE=DE，∠OEC=90°，然后由勾股定理求出CE=12，即可求解．
【详解】解：连接OC，如图所示：
∵直径AB=26，
∴OC=OB=13，
∵OE：BE=5：8，
∴OE=5，BE=8，
∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠OEC=90°，
∴CE==12，
∴CD=2CE=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CE的长是解题的关键．
15．
【分析】连接CE，如图，利用平行线的性质得∠COE＝∠EOB＝90°，再利用勾股定理计算出OE＝，利用余弦的定义得到∠OCE＝60°，然后根据扇形面积公式，利用
S阴影部分＝S扇形BCE S△OCE S扇形BOD进行计算即可．
【详解】解：连接CE，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥OE，
∴∠COE＝∠EOB＝90°，
∵OC＝1，CE＝2，
∴OE＝，cos∠OCE＝，
∴∠OCE＝60°，
∴S阴影部分＝S扇形BCE S△OCE S扇形BOD＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
16．
【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
【点睛】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
17．①②③⑤
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而点不在圆上，则不是圆周角
故④不正确；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题考查了优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义，理解定义是解题的关键．优弧是大于半圆的弧，任意圆上两点的连线是弦，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，顶点在圆心，并且两边都和圆相交的角叫做圆心角．
18．
【分析】连接OC，如图，根据垂径定理得到CE=DE，然后利用勾股定理计算出CE，从而得到CD的长．
【详解】解：连接OC，如图，
∵AB为直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，
∵AB=8，
∴OA=OC=4，
∴OE=OA-AE=4-1=3，
在Rt△OCE中，CE=，
∴CD=2CE=．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
19．（1）20；（2）30°
【分析】（1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果；
（2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数．
【详解】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设，
又∵BE＝4，
∴
∴，
解得：，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵OM＝OB，
∴∠B＝∠M，
∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，
∵∠DOB＋∠D＝90°，
∴2∠B＋∠D＝90°，
∵，
∴∠B＝∠D，
∴2∠D＋∠D＝90°，
∴∠D＝30°；
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
20．（1）证明见解析；（2）35°
【详解】试题分析：（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题；
（2）在Rt△CEB中，求出∠C即可解决问题.
试题解析：（1）如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=55°，
∴∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠P=∠C=35°.
【点睛】主要考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．（1）见解析；（2）圆周角定理；，圆周角定理的推论
【分析】（1）利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而得到．
【详解】解：（1）如图，为所作；
（2）证明：连接，如图，
，
点在上．
点在上，
（圆周角定理），
，
（圆周角定理的推论）
．
故答案为：圆周角定理；；圆周角定理的推论．
【点睛】本题考查了作图复杂作图、也考查了圆周角定理，解题的关键是掌握复杂作图的五种基本作图的基本方法，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【分析】（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得，结合DF=BE，即可完成证明；
（2）由（1）结论得AF=AE，；结合∠BAD=90°，得∠EAF=90°，从而得到△EAF是等腰直角三角形，即EF=AE；最后结合DE-DF=EF，从而得到答案；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH；结合题意，得∠CBE+∠CDE=180°，从而得到E，D，H三点共线；根据BC=CD，得，从而推导得∠BEC=∠DEC=45°，即△CEH是等腰直角三角形；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）如图，，，，
在正方形ABCD中，AB=AD
在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF=AE
即DE-DF=AE
∴DE-BE=AE；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4．
【点睛】本题考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．
23．(1)cm
(2)cm
【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；
（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可．
（1）解：如图1，作交于，交于，连接
由题意知，，在中，由勾股定理得∴∴的长为．
（2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为
由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即解得：，（不合题意，舍去）∴半径的长为．
【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
试卷第1页，共3页
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