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一、数形结合
数形结合思想兼有数的严谨与形的直观之长，利用它可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，最终使问题得到解决。
【例1】：甲、乙、丙、丁和小明一共五人进行羽毛球比赛，每两人一场。在比赛中途，统计甲比了4场，乙比了3场，丙比了2场，丁比了1场，小明比了几场。21世纪教育网版权所有
【例2】果园里有梨树、苹果树和桃树共900棵，其中梨树的棵树是苹果树的2倍，苹果树的棵树是桃树的3倍，求梨树、苹果树和桃树各有多少棵？
【例3】世界杯足球赛C组阿根廷队、巴西队、古巴队和德国队。每两个球队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛。21·cn·jy·com
【例5】某班有学生56人，参加作文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科竞赛都没有参加的有25人，那么同时参加作文、数学竞赛的学生有多少人？www.21-cn-jy.com
【例6】小明有书的本数是小刚的5倍，两个人各借出5本后，小明有书的本数是小刚的10倍，小明和小刚原来各有多少本书？21cnjy.com
【例7】甲、乙两筐苹果质量相等，当甲筐苹果卖出14千克，乙筐苹果卖出32千克后，甲剩下的苹果质量是乙筐的2倍。每筐苹果重多少千克？
【例8】：小强和小丽同时从自己家向学校走去，小强家在学校的东边，小丽家在学校的西边，小强每分钟走65米，小丽每分钟走70米，经过4分钟，两人在校门口相遇，小强和小丽两家相距多少米？www-2-1-cnjy-com
【例1】：学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年有多少岁？
【例2】：一辆汽车从甲地开往乙地。如果把车速提高20%，可以比原来提早1小时到达；若以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。问：两地相距多少千米？
【例3】国庆节期间，商场搞促销活动，如果购买1000元以上的商品，就可以把超过1000元的部分打八折。张叔叔准备买一个价格为1200元的洗衣机，李阿姨要买一个500元的电饭煲。两个人合着买比分着买可以省多少元？
方法引领
基础运用
能力拓展
数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
——华罗庚
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一、数形结合
数形结合思想兼有数的严谨与形的直观之长，利用它可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，最终使问题得到解决。
【例1】：甲、乙、丙、丁和小明一共五人进行羽毛球比赛，每两人一场。在比赛中途，统计甲比了4场，乙比了3场，丙比了2场，丁比了1场，小明比了几场。21世纪教育网版权所有
【分析与解】把五人分别用五个点表示，两人之间比赛一场就用直线连接。把题目转化长图。甲比了4场，就说明和其他四人都比赛过了，同时丁可以看出比的这一场是和甲，乙比了三场，除去和甲比的一场，分别和丙、小明比了一场，这时候丙已比了2场，这时候看图就可以知道小明比了2场。
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【例2】果园里有梨树、苹果树和桃树共900棵，其中梨树的棵树是苹果树的2倍，苹果树的棵树是桃树的3倍，求梨树、苹果树和桃树各有多少棵？
【分析与解】根据题意，画出如下线段图：
桃 树：
苹果树： 348棵
从上图中我们可以看出，这道题有三个量，桃树的棵树是一倍数，苹果树的棵树是三倍数。梨树的棵树是苹果树的2倍，可以看做梨树的棵树是桃树的6倍（即3×2）倍，即梨的棵树是六倍数。三种树的总棵树就是桃树棵树的10（即1+3+3×2）倍。由此，可列式：21教育网
桃树：900÷（1+3+3×2）=90（棵）
苹果树：90×3=270（棵）
梨树：90×6=540（棵）
【例3】世界杯足球赛C组阿根廷队、巴西队、古巴队和德国队。每两个球队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛。21·cn·jy·com
【分析与解】此题是三年级上的排列组合题，在此类题中，排列与顺序有关，组合与顺序无关。但这样的语言教学对三年级的学生来说无显著意义。但采用画图连线就十分直观了。2·1·c·n·j·y
因此，直接观察连线部分，列式为3+2+1=6（场）
【例5】某班有学生56人，参加作文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科竞赛都没有参加的有25人，那么同时参加作文、数学竞赛的学生有多少人？www.21-cn-jy.com
【分析与解】在重叠问题中，条件的叙述象绕口令一样，纠缠难懂，学生单纯靠抽象的语言的确难理解，利用集合图表达各部分的关系就容易得多了。
同时参加作文、数学竞赛的人数
全班56人
学生通过对图的分析、理解，很快就能列出多种解法。
解法一：56－25=31（人） 28+27－31=24（人）
解法二：28+27+25－56=24（人）
【例6】小明有书的本数是小刚的5倍，两个人各借出5本后，小明有书的本数是小刚的10倍，小明和小刚原来各有多少本书？21cnjy.com
【分析与解】采用数形结合法。
仔细观察上图，我们把小刚原来有书的本数看作1份，那么小明就有这样的5份。我们再把小刚原有的1份分成两部分，即“借出5本”和“剩余部分”。同样将小明的5份也分别分成这样的两部分（如图所示）。由已知条件可知，小明剩余部分的本数是小刚剩余部分的本数的10倍，那么观察线段图可知，小明剩余的部分中有4个5本，即20本，而这20本正好是小刚剩余部分的本数的10－5＝5倍。则小刚剩余部分的本数为：20÷5＝4（本），所以，小刚原来有书4＋5＝9（本），小明原来有书9×5＝45（本）。【来源：21·世纪·教育·网】
【例7】甲、乙两筐苹果质量相等，当甲筐苹果卖出14千克，乙筐苹果卖出32千克后，甲剩下的苹果质量是乙筐的2倍。每筐苹果重多少千克？
【分析与解】
从线段图中，可以发现：乙筐剩下的苹果质量是32－14＝18（千克），由此得知甲筐剩下的苹果质量是18×2＝36（千克），从而求出每筐苹果的质量是32＋18＝50（千克）或18×2＋14＝50（千克）。运用图形结合法，可以通过直观的操作，对条件间的关系有清晰的认识，从而能正确解答。21·世纪*教育网
【例8】：小强和小丽同时从自己家向学校走去，小强家在学校的东边，小丽家在学校的西边，小强每分钟走65米，小丽每分钟走70米，经过4分钟，两人在校门口相遇，小强和小丽两家相距多少米？www-2-1-cnjy-com
【分析与解】根据题里的已知条件和数量关系，引导学生作图，使题里的数量关系直接反映到图上来，形成逻辑思维与形象思维的完美配合，帮助学生理解题意，提高学生的解题能力。21*cnjy*com
每分钟70米，走了4分钟 每分钟65米，走了4分钟
小丽家 小强家【出处：21教育名师】
【例1】：学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁，当你像我这么大时，我已经39岁。”那么，这位老师今年有多少岁？
【分析与解】此题结合画图法，可以得到这样的示意图：
从图上可知：从3岁到39岁之间的年龄差是相等的，即3个年龄差=39-3=36岁，所以师生年龄差是36/3=12岁，学生年龄是3+12=15岁，老师年龄是39-12=27岁。2-1-c-n-j-y
【例2】：一辆汽车从甲地开往乙地。如果把车速提高20%，可以比原来提早1小时到达；若以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。问：两地相距多少千米？【来源：21cnj*y.co*m】
【分析与解】
第一种走法：
原速度×20%×（原时间－1)＝原速度×1
原时间＝ 6小时
第二种走法：
原速度×2／3＝原速度×25%×（剩下的时间－2／3）
剩下的时间＝3小时
【例3】国庆节期间，商场搞促销活动，如果购买1000元以上的商品，就可以把超过1000元的部分打八折。张叔叔准备买一个价格为1200元的洗衣机，李阿姨要买一个500元的电饭煲。两个人合着买比分着买可以省多少元？
【分析与解】解法一：（1200-1000）*80%+1000+500=1660（元）
（1200+500-1000）*80%+1000=1560（元）
1660-1560=100（元）
解法二：合着买与分着买的区别在于，少花了一个500元的（1-80%），所以可以直接用500*（1-80%）=100元来进行计算。【版权所有：21教育】
借助线段图对比，利用数形结合，对算理的理解透彻。
方法引领
基础运用
乙
甲
丁
丙
小明
梨树：
作文竞赛28人
数学竞赛28人
学校
？米
能力拓展
总路程
原速度
原时间
1小时
20%
余下的路程
原速度
剩下的时间
2／3小时
25%
数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。
——华罗庚
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