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五、类比猜想
“类比猜想法”是指由一类事物所具有的某种属性推测出与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。21世纪教育网版权所有
【例1】计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？
1=12
1+3=4=22
1＋3＋5=32
1+3+5+7=
……
1＋3＋5＋7＋……+99=
【例2】客车从甲地开往乙地要20小时，货车从乙地开往甲地要30小时，如果两车分别从甲乙两地同时相对开出，几小时可以相遇？
【例3】某农机厂制造一批农具，原计划 18 天完成，实际每天比计划多制造 50 件，照这样做了 12 天，就超过原计划产量 240 件，这批农具原计划制造多少件？【来源：21·世纪·教育·网】
【例1】第5路公交车从起始站A站开往终点站H站，途经B、C、D、E、F、G六个停靠站，相邻两站的距离都是600米。问从A站到H站的路程是多少米？
【例2】往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？21*cnjy*com
【例3】有一块长方形的菜地，宽为5米。一只青蛙要沿着宽边跳过这块菜地，而且每次只能跳0.5米或1米，共有多少种跳法 www-2-1-cnjy-com
【例4】已知甲校学生数是乙校学生数的百分之四十，甲校女生数是甲校学生数的百分之三十，乙校男生数是乙校学生数的百分之四十二，那么两校女生总数占两校学生总数的百分之几 【出处：21教育名师】
【例5】某出版社出版的某种书，今年每册的成本比去年增加百分之十，但仍然保持原售价，因此每本盈利下降了百分之四十。但今年的发行册数比去年增加百分之八十，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加百分之几
【例6】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合
【例7】自动扶梯以均匀的速度由上向下运行，两位顽皮的孩子逆着自动扶梯运行的方向上楼。已知男孩每分钟走24级台阶，女孩每分钟走20级台阶。结果男孩用2分钟到达楼上，女孩用3分钟到达楼上。问该扶梯的可见部分共有多少级？21教育名师原创作品
【例8】某科学考察组进行科学考察，要越过一座山。上午8时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？
方法引领
基础运用
能力拓展
每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。
——康德
上海
苏州
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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五、类比猜想
“类比猜想法”是指由一类事物所具有的某种属性推测出与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。21世纪教育网版权所有
【例1】计算并观察下面的算式，你能发现什么规律？
1=12
1+3=4=22
1＋3＋5=32
1+3+5+7=
……
1＋3＋5＋7＋……+99=
【分析与解】此题是由从1开始的奇数组成的系列加法算式，每一组算式比前一组多一个后继的奇数。通过计算并观察每组算式的得数，1是一个奇数，等于1的平方；（1+3）是前两个奇数相加，等于2的平方；（1+3+5）是前3个奇数相加，等于3的平方；（1+3+5+7）的前4个奇数相加，通过与前面算式进行类比，猜想应该等于4的平方；（1+3+5+7）=16。42=16，猜想正确。那么最后的算式是前50个奇数相加，等于50的平方。因此，可以归纳出一般的规律：前n个奇数相加的和等于n的平方。21cnjy.com
所以，1＋3＋5＋7＋……+99=502
【例2】客车从甲地开往乙地要20小时，货车从乙地开往甲地要30小时，如果两车分别从甲乙两地同时相对开出，几小时可以相遇？
【分析与解】此题可以类比成工程问题的思路：一件工程，甲单独完成要20小时，乙单独完成要30小时。如果两人合作，几小时可以完成？
1÷（＋）=12（小时）
【例3】某农机厂制造一批农具，原计划 18 天完成，实际每天比计划多制造 50 件，照这样做了 12 天，就超过原计划产量 240 件，这批农具原计划制造多少件？【来源：21·世纪·教育·网】
【分析与解】这道题要求原计划制造多少件，不是从题目的条件来看，既不知道原计 划每天制造多少件，也不知道实际每天制造多少件，所以要想按照一般的数 量关系，通过分析来寻找解题线索，是一个比较困难的问题，在这种情况下， 可以用假设法来解答。21·世纪*教育网
题目告诉我们，“原计划 18 天完成”我们就假设实际生产了 18 天。那 么，按照题目的条件“实际每天比计划多制造 50 件”来计算的话，应该比原 计划产量多制造： 50×18=900（件）2-1-c-n-j-y
根据题意，制造 12 天，就比原计划产量多制造 240 件，这样一来，我们就得到了两个数量的相差数，即制造的天数相差了 18-12=6（天）。制造的 件数相差了 900-240=660（件），这就是说，按实际每天制造的件数计算，6 天可以制造农具 660 件，我们可以从这两个相差数中，算出实际每天制造的 件数是：
660÷6=110（件）
通过假设，找到了解开这道题目的一个重要条件，即实际每天制造 110件。因此，要求出原计划制造多少件，只要再按题目的条件，先算出 12 天制 造的件数 110×12=1320（件），因为 12 天制造的件数比原计划产量多 240 件，所以原计划制造的件数就是： 1320-240=1080（件）21*cnjy*com
列综合式计算：（50×18-240）÷（18-12）×12-240
=660÷6×12-240
=1320-240
=1080（件）
答：原计划制造农具 1080 件。
当求出了实际每天制造 110 件之后，下一步也可以这样思考： 根据已知条件“实际每天比计划多制造 50 件”，可求得原计划每天制造的件数： 110-50=60（件）。【来源：21cnj*y.co*m】
再根据已知条件“原计划 18 天完成”即可求得原计划制造的件数： 60×18=1080（件）
列综合式计算
［（50×18-240）÷（18-12）-50］×18
=［660÷6-50］×18
=60×18
=1080（件） 答：略。
【例1】第5路公交车从起始站A站开往终点站H站，途经B、C、D、E、F、G六个停靠站，相邻两站的距离都是600米。问从A站到H站的路程是多少米？
【分析与解】包括起始站和终点站在内共有8个站，不能简单地认为从A站到H站的路程是600×8＝4800（米）。本题与植树问题相似，把8个停靠站看作是8棵树，根据段数比棵数少1的道理，可以求得A站到H站的路程是600×（8－1）＝4200（米）。【版权所有：21教育】
【例2】往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？21*cnjy*com
【分析与解】沪宁高速铁路上有3个停靠站，问这趟车要准备多少种车票。如果把站点表示在一条线段上，有一条线段就表示是一种车票，于是我们可以把这个题目想成下面这条组合图形中一共有多少条线段？
如图：
这个组合图形中一共有的线段是4+3+2+1=10条。由于题目中问的是往返车票，我们之要再乘2即可。
所以铁路部门要准备的车票是10×2=20（条）
【例3】有一块长方形的菜地，宽为5米。一只青蛙要沿着宽边跳过这块菜地，而且每次只能跳0.5米或1米，共有多少种跳法 www-2-1-cnjy-com
【分析与解】初看此题似乎无从下手，如果把青蛙跳步问题比作人走台阶的问题来想的话，原题可变为:有一个10级台阶，每次只能上1级或2级，从底上到顶共有多少种上法 如图所示，上到第1级，只有1种上法;上到第2级，可以从第1级上，也可以直接从底上到第2级，有2种方法;上到第3级，可以从第1级两种方法上，也可以从第2级上，共有3种方法。所以上到第1级有1种方法，上到第2级有两种方法，上到第3级有1+2=3(种)上法，……依次类推，每一级的上法等于前两级的上法种数之和。如图所示数字，共有89种上法。所以青蛙要跳过这块菜地，共有89种跳法。2·1·c·n·j·y
【例4】已知甲校学生数是乙校学生数的百分之四十，甲校女生数是甲校学生数的百分之三十，乙校男生数是乙校学生数的百分之四十二，那么两校女生总数占两校学生总数的百分之几 【出处：21教育名师】
【分析与解】设甲校学生为40，则乙校学生为100，甲校的女生是12，乙校的女生是58，所以两校女生总数占两校学生总数的(12+58)÷(40+100)=50%。
【例5】某出版社出版的某种书，今年每册的成本比去年增加百分之十，但仍然保持原售价，因此每本盈利下降了百分之四十。但今年的发行册数比去年增加百分之八十，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加百分之几
【分析与解】设去年每本盈利10元，则今年每本盈利6元。又设去年的发行册数为100册，则今年的发行册数是180册。21教育网
因此，今年获得的总盈利比去年增加了：
(6×180-10×100)÷(10×100)=8%。
【例6】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。这样捏合到第 次后可拉出64根细面条。
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合
【分析与解】直接入手很能猜想出答案，我们通过类比，发现第一次捏合，变成2根也就是2，第二次捏合变成了4，也就是2×2，第三次变成了8，也就是2×2×2，我们可以猜想，规律为2，由此推测出第6次可以拉出64根细面条。21·cn·jy·com
【例7】自动扶梯以均匀的速度由上向下运行，两位顽皮的孩子逆着自动扶梯运行的方向上楼。已知男孩每分钟走24级台阶，女孩每分钟走20级台阶。结果男孩用2分钟到达楼上，女孩用3分钟到达楼上。问该扶梯的可见部分共有多少级？21教育名师原创作品
【分析与解】本题与“牛顿问题”类似：“牛吃草的速度”变成了两个小孩的速度，“每天新长出的草”就变成了扶梯的速度，“原有的草”变成了扶梯可见部分的级数。因此本题可借用“牛顿问题”的解题思路求解。
上楼的速度由两部分合成：一部分是两个小孩自己的速度，另一部分是扶梯的速度。男孩2分钟走了24×2＝48（级），女孩3分钟走了20×3＝60（级），说明电梯1分钟走（60-48）÷（3-2）＝12（级），所以扶梯的可见部分共有24×2-12×2＝24（级）。www.21-cn-jy.com
【例8】某科学考察组进行科学考察，要越过一座山。上午8时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？
【分析与解】此题表面上看似一道行程问题，但实质上是一道典型的“鸡兔同笼”问题的变化题型。其特征是：
（1）已知两种事物的单值：上山速度为3千米；下山速度为5千米。
（2）已知这两种不同事物的总个数：除去休息1小时的5小时；全程19千米。
（3）要求的是这两种不同事物的个数：上山和下山的时间各是多少？
通过上面的分析，可见此题的解答方法与"鸡兔同笼"问题的解答方法完全相同。假设5小时都是上山时间，则共走路程为3×5＝15（千米），比实际走的19千米少了19－15＝4（千米），原因是由于把下山时间也当作了上山时间，则下山时间为4÷（5－3）＝2（小时）。从而可以推出下山路程是5×2＝10（千米），上山路程是19－10＝9（千米）。当然我们也可以假设5小时都是下山时间来类推求解。
方法引领
基础运用
能力拓展
南京
常州
无锡
每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。
——康德
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