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六、枚举筛选
在解决某些数学题时，有些题目的数量关系很难(甚至根本不可能)列式或列方程来解。这时要根据题目的一部分条件，先把可能的答案一一枚举出来，然后再根据另一部分条件检验，筛选出题目的答案。这种解题方法叫做枚举筛选法。2-1-c-n-j-y
【例1】9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？【版权所有：21教育】
【例2】从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？
【例3】旅行团21人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？
【例4】用24根1分米的小棒可以围成几种面积不同的长方形？
【例1】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球，球仍回到甲手中。问：共有多少种传球方式？ 21世纪教育网版权所有
【例2】1978年，有个人在介绍自己的家庭时说：我有一儿一女，他们不是双胞胎，儿子年龄的立方加上女儿年龄的平方，正好是我的出生年，我是在1900年后出生的，我的儿女都不满21岁，我比我妻子大8岁，请求出全家每个人的年龄。21·世纪*教育网
【例3】如图，两个正方形的面积差是40平方厘米，两个正方形的边长各是多少厘米？
【例4】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？
【例5】：一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数的两位数因数中，最大的是几？
【例6】一个两位数，个位上的数是十位上的数的4倍，如果这个两位数加8。那么和的十位数与个位数相同，求原来的两位数。www.21-cn-jy.com
【例7】如图，两个正方形的面积差是40平方厘米，两个正方形的边长各是多少厘米？
方法引领
基础运用
能力拓展
20厘米
20厘米
一个解法称为完善时，如果我们从一开头就能预见甚至证明，沿着这个方法做下去，就一定能达到我们的目的。 ——莱布尼茨
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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六、枚举筛选
在解决某些数学题时，有些题目的数量关系很难(甚至根本不可能)列式或列方程来解。这时要根据题目的一部分条件，先把可能的答案一一枚举出来，然后再根据另一部分条件检验，筛选出题目的答案。这种解题方法叫做枚举筛选法。2-1-c-n-j-y
【例1】9○13○7=100
14○2○5=□
把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？【版权所有：21教育】
【分析与解】把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。21教育名师原创作品
先看第一个式子：9○13○7=100
如果在两个圆圈内填上“÷”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100，所以在两个圆圈内不能同时填“÷”号，也不能同时填“+”、“-”号。要是在等式的一个圆圈中填入“×”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未凑出100。如果在两个圈中分别填入“+”和“×”号，就会凑出100了。9+13×7=10021*cnjy*com
再看第二个式子：14○2○5=□
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“÷”号和“-”号了。如果在第一个圆圈内填上“÷”号， 14÷2得到整数，所以：14÷2-5=2。即长方形中的数是2。
【例2】从1—10的10个数中，每次取2个数，要使它们的和大于10，一共有多少种取法？
【分析与解】可从小到大依次思考
① 1+10
② 2+9，2+10
③ 3+8，3+9，3+10
④ 4+7，4+8，4+9，4+10
⑤ 5+6，5+7，5+8，5+9，5+10
⑥ 6+7，6+8，6+9，6+10
⑦ 7+8，7+9，7+10
⑧ 8+9，8+10
⑨ 9+10
所以，共有1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种不同的取法
【例3】旅行团21人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？
【分析与解】从全住3人间想起，2人间就是0间，3人间是7间；2人间依次增加成为1人间，发现3人间不符合题意，这种方法不行。依次类推。把所有的情况一一列举出来。筛选出其中的4种方法即可。【出处：21教育名师】
2人间 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3人间 7 — — 5 — — 3 — — 1
答：一共有4种不同的安排方法。
【例4】用24根1分米的小棒可以围成几种面积不同的长方形？
【分析与解】可以通过列表依次试一试。
长dm 11 10 9 8 7 6
宽dm 1 2 3 4 5 6
面积dm2 11 20 27 32 35 36
【例1】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球，球仍回到甲手中。问：共有多少种传球方式？ 21世纪教育网版权所有
【分析与解】最后一次传球没有悬念，一定都传给甲，所以第三次传球谁都不能传给甲；然后从第二次传球开始思考，有的人传给甲，有的传给其他人，很容易知道传给甲的有4种情况，传给其他人的有12种情况；第二次传给甲的肯定第三次都必需传给其他人，第四次给甲，这样有4×4=16种情况，而第二次没有给甲的第四次还是不能给甲，只有12*3=36种情况；所以总共有16+36=52种情况。21教育网
【例2】1978年，有个人在介绍自己的家庭时说：我有一儿一女，他们不是双胞胎，儿子年龄的立方加上女儿年龄的平方，正好是我的出生年，我是在1900年后出生的，我的儿女都不满21岁，我比我妻子大8岁，请求出全家每个人的年龄。21·世纪*教育网
【分析与解】本题的关键在于先确定儿子的年龄，其次是求出女儿的年龄，这就要用到枚举筛选法。
由于133=2197，所以儿子的年龄一定小于13岁，又由于113=1331，即使加上212=441，也只是1331+441=1772<1990，所以儿子的年龄一定大于11岁，只有12岁了。www-2-1-cnjy-com
设女儿的年龄为X，根据已知条件有：
123+x3 > 1900
所以x2 > 1900－123
X2 > 172
也就是说女儿的年龄大于13岁，又已知这个年龄小于21岁，所以女儿的年龄可能是：14,15,16,17，18,19,2021*cnjy*com
如果x=15，那父亲的出生年数就等于：
123+152=1953
这显然是不合理的，同样道理，女儿的年龄也不能是大于15的数，只能是14.
这时，父亲的出生年数为：
123+142=1924
1978年时的年龄为：1978－1924=54（岁）
1978年时母亲的年龄为：54－8=46（岁）
【例3】如图，两个正方形的面积差是40平方厘米，两个正方形的边长各是多少厘米？
【分析与解】根据图可知，两个正方形边长的和为20，这样的正整数共有9对，即:1-19的首尾两数相加(10除外)。再根据“面积差是40平方厘米”这一条件筛选出题目的答案，可列举算式得:【来源：21cnj*y.co*m】
19＋1=20 192－12=361－1=360
18＋2=20 182－22=324－4=320
17＋3=20 172－32=289－9=280
16＋4=20 162－42=256－16=240
15＋5=20 152－52=225－25=200
14＋6=20 142－62=196－36=160
13＋7=20 132－72=169－49=120
12＋8=20 122－82=144－64=80
11＋9=20 112－92=121－81=40
最后不难得出，这两个正方形的边长分别是11厘米和9厘米。当然，这道题可以从图上直观地看出边长相差不是很大，前面5对数及运算在枚举时可省略。随着学生知识的增长，这道题列二元二次方程组来解也可较快得到答案。
用枚举筛选法解答，从表面上看是在机械地“凑”结果，其实它在确定条件范围时，就己经考查了学生的推理判断能力，对学生观察能力和估算能力以及数感的培养，同样起着不可轻视的作用。21·cn·jy·com
【例4】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？
【分析与解】本题中如果从10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，再逐个判断每个五位数能够同时被3、5、7、13整除，那是非常麻烦的。
可以先从整体上考虑，因为3、5、7、13这四个数两两互质，且3×5×7×13=1365，那么我们要找的数就是在五位数中能被1365整除的最大的那个数。那我们只需要一个自然数a与1365相乘，使积尽可能大且是一个五位数即可（注意：五位数中不能出现相同的数字）21cnjy.com
因为1365×a＜10000，则a≤73.
当a=73时，这个五位数是1365×73=99645
当a=72时，这个五位数是1365×72=98280
当a=71时，这个五位数是1365×71=96915
当a=70时，这个五位数是1365×70=95550
当a=69时，这个五位数是1365×69=94185
所以，最大的数94185.虽然我们采用枚举法，要计算1365与73、72、71、70、69的积，但比起漫无边际的去找这样的五位数要简便得多。
【例5】：一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数的两位数因数中，最大的是几？
【分析与解】设这个数为N=2从最大的两位数99开始试验。
99=3×3×11 因为原数中没有11这个质因数，所以99不符合要求。
98=2×7×7 因为原数中只有1个7，所以98也不符合要求。
97是质数，显然不符合要求。
96=2 和原数比较，符合要求。
【例6】一个两位数，个位上的数是十位上的数的4倍，如果这个两位数加8。那么和的十位数与个位数相同，求原来的两位数。www.21-cn-jy.com
【分析与解】十位上的数至少是1。因为个位上的数≤9，所以十位上的数≤2，因此所求的两位数只可能是14或28。28+8=36，不合要求，舍去；14+8=22，符合条件。因此，14是所求的两位数。2·1·c·n·j·y
【例7】如图，两个正方形的面积差是40平方厘米，两个正方形的边长各是多少厘米？
【分析与解】根据图可知，两个正方形边长的和为20，这样的正整数共有9对，即：1-19的首尾两数相加(10除外)。再根据“面积差是40平方厘米”这一条件筛选出题目的答案，可列举算式得：【来源：21·世纪·教育·网】
19＋1=20 192－12=361－1=360
18＋2=20 182－22=324－4=320
……
12＋8=20 12－82=144－64=80
11＋9=20 112－92=121－81=40
方法引领
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能力拓展
20厘米
20厘米
一个解法称为完善时，如果我们从一开头就能预见甚至证明，沿着这个方法做下去，就一定能达到我们的目的。 ——莱布尼茨
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