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三、极端思考
一些涉及的因素众多、过程复杂的问题，我们很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断时，若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论．21世纪教育网版权所有
【例1】假设五个相异正整数的平均数是15,中间数是18,则此五个正整数中的最大数的最大值可能为
A.24 B.32 C.35 D.40
【分析与解】假设这五个数分别为a,b,c,d,e， c=18,由平均数15可以推算总数是15*5=75，要使最大数取最大值，那么ab分别为1，2，又因为c=18，所以d取19值 所以e=75-a-b-c-d=75-1-2-18-19=35 选C 21教育网
【例2】实验室培育一批大豆，大豆的发芽率在75%—85%之间，要保证发芽150颗，至少要培育多少颗大豆？21cnjy.com
【分析与解】这里问至少要多少颗大豆，实际上是说一种最坏的情况，大豆的发芽率最低只有75%，那我们就要用150÷75%=200（颗），准备200颗大豆。
【例3】 两只食量相同的猴子抢一堆桃子吃。吃完后，一只猴子还差1个桃子吃饱，另一只还差5个吃饱。如果这堆桃子都给一只猴子吃，它仍不会吃饱，那么一只猴子需要个桃子才能吃饱。www-2-1-cnjy-com
【分析与解】如果用列举试算的方法来解这道题比较麻烦，我们不妨从极端情况来思考。设想一只猴子连一个桃子都没有抢到。于是，有如下数量关系（如图所示）。2-1-c-n-j-y
结合题意，“如果这堆桃子都给一只猴子吃，它仍不会吃饱”，观察上图可看出：这堆桃子有5－1＝4（个），一只猴子需要5个桃子才能吃饱。
【例1】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
【分析与解】如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。2·1·c·n·j·y
“最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。21·世纪*教育网
【例2】一把钥匙开一把锁。现在有8把钥匙8把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最少要试多少次一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
【分析与解】对于某些特殊问题，比如“最少多少次……一定”、“最少多少只……保证”等，从最不巧的情况出发来考虑解决问题比较简单。本题，从最不巧的情形考虑。用8把钥匙依次去试第1把锁，最不利的情况是试验了7次，前6次都没打开，第7次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙。（若没打开，则第8把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第2把锁试验6次……第7把锁只需试验1次，第8把锁不用再试。我们可以列这样的算式解答问题：
7+6+5+4+3+2+1=28（次）
所以至少试验28次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。
【例3】 一只轮船往返于甲、乙两个码头一次，问：静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长？【来源：21·世纪·教育·网】
【分析与解】此题一时很难作出解答，因为题中没有告诉船的具体速度。我们考虑特殊情况，即假定船速等于水速，因此轮船在逆水航行时将停止不前。这就是说，轮船无论花多少时间，也无法在这样的流水中完成在两个码头之间的往返航行。而在静水中航行，往返一次所花时间总是“往”或“返”的2倍。因此在流水中航行所花时间长。21*cnjy*com
【例4】把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可使乘积最大？
【分析与解】十分明显，这样的数是很多的，我们不可能也没有必要一一找，如果用极端思维，情况就变得十分简单了。首先把14这个数推向最大的一端，拆的个数要尽可能多，多一个可多乘一次。接着把加数推向最小一端：加数不宜超过4，比如5拆成2和3，则2×3＞5，这就说明加数大于4的，要尽量拆小；但不应出现1，因为1与任何数的乘积仍为原数；另外在所拆的数中，2的个数不能多于2，因为2×2×2＜3×3。【来源：21cnj*y.co*m】
这样14应尽可能拆成3，因为4×3=12，所以14拆成了3、3、3、3、2时，这些数的乘积最大，其乘积为3×3×3×3×2=162。【出处：21教育名师】
【例5】口袋里有100张小纸片，上面分别写着1-100。从口袋里任意摸出若干张小纸片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和数的后面两位数写在一张新纸片上放人袋中，经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸上的数是多少？【版权所有：21教育】
【分析与解】题目中对每次从袋中取出纸片的张数未作要求，可多可少。我们不妨考虑特殊情况：一次取完所有纸片，那么最后余下的纸片上的数应该是1-100各数总和的后面两位数： 1＋2＋3＋……＋98＋99＋100＝（1＋100）×100÷2＝5050。所以，纸片上的数应是50。21教育名师原创作品
【例6】老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应该是什么？21*cnjy*com
【分析与解】小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数错了，因为在这一位上的数共有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，最大是9，最小是0，极端思考，所以正确的答案在12.40~12.49之间。这样，正确的13个自然数之和应该在12.40×13~12.49×13之间。
12.40×13=161.20
12.49×13=162.37
在161.20与162.37之间的自然数只有162，所以老师在黑板上写了13个自然数的和是162。正确的答案是：162÷13≈12.46www.21-cn-jy.com
【例7】幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班的小朋友，那么平均每人可以分10个。如果全部分给小班的小朋友，平均每人可以分几个？21·cn·jy·com
【分析与解】由条件平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个可以知道，苹果的总数一定是6的倍数，又由条件全部分给大班的小朋友，那么平均每人可以分10个，我们可以知道苹果的总数也一定是10的倍数，我们就假设苹果的总数是6和10的最小公倍数30个，那么大班和小班的人数之和就是30÷6=5（人），大班的人数就是30÷10=3（人），小班的人数就是5-3=2（人）用30÷2=15（个）就可以知道如果分给小班的小朋友，平均每个可以分15个。刚才我们是找了一个符合条件的特殊数进行计算的。我们还可以假设苹果的总数是60、120……，只要是6和10的公倍数即可。
基础运用
我们要证明存在具有某种性质的对象，极端原理告诉我们去找某函数最大或最小的对象。
——A ·恩格尔
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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三、极端思考
一些涉及的因素众多、过程复杂的问题，我们很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断时，若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论．21世纪教育网版权所有
【例1】假设五个相异正整数的平均数是15,中间数是18,则此五个正整数中的最大数的最大值可能为
A.24 B.32 C.35 D.40
【例2】实验室培育一批大豆，大豆的发芽率在75%—85%之间，要保证发芽150颗，至少要培育多少颗大豆？21cnjy.com
【例3】 两只食量相同的猴子抢一堆桃子吃。吃完后，一只猴子还差1个桃子吃饱，另一只还差5个吃饱。如果这堆桃子都给一只猴子吃，它仍不会吃饱，那么一只猴子需要个桃子才能吃饱。www-2-1-cnjy-com
【例1】口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
【例2】一把钥匙开一把锁。现在有8把钥匙8把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，最少要试多少次一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
【例3】 一只轮船往返于甲、乙两个码头一次，问：静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长？【来源：21·世纪·教育·网】
【例4】把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可使乘积最大？
【例5】口袋里有100张小纸片，上面分别写着1-100。从口袋里任意摸出若干张小纸片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和数的后面两位数写在一张新纸片上放人袋中，经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸上的数是多少？【版权所有：21教育】
【例6】老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算的答案是12.43，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对。正确的答案应该是什么？21*cnjy*com
【例7】幼儿园把一筐苹果平均分给大班和小班的小朋友，每个小朋友可分得6个。如果全部分给大班的小朋友，那么平均每人可以分10个。如果全部分给小班的小朋友，平均每人可以分几个？21·cn·jy·com
基础运用
我们要证明存在具有某种性质的对象，极端原理告诉我们去找某函数最大或最小的对象。
——A ·恩格尔
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