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十、化归
化归法的根本特征是把没解决的问题转化，归结为已经解决了的问题。化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。21cnjy.com
【例1】一个幼虫长成成虫,每天长一倍,20天长了20厘米,请问长到5厘米时是第几天
【例2】小明和小刚共买了10枝铅笔。如果小明给小刚1枝，那么小明铅笔枝数的就等于小刚铅笔枝数的。问，小明和小刚原来各买了几枝铅笔？
【例3】小强买2本笔记本和12枝铅笔共用了1.08元, 已知6本笔记本和18枝铅笔的价钱相等, 那么一枝铅笔和一本笔记本的价钱各是多少元？
【例4】一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？【来源：21cnj*y.co*m】
【例5】求下面图形的的周长。
【例6】如图，A、B、C、D是正方形，边长8厘米，E、F分别是CB和CD的中点，求阴影部分的面积。
【例1】计算＋＋＋＋……＋。
【例2】ABCD是平行四边形，阴影部分的面积为12cm2，E为AB的中点，F为BC的中点，求平行四边形的面积是多少？21·cn·jy·com
【例3】有砖26块，兄弟二人争着挑。弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥哥那抢走一半，哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多2块。问：最初弟弟准备挑几块砖？2·1·c·n·j·y
【例4】有甲、乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲杯里水的1/2倒入乙杯里，第二次又将乙杯里水的1/3倒回到甲杯，第三次将甲杯的1/4倒入乙杯，第四次将乙杯的1/5倒回到甲杯，照这样来回倒下去，倒了1995次之后，甲杯里的水还剩多少千克？www.21-cn-jy.com
【例5】一天小明从家出发去学校，如果每分钟走50米，就会迟到2分钟;如果每分钟走60米，就会准时到达。求小明家到学校的距离。
【例6】 甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆，每天从甲站开往乙站的汽车有21辆，从乙站开往甲站的汽车有24辆。几天以后甲站的汽车数量是乙站的7倍 【出处：21教育名师】
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【例7】小明和小刚共买了10枝铅笔。如果小明给小刚1枝,那么, 小明铅笔枝数的1/3就等于小刚铅笔枝数的1/2。小明、小刚原来铅笔各买有几只？
【例8】6时分针和时针正好在一条直线上，几时几分时两针第一次重合？
【例9】如图：大正方形ABCD的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
方法引领
基础运用
能力拓展
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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十、化归
化归法的根本特征是把没解决的问题转化，归结为已经解决了的问题。化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复杂的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得出正确的解答。21cnjy.com
【例1】一个幼虫长成成虫,每天长一倍,20天长了20厘米,请问长到5厘米时是第几天
【分析与解】从最后一天往前推：第20天长20厘米，第19天时10厘米，第18天时5厘米。列式：
20÷2＝10（厘米）
10÷2＝5（厘米）
20-1-1＝18（天）
【例2】小明和小刚共买了10枝铅笔。如果小明给小刚1枝，那么小明铅笔枝数的就等于小刚铅笔枝数的。问，小明和小刚原来各买了几枝铅笔？
【分析与解】由于本题中分数单位“1”不同，所以要正确找到数量关系比较困难。所以考虑转换数量关系。根据题意可知，小明给小刚1枝，那么小明铅笔枝数的就等于小刚铅笔枝数的，可知，他们交换后的数量总数比是3:2.再根据总数不变的性质，可以算出，交换后小明的铅笔数：10×=6（枝）小刚的铅笔数：10×=4（枝）。通过转换数量关系，得出间接条件，再联系条件可以得出，小明原有铅笔7枝，小刚原有铅笔3枝。21*cnjy*com
【例3】小强买2本笔记本和12枝铅笔共用了1.08元, 已知6本笔记本和18枝铅笔的价钱相等, 那么一枝铅笔和一本笔记本的价钱各是多少元？
【分析与解】把“6本笔记本和18枝铅笔的价钱相等”这个条件转化成“买一本笔记本能买3只铅笔”，也就是说买2本笔记本能买6只铅笔，这样以来，条件可变为“买18只铅笔共用了1.08元”，学生自然就能解决了。
【例4】一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？【来源：21cnj*y.co*m】
【分析与解】这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.
如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？【版权所有：21教育】
把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：
｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.
如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.21教育名师原创作品
解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56
［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4
答：于昆这次数学考试成绩是96分.
【例5】求下面图形的的周长。
【分析与解】把楼梯形状的图形转化成规则的长方形，根据
长方形的周长公式进行计算就非常简单。
（50+30）×2=160（厘米）
【例6】如图，A、B、C、D是正方形，边长8厘米，E、F分别是CB和CD的中点，求阴影部分的面积。
【分析与解】显然，本题应对“所求问题”进行化归，因为阴影部分是三角形，其底和高都不知道，不容易直接求出其面积。那么，怎样化归问题最简单呢？将求阴影部分的面积化归为求正方形的面积和三个三角形的面积，即阴影部分面积=8×8-(×4×8×2+×4×4)=24(平方厘米)21世纪教育网版权所有
想一想，有没有更好的化归方法呢？只要注意分析，利用题中“中点”条件，化归便水到渠成了。根据已知条件，三角形ABE和三角形ADF的面积相等，而且都等于正方形的面积的，三角形CEF是正方形面积的。所以，阴影部分面积人是正方形面积的(1---)=。这样，我们把较复杂的问题“求阴影部分的面积是多少？”化归为较简单的问题“求正方形面积的是多少？”同学们会很快列出算式：8×8×(1---)=24(平方厘米)21·世纪*教育网
与前者相比，同样都是对“问题”进行化归，但后者的化归是多么简单、美妙!
【例1】计算＋＋＋＋……＋。
【分析与解】要想把计算题的每一项都算出来，再进行通分，那是十分繁琐的。首先根据有限项的特点，把单项变形为：＝－，＝－，＝－，＝－，……＝－；然后结合变形后的单项进行计算。www-2-1-cnjy-com
＋＋＋＋……＋＝（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＝－＝。
把“省略项”退到“有限项”，从“多项”退到“单项”，再把有限项进行变形剖析，寻找有限项与省略项之间的特征，然后把每一单项都分解成两项，也就是“一个分数等于两个分数之差”，再两项联系起来进行整体思考分析，就会发现此题项与项之间的内在联系，－＝0、－＝0……中间所有的项正好两两相减，刚好等于0。计算中，最后只要简单地计算两个分数的差就可以了。
【例2】ABCD是平行四边形，阴影部分的面积为12cm2，E为AB的中点，F为BC的中点，求平行四边形的面积是多少？21·cn·jy·com
【分析与解】本题是已知三角形DEF的面积，求平行四边形ABCD的面积。由条件到问题很难找到彼此之间的内在关联。我们可以巧妙地退到空白部分与平行四边形的联系上，挖掘部分与整体的关联特征，寻求解决数学问题的突破口。空白部分的面积占平行四边形ABCD面积的（＋＋）＝，三角形DEF（阴影为已知）的面积占平行四边形ABCD面积的1－＝，从而求出平行四边形ABCD的面积。21教育网
具体的解题过程是：添上辅助线EG、FH，并使EG//AD、FH//AB，如下图：
从图中可以看出，S△AED＝SAEGD＝SABCD，S△DFC＝SHDFC＝SABCD，S△EBF＝SEBFO＝SABCD，所以，平行四边形ABCD的面积＝12÷（1－－－）＝12÷＝32（平方厘米）。21*cnjy*com
【例3】有砖26块，兄弟二人争着挑。弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半，弟弟不肯，又从哥哥那抢走一半，哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多2块。问：最初弟弟准备挑几块砖？2·1·c·n·j·y
【分析与解】先用和差解法求出弟弟最后挑几块砖：（26－2）÷2=12（块）
在退而求出弟弟最初准备挑几块砖。[（26－（26－（12＋5）]×2×2=16（块）
【例4】有甲、乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲杯里水的1/2倒入乙杯里，第二次又将乙杯里水的1/3倒回到甲杯，第三次将甲杯的1/4倒入乙杯，第四次将乙杯的1/5倒回到甲杯，照这样来回倒下去，倒了1995次之后，甲杯里的水还剩多少千克？www.21-cn-jy.com
【分析与解】我们先不急考虑1995次以后的情况，先考虑前5次的来回倒水中存在怎样的规律，从简单情况入手。
次序 甲杯中的水（克）
1 500（与乙相等）
2 500+500/3 =500×（1+1/3）
3 （500+500/3）×3/4=500（与乙相等）
4 500+100=600
5 600-100=500（与乙相等）
… …
从
表中我们不难发现，当倒1、3、5次的时候，甲杯中的水都是500克，由此我们知道当倒奇数次的时候甲杯中的水都是500克，所以来回倒1995次之后，甲杯中的水还剩500克。【来源：21·世纪·教育·网】
【例5】一天小明从家出发去学校，如果每分钟走50米，就会迟到2分钟;如果每分钟走60米，就会准时到达。求小明家到学校的距离。
【分析与解】在这个题目中，只有一个人“小明”，是同一个人在不同速度下的两种情况。这两种情况在现实中不可能同时发生，所以很难比较。想象一下，如果我们用摄像机把这两种情形都拍一下，再同时播放，不难想象我们可以看到两个人在赛跑。这样我们就把同一个人在同一空间不同时间发生的故事转化成两个人在同一时间同一空间的故事。2-1-c-n-j-y
所以，我们可以把题目转化成：甲乙两人同时从小明家去学校。甲每分钟走50米，迟到2分钟；乙每分钟走60米，准时到达。求小明家到学校得距离。
不难看出乙到达时，乙比甲多走50×2＝100（米），
所以小明家到学校得距离是：（50×2）÷（60－50）×60＝600（米）
【例6】 甲站有汽车192辆，乙站有汽车48辆，每天从甲站开往乙站的汽车有21辆，从乙站开往甲站的汽车有24辆。几天以后甲站的汽车数量是乙站的7倍 【出处：21教育名师】
【分析与解】要求几天后甲站的汽车是乙站的7倍，需要知道当甲站汽车是乙站汽车的7倍时乙站有多少辆汽车。这样，原来的题目就可以化归成以下两道简单应用题：
(1)甲乙两站共有汽车(192+48)辆．当甲站的汽车是乙站的7倍时，乙站有多少辆汽车
显然，这是很容易解决的问题，(192+48)÷(1+7)=30(辆)即为答案。
(2)乙站原有汽车48辆，每天从乙站开往甲站的汽车有24辆，从甲站开往乙站的汽车有21辆，几天以后乙站还有汽车30辆
显然，这也是很容易解决的问题，(48—30)÷(24—21)=6(天)即为答案，从而原问题得以解决。
【例7】小明和小刚共买了10枝铅笔。如果小明给小刚1枝,那么, 小明铅笔枝数的1/3就等于小刚铅笔枝数的1/2。小明、小刚原来铅笔各买有几只？
【分析与解】由于两个分数的单位“1”不同，所以小学生很难从中找出数量关系，所以考虑转换数量关系。根据题意可知：小明给小刚1枝后,那么, 小明铅笔枝数的1/3就等于小刚铅笔枝数的1/2。可得他们交换后的“数量总数比是3比2”，再根据总数不变的性质，可以算出：交换后小明的铅笔数：10×3/5 小刚的铅笔数：10×2/5 通过转换数量关系，得出了间接条件，再联系条件，可知：小明铅笔原来有10×3/5+1（枝），小刚铅笔原来有10×2/5—1（枝）。
【例8】6时分针和时针正好在一条直线上，几时几分时两针第一次重合？
【分析与解】解决这类题目，可以把时针、分针的运动看做是甲、乙两个运动员在跑道上赛跑，把时针1小时所走的一格看作路程单位，那么可以把这类题转化成追及问题。如：甲、乙两人同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12干米。如果甲、乙两人同时出发，经过多长时间乙能追上甲？根据路程差÷速度差＝追及时间，即6÷（12－1）＝（小时）＝32（分），所以在6时32分两针第一次重合。
【例9】如图：大正方形ABCD的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
【分析与解】图中阴影部分是三角形，但三条边以及对应的高什么也不知道，如果直接求肯定很困难。如果用S梯形EFBA＋S正方形ABCD－S△EFC－S△ADC计算，虽然可以算出来，但太烦琐。如果连接FB，不难发现FB为小正方形的对角线，FB平行于大正方形的对角线AC,所以△ACF和△ACB同底等高。这样就把S△ACF转化成S△ACB。所以阴影部分的面积是：6×6÷2＝18（平方厘米）
方法引领
基础运用
能力拓展
解题——就意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。 —雅诺夫斯卡亚
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