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二、分类讨论
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，最终使问题得到解决。21世纪教育网版权所有
【例1】：下图中共有多少个长方形？
【分析与解】此题可分类计数，分以下几步：
单一的长方形：3×3＝9
由两个单一长方形组成的长方形：横数2×3＝6，竖数2×3＝6，6＋6＝12
由三个单一长方形组成的长方形：横数1×3＝3，竖数1×3＝3，3＋3＝6
由四个单一长方形组成的长方形：4
由六个单一长方形组成的长方形：4
由九个单一长方形组成的长方形：1
共计：9＋12＋6＋4＋4＋1＝36（个）
【例2】小明有面值3角的邮票、面值5角的邮票各两枚，用这些邮票能付多少种不同的邮资？（邮资：寄信时所需邮票的钱数）21教育网
【分析与解】本题可根据小明寄信时所用邮票枚数的多少，可把他们分成用1枚邮票、2枚邮票、3枚邮票、4枚邮票四种情况来考虑。我们在用分类枚举的方法解决问题时遇到数目不是很大的情况，还可以通过列表的方式来解答。
所用邮票枚数 1 1 2 2 2 3 3 4
3角的邮票枚数 1 1 2 1 2 2
5角的邮票枚数 1 1 2 2 1 2
邮 资 3角 5角 8角 6角 1元 1元3角 1元1角 1元6角
所以能付8种不同的邮资。
【例3】学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个班(可以不参加)。问至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同
【分析与解】所有的学生可以分为三大类：(1)不参加课外学习班的学生，只有一种情况；(2)参加一门课外学习班的学生，共有四种情况；(3)参加两门课外学习班的学生，共有六种情况。于是，问题转化为至少将多少个物品放人11(1+4+6=11)个抽屉里，才能保证某个抽屉中有两个或两个以上物品。由抽屉原理易知至少需12个物品，即本题答案为12个学生。21cnjy.com
【例4】一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
【分析与解】把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10个。
十位是6的数字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10个。
10+10=20（个）
答：在排页码时要用20个数字是6的铅字。
【例5】：两根同样长的绳子，第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10，哪根剩下的长
【分析与解】设绳子长为a米，
a＜1时，第二根剩下的长。
a＞1时，第一根剩下的长。
a=l时，两绳减去一样多。
【例6】有一架天平和1克、3克、9克的砝码各一个，利用这架天平和这些砝码能称出多少种不同质量的物体？21·cn·jy·com
【分析与解】由于砝码可以选用一个，也可以选用几个；选用几个，又可以放在天平的一边，还可以放在天平的两边。因此，要想不重复也不遗漏地把所有的情况都找出来，可以先分类，再列举。www.21-cn-jy.com
从选取的砝码的个数入手，可分成下面几类来列举：
（1）只选一个砝码，有3种称法，能称出的物体的质量分别为1克、3克和9克。
（2）选2个砝码，放在天平的一边，有3种称法，能称出的物体的质量分别为：1＋3＝4（克），1＋9＝10（克），3＋9＝12（克）；放在天平的两边，也有3种称法，能称出的物体的质量分别为：3－1＝2（克），9－1＝8（克），9－3＝6（克）。2·1·c·n·j·y
（3）选3个砝码，放在天平的一边，只有一种称法，能称出的物体的质量是：1＋3＋9＝13（克）；放在天平的两边，有3种称法，能称出的物体的质量分别为：9－1－3＝5（克），9＋1－3＝7（克），9＋3－1＝11（克）。
综上所述，利用这架天平和3个砝码，能称出13种不同质量的物体，有趣的是这些物体的质量分别是1-13克。【来源：21·世纪·教育·网】
【例7】两根同样长的钢管，第一根用去米，第二根用去。哪根用去的长一些？
【分析与解】分三种情况考虑。1、如果钢管的长正好是1米，那么这根钢管的正好是米，这样两根钢管用去的正好同样多。2、如果钢管的长度小于1米，那么第二根钢管用去的米数就小于米，这样第一根钢管用去的米数就长一些。3、如果如果钢管的长度大于1米，那么第二根钢管用去的米数就大于米，这样第二根钢管用去的米数就长一些。21·世纪*教育网
【例1】：由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
【分析与解】本题中，由0、1、2、3这四个数字组成的偶数有一位数、两位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类的考虑，再由加法原理解决。
一位偶数：2个
两位偶数：包含个位上是0和2的两类。若个位上取0，则有偶数3个，若个位上取2，则有偶数2个（0不能在最高位），所以两位偶数共有3＋2＝5（个）
三位偶数：包含个位上是0和2的两类。若个位上取0，则有偶数3×2×1个；若个位上取2，则有2×2×1个，三位偶数共有6＋4＝10（个）
四位偶数：10个
所以，没有重复数字的偶数共有：2＋5＋10＋10＝27（个）
【例2】商店里有不同包装的乒乓球（如下图），如果要买7个有几种不同的拿法？
【分析与解】从袋子数量的多少入手分类讨论。
只拿一个袋子的有一种拿法，是拿7号袋。
拿两个袋子的有三种拿法，分别是拿1+6号袋，2+5号袋，3+4号袋。
拿三个袋子的有四种拿法，分别是拿1+1+5号袋，1+2+4号袋，2+2+3号袋，3+3+1号袋。www-2-1-cnjy-com
拿四个袋子的有三种拿法，分别是拿1+1+1+4号袋，1+1+2+3号袋，1+2+2+2号袋。
拿五个袋子的有二种拿法，分别是拿1+1+1+1+3号袋，1+1+1+2+2号袋。
拿六个袋子的有一种拿法，是1+1+1+1+1+2号袋。
拿七个袋子的有一种拿法，是1+1+1+1+1+1+1号袋。
一共是15种拿法。
【例3】一本书有200页。编上页码1、2、3……数字１在页码中出现多少次？
【分析与解】按“数字出现在百位、十位、个位上”分三类思考：
第一类，数字１出现在百位上，共100次。
第二类，数字１出现在十位上，共20次。
第三类，数字１出现在个位上，共20次。
再综合三类结果，最终得出答案：100＋20＋20＝140（次）。
基础运用
能力拓展
4
2
把你所考虑的每一个问题，按照可能和需要，分成若干部分，使它们更易于求解。
——笛卡尔
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【例1】：下图中共有多少个长方形？
【例2】小明有面值3角的邮票、面值5角的邮票各两枚，用这些邮票能付多少种不同的邮资？（邮资：寄信时所需邮票的钱数）21教育网
【例3】学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个班(可以不参加)。问至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同
【例4】一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
【例5】：两根同样长的绳子，第一根剪去3/10米，第二根剪去3／10，哪根剩下的长
【例6】有一架天平和1克、3克、9克的砝码各一个，利用这架天平和这些砝码能称出多少种不同质量的物体？21·cn·jy·com
【例7】两根同样长的钢管，第一根用去米，第二根用去。哪根用去的长一些？
【例1】：由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？
【例2】商店里有不同包装的乒乓球（如下图），如果要买7个有几种不同的拿法？
【例3】一本书有200页。编上页码1、2、3……数字１在页码中出现多少次？
基础运用
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