北京四中高中数学必修5：第1-3章 同步复习教学案：基础+提高（56份打包）

【巩固练习】
选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,,则其跨度AB的长为( )
A.12米 B.8米
C.米 D. 米
2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )
A. B.或 　C. 　D.3
3.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为( )
A.米 　B. 米 　C. 米 　 D.米
4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为(　)
A. 　 　B. 　 　C.　　　 D.
5．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A． m　　　　　　　　 B． m
C． m D. m
6．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(15＋3) m B．(30＋15) m
C．(30＋30) m D．(15＋30) m
填空题
7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 ；
8. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为，测得塔基B的俯角为，则塔AB的高度为 ；
9. 江崖边有一炮台江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为和,炮台顶部到江面高,而且两条船与炮台底部连线成,则两条船相距 ；
解答题
10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
11．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)．求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．
13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)
14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离
15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝)
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】
2. 【答案】B
【解析】如图所示，设，由余弦定理可得，解之得，故选B
3. 【答案】　A
【解析】设塔高AB为h,在Rt△CDB中, 所以可求
在△ABC中,由正弦定理,可求
4.【答案】B
【解析】由坡度为3：4知，由同角的三角函数关系可求.故选B
5．【答案】　A
【解析】　在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
∴∠ABC＝30°，由正弦定理：
∴AB＝＝m．故选A.
6. 【答案】　C
【解析】　由正弦定理可得，
，h＝PBsin 45°＝(30＋30) m.
故选C.
7.【答案】；
【解析】如图所示：
，，，
在中，根据正弦定理。
8.【答案】；
【解析】
如图，，，则
，，
所以.
9. 【答案】30m；
【解析】如图所示：
，，，，
则在中，，，
根据余弦定理，.
10.【解析】设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小
∴航行小时，两船之间距离最近．
11．【解析】在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理有，
同理，在△BCD 中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°
CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理有，
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
根据勾股定理有
所以炮兵阵地到目标的距离为 米．
12. 【解析】如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．
则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°
由得x=2.
故AB=28，BC=20
即所需时间2小时，为.
13. 【解析】在△ABD中，∠ADB=180°-110°-40°=30°，
由正弦定理得.
在Rt△ACD中，CD=ADtan25°≈480(m).
答：山高约为480m.
14、【解析】在中， ，
根据余弦定理，
根据正弦定理, ，
有，
∵ ∴
所以 ，
答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行
15.【解析】　连结BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝
∵，∴sin∠ACB＝，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°，
∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．
B
C
A
A
B
C
x一元二次不等式及其解法
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；
2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.
设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
要点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法
例1. 解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
【解析】
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：
因而不等式的解集是.
方法二： 或
解得 或 ，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：
所以，原不等式的解集是
方法二：（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：∵
∴原不等式的解集是.
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】
【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.
【答案】由题意知或
解得：x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
【变式2】解不等式
【答案】整理，得.
因为，方程无实数解，
所以不等式的解集是.
从而，原不等式的解集是.
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；
（2）x2-ax+1>0；
（3）x2-(a+1)x+a<0；
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】
(1)
∴原不等式的解集为.
(2) Δ=a2-4
当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为
当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.
当Δ<0，即-2（3）(x-1)(x-a)<0
当a>1时，原不等式的解集为{x|1当a<1时，原不等式的解集为{x|a当a=1时，原不等式的解集为.
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时，解集为；
②当0③当a>1或 -1【变式2】解关于的不等式：（）
【答案】
当a＜0或a＞1时，解集为；
当a=0时，解集为；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.
【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为.
【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若， 即时，；
若， 即时，x∈R；
若， 即时，.
②当a<0时，则有：， ∴ .
【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0时，.
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
①a>0时，则Δ>0，.
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0， 即 -1【高清课堂：一元二次不等式及其解法 387159 题型二 含参数的一元二次不等式的解法】
【变式3】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【答案】
当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【思路点拨】
由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
举一反三：
【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3【答案】由不等式的解集为{x|-3由根与系数关系得
解得a=-2, b=-2.
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
类型四：不等式的恒成立问题
【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】
例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理，得
解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.
举一反三：
【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
开始
结束
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2
方程ax2+bx+c=0没有实数根
原不等式解集为R
原不等式解集为
原不等式解集为{x|xx2}(x1Δ≥0
x1=x2
否
是
是
否【巩固练习】
选择题
1.设则中最大的是（ ）
A. B. C. D.
2.设,若是与的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
3. 已知互不相等的正数a、b、c满足a2＋c2＝2bc，则下列不等式中可能成立的是(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
4．若-4A．最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-1
5.若则下列不等式对一切满足条件的恒成立的个数为(　　)
①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤.
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
6. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为(　　)
A．240 B．200
C．180 D．160
填空题
7．若x+2y=4, x>0, y>0，则lgx+lgy的最大值为________.
8．若lgx+lgy=1，则的最小值为_____.
9. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
10. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．
解答题
11．若, 求x(2-5x)的最大值.
12. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？
13.证明：
14.求证:
15. 某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的 ，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺.试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】由能推出；反之则不然，因为平方不等式的条件是.
2．【答案】B
【解析】由题意的，所以，
则.
3．【答案】B
【解析】∵a2＋c2>2ac，即2bc>2ac.
又∵c>0，∴b>a，因此只有选B、C之一；
对于a与c的大小，如果c>a，a2＋c2<2c2，
∴2bc<2c2.从而有b∴应该是c4．【答案】D
【解析】
5. 【答案】　C
【解析】　因，所以①正确；
因，
所以，故②不正确；
因，所以③正确；
因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；
因，所以⑤正确．
故正确的命题为①③⑤.
6. 【答案】B
【解析】依题意得每吨的成本是，则，当且仅当，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.
7．【答案】lg2
【解析】(当且仅当 x=2y=2时取“=”).
8．【答案】2
【解析】lgx+lgy=1, xy=10, .
9. 【答案】
【解析】，当且仅当时取等号．
10. 【答案】
【解析】　
又
∴
∴
11．【解析】∵, ∴2-5x>0,
∴
当且仅当 5x=2-5x即时，原式有最大值.
12. 【解析】∵, ∴,
∴
当且仅当即时，原式有最小值1.
13. 【解析】
方法一：∵，（当且仅当，时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）；
方法二：∵
（当且仅当，时，取等号）
∴.
14.【解析】证明:由基本不等式和得
=
当且仅当即时取等号.
15. 【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好.
设修复成新墙的旧墙为 ,则拆改成新墙的旧墙为，
于是还需要建造新墙的长为
设建造新墙需用元，建造围墙的总造价为元，
则
（当且仅当即时，等号成立）
故拆除改造旧墙约为米时，总造价最小.不等式综合
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、不等式的主要性质
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；
，
(5) 乘方法则：
(6) 开方法则：
要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.
要点二、三个“二次”的关系
一元二次不等式或的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：
①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）写出解集.
要点诠释：若，可以转化为的情形解决.
要点三、线性规划
用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤
（1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；
（2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；
（4)作答．
要点四、基本不等式
两个重要不等式
①，那么（当且仅当时取等号“=”）
②基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
算术平均数和几何平均数
算术平均数：称为的算术平均数；
几何平均数：称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的应用
,且（定值），那么当时，有最小值；
,且（定值），那么当时，有最大值.
要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值
【典型例题】
类型一：不等式性质的应用
例1．若，则下列不等关系中不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴.
由，，∴（A）成立.
由，，∴（C）成立.
由，，，∴（D）成立.
∵，，，，
，，∴（B）不成立.
故应选B
【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误.
举一反三：
【变式】已知，则成立的一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
例2．如果,,则
(1) 的取值范围是 ； (2) 的取值范围是
【答案】(1)（46，66）；（2）（480，1008）
【解析】（1）利用不等式的性质可得；
（2）利用不等式的性质可得
【总结升华】注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化的正确应用
举一反三：
【变式】如果,,则
(1)的取值范围是 ； (2) 的取值范围是 .
【答案】(1)（-18，-10）；（2）.
例3．已知函数,满足,,那么的取值范围是 .
【解析】
解法一：方程思想(换元)：
由 ，求得
∴
又
∴ ，
即.
解法二：待定系数法
设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)
解法三：数形结合(线性规划)
所确定区域如图：
设，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.
【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.
举一反三：
【变式】已知，，求的取值范围.
【答案】[-3，10]
类型四：一元二次不等式的有关问题
例4．不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-1【解析】由不等式的解集为{x|-1由根与系数关系得
解得a=-6, b=6.
【总结升华】利用一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化.
举一反三：
【变式1】若不等式的解集为(-∞,-1] ∪[2,+ ∞）,求实数a的值
【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0a=-2
∴所求实数a=-2
【变式2】已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
【答案】
例5．若关于的不等式的解集为一切实数R，求的取值范围.
【解析】当时，原不等式为：，不符合题意.
当时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意
当时，只需，
即，解得，
综上，的取值范围为.
【总结升华】①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:
ax2+bx+c>0对任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；
ax2+bx+c<0对任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0.
②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：
μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值
μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值
举一反三：
【变式】若对于任意XR恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）,求m的值
【答案】对任意xR有3x2+2x+2>m（x2+x+1）恒成立
对任意xR 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)>0成立
又因mN*，∴m=1
类型三：二元一次方程（组）与平面区域
例6．设集合A={(x,y)|x,y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）
【解析】利用三角形的三边关系得：
，即 表示的平面区域为A选项.
【总结升华】注意本例中三角形本身的性质.
举一反三：
【变式1】不等式组所表示的平面区域为（ ）





A B C D
【答案】选B
【变式2】不等式组在xy平面上的解的集合为（ ）
A．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集
【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,


∴交集为三角形内部，选B.
类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
例7．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则的最大值是（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】C
【解析】先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示.
由 解得
但x∈N*，y∈N*，结合图知当x=5，y=4时，zmax=90.
【总结升华】结合实际问题，注意约束条件中变量的取值范围.
举一反三：
【变式】设变量x、y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】如图可得zmin=3，选B
类型六：基本不等式的应用
例8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？
【解析】　设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个km＋400 km所用的时间，
因此，.
当且仅当，即x＝80时取“＝”．
故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．
【总结升华】在解答应用问题时要加强将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达文字语言所反映的数学关系的能力.
举一反三：
【变式1】求的最大值.
【答案】且为常数
（当且仅当时取等号）
∴当时，.
【变式2】建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为 元.
【答案】1760
【解析】设水池池底的一边长为xm，则另一边长为，则总造价y为：
（元）
当且仅当即时，y取最小值为1760.
所以水池的最低造价为1760元.
不等式
不等关系与不等式
一元二次不等式及其解法
二元一次不等式（组）与平面区域
基本不等式
最大（小）值问题
简单的线性规划不等关系与不等式
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系；
2．会用差值法比较两实数的大小；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立.
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
　　要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
　　(1) 对称性：
　　(2) 传递性：
　　(3) 可加性： (c∈R)
　　(4) 可乘性：a>b，
　　运算性质有：
　 (1) 可加法则：
(2) 可乘法则：
(3) 可乘方性：
(4) 可开方性：
要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论.
要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程.
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：
总费用不超过8000元
总面积不超过；
大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有：
即
此即为所求满足题意的不等式组
【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
举一反三：
【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？
【答案】假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ;
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
类型二：不等式性质的应用
例2．已知，求，的取值范围．
【解析】　因为，所以，.
两式相加，得.
因为，所以，
则.
又α＜β，所以，
则.
【总结升华】求含字母的数（式）的取值范围，一是要注意题设中的条件，充分利用条件，二是在变换过程中要注意利用不等式的基本性质以及其他与题目相关的性质等.
举一反三：
【变式1】【变式】已知，求（1） (2)的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型三 不等式性质的应用】
【变式2】已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．
【答案】f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.
∴∴
∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10.
例3．对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则ac（２）若ac2>bc2，则a>b;
（３）若aab>b2;
（４）若a|b|;
（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．
【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】
（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题.
（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题.
（３）因为，所以a2>ab ①
又，所以ab>b2 ②
综合①②得a2>ab>b2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为 ，所以
所以 ，从而ab<0
又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
【总结升华】题目中要注意不等式变形的等价性，性质的应用要合理.
举一反三：
【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型二 不等式的性质】
【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2) ；(3)a－c＞b－d；
(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立
的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C；
【变式2】若aA.均不成立
B.
C.
D.
【答案】B；
【解析】特殊值法：取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.
例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
　　【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
平均速度，
　 　∵ ，
∴
因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度.
【总结升华】 恰当的设出变量，利用了做差比较大小是本例的关键.
　　举一反三：
【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.
【答案】甲车先到达B地；
【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，
则
所以，甲车先到达B地.
类型三：作差比较大小
【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型一 比较大小】
例5. 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。
【解析】∵
=，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
第三步：得出结论。
【总结升华】
用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；
第三步：得出结论.
举一反三：
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时， .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）与；（2）与.
【答案】
（1）
（2）
，
∴.
例6.已知(), 试比较和的大小.
【解析】，
∵即，
∴当时，；
当时，.
【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论
举一反三：
【变式】已知，比较的大小
【答案】
类型四：作商比较大小
例7．已知：、, 且,比较的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.
【解析】 ∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；
(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立.
综上，总成立.
【总结升华】
1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论.
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知为互不相等的正数，求证：
【答案】为不等正数，不失一般性，设
这时，，则有：
由指数函数的性质可知：
，即.等比数列及其前n项和
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；
2.掌握等比数列的性质和前n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；
3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等比数列与指数函数的关系.
【要点梳理】
要点一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.
要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；
③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；
⑤证明一个数列为等比数列，其依据.利用这种形式来判定，就便于操作了.
要点二、等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中。
要点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项。
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一。
③当时，、、成等比数列。
④是、、成等比数列的必要不充分条件。
要点三、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
首相为，公比为的等比数列的通项公式为：
推导过程：
（1）归纳法：
根据等比数列的定义可得：
∴；
；
；
……
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出：
（2）叠乘法：
根据等比数列的定义可得：
，
，
，
……
，
把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即
又a1也符合上式
∴.
(3)迭代法：
∴.
要点诠释：
①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.
等比数列的通项公式的推广
已知等比数列中，第项为，公比为，则：
证明：∵，
∴
∴
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况。
要点四、等比数列的前n项和公式
1等比数列的前n项和公式
推导过程：
（1）利用等比性质
由等比数列的定义，有
根据等比性质，有
∴当时，或.
（2）错位相减法
等比数列的前n项和，
①当时，，；
②当时，由得：
∴或.
即
要点诠释：
①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.
②在求等比数列前项和时，要注意区分和.
③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
要点五、等比数列的性质
设等比数列的公比为
①若，且,则，
特别地，当时.
②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为.
③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
④连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列.
要点六、等比数列中的函数关系
等比数列中，，若设,则：
（1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点.
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列。
（3）当时，等比数列是摆动数列。
要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
【典型例题】
类型一：等比数列的定义
【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例1】
例1．设是公比为的等比数列，，
令 ，
若数列有连续四项在集合中，
则
【答案】9
【解析】由题知有连续的四项在集合中，则必有-54，-24为相隔两项，
又∵
∴，
∴
【总结升华】此例中要注意等比数列项的特征，找到关键的两项，问题就可迎刃而解了.
举一反三：
【变式】如果成等比数列，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
例2.已知数列的首项为……，
【思路点拨】本题的变形中要有极强的目标意识。
证明：数列是等比数列.
【解析】由得，
∴又
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
【总结升华】证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略.
举一反三：
【变式】已知数列中
判断数列是等比数列，并说明理由
【答案】是等比数列
∵
∴，
∴数列是首项为2，公比为-2的等比数列
类型二：等比数列通项公式的应用
例3．已知等比数列，若，，求.
【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，使计算简捷。
【解析】或；
法一：∵，∴，∴
从而解之得，或，
当时，；当时，。
故或。
法二：由等比数列的定义知，
代入已知得
将代入（1）得，
解得或
由（2）得或 ，以下同方法一
【总结升华】
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。
【答案】±96
法一：设公比为q，则768=a1q8，q8=256，∴q=±2，∴a6=±96；
法二：a52=a1a9a5=±48q=±2，∴a6=±96。
【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。
【答案】64；
∵，又an＞0，∴a45=4
∴。
类型三：等比数列的前n项和公式
例4．求等比数列的前6项和。
【答案】；
【解析】∵，，
∴
【总结升华】等比数列中中的“知三求二”主要还是运用方程的思想解决.
举一反三：
【变式1】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
【解析】若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.
【答案】
因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由得，，
整理得q3(2q6-q3-1)=0，
由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，
因q3≠1，故，所以。
【变式2】在等比数列中，，，，求和。
【答案】或2，；
∵，∴
解方程组，得 或
①将代入，得，
由，解得；
②将代入，得，
由，解得。
∴或2，。
类型四：灵活运用等比数列的性质
例5.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。
【答案】216；
【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、q的问题，列出a1、q的方程组。
【解析】
法一：设这个等比数列为，其公比为，
∵，，∴，
∴。
法二：设这个等比数列为，公比为，则，，
加入的三项分别为，，，
由题意，，也成等比数列，∴，故，
∴
【总结升华】法一注重了等比数列中的特征量q的求解，；法二中注重了等比中项的特征.
举一反三：
【变式1】等比数列中，若,求.
【答案】 10
∵是等比数列，∴
∴
【变式2】若等比数列满足，则公比为（ ）
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
【答案】B
类型五：等比数列前n项和公式的性质
例6．已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？
【思路点拨】
等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。
【答案】130；
【解析】
法一：S10，S20-S10，S30-S20构成等比数列，∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20)
即302=10(S30-40),∴S30=130.
法二：∵2S10≠S20，∴,
∵,,
∴∴,∴
∴ .
【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷.
举一反三：
【变式1】等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.
【答案】17；
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17
【变式2】在等比数列中，已知，，求。
【答案】63
【变式3】等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.
【答案】4；
令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知：b1, b2, b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.
【变式4】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。
【答案】448；
∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.
类型五：等差等比数列的综合应用
例7．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
【思路点拨】
恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.
【解析】
法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.
则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列.
∴
由(2)得a=...........(3)
由(1)得32a=d2+32d ..........(4)
(3)代(4)消a，解得或d=8.
∴当时,；当d=8时,a=10
∴原来三个数为,,或2,10,50.
法二：设原来三个数为a, aq, aq2，则a, aq,aq2-32成等差数列，a, aq-4, aq2-32成等比数列
∴
由(2)得，代入(1)解得q=5或q=13
当q=5时a=2；当q=13时.
∴原来三个数为2，10，50或，,.
【总结升华】选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【答案】为2，6，18或；
【变式2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
【答案】0，4，8，16或15，9，3，1；
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
∴
由(1)得x=3y-12，代入(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)
∴144-24y+y2=-3y2+28y, ∴4y2-52y+144=0,
∴y2-13y+36=0, ∴ y=4或9，
∴ x=0或15，
∴四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例2】
【变式3】已知是各项均为正数的等比数列，且，
，
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)由题中条件可得
解得：
∴数列的通项为
（2）由（1）知数列的通项为，
∴
∴数列综合
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；
4．掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、数列的通项公式
数列的通项公式
一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；
②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。
通项与前n项和的关系：
任意数列的前n项和；
要点诠释：
由前n项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当n≥2时的，
（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.
要点二、等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：（常数）是等差数列；
②中项公式法：是等差数列；
③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；
④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列。
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。
等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若，则；
特别，若，则
（3）等差数列中，若.
（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成新的等差数列。
（5）等差数列，前n项和为
①当n为奇数时，；；；
②当n为偶数时，；；。
（6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）。
（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则。
（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差.
等差数列前n项和的最值问题：
等差数列中
若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；
若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
要点三、：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列；
（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；
（3）中项公式法：（，）是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若，则.
特别，若，则
（4）等比数列中，若.
（5）公比为q的等比数列中，连续k项和，… 组成新的等比数列。
（6）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，。
（7）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列。
（8）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列。
（9）等比数列前n项积为，则
等比数列的通项公式与函数：
①方程观点：知二求一；
②函数观点：
时，是关于n的指数型函数；
时，是常数函数；
要点诠释：
当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；
当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是摆动数列；
当时，等比数列是非零常数列。
要点四、常见的数列求和方法
公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和。
分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则，如an=
错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
要点五、数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
【典型例题】
类型一：数列的概念与通项
例1．写出数列：，，，，……的一个通项公式.
【思路点拨】
从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是,, ,,…可用表示；
【解析】通项公式为：.
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，…项分别记作，，，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：，，，，……的一个通项公式是（ 　 ）
A.　　　　 B.
C.　　　 D.
【答案】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.
【变式2】给出数表：
… … … …
（1）前行共有几个数？
（2）第行的第一个数和最后一个数各是多少？
（3）求第行的各数之和；
（4）数100是第几行的第几个数？
【答案】
（1）；
（2），；
（3）；
（4）第14行的第9个数。
类型二：等差、等比数列概念及其性质
例2. 已知等差数列，, , 则（　 ）
A.125　　 B.175　　C.225　　D.250
【答案】C
【解析】
方法一：∵为等差数列，
∴,,成等差数列，即
∴，
解得,
∴选C.
方法二：取特殊值，令，由题意可得,,
∴，，
∴,
∴选C.
方法三：,,
两式相减可得，
∴.
∴选C.
【总结升华】解法一应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会每一种解法，灵活应用.
举一反三：
【变式】已知等比数列，, , 则（　）
A.75 　 　B.2880　　 C.　 　D.63
【答案】D
例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【解析】设等差数列首项为，公差为d，则
【总结升华】
1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。
2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键。
举一反三：
【变式1】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数。
【答案】设这三个数为、、，
由题知，解得，
又∵，，构成等差数列，
∴，即，
解得或，
∴这三个数为2，6，18或18，6，2。
【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式2】已知两个等比数列，，满足，，
，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值.
【答案】（1）或
（2）
例4．等差数列中，,，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【答案】7，49
【解析】设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,
∴有最大值.
又S3=S11,可得n==7，
∴S7为最大值，即S7=7×13+(-2)=49.
【总结升华】等差数列的前n项和公式是一个二次的函数，当时，函数有最大值。
举一反三：
【变式】若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}中满足3a5=8a12>0，试问n多大时，Sn取得最大值，证明你的结论.
【答案】∵3a5=8a12>0，∴3a5=8(a5+7d),解得a5=-d>0
∴d<0，∴a1=-d，
故{an}是首项为正的递减数列.
则有,即
解得：15≤n≤16，∴n=16，即a16>0，a17<0
即：a1>a2>…>a16>0>a17>a18>…
于是b1>b2>…>b14>0>b17>b18>……
而b15=a15·a16·a17<0 b16=a16·a17·a18>0
∴S14>S13>…>S1 ,S14>S15，S15又a15=-d>0，a18=d<0
∴a15<|a18|，∴|b15|0
∴S16>S14，故Sn中S16最大
例5．设Sn、Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，满足，求.
【思路点拨】
用好等差数列中Sn 与an的一个关系： S2n+1=(2n+1) an是解好本题的一个关键
【答案】
【解析】
方法一：
方法二：设(k≠0)，
∴a11=S11-S10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k
b11=T11-T10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k
∴.
【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n项和与通项公式的联系.
举一反三：
【变式】等差数列{an}中，Sn=50，，，求项n.
【答案】，
，
由（1）+（2）得:，
.
类型三：与的关系式的综合运用
例6. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
【思路点拨】
已知的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为的递推关系式
【解析】∵， ①
∴，解之得a1=2或a1=3.
又， ②
由①-②得，即
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=5(n≥2).
当a1=3时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列
∴a1≠3；
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，
∴a1=2，∴an=5n-3.
【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是，尤其注意首项与其他各项的关系.
举一反三：
【变式1】已知数列{an}的前n项和公式分别为（1）Sn=n2-2n+2.（2）Sn=分别求它们的通项公式.
【答案】
(1)当n=1时, a1=S1=1；
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(n2-2n+2)-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3,
又n=1时，2n-3≠a1,
∴
（2）当n=1时, a1=S1=；
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=[()n-1]-[()n-1-1]=×()n-1,
又n=1时, ()0==a1,
∴(n∈N).
【变式2】已知数列的前项和为，。
（1）求；
（2）求证：数列是等比数列。
【答案】
（1）由，得，
∴，
又，即，得。
（2）证明：当时，，
得，又，
所以为首项为，公比为的等比数列。
类型四：特殊数列的求和
例7. 求数列1，的前n项和.
【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。
【解析】
（1）当时，
（2）当时，；
（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若为偶数，令（），则；
若为奇数，令（），则.
【总结升华】分类讨论和n的奇偶是本例化简的关键.
举一反三：
【变式1】求数列的前n项和。
【答案】
所以可以得到：。
【变式2】求和：
【答案】a=0或b=0时，
当a=b时，；
当ab时，
类型五：由递推关系求数列通项公式
例8．已知数列中，，，求.
【思路点拨】把整理成，得数列为等比数列。
【解析】
法一：设，解得
即原式化为
设，则数列为等比数列，且
∴
法二：∵ ①
②
由①－②得：
设，则数列为等比数列
∴
∴
∴
法三：，，，……，
，
∴
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.
举一反三：
【变式1】 数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
由已知知由叠加法
【变式2】在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.
【答案】，∴
∴
……
将以上各式叠加，得
∴
又n=1时，
∴
类型六：应用题
例9．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加.
(1) 设n个月内的总投入为an万元，总收入为bn万元，写出an，bn；
(2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈.
【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每月的投入和收入均构成等比数列。
【解析】 (1)由题意，得.
.
(2)由题意，令an∴.
设，则，即2t2－7t＋5>0.
∵t>1，∴解得t>，即.
取n＝4，则；
取n＝5，则
∴第5月开始扭亏为盈．
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.
举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.
（1）写出的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.
【答案】
（1）依题意，第一年森林木材存量为，
1年后该地区森林木材存量为：，
2年后该地区森林木材存量为：，
3年后该地区森林木材存量为：，
4年后该地区森林木材存量为：，
… …
年后该地区森林木材存量为：
（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，
即 ，
解得，即，
∴，
∴.
答：经过8年该地区就开始水土流失.
数列的通项
通项公式
等差中项
前n项和公式
等差数列
性质
通项公式
等比中项
前n项和公式
等比数列
性质
数列
数列前n项和
数列的递推公式
应
用【巩固练习】
一、选择题
1.已知数列的通项公式为，则该数列的首项和第四项分别为
A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,1
2.一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)
第1行 1
第2行 2　3
第3行 4　5　6　7
… …
则第9行中的第4个数是(　　)
A．132 　　　　 B．255 C．259 D．260
3.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
4.在等差数列{an}中，am=n，an=m(m，n∈N*)，则am+n= ( )
A．mn B.m－n C.m+n D.0
5．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．81
C．36 D．27
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
7．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋2an＋2}是公差为________的等差数列．
8．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________．
9．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________.
10．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3 ，4成等比数列，则的值为________．
三、解答题
11.在等比数列{an}中，已知，求.
12.求等差数列5，8，11，……，302与等差数列3，7，11，…299中所有公共项的项数.
13.对数列{n}加括号如下：（1），（2，3），（4，5，6），…….判断：100是第几个括号中的第几项？
14.已知数列{an}满足，求an和Sn.
15.求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和。
16.设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】，
2.【答案】C
【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列．前8行数的个数共有＝255(个)，故第9行中的第4个数是259.
3.【答案】　C
【解析】　∵S偶－S奇＝5d，
∴5d＝15，∴d＝3.
4.【答案】D．
【解析】由am=n，an=m，得，am+n=am+nd=n－n=0．
5.【答案】　D
【解析】　 即
∴.
6.【答案】　
【解析】　由3an＋1－an＝0得，∴
7.【答案】　3d
【解析】　(an＋1＋2an＋3)－(an＋2an＋2)＝(an＋1－an)＋2(an＋3－an＋2)＝d＋2d＝3d.
8.【答案】　9
【解析】　S4＝1，S8－S4＝3，
而S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16成等差数列．
即1,3,5,7,9成等差数列．
∴a17＋a18＋a19＋a20
＝S20－S16＝9.
9.【答案】　11
【解析】　设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.
又，
∴，
∴.故填11.
10.【答案】
【解析】　∵a1＋a2＝1＋4＝5，
b22＝1×4＝4，且b2与1,4同号，
∴b2＝2，∴.
11.【答案】
【解析】
方法一：由已知得：
当时，或q=2，
；
.
当q=±1时不合题意，舍去。
方法二：由，
12．【解析】
{an}中，a1=5，d=3，an=5+(n-1)×3=3n+2，a100=302，
数列{bn}中，b1=3，d=4，bm=3+(m-1)×4=4m-1，b75=299.
∴，则m为3的整倍数，
且所有公共项构成一个新的等差数列{cn}，其中c1 =11，公差为12，
∴，299为最后一项，
则有：299=12n-1，∴共有n=25项.
13．【解析】
，
又n=14，，n=13共91项.
所以100是第14个括号中的第9项.
类似问题：……的第100项是多少？
14．【解析】
当n=1时，，
当时，
，
或 .
15．【解析】
其和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋1-3-n)
16．【解析】
（1）a=0时，Sn=0
（2）a≠0时，
若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=
若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），【巩固练习】
一、选择题
1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝＝12，则c的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．8
C．4或8 D．无解
2．在△ABC中，下列关系式
①asin B＝bsin A　②a＝bcos C＋ccos B　③a2＋b2－c2＝2abcos C
④b＝csin A＋asin C
一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2A. B.
C. D.
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝，且∠A＝75°，则b＝(　　)
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.
5. △ABC的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
A． B． C． D.
6. 锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(，) D．(，2)
7．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为(　　)
A. B．
C． D.
二、填空题
8. 已知锐角三角形三边长分别为3,4，a，则a的取值范围为________．
9. 在△ABC中，A，B，C是三个内角，C＝30°，则sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________．
10. 在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝_______________.
11. 若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ．
三、解答题
12．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A
＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，求A的大小．
13. 在△ABC中，已知sin C＝，试判断三角形的形状．
14．在△ABC中，已知c＝，b＝1，B＝30°.
(1)求角A；
(2)求△ABC的面积．
15. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【答案与解析】
1. 答案：　C
解析：　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
2. 答案：　C
解析：　由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．
3. 答案：　B
解析：　根据余弦定理：，∴A为锐角．
∵在不等边三角形中，a是最大边，∴A是最大角，
∴△ABC为锐角三角形，∴4. 答案：　A
解析：　△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，
∴
=4
∴b＝2.
5. 答案：　B
解析：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。
6. 答案：　C
解析：∵，
又∵△ABC是锐角三角形，∴，
∴30°7. 答案：　C
解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，
根据余弦定理得，
＝＝－.
8. 答案：
解析：　由锐角三角形及余弦定理知：

9. 答案：
解析：　sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C＝(a2＋b2－2abcos C)
＝＝sin2C＝.
10. 答案：
解析：　根据三角形面积公式得，
S＝absin C＝(a2＋b2－c2)
∴sin C＝.
又由余弦定理：cos C＝，
∴sin C＝cos C，∴C＝.
11. 答案：
解析：由可得
12.解析：　由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c
即a2＝b2＋c2＋bc
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴cos A＝－
∵A∈(0，π)，∴A＝120°.
13. 解析：　∵sin C＝，
由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b，
再由余弦定理得，
c·＋c·＝a＋b，
∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0，
∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，
故三角形为直角三角形.
14. 解析：　(1)由得
sin C＝sin B＝×sin 30°＝.
∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或C＝120°.
∴A＝90°或A＝30°.
(2)S△ABC＝bcsin A
＝×1×sin 90°＝.
或S△ABC＝bcsin A＝×1××sin 30°＝.
即△ABC的面积为或.
15. 解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，，所以cosA＝，则
（2），则bc＝3。
将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得
解得b＝不等关系与不等式
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.
2．会用差值法比较两实数的大小；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。
　　要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
　　(1) 对称性：
　　(2) 传递性：
　　(3) 可加性： (c∈R)
　　(4) 可乘性：a>b，
　　运算性质有：
　 (1) 可加法则：
(2) 可乘法则：
(3) 可乘方性：
(4) 可开方性：
要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③。
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论。
要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：
总费用不超过8000元
总面积不超过；
大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有：
即
此即为所求满足题意的不等式组
【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
举一反三：
【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
类型二：不等式性质的应用
例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则ac（２）若ac2>bc2，则a>b;
（３）若aab>b2;
（４）若a|b|;
（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．
【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】
（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。
（３）因为，所以a2>ab ①
又，所以ab>b2 ②
综合①②得a2>ab>b2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为 ，所以
所以 ，从而ab<0
又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形.
举一反三：
【高清课堂：不等关系与不等式387156 题型二 不等式的性质】
【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；
(2) ；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立
的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C；
【变式2】若aA.均不成立
B.
C.
D.
【答案】B；
【解析】特殊值法：取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.
例3．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？
　　【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
平均速度，
　 　∵ ，
∴
　 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。
【总结升华】 本例利用了做差比较大小的方法，注意符号的判断方法.
　　举一反三：
【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.
【答案】甲车先到达B地；
【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，
则
所以，甲车先到达B地。
类型三：作差比较大小
【高清课堂：不等关系与不等式 387156 题型一 比较大小】
例4. 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。
【解析】∵
=，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【总结升华】
用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
第三步：得出结论。
举一反三：
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时， .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）与；（2）与.
【答案】
（1）
（2）
，
∴.
例5.已知(), 试比较和的大小。
【解析】，
∵即，
∴当时，；
当时，.
【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论
举一反三：
【变式】已知，比较的大小
【答案】
类型四：作商比较大小
例6．已知：、, 且,比较的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.
【解析】 ∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；
(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立。
综上，总成立。
【总结升华】
1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知为互不相等的正数，求证：
【答案】为不等正数，不失一般性，设
这时，，则有：
由指数函数的性质可知：
，即.正弦、余弦定理在三角形中的应用
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；
2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.
【要点梳理】
要点一、正弦定理和余弦定理的概念
①正弦定理公式：
（其中R表示三角形的外接圆半径）
②余弦定理公式：
第一形式：
第二形式：
要点二、三角形的面积公式
① ；
②；
要点三、利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解 一解
两解 无解
②若A为直角或钝角时：
要点四、三角形的形状的判定
特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
要点五、解三角形时的常用结论
在中，，
（1）在中
（2）互补关系：，
，
；
（3）互余关系：，
，
.
【典型例题】
类型一：利用正、余弦定理解三角形
例1. 在中，已知下列条件，解三角形.
（1）, , ；
（2），，.
【思路点拨】
（1）题中利用正弦定理先求，再求和；
（2）题中利用余弦定理求；求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理。
【解析】
（1）∵，
法一：∵，∴，即，
∴，，.
法二：∵， ∴或，
①当时，，；
②当时，（舍去）.
（2）∵
∴
法一：∵
∴，
法二：∵
又∵，即
∴，有，
∴，.
【总结升华】
①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；
②解三角形时，要留意三角形内角和为180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。
举一反三：
【变式1】 △ABC中，已知c=1，b=，∠B=45°，求∠C和a.
【答案】∵，(舍)
或由正弦定理得：.
【变式2】在中, 求角；
【答案】.
【变式3】在中，若，，，求角和．
【答案】根据余弦定理：，
∵，
∴，。
例2、△ABC中，，求c的值.
【思路点拨】
结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑。
【解析】
解法一：利用正弦定理
由
∴C=90°或C=30°，
解法二：利用余弦定理列方程
即得到关于c的一元二次方程，解方程得到c=2或c=1.
【总结升华】
（1）对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解.此外，有的时候还要对边角关系(例如，大边对大角)进行讨论从而舍掉不合理的解.
（2）解题后可进行比较，可以看出思路2用余弦定理要简单得多，在解题过程中尽量采用简单方法.
举一反三：
【变式】△ABC中，A=45°，a=2，求b和B，C.
【答案】
解法一 ：正弦定理
由
若C=60°，则B=75°，
若C=120°，则B=15°，
解法二：余弦定理
若
若
解法三：正余弦定理
若
∵b>c>a，所以B>C>A，所以B=75°，C=60°；
若
∵c>a>b，所以C>A>B，所以B=15°，C=120°.
类型二：正、余弦定理的综合应用
例3．已知△ABC中，a=6，b=8，c=9，试判断此三角形的形状。
【思路点拨】
已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号。
【解析】因为a又
所以三角形是锐角三角形.
【总结升华】
余弦定理用于判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
举一反三：
【变式】判断下列三角形的形状：
(1)a=6，b=8，c=10；(2) a=6，b=8，c=11
【答案】
(1)因为a2+b2=62+82=100=102=c2，所以三角形为直角三角形.
(2)因为a又，
所以三角形是钝角三角形.
例4．已知△ABC 中，试判断△ABC的形状.
【思路点拨】
题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
【解析】
方法一：用余弦定理化角为边的关系
由得，
整理得，
即，
当时，为等腰三角形；
当即时，则为直角三角形；
综上：为等腰或直角三角形。
方法二：用正弦定理化边为角的关系
由正弦定理得：
即，
∵，
∴
即
∵
∴或，即或
故为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】
（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。
（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。
（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。
（5），不要丢解。
举一反三：
【变式1】根据下列条件，试判断△ABC的形状.
（1）bcosA=acosB；（2）a=2bcosC
【答案】
（1）解法一：正弦定理
由bcosA=acosB得2RsinBcosA=2RsinAcosB，
即sin(B-A)=0，于是B=A，
∴△ABC为等腰三角形.
解法二：余弦定理
由bcosA=acosB得，即a2=b2，
所以a=b，△ABC为等腰三角形.
（2）解法一：正弦定理
由a=2bcosC得2RsinA=4RsinBcosC，有sin(B+C)=2sinBcosC，得出sin(B-C)=0，
即B=C，△ABC为等腰三角形；
解法二：余弦定理
由a=2bcosC得，得b2=c2，
即b=c，△ABC等腰三角形.
【变式2】在△ABC中，根据下列条件决定三角形形状.
(1)；(2).
【答案】
(1)由
，
则该三角形为直角三角形；
(2)∵,
∴，
由正弦定理得：,
∵中，, ,
∴,即，
∴或,即：或，
∴是等腰三角形或直角三角形.
例5．锐角 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边。
若求的大小
取最大值时，求的大小
【思路点拨】在（1）中，将所给边的关系式化简变形后，根据结构形式可判断出应该用余弦定理。
【解析】（1）∵， ∴，
故由余弦定理得
∵A是锐角三角形的内角，所以
∴
（2）=
当且仅当时取等号
∴
【总结升华】
对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题
举一反三：
【变式】在中，三内角满足的方程
有两个相等的根。
求证：角B不大于
当角B取最大值时，判断的形状
【答案】
（1）由韦达定理得即，
由正弦定理，有2b=a+c
由余弦定理得
∴
（2）当角B取最大值时，，且a=c，易知为正三角形解三角形应用举例
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点诠释：
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比 ( http: / / baike. / view / 1001859.htm" \t "_blank )，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点的方位角是。
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；
如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.
东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：距离问题
例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是42m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离.
【思路点拨】
这是一道关于研究两个不可到达的点之间的距离测量问题。题目条件告诉了边CD的长以及以C、D为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理和正弦定理很容易算出AC、AD、BC或BD；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
【解析】
根据正弦定理，得，
∴
答:A、B两点间的距离为.
【总结升华】
1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
举一反三：
【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.
【答案】在△ABC中，CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，
由余弦定理得
∴
∴
答：隧道长约为409.2m.
类型二：高度问题
【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】
例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。
【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在
.由正弦定理，得
∴
在中，
∴
在中，∴（米）
故所求塔高为米
【总结升华】 注意仰角的概念。
举一反三：
【变式1】如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角，在塔底C处测得A处的俯角，已知铁塔的BC部分的高为,求山高CD.
【答案】∵，，∴，
假设，则，
∵， ∴，解得.
【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
【答案】
方法一：用正弦定理求解
由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =，
因为sin4=2sin2cos2，∴,得
∴在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角，建筑物高度为15m。
方法二：设方程来求解
设DE= x，AE=h
在RtACE中,(10+ x) + h=30
在RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
∴在RtACE中,tan2==
∴
答：所求角，建筑物高度为15m。
方法三：用倍角公式求解
设建筑物高为AE=8，
由题意，得BAC=，CAD=2，
AC=BC=30m ,AD=CD=10m
在RtACE中，sin2= -------- ①
在RtADE中，sin4=--------- ②
②① 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角，建筑物高度为15m。
类型三：角度问题
例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
【思路点拨】
（1）要弄清方位角的概念，
（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来。
【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点
此时,甲、乙两船相距最近
【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.
举一反三：
【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为 ；
【答案】；
如图，，，。
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】
【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船 并求出所需要的时间.
【解析】设缉私船追上走私船需，则，.
由余弦定理，得
，
由正弦定理，得，
∴，而，
∴
∴，.
∴，即，∴
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
C
D
B
A
B
A数列的求和问题
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式；
3．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.
【要点梳理】
要点一、数列的前n项和S n的相关公式
任意数列的第项与前项和之间的关系式：
等差数列的前项和公式：
（为常数）
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.
等比数列的前项和公式：
当时，，，
当时，或
要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意的情况.
要点二、求数列的前项和的几种常用方法
公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；
倒序相加法：
等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；.
分解求和与并项求和法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
错位相减法：
如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.
要点三、掌握一些常见数列的前n项和公式
1. ；
2.
3. ；
要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.
【典型例题】
类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式
例1．设数列的通项为则=
【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。
【答案】153
【解析】由得取则
.
【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看的符号.
举一反三：
【变式】已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且则数列的前5项和为
【答案】
【解析】由题意知，显然
∵
∴
∴
∴
类型二：错位相减法
例2．设，求数列：,,,…, ,…的前项和.
【思路点拨】
原数列不是等差等比数列，但字母部分：,,,…,,…是等比数列，系数部分，，，…，，…是等差数列，对数列中任一项若除以，则与前项同类项，系数大1，若乘以，它与它的后项是关于的同类项，且系数小1，联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为1的时候）
【解析】
当时，
当时， …… ①
则 …… ②
由①-②可得：，
∴.
【总结升华】
1.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相乘形成的数列（也称为“差比数列”）都用错位相减的办法来求前n项之和.
2. 错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以q；
3. 在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错项相减法会不成立.
举一反三：
【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题3】
【变式1】求和（）.
【答案】
（1）当时，
（2）当时，
（3）当且时，
.
【变式2】求数列的前项和.
【答案】
∴
类型三：裂项相消法
例3．求数列的前n项的和.
【思路点拨】
观察数列特征：中每项都是个分数，相邻两项之间有公因式，考查每项可作哪些变化，变化之后再来看有无规律；或看邻项之间运算关系。∵，即每一项都可变为两个数的差，即
，，…，且每项拆裂出作差的两数，被减数恰是前项裂出的减数，它的减数呢又是它后项裂出的被减数，正好可以消去.
【解析】
∵，
∴
【总结升华】
1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.
2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：
①；
②若为等差数列，公差为d，则；
③，.
举一反三：
【变式1】求数列，，，…，，…的前n项和.
【答案】∵
∴
【变式2】求和: （）
【答案】∵,
∴
类型四：分组转化法求和
【高清课堂：数列的求和问题381055典型例题1】
例4．已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
【解析】
（1） 解得
（2）
=
=
【总结升华】
1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.
2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.
举一反三：
【变式1】求和
【答案】
【变式2】已知数列中，，求前项和
【答案】∵，
∴
例5．已知数列的前项和，求，的值.
【思路点拨】
该数列的特征：，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：（为奇数），可以将相邻两项组合在一起。
【解析】
方法一：由
∴
方法二：由
∴当为奇数，时， ，
当为偶数，时， ，
∴，
【总结升华】
1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.
2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有更简洁的运算结果.
举一反三：
【变式】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.
【答案】
（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和，
所以.
（2）当为偶数即时，
.
当为奇数即时，.【巩固练习】
一、选择题
1．在下列各点中，不在不等式2x+3y＜5表示的平面区域内的点为（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（0，2） D．（2，0）
2．若点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是 ( )
A. a<-1或a>24 B. a=7或a=24 C. -73.不等式x－2y≥0表示的平面区域是(　　)
4．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是(　　)
A. B.
C．x2－y2≤0 D．x2－y2≥0
5．不等式组 表示的平面区域的面积等于( )
A．28 B．16 C． D．121
6.在平面直角坐标系中，若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)
A．－5 B．1
C．2 D．3
二、填空题
7. 如果点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为________．
8.在平面直角坐标系中，不等式组,表示的平面区域的面积是 .
9.已知M,N是，所围成的区域的两点，则的最大值是 .
10. 已知则的最小值是 .
三、解答题
11．画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的平面区域；
12.画出以下不等式组表示的平面区域：
13. △ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，求△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件.
14．已知D是以点A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部）。如图所示。
（1）写出表示区域D的不等式组；
（2）设点B（－1，－6），C（－3，2）在直线4x－3y－a=0的异侧，求a的取值范围。
15. 某运输公司有7辆重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，有9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 将选项中点的坐标代入不等式2x+3y＜5，能使不等式成立的只有C
2．【答案】C：
【解析】 因为点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧，令，则有，解得-73．【答案】　D
【解析】　取测试点(1,0)，排除A、C；由边界线x－2y＝0可排除B.故选D.
4．【解析】　在阴影部分内取测试点(－1,0)，x－y＝－1＜0，x＋y＝－1＜0，排除A、B、C；故选D.
5．【答案】B
【解析】
6. 【答案】　D
【解析】　不等式组所围成的区域如图所示．
∵其面积为2，∴|AC|＝4，
∴C的坐标为(1,4)，代入ax－y＋1＝0，
得a＝3.故选D.
7. 【答案】　4
【解析】　由题意知(6×5－8b＋1)·(3×5－4b＋5)＜0，
解得，
∵b为整数，∴b＝4.
8.【答案】4
【解析】不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示，
则三角形的面积是.
9.【答案】
【解析】不等式表示的平面区域，如图所示，
观察图可得|MN|的最大值是
10.【答案】5
【解析】画出所表示的平面区域，由解得，
A（1，2），而表示阴影部分的点到原点的距离的平方，可求A到原点的距离为.
∴的最小值为5.
11.【解析】设F(x，y)＝2y－5x－10，
作出直线2y－5x－10＝0，
∵F(0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0，
∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．
12.【解析】如图所示．不等式①表示直线x＋y－1＝0的右上方(包括直线)的平面区域；
不等式②表示直线x－y＝0右下方(包括直线)的平面区域；
不等式③表示直线x＝2左方(包括直线)的平面区域．
所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．
13. 【答案】　
【解析】　分别求三边的直线方程，易得y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式为：
y＞0,2x－y＋4＞0,2x＋y－4＜0.
14．【解析】
（1）直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0
原点（0，0）在区域D内，表示区域D的不等式组：
（2）将B、C的坐标代入4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0，
得a的取值范围是－18＜a＜14.
15.
【解析】　设每天出动A型车辆，B型车辆，则
即
第8题图
x
x
o
B
A(5,1)
o
x
y
第9题图
y
x
o【巩固练习】
一、选择题：
1．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝(　　)
A．105°　　　　　　　　　　　 B．60°
C．15° D．105°或15°
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
4．若＝＝，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
5．判断下列说法，其中正确的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
二、填空题：
6．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
7. 在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
8. 在△ABC中，a:b:c=3:3:5，则 的值是 .
9.在中，已知，，则的形状是 .
三、解答题
10、在中，已知,，解此三角形。
11.在△ABC中，已知，，B=45.求A、C及c.
12．在中，若，，，求.
13. 在中，求B及C.
14．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，求边b的值．
15．在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状
【答案与解析】
1. 答案D
解析：　由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a∴B＝180°－(A＋C)，∴B＝105°或15°.故选D.
2. 答案：　C
解析：　由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.
3. 答案：　B
解析：　由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
4. 答案：　C
解析：　在△ABC中，由正弦定理：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入＝＝得：
＝＝，
∴＝＝1.
∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
5. 答案：　B
解析：　A中，由正弦定理得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin B＝＝<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sin B＝＝>1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin C＝＝<1，因为b6. 答案：　
解析：　在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
7. 答案：　{x|0解析：　sin A＝＝＝x，
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．
8. 答案：
解析：， 原式=
9. 答案：为等腰三角形
解析：由可得，所以，即或，又由及可知，所以为等腰三角形。
10. 解析：由正弦定理，即，解得，
由,，及可得，
又由正弦定理，即，解得
11.解析：
解法1：由正弦定理得：
∴∠A=60或120
当∠A=60时，∠C=75 ，；
当∠A=120时，∠C=15，.
解法2：设c=x，由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时，
从而∠A=60 ，∠C=75；
当时，同理可求得：∠A=120 ，∠C=15.
12.∵，
∴，
∵，∴或
∴当时，；
当时，，；
所以或．
13. 解析：由正弦定理得
∵且
∴B有两解，得或
∴或
14. 解析：　由正弦定理＝得b＝＝
＝2.
15.解析：　由正弦定理知＝＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.
又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．【巩固练习】
一、选择题
1.某工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为（　　）
Ａ． B. C.p D.12p
2.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且…… ，
则……等于（ ）
Ａ． B. C. D.
3．已知函数，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100 C．－100 D．10200
4．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)
A. B.
C. D.
5．数列{an}中，，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)
A．－10 B．－9
C．10 D．9
二、填空题
6．已知函数f(x)＝log2x，若数列{an}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
7．已知函数f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上，，Tn是数列{bn}的前n项和，则使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于________．
8.求等比数列，，，…的前6项和 .
9. 已知数列中，求前项和= .
10．求数列，，…，，…的前项和= .
三、解答题
11. 求数列，，，…，，…的前项和.
12.已知数列，，，…，，求此数列前项和.
13．求的和.
14. 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
15.等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】设年增长率为，基数为，则
∴
2.【答案】A
【解析】将数列的前30项分成三组，设
则，可求，即.
3. 【答案】B
【解析】由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
4. 【答案】D
【解析】∵，∴，
，∴是首项为，
公差为的等差数列，∴，∴.
5. 【答案】B
【解析】数列{an}的前n项和为
，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0，所以其在y轴上的截距为－9.
6. 【答案】
【解析】设等差数列的公差为d，则由题意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，…，从而a1＝24，a2＝26，a3＝28，….易知数列{an}是等比数列，其公比，所以．
7.【答案】10
【解析】由Sn＝3n2－2n，得an＝6n－5，
又∵，
∴，
要使对所有n∈N*成立，
只需，∴m≥10，故符合条件的正整数m＝10.
8.【答案】
【解析】 ∵，，，∴
9. 【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】
11. 【解析】∵，
∴，
故.
12. 【解析】， ①
当时，
当时，.
当且时， ②
由①-②得：
∴.
13．【解析】
当n为奇数时，
当n为偶数时，
.
14．【解析】
(1)由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n-1＋22n-3＋…＋2)＋2＝22(n+1)-1，
而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n-1.
(2)由bn＝nan＝n·22n-1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n-1 ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n+1 ②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n-1－n·22n+1.
即Sn＝[(3n－1)22n+1＋2]．
15. 【解析】
（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以.
由条件可知,故.由得，所以.
故数列的通项式为=.
（Ⅱ ）
.
故,
.
所以数列的前n项和为.数列的求和问题
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式；
3．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.
【要点梳理】
要点一、数列的前n项和S n的相关公式
任意数列的第项与前项和之间的关系式：
等差数列的前项和公式：
（为常数）
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.
等比数列的前项和公式：
当时，，，
当时，或
要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意的情况.
要点二、求数列的前项和的几种常用方法
公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；
倒序相加法：
等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；.
分解求和与并项求和法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
错位相减法：
如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.
要点三、掌握一些常见数列的前n项和公式
1. ；
2.
3. ；
要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.
【典型例题】
类型一：公式法
例1设数列的通项为则=
【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。
【答案】
【解析】由得取
则
.
【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看的符号
举一反三：
【变式】已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且则数列的前5项和为
【答案】
【解析】由题意知，显然
∵
∴
∴
∴
类型二：倒序相加法求和
例2．求和：.
【思路点拨】
由于该数列的通项是，因此可用倒序相加法求和.由于该数列的通项是，求和时逆用对数运算法则.
【解析】
法一：
①
则 ②
∴①+②有：
∴
法二：
.
【总结升华】倒序相加是等差数列前n项和公式推导的方法，在一些特殊数列中也有一些应用.
举一反三：
【变式】求和.
【答案】
∴
∴
∴
类型三：错位相减法
例3求和（）.
【思路点拨】
原数列不是等差等比数列，但字母部分：x,x2,x3,…,xn,…是等比数列，系数部分，，，…，，…是等差数列，对数列中任一项若除以x，则与前项同类项，系数大1，若乘以x，它与它的后项是关于x的同类项，且系数小1，联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为1的时候）
【解析】
（1）当时，
（2）当时，
（3）当且时，
①
②，
①-②得，
∴.
【总结升华】
1.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相乘形成的数列（也称为“差比数列”）都用错项相减的办法来求前n项之和.
2. 错项相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以q；
3. 在使用错项相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错项相减法会不成立.
举一反三：
【变式1】求数列的前项和.
【答案】
∴
【变式2】求
【答案】
方法一：
方法二：设 ①
则 ②
由①-②可得：，
∴.
类型四：裂项相消法
【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题2】
【解析】（1）∴
∴
∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)∵
∴
=
【总结升华】
1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.
2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：
①；
②若为等差数列，公差为d，则；
③，.
举一反三：
【变式1】求数列，，，…，，…的前n项和.
【答案】∵
∴
【变式2】求和:
【答案】∵,
∴
【变式3】求数列，，，…，的前n项的和.
【答案】∵，
∴
　　 .
类型五：分组转化法求和
【高清课堂：数列的求和问题381055典型例题1】
例5．已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
【解析】
（1） 解得
（2）
=
=
【总结升华】
1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.
2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.
举一反三：
【变式1】求和.
【答案】(1+2+3+…+n)+
=
【变式2】求和.
【答案】
当x=±1时，Sn=4n；
当x≠±1时，
=
=
例6．已知数列的前项和，求，的值.
【思路点拨】
该数列的特征：，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：（为奇数），可以将相邻两项组合在一起。
【解析】
方法一：由
∴
方法二：由
∴当为奇数，时， ，
当为偶数，时， ，
∴，
【总结升华】
1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.
2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结果.
举一反三：
【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.
【答案】
（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和，
所以.
（2）当为偶数即时，.
当为奇数即时，.
【变式2】等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）==
=,
所以
=+基本不等式
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.
【要点梳理】
要点一、基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
要点二、基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
要点三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
要点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点四、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
要点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b取等号，其含义是；
仅当a=b取等号，其含义是.
综合上述两条，a=b是的充要条件.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【典型例题】
类型一：对公式及的理解
例1.下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，
B．当x>0时，
C．当x≥2时，的最小值为2
D．当0【思路点拨】
利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。
【答案】　B
【解析】　A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，
∴或；
C中，当x≥2时，；
D中，当0【总结升华】
在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.
举一反三：
【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.
（1）的最小值为；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【答案】（1）；（2）
（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【变式2】给出下面四个推导过程：
① ∵，∴；
② ∵，∴；
③ ∵，，∴ ；
④ ∵，，∴.
其中正确的推导为（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【答案】D
【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.
②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.
③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.
④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.
类型二：利用基本不等式证明不等式
例2.已知，求证:
【思路点拨】
对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
【解析】
（当且仅当即,等号成立）.
【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.
举一反三：
【变式】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数 ，∴，，
∴（当且仅当即时,等号成立）
故.
例3. 已知、、都是正数，求证：
【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
【总结升华】
1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
举一反三：
【高清课堂：基本不等式392186 例题3】
【变式】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.
【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴，
，
.
∴.
类型三：利用基本不等式求最值
例4. 若,求的最小值.
【解析】因为，由基本不等式得
（当且仅当即时，取等号）
故当时, 取最小值.
【总结升华】
1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；
2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.
举一反三：
【变式1】若,求的最大值.
【答案】因为,所以, 由基本不等式得:
,
（当且仅当即时, 取等号）
故当时,取得最大值.
【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】∵，∴，∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，的值最小为18.
例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.
【思路点拨】
要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.
【解析】
方法一：∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
方法二：由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求.
举一反三：
【变式1】若,,且,求的最小值 .
【答案】∵,，
∴
（当且仅当即，时，等号成立）
∴（当且仅当，时，等号成立）
故当，时，的最小值为64.
【高清课堂：基本不等式392186 例题1】
【变式2】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；
【答案】
类型四：利用基本不等式解应用题
例6. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元).
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
【思路点拨】
对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。
【解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为m，
则
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
(Ⅱ)
.当且仅当225x=时，等号成立.
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
【总结升华】
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
举一反三：
【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？
【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元，
则（当且仅当x=8时取“=”）
此时每人最少交80元.
【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省
【解析】由题意可得，
∴.
于是，框架用料长度为
.
当，即时等号成立.
此时，，.
故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.【巩固练习】
一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=
A．1 B.2 C.—1 D.
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
4．若＝＝，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
5.在中，已知，那么一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
6．判断下列说法，其中正确的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
二、填空题
7．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
8. 在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
三、解答题
9. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
10.在△ABC中，已知，，B=45.求A、C及c.
11．在中，若，，，求.
12. 在中，求B及C.
13．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，求边b的值．
14．如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
15. 如图在△ABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，
求证：
【答案与解析】
1. 答案: B
解析：　由正弦定理得sinB＝，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B
2. 答案：　C
解析：　由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.
3. 答案：　B
解析：　由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
4. 答案：　C
解析：　在△ABC中，由正弦定理：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入＝＝得：
＝＝，
∴＝＝1.
∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
5. 答案：　B
解析：　由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选B．
6. 答案：　B
解析：　A中，由正弦定理得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin B＝＝<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sin B＝＝>1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin C＝＝<1，因为b7. 答案：　
解析：　在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
8. 答案：　{x|0解析：　sin A＝＝＝x，
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．
9. 答案：
解析：由已知可得。由正弦定理，得
。.
10.解析：
解法1：由正弦定理得：
∴∠A=60或120
当∠A=60时，∠C=75 ，；
当∠A=120时，∠C=15，.
解法2：设c=x，由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时，
从而∠A=60 ，∠C=75；
当时，同理可求得：∠A=120 ，∠C=15.
11.解析：∵，
∴，
∵，∴或
∴当时，；
当时，，；
所以或．
12. 解析：由正弦定理得
∵且
∴B有两解，得或
∴或
13. 解析：　由正弦定理＝得b＝＝
＝2.
14.解析：(1)．如图，，
　　即．
（2）．在中，由正弦定理得
　　　　由(1)得，
　　　　即．
　　　　
15.解析：证明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得
EMBED Equation.DSMT4 ，
故
B
D
C
α
β
A
图数列的求和问题
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2．掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式；
3．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.
【要点梳理】
要点一、数列的前n项和S n的相关公式
任意数列的第项与前项和之间的关系式：
等差数列的前项和公式：
（为常数）
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.
等比数列的前项和公式：
当时，，，
当时，或
要点诠释：等比数列的求和中若q的范围不确定，要特别注意的情况.
要点二、求数列的前项和的几种常用方法
公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；
倒序相加法：
等差数列前n项和的推导方法，即将倒写 后再与相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.例如对通项公式为的数列求和.
常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则.
④；.
分解求和与并项求和法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为an=2n+3n的数列求和.
错位相减法：
如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法会不成立.
要点三、掌握一些常见数列的前n项和公式
1. ；
2.
3. ；
要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.
【典型例题】
类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式
例1．设数列的通项为则=
【思路点拨】对含绝对值的式子，首先去绝对值号，再考虑分组为等差或等比之和。
【答案】153
【解析】由得取则
.
【总结升华】要求几个含有绝对值的式子的和，关键是要去掉绝对值符号，去绝对值符号的方法一般是用分类讨论的思想方法，所以此题的关键是要看的符号.
举一反三：
【变式】已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且则数列的前5项和为
【答案】
【解析】由题意知，显然
∵
∴
∴
∴
类型二：错位相减法
例2．设，求数列：,,,…, ,…的前项和.
【思路点拨】
原数列不是等差等比数列，但字母部分：,,,…,,…是等比数列，系数部分，，，…，，…是等差数列，对数列中任一项若除以，则与前项同类项，系数大1，若乘以，它与它的后项是关于的同类项，且系数小1，联系等比数列求和方法，错项相减法（注意当等比数列公比不为1的时候）
【解析】
当时，
当时， …… ①
则 …… ②
由①-②可得：，
∴.
【总结升华】
1.一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相乘形成的数列（也称为“差比数列”）都用错位相减的办法来求前n项之和.
2. 错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法，一般都选择乘以q；
3. 在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错项相减法会不成立.
举一反三：
【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题3】
【变式1】求和（）.
【答案】
（1）当时，
（2）当时，
（3）当且时，
.
【变式2】求数列的前项和.
【答案】
∴
类型三：裂项相消法
例3．求数列的前n项的和.
【思路点拨】
观察数列特征：中每项都是个分数，相邻两项之间有公因式，考查每项可作哪些变化，变化之后再来看有无规律；或看邻项之间运算关系。∵，即每一项都可变为两个数的差，即
，，…，且每项拆裂出作差的两数，被减数恰是前项裂出的减数，它的减数呢又是它后项裂出的被减数，正好可以消去.
【解析】
∵，
∴
【总结升华】
1. 本题所用的方法叫做裂项相消法，就是将数列的每一项“一拆为二”，即每一项拆成两项之差，以达到隔项相消之目的.一般地，对于裂项后有明显相消项的一类数列，在求和时常用此法，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.
2. 在学习中也应积累一些常见的拆项公式，如：
①；
②若为等差数列，公差为d，则；
③，.
举一反三：
【变式1】求数列，，，…，，…的前n项和.
【答案】∵
∴
【变式2】求和: （）
【答案】∵,
∴
类型四：分组转化法求和
【高清课堂：数列的求和问题381055典型例题1】
例4．已知数列的首项，通项（，是常数），且成等差数列.
（1）求的值；
（2）求数列的前n项和.
【解析】
（1） 解得
（2）
=
=
【总结升华】
1.一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.
2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.
举一反三：
【变式1】求和
【答案】
【变式2】已知数列中，，求前项和
【答案】∵，
∴
例5．已知数列的前项和，求，的值.
【思路点拨】
该数列的特征：，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：（为奇数），可以将相邻两项组合在一起。
【解析】
方法一：由
∴
方法二：由
∴当为奇数，时， ，
当为偶数，时， ，
∴，
【总结升华】
1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.
2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有更简洁的运算结果.
举一反三：
【变式】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.
【答案】
（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和，
所以.
（2）当为偶数即时，
.
当为奇数即时，.等差数列及其前n项和
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；
2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.
3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
【学习策略】
数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。
注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。
【要点梳理】
要点一、等差数列的定义
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。
要点诠释：
⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；
符号语言形式
对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。
要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。
等差中项
如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.
要点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.
②三个数,,成等差数列的充要条件是.
要点二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为，公差为的等差数列的通项公式为：
（）
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义可得：，
∴，
，
，
……
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。
（2）叠加法：
根据等差数列定义，有：
，
，
，
…
把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，
∴.
(3)迭代法：
∴.
要点诠释：
①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。
等差数列通项公式的推广
已知等差数列中，第项为，公差为，则：
证明：∵，
∴
∴
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。
要点三、等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
①若，且,则，
特别地，当时.
②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.
③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.
④仍是等差数列.
⑤数列（为非零常数）也是等差数列.
要点四、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和公式
公式一：
证明：倒序相加法
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
公式二：
证明：将代入可得：
要点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一。
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。
要点五、等差数列的前项和的有关性质
等差数列中，公差为，则
①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.
②若项数为2n，则，，
③若项数为2n-1，则，，，，
要点六、等差数列中的函数关系
等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)
等差数列中，，令,则：
（,是常数且为公差）
（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。
（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。
①当时，一次函数单调增，为递增数列；
②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。
等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由，令，，则：
（,为常数）
（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。
（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。
①当时有最小值
②当时，有最大值
要点诠释：
1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。
2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。
3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。
4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.
【典型例题】
类型一：等差数列的定义
例1. -401是不是等差数列……的项？如果是，是第几项？
【思路点拨】
要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.
【解析】 由 得
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：
成立
解得：即是这个数列的第100项.
【总结升华】
1.根据所给数列求得首项和公差，写出通项公式.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【答案】由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,
令,解得，所以－20不是这个数列的项.
【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和
【答案】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件，
又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，
∴.
例2.已知成等差数列，求证：也成等差数列.
证法一：∵成等差数列，∴即
∵
=
∴成等差数列.
证法二：∵成等差数列，∴成等差数列，
即成等差数列.
∴成等差数列.
【总结升华】 证明三个数成等差数列的方法为：证明，即成等差数列
举一反三：
【变式1】已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？
【答案】因为时，
所以数列是等差数列，且公差为3.
【变式2】已知数列中，，（），求证：是等差数列。
证明：∵，∴
∴，∴是公差为的等差数列。
类型二：等差数列通项公式的应用
例3．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。
【解析】
方法一：由通项公式得：，解得，
∴（,）,
∴,解得.
方法二：由等差数列性质，得,即，解得,
∴， ∴,解得.
方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，
∵点、、在同一条直线上，
∴ ，解得。
【总结升华】
1. 等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、、、、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；
2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.
举一反三：
【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.
【答案】由 解得；
【变式2】等差数列中, , , ,求的值.
【答案】即，
解得：或.
【变式3】已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
【答案】
方法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则，
即，解得或.
因为数列为单调递增数列，因此，从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
方法二：由于数列{an}为等差数列，因此可设前三项分别为a－d，a，a＋d，
于是可得，
即，解得或.
由于数列{an}为单调递增数列，因此，从而an＝4n－1.
类型三：活用等差数列的性质解题
例4. 已知等差数列中，若,,求的通项公式。
【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.
【解析】∵，∴即,
代入已知，有,解得或，
当,时，，∴；
当,时，, ∴.
【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.
举一反三：
【变式1】在等差数列中，，则=
【答案】9
【变式2】在等差数列中，，则=
【答案】10
【变式3】在等差数列中，若,, 则= , =
【答案】∵，，∴，
∴，∴.
类型四：前n项和公式及性质的运用
例5．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.
【思路点拨】
利用等差数列的前n项和公式求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（）等知识求解。
【解析】
方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。
由已知得，解得，
∴。
方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。
由已知得
由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.
方法三：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差数列”解题。
由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。
∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴ S3m=3(S2m-Sm)=210.
方法四：由的变形式解题，由上式知，
∴数列也成等差数列，即成等差数列，
∵ ，又Sm=30, S2m=100, ∴S3m=210.
方法五：∵{an}为等差数列， ∴设
∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 得，
∴S3m=9m2a+3mb=210.
【总结升华】方程是解决这类问题的重要方法，当然具体题目也要注意数列本身的一些性质，它往往更能起到事半功倍的效果.
举一反三：
【变式1】等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+a10=80, 则a11+a12+a13+a14+a15=___________.
【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a11+a12+a13+a14+a15=2×80-30=130.
【变式2】等差数列{an}中，Sm=Sn且m≠n, 则Sm+n=_________.
【答案】
方法一：数列{an}成等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（其中a，b为常数），
故有
(2)-(1)得a(m2-n2)+b(m-n)=0,
∵m≠n, ∴a(m+n)+b=0,
∴Sm+n=a(m+n)2+b(m+n)=(m+n)[a(m+n)+b]=0.
方法二:
从等差数列Sn=an2+bn去认识它是函数S(x)=ax2+bx图象上的点，
∵Sm=Sn,∴函数图象对称轴为，
故Sm+n=S(0)=a·02＋b·0=0.
【变式3】等差数列前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和.
【答案】
方法一：
由已知，得，解得，，
∴.
方法二：
等差数列中,,，…构成新的等差数列，
∴, ∴.
方法三：等差数列中，设,则
,解得，
∴.
例6．已知两等差数列、的前项和分别为、，且，试求.
【思路点拨】
利用前项和公式与性质解题，或利用解决，或利用等差数列前项和形式解题.
【解析】
方法一：∵，
∴ .
方法二：由得
方法三：由题设，令等差数列前项和, ，则
，，
∴.
【总结升华】依据等差数列的性质可以得到，当已知两等差数列、的前项和分别为、时，有，.
举一反三：
【变式1】等差数列中，若, 则=_________.
【答案】由，得.
【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .
【答案】.
【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】
例7．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。
【思路点拨】
本题设这三个数时，常规设法为, ，，但不如用对称设法设为, , 。
【解析】设这三个数分别为, , ，则
，解得,.
∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。
【总结升华】
1. 三个数成等差数列时，可设其分别为, , ；若四个数成等差数列，可设其分别为,,,.
举一反三：
【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。
【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8
类型五：等差数列前项和的最值问题
例8．已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？
【思路点拨】
要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。
【解析】
方法一：∵, ∴即,
∵， ∴，
又，
∵，∴ 当, 有最大值为.
方法二：要使最大，必须使且，
即
解得， ∵，
∴时，最大为.
【总结升华】
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
1. 利用:
当，时，前项和有最大值。可由，且，求得的值；
当，时，前项和有最小值。可由，且，求得的值.
利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值
举一反三：
【变式】设等差数列的前项和为, 已知,,.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.
【答案】
（1）依题意，有，即，
解得.
（2）法一:由，可知.
设存在自然数,使得就是，，…，中的最大值，只需,,
由，
故是，，…，中的最大值.
法二:
∵, ∴最小时，最大，
∵, ∴，
∴时，最小，
故是，，…，中的最大值.等比数列及其前n项和
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握等比数列的定义，理解等比中项的概念；掌握等比数列的通项公式及推导；
2.掌握等比数列的性质和前n项和公式及公式证明思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问题；
3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等比数列与指数函数的关系.
【要点梳理】
要点一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：.
要点诠释：
①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0；
②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；
③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；
④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列。不为0的常数列是公比为1的等比数列；
⑤证明一个数列为等比数列，其依据.利用这种形式来判定，就便于操作了.
要点二、等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项.其中。
要点诠释：
①只有当与同号即时，与才有等比中项，且与有两个互为相反数的等比中项. 当与异号或有一个为零即时，与没有等比中项。
②任意两个实数与都有等差中项，且当与确定时，等差中项唯一. 但任意两个实数与不一定有等比中项，且当与有等比中项时，等比中项不唯一。
③当时，、、成等比数列。
④是、、成等比数列的必要不充分条件。
要点三、等比数列的通项公式
等比数列的通项公式
首相为，公比为的等比数列的通项公式为：
推导过程：
（1）归纳法：
根据等比数列的定义可得：
∴；
；
；
……
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出：
（2）叠乘法：
根据等比数列的定义可得：
，
，
，
……
，
把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即
又a1也符合上式
∴.
(3)迭代法：
∴.
要点诠释：
①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了。
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。
等比数列的通项公式的推广
已知等比数列中，第项为，公比为，则：
证明：∵，
∴
∴
由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况。
要点四、等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式
推导过程：
（1）利用等比性质
由等比数列的定义，有
根据等比性质，有
∴当时，或.
（2）错位相减法
等比数列的前n项和，
①当时，，；
②当时，由得：
∴或.
即
要点诠释：
①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.
②在求等比数列前项和时，要注意区分和.
③当时，等比数列的两个求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
要点五、等比数列的性质
设等比数列的公比为
①若，且,则，
特别地，当时.
②下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列，公比为.
③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、(,是常数)、、也是等比数列；
④连续项和（不为零）仍是等比数列.即,,，…成等比数列.
要点六、等比数列中的函数关系
等比数列中，，若设,则：
（1）当时，，等比数列是非零常数列。它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点.
①当且时，等比数列是递增数列；
②当且时，等比数列是递减数列；
③当且时，等比数列是递减数列；
④当且时，等比数列是递增数列。
（3）当时，等比数列是摆动数列。
要点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.
【典型例题】
类型一：等比数列的定义与通项公式
例1．已知数列的首项为……，
证明：数列是等比数列.
【解析】由得，
∴又
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
【总结升华】证明一个数列为等比数列，要紧扣定义，这里是采用了转化与化归的策略.
举一反三：
【变式1】已知数列中
判断数列是等比数列，并说明理由
【答案】是等比数列
∵
∴，
∴数列是首项为2，公比为-2的等比数列
【高清课堂：等比数列及其前n项和 381054 典型例题例1】
【变式2】设是公比为的等比数列，，
令，
若数列有连续四项在集合中，
则
【答案】由题知有连续的四项在集合中，则必有-54，-24为相隔两项，
又∵
∴，
∴
类型二：等比数列的通项
例2．等比数列中，, ,求.
【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，使计算简捷。
【解析】
法一：设此数列公比为，则
由(2)得：..........(3)
∴.
由(1)得： , ∴ ......(4)
(3)÷(4)得：，
∴,解得或
当时，，；
当时，，.
法二：∵,又,
∴、为方程的两实数根，
∴ 或
∵, ∴或.
【总结升华】
①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。
【答案】64；
∵，又an＞0，∴a45=4
∴。
【变式2】已知等比数列，若，，求.
【答案】或；
类型二：等比数列的前n项和公式
例3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.
【思路点拨】使用等比数例的求和公式Sn时，应首先考虑分q=1 、q≠1两种情况。
【解析】若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.
因a1≠0，得S3+S6≠2S9，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.
由得，，
整理得q3(2q6-q3-1)=0，
由q≠0，得2q6-q3-1=0，从而(2q3+1)(q3-1)=0，
因q3≠1，故，所以
【总结升华】利用等比数列求和公式列出方程，通过解方程求出q是这类问题的常用方法.
举一反三：
【变式1】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.
【答案】；
∵，，则a1=1或a1=9
∴.
【变式2】在等比数列中，，，，求和。
【答案】或2，；
类型三：等比数列的性质
例4. 等比数列中，若,求.
【解析】
∵是等比数列，∴
∴
【总结升华】本例考查了两点，一是对数式的运算法则，一是等比数列的性质.
举一反三：
【变式1】若等比数列满足，则公比为
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
【答案】选B，因为等比数列满足， ①
所以 ②
② ①
得．又因为，所以
【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。
【答案】216；
法一：设这个等比数列为，其公比为，
∵，，∴，
∴。
法二：设这个等比数列为，公比为，则，，
加入的三项分别为，，，
由题意，，也成等比数列，∴，故，
∴。
类型四：等比数列前n项和公式的性质
例5．在等比数列中，已知，，求.
【思路点拨】
等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。
【解析】
法一：令b1=Sn=48, b2=S2n-Sn=60-48=12，b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2+……+an,
b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an)，
b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)
易知b1,b2,b3成等比数列，∴，
∴S3n=b3+S2n=3+60=63.
法二：∵，∴，
由已知得
②÷①得，即 ③
③代入①得，
∴.
法三：∵为等比数列，∴，，也成等比数列，
∴，
∴.
【总结升华】性质的应用有些时候会更方便快捷.
举一反三：
【变式1】等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.
【答案】17；
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×(1+24)=17
【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？
【答案】130；
【变式3】等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.
【答案】4；
令b1=a1+a2=a1(1+q)，b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知：b1, b2, b3成等比数列，∴b3===4,即a5+a6=4.
【变式4】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。
【答案】448；
∵{an}是等比数列，∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×8=448.
类型五：等差等比数列的综合应用
【高清课堂：等比数列及其前n项和381054 典型例题例2】
例6．已知是各项均为正数的等比数列，且，
，
【思路点拨】等比数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、q的问题，列出a1、q的方程组。
(1)求的通项公式.
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)由题中条件可得
解得：
∴数列的通项为
（2）由（1）知数列的通项为，
∴
∴
【总结升华】分清等差，等比的概念，选择适当的设法是解决这类问题的关键.
举一反三：
【变式1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
【答案】　
(1)依题意有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而.
(2)由已知可得，
故a1＝4，
从而Sn＝.
【变式2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足，且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
【答案】∵， ①
∴，解之得a1=2或a1=3.
又， ②
由①-②得，即
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=5(n≥2).
当a1=3时，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比数列
∴a1≠3；
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，
∴a1=2，∴an=5n-3.【巩固练习】
选择题
1．已知数列的通项公式：则a2·a3等于(　　)
A．70　　　　　　　　　　 B．28
C．20 D．8
2．已知an＝n2＋n，那么(　　)
A．0是数列中的项 B．20是数列中的项
C．3是数列中的项 D．930不是数列中的项
3．设数列，，，，…则是这个数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
4．数列－1，，，，…的一个通项公式是(　　)
A． B．
C． D．
5.，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
填空题
6.已知数列的前n项和Sn=3+2n, 则an=__________.
7.已知数列前n项和Sn=5n2-n, 则a6+a7+a8+a9+a10=_________.
8.已知数列中，, . 那么数列的前5项依次为_________.
9. 在数列中，0.08是它的第______项．
10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:
(1) , -,, -,……；
(2) , , , ,……;
(3) 5, 55, 555, 5555, ……;
(4) 3,5,3,5,…….
解答题
11．已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n， 求an.
12．已知数列{an}的通项公式为an=n2+n, 若数列{an}为递增数列，试求最小的整数.
13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) ()；
(2) ＝3, ＝3－2 ().
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
15. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n>2)．通过公式构造一个新数列{bn}，试写出数列{bn}的前5项，你能说出这个数列的特点吗？
. 8,16,32^【答案与解析】
1. 答案：　C
解析：　a2＝2×2－2＝2
a3＝3×3＋1＝10
a2·a3＝20.故选C.
2. 答案：　B
解析：　令n2＋n＝0，得n＝0或n＝－1，∵n N*，故A错．
令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，
∴a4＝20.故B正确．
令n2＋n＝3，即n2＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．
令n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a30＝930，故D错．
3. 答案：　B
解析：　该数列通项公式为.
令，得n＝7.
4. 答案：　A
解析：　分子为1、4、9、16、…、n2.分母为1、3、5、7、…、(2n－1)，又奇数项为负，偶数项为正，故选A.
5. 答案：　B
解析：　上单调递增
6.答案 ;解析：利用可求，另n=1时，∴　　
7.答案 ：370;
解析： a6+a7+a8+a9+a10=S 10- S 5,可求a6+a7+a8+a9+a10=370
8.答案 1, ,,,; 　　
解析：∵, .　∴，同理可求其它项.
9. 答案：　10
解析：　令，得2n2－25n＋50＝0，
即(2n－5)(n－10)＝0.
解得n＝10或n＝ (舍)．
∴a10＝0.08.
10．答案(1);　 (2);　
(3); 　(4) an=4+(-1)n
11．答案：
解析：
时，，所以
12．解析:依题意有:an+1-an>0, 即[(n+1)2+(n+1)]-(n2+n)>0.
解得 >-(2n+1), .
∵-(2n+1)( )的最大值为-3，
∴ 满足条件的最小整数=-2.
13．解析:
(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ；
(2),,,
,
∴.
14.解析：　
(1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列有两项是负数．
(2)方法一：∵，
可知对称轴方程为.
又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为
22－5×2＋4＝－2.
方法二：设第n项最小，
由
得
解这个不等式组得2≤n≤3，
∴n＝2,3，
∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
15. 解析：　数列{bn}是由数列{an}构造生成的，由a1，a2的值和递推公式先算出数列{an}的前6项，再根据公式算出数列{bn}的前5项．
∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n>2)，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝5，a5＝a4＋a3＝8，
a6＝a5＋a4＝13，
即数列{an}的前6项是1,2,3,5,8,13，
又，
∴数列{bn}的前5项是2，，，，.
数列{bn}的特点是：数列{bn}的前n项的乘积是an＋1.
这是因为b1·b2·b3·…··…··＝an＋1.
也可以是：前项的分子是后项的分母，前项分子与分母之和是后项的分子.【巩固练习】
选择题
1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
2．已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，,3，则该数列中第一次出现负值的项为(　　)
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
3.已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于(　　)
A．20　　　　　　　　　　 B．48
C．60 D．72
4. 等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是(　　)
A. B．
C． D．－1
5. 若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　　 B．13
C．14 D．15
6. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
8．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.
10.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足511. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
三、解答题
12.在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.
13．已知数列{an}是等差数列，令，求证：{bn}也是等差数列.
14．已知数列{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，.
(1)求公差d；
(2)若a1＝，求数列{bn}中的最大项和最小项；
(3)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围．
15．已知数列{bn}的前n项和Sn＝9－6n2.若bn＝2n－1an，求数列{an}的通项公式．
16．用Sm→n表示数列{an}从第m项到第n项(共n－m＋1项)之和．
(1)在递增数列{an}中，an与an＋1是关于x的方程x2－4nx＋4n2－1＝0(n为正整数)的两个根，求{an}的通项公式并证明{an}是等差数列；
(2)对(1)中的数列{an}，判断数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是否为等差数列．
【答案与解析】
1．答案：　C
解析：　∵S偶－S奇＝5d，
∴5d＝15，∴d＝3.
2. 答案：　B
解析：　因为a－1，,3是等差数列{an}的前三项，
所以，
∴a＝5，a1＝4，a2＝，
∴.
令an<0，则，
∴n>9，故选B.
3. 答案：　A
解析：　∵a6＋a8＝2a7，
又a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.
∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选A.
4. 答案：　B
解析：　设数列{an}的公差为d，则在每相邻两项之间插入一个数后得到的等差数列公差为.
又由，
得.
5. 答案：　B
解析：　
∴a1＋a5＝10，又∵a1＋a5＝2a3
∴a3＝5，a2＝3，∴d＝2
∴a7＝a3＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选B.
6. 答案：　D
解析：　因为.
又因为，
所以，
要使为整数，则必为整数，
于是n可取0,1,2,3,5,11，
因为n为正整数，因此n取1,2,3,5,11，共5个数．故应选D.
7. 答案：　13
解析：　由已知得，解得，
所以a6＝a1＋5d＝13.
8. 答案：　
解析：　由于，，则.
9. 答案2，4，6，8；
解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.
10. 答案：　8
解析：　由Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得7.511. 答案：　13
解析：　由已知得，解得，
所以a6＝a1＋5d＝13.
12. 解析：
解法一：统一成关于a1，n，d的表达式.
设{an}的首项和公差分别为a1和d，则
a3+a4+a5+a6+a7=5a1+20d=450
.
解法二：am+an=ap+aqm+n=p+q
由等差数列的性质可知
a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5
∴.
13．证明：
设{an}公差为d，则
=(an+2+an+1)·d-(an+1+an)·d
=d·[(an+2+an+1)-(an+1+an)]
=d·(an+2-an)
=d·2d
=2d2
∵2d2是与n无关常数
∴{bn}是等差数列.
14．解析：　(1)∵S4＝2S2＋4，∴，
解得d＝1.所以公差d为1.
(2)∵，∴数列{an}的通项公式为，∴.
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴当1≤n≤3时，b3当n≥4时，1∴数列{bn}中的最大项是b4＝3，最小项是b3＝－1，
故数列{bn}中的最大项和最小项分别为3，－1.
(3)由，得.
又函数在(－∞，1－a1)和(1－a1，＋∞)上分别是单调减函数，
∴当x<1－a1时，f(x)<1；
当x>1－a1时，f(x)>1.
∵对任意的n∈N*，都有bn≤b8，
∴7<1－a1<8，∴－7∴a1的取值范围是(－7，－6)．
15．解析：　当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1
＝9－6n2－9＋6(n－1)2＝－12n＋6①
当n＝1时，b1＝S1＝3不满足①式，
∴，
又bn＝2n－1an，
∴
16．解析：
解析：　(1)解方程x2－4nx＋4n2－1＝0，得
x1＝2n－1，x2＝2n＋1.
∵{an}是递增数列，∴an＝2n－1，an＋1＝2n＋1，an＋1－an＝2，
∴数列{an}是等差数列，其通项公式为an＝2n－1.
(2)当k为正整数时，S3k－2→3k＝a3k－2＋a3k－1＋a3k＝18k－9，S3(k＋1)－2→3(k＋1)＝18(k＋1)－9＝18k＋9，
∴S3(k＋1)－2→3(k＋1)－S3k－2→3k＝18(常数)，
∴数列S1→3，S4→6，S7→9，…，S3k－2→3k是等差数列．一元二次不等式及其解法
编稿：张希勇 审稿：张希勇
【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；
2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.
设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
要点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法
例1. 解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
【解析】
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：
因而不等式的解集是.
方法二： 或
解得 或 ，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：
所以，原不等式的解集是
方法二：（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：∵
∴原不等式的解集是.
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】
【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.
【答案】由题意知或
解得：x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
【变式2】解不等式：
【答案】原不等式可化为不等式组
，即，即，
解得
∴原不等式的解集为.
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解关于x的不等式：ax2-x+1>0
【解析】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；
若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.
方程的判别式△=1-4a
(Ⅰ)当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，
故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为实数集R；
(Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，
故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为；
(Ⅲ)当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根
，，
①当时，函数的图象开口向上，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为；
②当a<0时，函数的图象开口向下，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为；
综上所述：
a<0时，原不等式解集为；
a=0时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为实数集R.
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时，解集为；
②当0③当a>1或 -1【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型二 含参数的一元二次不等式的解法】
【变式2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【答案】
当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为.
【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若， 即时，；
若， 即时，x∈R；
若， 即时，.
②当a<0时，则有：， ∴ .
【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0时，.
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
①a>0时，则Δ>0，.
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0， 即 -1 类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【思路点拨】
由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
举一反三：
【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3【答案】由不等式的解集为{x|-3由根与系数关系得
解得a=-2, b=-2.
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得,
代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
类型四：不等式的恒成立问题
例5．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.
举一反三：
【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】
【变式2】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【答案】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理，得
解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
开始
结束
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2
方程ax2+bx+c=0没有实数根
原不等式解集为R
原不等式解集为
原不等式解集为{x|xx2}(x1Δ≥0
x1=x2
否
是
是
否数列的概念与简单表示法
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.
2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.
3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.
4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.
【学习策略】
数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.
【要点梳理】
要点一、数列的概念
数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成：，或简记为.其中是数列的第项.
要点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项.
要点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
要点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式
如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
如数列：的通项公式为（）；
的通项公式为（）；
的通项公式为（）；
要点诠释：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，…
它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
数列的前n项和
数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；
与的关系
当时；
当时，
故.
要点四、数列的表示方法
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．
1 2 … …
… …
图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。如：
数列：-3，1，5，9，13，…，
可用递推公式：表示。
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：表示。
要点五、数列与函数
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点
数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
(1) 0, ,,,…；
(2) 1, ,,,…；
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
【解析】
（1）将数列改写为，，，，…，
故.
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故.
（3）将数列改写为, , , ，…，
故.
（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，
故或
【总结升华】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意(－1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
数列-1，1，-1，1，…的通项公式为；
数列1，2，3，4，…的通项公式为；
数列1，3，5，7，…的通项公式为；
数列2，4，6，8，…的通项公式为；
数列1，4，9，16，…的通项公式为；
数列1，，，，…的通项公式为。
举一反三：
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1, 1, 1, 1,…；
(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
(4), …；
(5) 2，0，2，0，….
【答案】
(1)；
(2) ；
(3)；
(4) ；
(5)；
类型二：通项公式的应用
例2．已知数列的通项公式, 试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？
(1) 94；(2) 71.
【思路点拨】
先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标，那么是数列中的项，否则，不是.
【解析】
（1）设, 解得.
故94是数列的第32项.
（2）设，解得.
故71不是数列的项.
【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，中知三求二，就是采用了方程的思想.
举一反三：
【变式1】数列的通项公式为它的前8项依次为
【答案】
【变式2】已知数列的通项公式,
（1）若，试问是第几项？
（2）56和28是否为数列的项？
【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.
类型三：递推公式的应用
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】
例3. 设数列满足：，，写出这个数列的前五项。
【思路点拨】
题中已给出的第1项和递推公式：，故可以依次写出下列各项.
【解析】据题意可知：，，，，
故数列的前5项为:1，2，，，.
【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。
举一反三：
【变式1】已知数列满足：，，写出前5项，并猜想．
【答案】
法一：，，，观察可得
法二：由，∴即
∴
∴
【变式2】已知两个等比数列，，满足，，，.
若，求数列的通项公式；
【答案】
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例3】
例4.（1）已知数列满足写出这个数列的通项公式.
（2）已知数列满足写出这个数列的通项公式.
【解析】（1）由递推式可得，
把以上n-1个式子相加得，
∴，显然n=1，也适用，
∴数列的通项为
（2）由递推式可得
把以上n-1个式子相乘得，
；
∴，
∴数列的通项为
【总结升华】一般递推关系为时，可用累乘法求通项公式；递推关系为时可考虑累加法，有时需要将递推关系化简，再灵活求通项.
举一反三：
【变式1】由a1＝1，，可知数列{an}的第34项是(　　)
A． B．100
C． D．
【答案】C
【变式2】已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2 009＝________；a2 014＝________.
【答案】1　0
【解析】
　依题意得a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a2×1 007＝a1 007＝a4×252－1＝0.故分别填1,0.
类型四：前项和公式与通项的关系
例5．已知数列的前项和公式，求通项.
（1），　 (2).
【思路点拨】
先由时，，求出；再由当时，，求出，并验证是否符合所求出的.
【解析】
(1) 当时，，
当时，，
∴
(2)当时，，
当时，，
∴()为所求.
【总结升华】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
举一反三：
【变式1】已知数列的前项和，求通项.
【答案】当时，
，
当时，，
∴.
【变式2】已知数列的前项积，求通项
【答案】当时，，
当时，，
∴.
类型五：数列与函数
例6.已知函数数列满足，
求数列的通项公式；
证明数列是递减数列.
【思路点拨】证明一个数列是递减数列，或者证或者证。
【解析】（1）
(2)证明：
=
又∴数列是递减数列
【总结升华】数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，即
举一反三：
【变式1】已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明.
【答案】∵，
∴（）
∴数列是递增数列.
【变式2】数列中：,（）
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
（1）,,, , ,∴ ；
（2）方法一：∵，
∴ 数列是递减数列.
方法二：∵函数在上单调递减，
∴数列是递减数列.余弦定理
编稿：张希勇　　　审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；
2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；
3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据
要点二、余弦定理及其证明
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：
余弦定理的推导
已知：中，，及角，求角的对应边.
证明：
方法一：向量法
（1）锐角中（如图），
∵，
∴
即： (*)
同理可得：,
要点诠释：
（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.
（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。
方法二：解析几何方法——利用两点间距离公式
这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。
如图所示建立坐标系.
则点，，
由、两点间的距离可知，
即
整理得到.
余弦定理的变形公式：
要点三、利用余弦定理解三角形
1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角。
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
2.解斜三角形的基本问题：
已知条件 解法 解的情况
一边和两角（例如a,B,C) 1．利用A+B+C=180，求A2．应用正弦定理求b,c 唯一解
两边和夹角（例如a,b,C） 1．应用余弦定理求边c2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3．利用A+B+C=180，求第三个角. 唯一解
三边（例如a,b,c) 法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2．用A+B+C=180，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180，求第三个角 唯一解
两边及其中一边的对角（例如a,b,A) 此类问题首先要讨论解的情况1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边 两解、一解或无解
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。
要点三、利用正、余弦定理判断三角形的形状
余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.
判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.
【典型例题】
类型一：余弦定理的简单应用：
例1．已知中，、、，求中的最大角。
【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
【解析】∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理：，
∵ ， ∴
故中的最大角是.
【总结升华】
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知中, , , 求角.
【答案】根据余弦定理：，
∵， ∴
【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．
【答案】设，，，
根据余弦定理得：，
∵，∴；
同理可得；
∴
【高清课堂：余弦定理376695 题一】
【变式3】在中，若，则角等于（ ）.
A. B. C. D. 或
【答案】∵， ∴
∵， ∴
类型二：余弦定理的综合应用
例2．在中，已知，，，求及.
【思路点拨】已知两边及夹角问题首先考虑用余弦定理。
【解析】
⑴由余弦定理得：
=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理）
∵，
∴
（法二：正弦定理）
∵
又∵，
∴＜，即＜＜
∴
【总结升华】画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在中，已知, , .求和.
【答案】由余弦定理得：，
∴
由正弦定理得：，
因为为钝角，则为锐角， ∴.
∴.
【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和
【答案】根据余弦定理可得：
∵， ∴ ；
∴由正弦定理得：.
类型三：判断三角形的形状
例3．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状．
【思路点拨】
本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
【解析】由正弦定理及余弦定理，得
，
所以
整理得，
因为
所以，因此△ABC为等腰三角形
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
举一反三：
【变式1】在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．
【答案】等腰三角形
解析：　由题设和正、余弦定理得2×＝，
化简得a2－b2＝0，即a＝b.
【高清课堂：余弦定理376695题六】
【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状。
【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形基本不等式
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.
【要点梳理】
要点一、基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
要点二、基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
要点三、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
要点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点四、用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
要点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b取等号，其含义是；
仅当a=b取等号，其含义是.
综合上述两条，a=b是的充要条件.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【典型例题】
类型一：对公式及的理解
例1. ，，给出下列推导，其中正确的有 .
（1）的最小值为；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【思路点拨】
利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.
举一反三：
【变式1】下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，
B．当x>0时，
C．当x≥2时，的最小值为2
D．当0【答案】　B
【变式2】设x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】∵2|x||y|≤|x|2＋|y|2＝x2＋y2≤1，
∴(|x|＋|y|)2＝x2＋2|x||y|＋y2≤2.
∴.
取x＝0，，不满足x2＋y2≤1，故是充分不必要条件．
类型二：利用基本不等式证明不等式
例2. 已知、、都是正数，求证：
【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
【总结升华】
1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
举一反三：
【变式】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数，∴，，，，，
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴
（当且仅当时，取等号）
即.
例3.已知，求证:
【思路点拨】
对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
【解析】
（当且仅当即,等号成立）.
【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.
举一反三：
【变式1】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数 ，∴，，
∴（当且仅当即时,等号成立）
故.
【高清课堂：基本不等式392186 例题3】
【变式2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.
【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴，
，
.
∴.
类型三：利用基本不等式求最值
例4. 求函数()的最小值.
【思路点拨】
本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.
【解析】∵，∴
∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，函数()的最小值为32.
【总结升华】
1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；
2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件.
举一反三：
【变式1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】∵，∴，∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，的值最小为18.
【变式2】已知，求的最大值.
【答案】∵，∴，
∴（当且仅当，即时，等号成立）
∴（当且仅当，即时，等号成立）
故当时，的最大值为4.
例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.
【思路点拨】
要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.
【解析】
方法一：∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
方法二：由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求.
举一反三：
【高清课堂：基本不等式392186 例题1】
【变式1】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；
【答案】
【变式2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】 ∵,，
∴
答案选C
例6.已知，
（1）若,求的最小值；
（2）若,求的最大值.
【解析】（1）
方法一：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
方法二：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
（2）
方法一：∵，∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法二：∵，∴，（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法三：∵，，
∴（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
【总结升华】
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.
2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.
举一反三：
【变式1】已知，，，求的最小值.
【答案】∵，，，
∴由（等号当且仅当时成立）
故当时，的最小值为6.
【变式2】已知，，，求的最大值.
【答案】
解法一：∵，，，
∴
（当且仅当即时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
解法二：∵，，，
即，可得，（当且仅当时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
类型四：利用基本不等式解应用题
例7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省
【解析】由题意可得，
∴.
于是，框架用料长度为
.
当，即时等号成立.
此时，，.
故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.
【总结升华】
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
举一反三：
【变式】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【解析】　
(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于，
∴，得，
即，当且仅当2x＝3y时等号成立．
由，解得
故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由，解得.
故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小．数列综合
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前项和公式，并运用这些知识解决问题；
3．了解数列的通项公式与前项和公式的关系，能通过前项和公式求出数列的通项公式；
4．掌握常见的几种数列求和方法.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、数列的通项公式
数列的通项公式
一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；
②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的.
通项与前n项和的关系：
任意数列的前n项和；
要点诠释：
由前n项和求数列通项时，要分三步进行：
（1）求，
（2）求出当n≥2时的，
（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.
数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.
要点二、等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：（常数）是等差数列；
②中项公式法：是等差数列；
③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列；
④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.
等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若，则；
特别，若，则
（3）等差数列中，若.
（4）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成新的等差数列.
（5）等差数列，前n项和为
①当n为奇数时，；；；
②当n为偶数时，；；.
（6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）.
（7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则.
（8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差.
等差数列前n项和的最值问题：
等差数列中
若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n；
若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
要点三、：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列；
（2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列；
（3）中项公式法：（，）是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若，则.
特别，若，则
（4）等比数列中，若.
（5）公比为q的等比数列中，连续k项和，… 组成新的等比数列.
（6）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，.
（7）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列.
（8）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列.
（9）等比数列前n项积为，则
等比数列的通项公式与函数：
①方程观点：知二求一；
②函数观点：
时，是关于n的指数型函数；
时，是常数函数；
要点诠释：
当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列；
当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列；
当时，等比数列是摆动数列；
当时，等比数列是非零常数列.
要点四、常见的数列求和方法
公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和.
分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则，如an=
错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.
一般步骤：
，则
所以有
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
要点五、数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
【典型例题】
类型一：数列的概念与通项
例1．写出数列：，，，，……的一个通项公式.
【思路点拨】
从各项符号看，负正相间，可用符号表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是,, ,,…可用表示；
【解析】通项公式为：.
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第项与项数之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作，，，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数(项数)为自变量的函数的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：，，，，……的一个通项公式是（ 　 ）
A.　　　　 B.
C.　　　 D.
【答案】采用验证排除法，令,则A、B、C皆被排除，故选D.
【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：
（1）；
(2)；
【答案】
（1），
猜想得；
(2)a1=a,a2=,a3=,a4=，
猜想得an=；
类型二：等差、等比数列概念及其性质
例2. 在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积；
【解析】
方法一：设插入的个数为，且公比为，则
∴，（）
方法二：设插入的个数为，，
，，
【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量、，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.
举一反三：
【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式1】已知两个等比数列，，满足，，
，.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列唯一，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【变式2】已知等差数列，公差，中部分项组成的数列，，，…，，…恰为等比数列，且知,,.
（1）求；
（2）证明: .
【答案】依题意:，，.
∵，，为等比数列，
∴，解得.
∴等比数列的首项，公比，
∴
又在等差数列中是第项， ∴
∴（），
解得.
（2）
例3. 已知等差数列，, , 则（　 ）
A.125　　 B.175　　C.225　　D.250
【答案】C
【解析】
方法一：∵为等差数列，
∴,,成等差数列，即
∴，
解得,
∴选C.
方法二：取特殊值，令，由题意可得,,
∴，，
∴,
∴选C.
方法三：,,
两式相减可得，
∴.
∴选C.
【总结升华】解法一应用等差数列性质，解法二采用特殊值法，解法三运用整体思想，注意认真体会每一种解法，灵活应用.
举一反三：
【变式】已知等比数列，, , 则（　）
A.75 　 　B.2880　　 C.　 　D.63
【答案】D
例4． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【解析】设等差数列首项为，公差为d，则
【总结升华】
1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.
2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键.
举一反三：
【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.
【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.
例5．等差数列中，,，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【答案】7，49
【解析】设公差为d, 由题意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,
∴有最大值.
又S3=S11,可得n==7，
∴S7为最大值，即S7=7×13+(-2)=49.
【总结升华】等差数列的前n项和公式是一个二次的函数，当时，函数有最大值.
举一反三：
【变式】若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an·an+1·an+2(n∈N)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}中满足3a5=8a12>0，试问n多大时，Sn取得最大值，证明你的结论.
【答案】∵3a5=8a12>0，∴3a5=8(a5+7d),解得a5=-d>0
∴d<0，∴a1=-d，
故{an}是首项为正的递减数列.
则有,即
解得：15≤n≤16，∴n=16，即a16>0，a17<0
即：a1>a2>…>a16>0>a17>a18>…
于是b1>b2>…>b14>0>b17>b18>……
而b15=a15·a16·a17<0 b16=a16·a17·a18>0
∴S14>S13>…>S1 ,S14>S15，S15又a15=-d>0，a18=d<0
∴a15<|a18|，∴|b15|0
∴S16>S14，故Sn中S16最大
例6、设Sn、Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，满足，求.
【思路点拨】
用好等差数列中Sn 与an的一个关系： S2n+1=(2n+1) an是解好本题的一个关键
【解析】
方法一：的关系
方法二：设(k≠0)，
∴a11=S11-S10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k
b11=T11-T10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k
∴.
【总结升华】等差数列的中项在前n项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n项和与通项公式的联系.
举一反三：
【变式1】等差数列{an}中，Sn=50，，，求项数n.
【答案】10
【高清课堂：数列综合381084 例2】
【变式2】在数列中，，
（1）设，证明是等比数列.
(2) 求数列的通项公式.
(3) 若是与的等差中项，求的值；并证明：对任意的，是与的等差中项.
【答案】（1）利用定义证明
（2）
（3）证明时，不合题意
时，
由是与的等差中项可求
又
即是与的等差中项.
类型三：与的关系式的综合运用
例7. 在数列{an}中，Sn是其前n项和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，则an＝________.
【思路点拨】
与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，可利用n≥2时，将条件转化为仅含或的关系式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
【答案】
【解析】　∵an＋1＝Sn(n≥1)，∴an＝Sn－1(n≥2)，
∴an＋1－an＝an(n≥2)，即an＋1＝an(n≥2)，
当n≥2时，，当n＝1时，a1＝1.
∴
【总结升华】已知Sn求an要先分n=1和n≥2两种情况进行计算，然后验证能否统一.
举一反三：
【变式1】已知数列{an}的前n项和公式分别为（1）Sn=n2-2n+2.（2）Sn=分别求它们的通项公式.
【答案】
(1)当n=1时, a1=S1=1；
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(n2-2n+2)-[(n-1)2-2(n-1)+2]=2n-3,
又n=1时，2n-3≠a1,
∴
（2）当n=1时, a1=S1=；
当n≥2时, an=Sn-Sn-1=[()n-1]-[()n-1-1]=×()n-1,
又n=1时, ()0==a1,
∴().
【变式2】已知数列的前项和为，.
（1）求；
（2）求证：数列是等比数列.
【答案】
（1）由，得，
∴，
又，即，得.
（2）证明：当时，，
得，又，
所以为首项为，公比为的等比数列.
例8. 数列的前n项和为，若对于恒成立，求.
【思路点拨】
已知的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为的递推关系式
【答案】
【解析】
① 　
则 ②
①—②得，
，即，
在①中，当n=1时，
，
.
【总结升华】本例利用了与的关系，注意对的验证.
举一反三：
【变式1】在数列中，已知前项和与通项满足，求这个数列的通项公式.
【答案】
因为从而由已知得到：即，
于是得到，就可以得到：.
【变式2】若数列的相邻两项、是方程的两根，又，求数列的前项和.
【答案】由韦达定理得，，
∴，得 ，
∴ 数列与均成等比数列，且公比都为，
由，，得,
∴,
(I)当为偶数时，令（）,
.
(II)当为奇数时，令（），
.
类型四：特殊数列的求和
例10. 求数列1，的前n项和.
【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。
【解析】
（1）当时，
（2）当时，；
（3）当，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若为偶数，令（），则；
若为奇数，令（），则.
【总结升华】分类讨论和n的奇偶是本例化简的关键.
举一反三：
【变式1】求数列的前n项和.
【答案】.
【变式2】求和：
【答案】a=0或b=0时，
当a=b时，；
当ab时，
类型五：由递推关系求数列通项公式
例11．已知数列中，，，求.
【思路点拨】把整理成，得数列为等比数列。
【解析】
法一：设，解得
即原式化为
设，则数列为等比数列，且
∴
法二：∵ ①
②
由①－②得：
设，则数列为等比数列
∴
∴
∴
法三：，，，……，
，
∴
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.
举一反三：
【变式1】 数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【变式2】在数列{an}中，a1=1，an+1=，求an.
【答案】
类型六：应用题
例12．某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）
【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每年的人均粮食占有量和人口数均构成等比数列。
【解析】
方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷，于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总人口为，人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷，则10年耕地共有()公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷.
由粮食单产10年后比现在增加得不等式：
化简可得
即，
∴(公顷)
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.
方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷，现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为，粮食单产吨/公顷，若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷，于是10年后粮食总产量为，人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式：
，（余与上同）.
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式.
举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.
（1）写出的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.
【答案】
（1）依题意，第一年森林木材存量为，
1年后该地区森林木材存量为：，
2年后该地区森林木材存量为：，
3年后该地区森林木材存量为：，
4年后该地区森林木材存量为：，
… …
年后该地区森林木材存量为：
（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，
即 ，
解得，即，
∴，
∴.
答：经过8年该地区就开始水土流失.
数列的通项
通项公式
等差中项
前n项和公式
等差数列
性质
通项公式
等比中项
前n项和公式
等比数列
性质
数列
数列前n项和
数列的递推公式
应
用正弦定理
编稿：张希勇　　　审稿：李霞　　
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二、正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时
设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：构造直角三角形
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
（2）当为钝角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
法三：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.
法四：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：
(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
【高清课堂：正弦定理 例1】
例1．已知在中，，，，求和B.
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.■
举一反三：
【变式1】中，，BC＝3，则的周长为（ ）
A． B．C． D．
【答案】由正弦定理得：，
得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．
评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除A、B、C．而选D．
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式3】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得.
例2．在，求：和，．
【解析】由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵， ∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴，
∴即为锐角， ∴，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【高清课堂：正弦定理 例3】
【变式1】在中，， ，，求和．
【答案】∵， ∴，
∵， ∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
【答案】 ∵， ∴
∵， ∴或
①当时，，；
②当时，（舍去）。
【变式3】在中，，, , 求.
【答案】由正弦定理，得.
∵, ∴，即
∴
类型二：正弦定理的综合运用
例3. 在△ABC中，，。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长。
【解析】
（Ⅰ）∵C=π-（A+B）,
∴tanC=-tan（A+B）=-
又∵0∴C=。
（Ⅱ）∵C=,∴AB边最大，即AB=.
又∵tanA∴角A最小，BC边为最小边。
由且,
得 由得：
,
所以，最小边.
【总结升华】本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力
【变式1】在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
【答案】　在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
【高清课堂：正弦定理 例5】
【变式2】 在△ABC中，c= ，∠C=30°,求a+b的最大值。
【答案】因为
所以
∠A+∠B=180°－∠C=150°，
从而
所以a+b的最大值为
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在中，若试判断的形状。
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
为三角形的内角，，，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状
【答案】利用正弦定理将边转化为角.?
∵?又
∴∴ ∴?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?∴ 即?
故此三角形是等腰三角形.?【巩固练习】
一、选择题
1．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（ ）
A．a=6，c=1 B．a=－6，c=－1 C．a=1，c=1 D．a=－1，c=－6
2．若0＜t＜1，则不等式的解集为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C． D．
5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
A． B． C． D．
6. 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．(－∞，0] D．
二、填空题
7．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.
9. 函数的定义域是R，则实数a的取值范围为________．
10. 已知函数，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是________．
三、解答题
11.解下列不等式
(1)2x2＋7x＋3＞0；　　　(2)－x2＋8x－3＞0；
12. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．
13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
14．已知，
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
15. 已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0的解集．
(1)用区间表示A和B；
(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】由题意可知方程的两根为和，由韦达定理得：
，求得a=－6，c=－1
2．【答案】　D
【解析】　∵0＜t＜1，∴，∴
∴.
3. 【答案】　A
【解析】　由题意知，是ax2－bx－1＝0的两实根，
∴.解得.
∴x2－bx－a＜0 x2－5x＋6＜0 2＜x＜3.
4. 【答案】　C
【解析】　因为(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得，故选C.
5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得
，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为
6. 【答案】　C
【解析】　原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
.
综上，m的取值范围为(－∞，0]．
7．【答案】　{x|0＜x＜2}
【解析】　由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，
2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴原不等式等价于.
8．【答案】
【解析】由题意得：
，解得
9. 【答案】　
【解析】　由已知f(x)的定义域是R.
所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，则有.
由(1)(2)知，.
即所求a的取值范围是.
10. 【答案】　(－1，－1)
【解析】　若x≥0，则
若x＜0，则1－x2＞0
∴－1＜x＜0
综上
11．【解析】　
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
，.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为．
12.【答案】{m|0≤m<4}
【解析】
当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．
当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0＜m＜4．
综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.
13.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即，
若m＞0，则，
所以原不等式的解集为；
若m＜0，则，
所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
14．【解析】
(1)由题意得：△=，即0(2)由x∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
或
综上所述：.
15. 【解析】　不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.
(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，
所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．
当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；
当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．
(2)要使A∪B＝R，则
当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；
当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．
所以不存在实数a，使得A∪B＝R.数列的概念与简单表示法
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.
2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.
3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.
4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.
【学习策略】
数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.
【要点梳理】
要点一、数列的概念
数列概念：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列.
要点诠释：
⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
数列的项：
数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项.其中数列的第1项也叫作首项.
要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.
类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：
（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；
（2）可重复性：数列中的数可以重复；
（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.
数列的一般形式：
数列的一般形式可以写成：，或简记为.其中是数列的第项.
要点诠释：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项.
要点二、数列的分类
根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列
根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
要点三、数列的通项公式与前n项和
数列的通项公式
如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
如数列：的通项公式为（）；
的通项公式为（）；
的通项公式为（）；
要点诠释：
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。
如数列：1，0，1，0，1，0，…
它的通项公式可以是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
数列的前n项和
数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即；
与的关系
当时；
当时，
故.
要点四、数列的表示方法
通项公式法（解析式法）：
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
列表法
相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列．
1 2 … …
… …
图象法：
数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．
具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
递推公式法
递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。如：
数列：-3，1，5，9，13，…，
可用递推公式：表示。
数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用递推公式：表示。
要点五、数列与函数
（1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上。
数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；
（2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式。
数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式。
数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系。给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项。
（3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点
数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上。因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
（4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式.
【典型例题】
类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是:
(1) 0, ,,,…；
(2) 1, ,,,…；
(3) 9, 99,999, 9999,…；
(4) 6, 1, 6,1,….
【解析】
（1）将数列改写为，，，，…，
故.
（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；
其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，
故.
（3）将数列改写为, , , ，…，
故.
（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，
故或
【总结升华】写通项时注意以下常用思路：
①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；
②注意(－1)n在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；
③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化.
⑤熟练掌握一些基本数列的通项公式，例如：
数列-1，1，-1，1，…的通项公式为；
数列1，2，3，4，…的通项公式为；
数列1，3，5，7，…的通项公式为；
数列2，4，6，8，…的通项公式为；
数列1，4，9，16，…的通项公式为；
数列1，，，，…的通项公式为。
举一反三：
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 数列知识的讲解及配套练习】
【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 1, 1, 1, 1,…；
(2) -1, 1, -1, 1, …；
(3) 1, -1, 1, -1, …；
(4), …；
(5) 2，0，2，0，….
【答案】
(1)；
(2) ；
(3)；
(4) ；
(5)；
类型二：通项公式的应用
例2.设数列满足，写出这个数列的前五项。
【思路点拨】只需在给出数列的通项公式中依次取，便可以求解.
【解析】数列的前五项为：；；；；.
【总结升华】根据数列的通项公式，可以写出数列的所有项。
举一反三：
【变式1】设数列满足，写出这个数列的前五项。
【答案】，，，，.
【变式2】根据下列数列的通项公式，写出它的第五项.
（1）； （2），
【答案】（1）；（2）5.
例3．已知数列的通项公式, 试问下列各数是否为数列的项，若是，是第几项？
(1) 94；(2) 71.
【思路点拨】
先假设是数列中的项，可以列方程求解，若求解得到的脚标，那么是数列中的项，否则，不是.
【解析】
（1）设, 解得.
故94是数列的第32项.
（2）设，解得.
故71不是数列的项.
【总结升华】方程思想是解决数列中未知量的主要方法，中知三求二，就是采用了方程的思想.
举一反三：
【变式】已知数列的通项公式,
（1）若，试问是第几项？
（2）56和28是否为数列的项？
【答案】（1）98项；（2）56是，28不是.
类型三：递推公式的应用
【高清课堂：数列的概念与简单表示法379271 例2】
例4. 设数列满足：，，写出这个数列的前五项。
【思路点拨】
题中已给出的第1项和递推公式：，故可以依次写出下列各项.
【解析】据题意可知：，，，，
故数列的前5项为:1，2，，，.
【总结升华】递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项。
举一反三：
【变式1】已知数列满足：，，，写出前6项.
【答案】，，，，，.
【变式2】已知数列满足：，，写出前5项，并猜想．
【答案】
法一：，，，观察可得
法二：由，∴即
∴
∴
类型四：前项和公式与通项的关系
例5．已知数列的前项和公式，求通项.
（1），　 (2).
【思路点拨】
先由时，，求出；再由当时，，求出，并验证是否符合所求出的.
【解析】
(1) 当时，，
当时，，
∴
(2)当时，，
当时，，
∴()为所求.
【总结升华】已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
举一反三：
【变式1】已知数列的前项和，求通项.
【答案】当时，
，
当时，，
∴
【变式2】已知数列的前项积，求通项
【答案】当时，，
当时，，
∴.
类型五：数列与函数
例6．已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明.
【思路点拨】选择数列中任意相邻两项作差比较即可.
【解析】∵，
∴（）
∴数列是递增数列.
【总结升华】数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明.
举一反三：
【变式1】数列中：,（）
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性.
【答案】
（1）,,, , ,∴ ；
（2）方法一：∵，
∴ 数列是递减数列.
方法二：∵函数在上单调递减，
∴数列是递减数列.
【变式2】数列中：（，且为常数），判断数列的单调性.
【答案】∵，
当时， ∴数列是递减数列；
当时， ∴数列是递增数列.正弦定理　
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二、正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时
设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.
法三：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：
(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
例1．已知在中，，，，求和B.
【答案】
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式2】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得.
例2．在，求和，．
【解析】由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵， ∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴，
∴即为锐角， ∴，
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在中，， ，，求和．
【答案】∵， ∴，
∵， ∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
【变式2】在中, ,, 求和；
【答案】 ∵， ∴
∵， ∴或
①当时，，；
②当时，（舍去）。
【变式3】在中，，, , 求.
【答案】由正弦定理，得.
∵, ∴，即
∴
类型二：正弦定理的综合运用
例3. 在△ABC中，，。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长。
【解析】
（Ⅰ）∵C=π-（A+B）,
∴tanC=-tan（A+B）=-
又∵0∴C=。
（Ⅱ）∵C=,
∴AB边最大，即AB=.
又∵tanA∴角A最小，BC边为最小边。
由且,
得
由得：
,
所以，最小边.
【总结升华】
本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力
举一反三：
【变式】在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
【答案】　在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在中，若试判断的形状.
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
为三角形的内角，，，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
举一反三：
【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状.
【答案】利用正弦定理将边转化为角.?
∵?又
∴∴
∴?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?∴ 即?
故此三角形是等腰三角形.?【巩固练习】
一、选择题
1．1．和的等比中项是(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．2
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)
A． B．－2
C．2 D．
3．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　)
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
4．等比数列{an}中，a2=9，a5=243，则{an}的前4项和为( )
A．81 B．120 C．168 D．192
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=10，S8=110，则S16=( )
A．10000 B．11110 C．1110 D．111110
6．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
二、填空题
7．已知一个等比数列的第9项是，公比是－，则它的第1项等于 .
8．在等比数列中，若，则公比= ；= .
9.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m＝________.
10．等比数列中Sn＝48，S2n＝60，则S3n等于________．
三、解答题
11.在等比数列{an}中，已知：a1=2, S3=26,求q与a3
12.已知：对任意自然数n都有a1+a2+……+an=2n-1，求+……+.
13．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.
14．已知{an}为等比数列，若a1+a2+a3=2，a7+a8+a9=8，求a1+a2+a3+…+a3m-2+a3m-1+a3m.
15．一个等比数列{an}共有2n项，其中偶数项的和是所有项和的，且S3=64，求此等比数列通项.
【答案与解析】
1. 【答案】　C
【解析】　等比中项.
2. 【答案】　D
【解析】　根据an＝am·qn-m，得a5＝a2·q3.
∴.
∴.
3. 【答案】　D
【解析】　∵，a4＝a3q，
∴，a4＝12q.
∴.即2q2－5q＋2＝0，
∴或q＝2.
或a10＝12×27＝3×29.故选D.
4．【答案】B
【解析】设公比为q，则，∴q=3，则前4项的和为：3+9+27+81=120，故选B.
5．【答案】B
【解析】S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12，……是等比数列，首项为S4=10，公比，
所以S16=10+100+1000+10000=11110，故选B.
6. 【答案】　D
【解析】　由于.故选D.
7．【答案】=2916
【解析】由及，解得=2916
8．【答案】2，.
【解析】，解得，
9. 【答案】　11
【解析】　am＝a1·a2·a3·a4·a5
＝a15· q1＋2＋3＋4＝a15q10＝a1·q10
∴m＝11.
10. 【答案】　63
【解析】　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
又Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60
∴122＝48(S3n－60)
∴S3n＝63.
11.【解析】2(1+q+q2)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a3=18；当q=-4时, a3=32.
12.【解析】依题意Sn=2n-1,易求得an=2n-1, a1=1且公比为2，可知，，……成等比数列，公比为4.∴++……+==.
13．【解析】依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，
∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=4.
又前三个数成等比且和为19，
∴, 解得或，
∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.
14.【解析】
∴，
由A1=a1+a2+a3=2a1(1+q+q2)=2，A2=a4+a5+a6=a1q3(1+q+q2)，
A3=a1q6(1+q+q2)，A1，A2，A3成等比数列，且首项为A1公比为q3，
由前面得q3=±2，
则或.
15．【解析】 ∵S偶=Sn,∴ =×,∴, ∴,
又S3=64，∴，∴,
∴×9×()n-1=×()n-3.【巩固练习】
一、选择题
1．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（ ）
A．a=6，c=1 B．a=－6，c=－1 C．a=1，c=1 D．a=－1，c=－6
2．若0＜t＜1，则不等式的解集为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C． D．
5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
A． B． C． D．
6. 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．
C．(－∞，0] D．
二、填空题
7．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.
9. 函数的定义域是R，则实数a的取值范围为________．
10. 已知函数，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是________．
三、解答题
11.解下列不等式
(1)2x2＋7x＋3＞0；　　　(2)－x2＋8x－3＞0；
12. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．
13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
14．已知，
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
15. 已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0的解集．
(1)用区间表示A和B；
(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】由题意可知方程的两根为和，由韦达定理得：
，求得a=－6，c=－1
2．【答案】　D
【解析】　∵0＜t＜1，∴，∴
∴.
3. 【答案】　A
【解析】　由题意知，是ax2－bx－1＝0的两实根，
∴.解得.
∴x2－bx－a＜0 x2－5x＋6＜0 2＜x＜3.
4. 【答案】　C
【解析】　因为(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得，故选C.
5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得
，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为
6. 【答案】　C
【解析】　原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
.
综上，m的取值范围为(－∞，0]．
7．【答案】　{x|0＜x＜2}
【解析】　由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，
2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴原不等式等价于.
8．【答案】
【解析】由题意得：
，解得
9. 【答案】　
【解析】　由已知f(x)的定义域是R.
所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，则有.
由(1)(2)知，.
即所求a的取值范围是.
10. 【答案】　(－1，－1)
【解析】　若x≥0，则
若x＜0，则1－x2＞0
∴－1＜x＜0
综上
11．【解析】　
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
，.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为．
12.【答案】{m|0≤m<4}
【解析】
当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．
当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0＜m＜4．
综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.
13.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即，
若m＞0，则，
所以原不等式的解集为；
若m＜0，则，
所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
14．【解析】
(1)由题意得：△=，即0(2)由x∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
或
综上所述：.
15. 【解析】　不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.
(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，
所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．
当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；
当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．
(2)要使A∪B＝R，则
当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；
当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．
所以不存在实数a，使得A∪B＝R.余弦定理
编稿：张希勇　　　审稿：李霞
【学习目标】
1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；
2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；
3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据
要点二、余弦定理及其证明
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：
余弦定理的推导
已知：中，，及角，求角的对应边.
证明：
方法一：向量法
（1）锐角中（如图），
∵，
∴
即： (*)
同理可得：,
要点诠释：
（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.
（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。
方法二：几何法
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高
根据勾股定理有：，，
∵中，，
∴
=
即：.
（2）当为钝角三角形且C为钝角时
如图，作边上的高
根据勾股定理有：，.
∵中，，
∴
即：仍然成立。
（3）在直角中，当时，, ，也满足余弦定理。
方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式
这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。
如图所示建立坐标系.
则点，，
由、两点间的距离可知，
即
整理得到.
余弦定理的变形公式：
要点三、利用余弦定理解三角形
1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角。
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
2.解斜三角形的基本问题：
已知条件 解法 解的情况
一边和两角（例如a,B,C) 1．利用A+B+C=180，求A2．应用正弦定理求b,c 唯一解
两边和夹角（例如a,b,C） 1．应用余弦定理求边c2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3．利用A+B+C=180，求第三个角. 唯一解
三边（例如a,b,c) 法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2．用A+B+C=180，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180，求第三个角 唯一解
两边及其中一边的对角（例如a,b,A) 此类问题首先要讨论解的情况1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边 两解、一解或无解
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。
4、判断三角形形状
余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.
判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.
【典型例题】
类型一：余弦定理的简单应用：
例1．在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．
【思路点拨】已知三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理。
【解析】设，，，
根据余弦定理得：，
∵，∴；
同理可得；
∴
【总结升华】
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知中, , , 求角.
【答案】根据余弦定理：，
∵， ∴
【变式2】已知中，、、，求中的最大角。
【答案】∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理：，
∵ ， ∴
故中的最大角是.
【高清课堂：余弦定理 题一】
【变式3】在中，若，则角等于（ ）.
A. B. C. D. 或
【答案】∵， ∴
∵， ∴
类型二：余弦定理的综合应用
例2．在中，是方程的两个根，
且，求：
角C的度数；
AB的长度。
【思路点拨】本题可推导为已知两边及夹角问题，所以考虑用余弦定理。
【答案】(1) 由得，，得，所以，C=120o
(2)由题设：
【总结升华】画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在△ABC中，，求。
【答案】
，而
所以
【变式2】在中，已知，，，求及.
【解析】
⑴由余弦定理得：
=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理）
∵，
∴
（法二：正弦定理）
∵
又∵，
∴＜，即＜＜
∴
【变式3】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和
【答案】根据余弦定理可得：
∵， ∴ ；
∴由正弦定理得：.
类型三：判断三角形的形状
例3．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状．
【思路点拨】
本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
【解析】由正弦定理及余弦定理，得
，
所以
整理得，
因为
所以，因此△ABC为等腰三角形
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式.
举一反三：
【变式1】在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．
【答案】等腰三角形
【解析】　由题设和正、余弦定理得2×＝，
化简得a2－b2＝0，即a＝b.
【高清课堂：余弦定理 题六】
【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状.
【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形.【巩固练习】
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　)
A.　　　　　　 B.
C． D.
2．下列不等式中，解集是R的是(　　)
A．x2＋4x＋4>0 B.
C. D．－x2＋2x－1>0
3．不等式ax2+5x+c＞0的解集为，则a，c的值为（ ）
A．a=6，c=1 B．a=－6，c=－1 C．a=1，c=1 D．a=－1，c=－6
4．若0＜t＜1，则不等式的解集为(　　)
A. B.
C. D.
5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
A． B． C． D．
6. 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪
二、填空题
7．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是________．
8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.
9. 函数的定义域是R，则实数a的取值范围为________．
10.若关于的不等式的解集为，则实数m等于 .
三、解答题
11.解下列不等式
(1)2x2＋7x＋3＞0；　　　(2)－x2＋8x－3＞0；
12. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．
13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
14．已知，
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
15.解下列关于x的不等式 ；
【答案与解析】
1．【答案】　D
【解析】　9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0
∴，故选D.
2．【答案】　C
【解析】　∵x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
∴A不正确；
∵，∴B不正确；
∵，∴(x∈R)，故C正确；
∵－x2＋2x－1>0
∴x2－2x＋1＝(x－1)2<0，
∴D不正确．
3.【答案】B
【解析】由题意可知方程的两根为和，由韦达定理得：
，求得a=－6，c=－1
4．【答案】　D
【解析】　∵0＜t＜1，∴，∴
∴.
5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得
，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为
6. 【答案】　C
【解析】　原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
.
综上，m的取值范围为(－∞，0]．
7．【答案】　[0,4)
【解析】　由题意知，∴0＜a＜4.
当a＝0时，A＝{x|1＜0}＝ ，符合题意．
8．【答案】
【解析】由题意得：
，解得
9. 【答案】　
【解析】　由已知f(x)的定义域是R.
所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，则有.
由(1)(2)知，.
即所求a的取值范围是.
10.【答案】2
【解析】由题意，得1，m是关于x的方程的两根，则解得
（舍去）
11．【解析】　
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
，.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为．
12.【解析】
当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．
当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0＜m＜4．
综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.
13.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即，
若m＞0，则，
所以原不等式的解集为；
若m＜0，则，
所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
14．【解析】
(1)由题意得：△=，即0(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
或
综上所述：.
15.【解析】
当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1；
当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，
方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根和.
(Ⅰ)当，即，时，
函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：
故不等式的解集为；
(Ⅱ)当，即时，
函数的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：
故不等式的解集为空集；
(Ⅲ)当，即，或，
①若，函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：
故不等式的解集为；
②若a>0，数的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：
故不等的解集为；
综上所述，
当a<-1时，不等式的解集为；
当a=-1时，不等式的解集为空集；
当-1当a=0时，不等式的解集为；
当a>0时，不等式的解集为.【巩固练习】
一、选择题
1．若x，y∈R，且，则z＝x＋2y的最小值等于(　　)
A．2　　　　　　　　　　　　 B．3
C．5 D．9
2．若实数x，y满足不等式组，则x＋y的最大值为(　　)
A．9 B.
C．1 D.
3. 已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为　　　（　）
A．-3 B.3
C．-1 D.1
4.在中，三个顶点，点在内部及边界上运动，则的最大值是（ ）
A.1 B.-3 C.-1 D.3
5.如图，目标函数的可行域为四边形OACB（含边界），
若是该目标函数的最优解，则的取值范围是（ ）
A. B .
C. D.
6.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（　　）
体积（ｍ２／箱） 质量（５０ｋｇ／箱） 利润（１０２／箱）
甲 ５ ２ ２０
乙 ４ ５ １０
托运能力 ２４ １３
A.４，1 B.３，２ C.１，４ D.２，４
二、填空题
7.已知变量x，y满足条件，设，取点（3，2）可求取点（5，2）可求，去点（0，0）可求得，取点（3，2）叫做 ，取点（0，0）叫做 ；点（5，2）和点（1，1）均叫做 .
8.已知x，y满足约束条件则的最大值为 .
9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 .
10.线性目标函数，在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围
11. 若实数x，y满足不等式组，则2x＋3y的最小值是________．
三、解答题
12．已知D是以点A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部）.如图所示.
（1）写出表示区域D的不等式组；
（2）设点B（－1，－6），C（－3，2）在直线4x－3y－a=0的异侧，求a的取值范围.
13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.
14．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成.已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？
15．设x，y满足约束条件，若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为8，求a＋b的最小值为.
【答案与解析】
1．【答案】　B
【解析】　作出可行域如图所示，目标函数，则过B(1,1)时z取最小值zmin＝3
2. 【答案】　A
【解析】　作出可行域如图所示
令z＝x＋y，则y＝－x＋z，
∴y＝－x＋z过A(4,5)时，
z取最大值zmax＝9.
3.【答案】D
【解析】如图，
作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D
4．【答案】A
【解析】解决本题的关键是应明确的区域即为可行域，为目标函数；
5．【答案】B
【解析】∵C点是目标函数的最优解，∴，解得
6.【答案】A
【解析】设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意，得
利润为由线性规划知识解得时利润最大.
7.【答案】可行解；非可行解；最优解
8.【答案】19
【解析】易作出对应的可行域，当直线经过（2，3）时，取得最大值
9. 【答案】2200
【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．
解得当时，zmin＝2 200.
10.【答案】；
【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定满足的条件.
11.【答案】4
【解析】　不等式组，所表示的平面区域为三角形区域，
令z＝2x＋3y，则将其视为一组平行线，为直线在y轴上的截距．
于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z＝2x＋3y经过直线x＋y＝2与直线2x－y＝4的交点(2,0)时，最小，即z最小，此时z＝4.
12．【解析】
（1）直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0
原点（0，0）在区域D内，表示区域D的不等式组：
（2）将B、C的坐标代入4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0，
得a的取值范围是－18＜a＜14.
13．【解析】 设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
A原料 B原料
甲产品吨 3 2
乙产品吨 3
则有： ，目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：
当＝3，＝4时可获得最大利润为27万元.
14．【解析】设稳健型投资份，进取型投资份，利润总额为（×10万元），
则目标函数为（×10万元），
线性约束条件为：，即
作出可行域（图略），解方程组，得交点
作直线，平移，当过点M时，取最大值：万元=70万元.
15. 【答案】4
【解析】约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分．
当直线z＝abx＋y(a>0，b>0)过直线2x－y＋2＝0与直线8x－y－4＝0的交点(1,4)时，目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)取得最大值8，即8＝ab＋4，ab＝4，
∴.
y
x
Ｃ
Ｂ
Ｏ
Ａ
x + y = 5
x – y + 5 = 0
O
y
x
x=3
（3，4）
（0，6）
O
（，0）
9
13二元一次不等式（组）与平面区域
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域.
【要点梳理】
要点一、二元一次不等式（组）的定义
1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式.
2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.
3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的和的取值构成有序实数对，所有这样的有序实数对构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.
要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数.
要点二、二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：
二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合.
二元一次不等式所表示的平面区域：
在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：
①直线上的点（x，y）的坐标满足：；
②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；
③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.
即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.
要点三、二元一次不等式表示哪个平面区域的确定
二元一次不等式表示的平面区域
由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当时，常把原点作为此特殊点）
以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法.
不等式组所表示的平面区域
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
2. 画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；
②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域.
要点诠释： “直线定界，特殊点定域”二元一次不等式（组）表示平面区域的重要方法.
【典型例题】
类型一：二元一次不等式表示的平面区域
例1. 画出不等式表示的平面区域.
【解析】先画直线（画成虚线）.
取原点代入得,
∴原点不在表示的平面区域内，
不等式表示的区域如图：
【总结升华】
1. 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法.特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.
2. 虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线
举一反三：
【变式】画出下列不等式所表示的平面区域
（1）； （2）
【答案】
（1） （2）
类型二：二元一次不等组表示的平面区域
例2. 用平面区域表示不等式组
【思路点拨】
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
【解析】不等式－y+5≥0表示直线－y+5＝0上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：
【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
举一反三：
【变式1】用平面区域表示不等式组.
【解析】不等式表示直线右下方的区域，
表示直线右上方的区域，
取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集.
【变式2】画出下列不等式组表示的平面区域.
（1）； （2）；
【答案】
（1） （2）
例3. 画出下列不等式表示的平面区域
(1) ； (2)
【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图.
【解析】
(1) 原不等式等价转化为或（无解），
故点在区域内，如图：
(2) 原不等式等价为或，如图
【总结升华】把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解
举一反三：
【变式1】用平面区域表示不等式
【答案】
【变式2】用平面区域表示不等式
（1）； （2）； （3）
【答案】
（1） （2） （3）
类型三：求平面区域的面积
【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663例题1】
例4：求不等式组表示的平面区域的面积.
【解析】
【法1】（特殊三角形）
显然为等腰直角三角形，，，
易得B点坐标为，C点坐标为 ，则
∴ .
【法2】（面积公式）
易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 ，
则
由点到直线的距离公式得高
∴ .
【法3】（向量法）
易得A点坐标为，B点坐标为，C点坐标为 ，
则，
∴ .
故不等式组表示的平面区域的面积等于36.
【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区域的应用，注意图形的分解转化
举一反三：
【变式1】画出不等式组表示的平面区域并求其面积.
【答案】如图，面积为；
类型四：实际应用问题
【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域392663 例题4】
例5. 某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设 教师年薪
初中 45 2 26万元/班 2万元/人
高中 40 3 54万元/班 2万元/人
【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．
【解析】　设开设初中班x个，高中班y个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.
考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数不能为负且为整数，即，.
把上面四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．
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【总结升华】用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，在画出表示的区域.
举一反三：
【变式】完成一项装修工程，请木工需付工资没人50元，请瓦工需付工资没人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，用不等式表示请工人人数的范围.
【答案】不等式综合
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；
3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；
4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；
5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、不等式的主要性质
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)加法法则：；
(4)乘法法则：；
，
(5) 乘方法则：
(6) 开方法则：
要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.
要点二、三个“二次”的关系
一元二次不等式或的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：
（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：
①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）写出解集.
要点诠释：若，可以转化为的情形解决.
要点三、线性规划
用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤
（1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；
（2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；
（4)作答．
要点四、基本不等式
两个重要不等式
①，那么（当且仅当时取等号“=”）
②基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.
算术平均数和几何平均数
算术平均数：称为的算术平均数；
几何平均数：称为的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
基本不等式的应用
,且（定值），那么当时，有最小值；
,且（定值），那么当时，有最大值。
要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值
几个常用变形不等式：
①（当且仅当a=b时等号成立）
②（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）
③；特别地：；
④
【典型例题】
类型一：不等式性质的应用
例1．已知求证。
【解析】证明：以为，所以ab>0,。
于是 ，即
由c<0 ，得
【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误.
举一反三：
【变式】已知，则成立的一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
例2．已知函数,满足,,那么的取值范围是 .
【解析】
解法一：方程思想(换元)：
由 ，求得
∴
又
∴ ，
即。
解法二：待定系数法
设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)
解法三：数形结合(线性规划)
所确定区域如图：
设，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.
【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.
举一反三：
【变式】已知，，求的取值范围。
【答案】[-3，10]
类型二：一元二次不等式的有关问题
例3.设，，且，求的取值范围．
【解析】令由，及二次函数图象的性质可得
，即，解之得．
因此的取值范围是．
【总结升华】留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系．
举一反三：
【变式】若不等式的解集为(-∞,-1] ∪[2,+ ∞）,求实数a的值
【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0a=-2
∴所求实数a=-2
例4．不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-1【解析】由不等式的解集为{x|-1由根与系数关系得
解得a=-6, b=6。
【总结升华】利用一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集与一元二次方程ax2 +bx+c=0的根之间的关系，可使问题简单化。
举一反三：
【变式】已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
【答案】
例5．若对于任意xR恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）,求m的值
【解析】对任意xR 恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）成立
对任意xR 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)>0成立
又因mN*，∴m=1
【总结升华】
①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据:
ax2+bx+c>0对任何xR恒成立a>0且Δ=b2-4ac<0；
ax2+bx+c<0对任何xR恒成立a<0且Δ=b2-4ac<0。
②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：
μ＜f(x)恒成立μ＜f(x)的最小值
μ＞f(x)恒成立μ＞f(x)的最大值
举一反三：
【变式】在R上定义运算：xy=x(1-y),若不等式（x-a）(x+a)<1对任意实数x成立，则（ ）
A．-1【答案】C
【解析】由所给定义（x-a） (x+a)<1对任意xR成立
（x-a）(1-x-a)<1对xR恒成立
x2-x+(1-a2+a)>0对xR恒成立
Δ=1-4（1-a2+a）<0
4a2-4a-3<0
故应选C
类型三：二元一次方程（组）与平面区域
例6．不等式组表示的平面区域的面积为　　（　）
A．4 　 B.1　 C.5　 D.无穷大
【答案】B
【解析】如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可.
【总结升华】正确的画出可行域是解决这类问题的关键.
举一反三：
【变式】不等式组在xy平面上的解的集合为（ ）
A．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集
【答案】B
类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
例7．已知点P(x，y)满足条件 ，(k为常数)，若x＋3y的最大值为8，则k＝________.
【答案】　－6
【解析】　作出可行域如图所示，
作直线l0：x＋3y＝0，平移l0知当l0过点A时，x＋3y最大，由于A点坐标为.
∴，从而k＝－6.
【总结升华】注意线性规划问题的求解步骤，含有参数的问题注意变化的范围，多结合图形解决问题.
举一反三：
【变式1】 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件
则的最大值是（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】C
【变式2】某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又最大利润为多少？
【解析】设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
则x，y必须满足，
目标函数为z＝15x＋10y
在可行区內的顶点附近z＝f ( x，y ) 的最大值，
( x，y ) ( 0，10 ) ( 1，9 ) ( 2，8 ) ( 3，6 ) ( 4，5 ) （5，3） （6，1） ( 7，0 )
f ( x，y ) 100 105 110 105 110 105 100 105

所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。
类型五：基本不等式的应用
例9．（1）设a,b,c是RtΔABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围；
（2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。
【解析】（1）由已知得c2=a2+b2 ①
4-c=a+b ②
a,bR+且满足2（a2+b2）≥(a+b)2 ③
∴将①，②代入③得2c2≥(4-c)2
④
∵a+b>c a+b+c>2c
又a+b+c=4
∴c<2 ⑤
于是由④、⑤得
∴所求C的取值范围为
（2）由已知得b2=ac ①
1-b=a+c ②
由题设知a、c同号
（i）当a,c同为正数时，(当且仅当a=c时等号成立)
∴由①得a+c≥2|b|
∴再由②得1-b≥2|b|2|b|+b≤1 ③
∴若b>0，则由③得；
若b<0， 则由③得 -1≤b<0
∴由③解得-1≤b<0或
(ii)当a,c 同为负数时，
④
∴由②、④得1-b≤-2|b|2|b|-b≤-1，无解
于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[-1，0）∪（0， ]
【总结升华】基本不等式应用时应注意变量的条件，不符合的要凑出适用条件；
举一反三：
【高清课堂：不等式综合 例2】
【变式1】已知关于x的方程的两根为，试问是否存在实数m，使得不等式 对任意实数a∈[－1,1]及l∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】
【变式2】建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低造价为 元.
【答案】1760
【解析】设水池池底的一边长为xm，则另一边长为，则总造价y为：
（元）
当且仅当即时，y取最小值为1760.
所以水池的最低造价为1760元.
不等式
不等关系与不等式
一元二次不等式及其解法
二元一次不等式（组）与平面区域
基本不等式
最大（小）值问题
简单的线性规划
2x + y – 6= 0 = 5
x＋y – 3 = 0
O
y
x
A
B
C
M
y =2【巩固练习】
一、选择题
1．已知数列的通项公式为，则该数列的首项和第四项分别为
A.0,0 B.0,1 C.-1,0 D.-1,1
2．一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)：
第1行 1
第2行 2　3
第3行 4　5　6　7
… …
则第9行中的第4个数是(　　)
A．132 　　　　 B．255 C．259 D．260
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
4．已知数列{an}，，前n项和为Sn，关于an及Sn的叙述正确的是(　　)．
A．an与Sn都有最大值 B．an与Sn都没有最大值
C．an与Sn都有最小值 D．an与Sn都没有最小值
5．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　　）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
6．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
二、填空题
7．设Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S9＝18，Sn＝240，若an－4＝30(n>9)，则n＝________.
8．我市民间刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案， 这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为f(n)＝________(n∈N*)．
9．已知等比数列{an}的前n项和，则实数t的值为________．
10．设数列{an}的通项为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
三、解答题
11．已知函数f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且a1，a2，a3，…，an构成数列{an}，又f(1)=n2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：．
12．已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．
（1）求公差的值；
（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；
13．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn.
14．求和：
15．已知数列，，且，求。
16．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：
方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；
方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．
问哪种方案合算？
【答案与解析】
1．【答案】 B
【解析】，
2．【答案】C
【解析】由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列．前8行数的个数共有 (个)，故第9行中的第4个数是259.
3．【答案】　C
【解析】　∵S偶－S奇＝5d，
∴5d＝15，∴d＝3.
4．【答案】　C
【解析】　画出的图象，
点(n，an)为函数图象上的一群孤立点，为对称中心，S5最小，a5最小，a6最大．
5．【答案】 B
【解析】由题意知：，，则
即
∵，∴，
解得或（舍去），故选Ｂ
6． 【答案】 B
法一：依据已知有即，解得，
所以。
法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列、、成等差数列，
所以，有，故选B。
7．【答案】　15
【解析】　由，得a5＝2，
∴，
∴n＝15.
8．【答案】　2n2－2n＋1
【解析】
f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，…
则有：f(2)－f(1)＝4＝1×4，
f(3)－f(2)＝8＝2×4，
f(4)－f(3)＝12＝3×4，
……
f(n)－f(n－1)＝(n－1)×4，
∴.
9．【答案】　5
【解析】　∵，，
a3＝S3－S2＝4t.
∵{an}为等比数列，
∴，
∴t＝5或t＝0(舍去)．
10．【解析】　由an＝2n－7<0 n<3.5，
∵n∈N*，∴n＝1,2,3，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15＝S15－2S3＝153.
【答案】　153
11．【解析】
（1）由题意：f(1)=a1+a2+…+an=n2，(n∈N*)
n=1时，a1=1
n≥2时，an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1)=n2-(n-1)2=2n-1
∴对n∈N*总有an=2n-1,
即数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)
∴
∴
12．【解析】
（1）∵，∴，解得
（2）∵，∴数列的通项公式为
∴
∵函数在和上分别是单调减函数，
∴，当时，
∴数列中的最大项是，最小项是
13．【解析】
(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题意q>0.
∴， 解得
∴an=1+(n-1)d=2n-1，bn=qn-1=2n-1
(2)
∴Sn= ①
2Sn= ②
②-①可知，Sn=
=
=.
14．【解析】
若为偶数，令（），
则；
若为奇数，令（），
则.
15．【解析】
方法一：
由题意：，，
，……，，
上述各式相加得：
∴。
∴。
方法二：
由题意得：
。
16．【解析】
（1）由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．
设纯收入与年数n的关系为f（n），
则…．
由题知获利即为f（n）＞0，
由，得．
∵nN，∴n＝3，4，5，…，17．
即第3年开始获利．
（2）方案一：年平均收入．
由于（当且仅当n＝7时取“＝”号）
∴（万元）．
即前7年年平均收益最大，此时总收益为12×7＋26＝110（万元）．
方案二：f（n）＝＋40n-98＝-2＋102．
当n＝10时，f（n）取最大值102，此时总收益为102＋8＝110（万元）．
比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n＝7，故选方案一．【巩固练习】
一、选择题
1．等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　)
A．3×10－5 B．3×29
C．128 D．3×2－5或3×29
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，,2a2成等差数列，则＝(　　)
A． B．
C． D．
3．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
4．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　)
A．2 B.
C. D．3
6．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于(　　)
A. B.
C．20 D．110
二、填空题
7．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________.
8．在等比数列中，若，则公比= ；= .
9.在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m＝________.
10．等比数列中Sn＝48，S2n＝60，则S3n等于________．
三、解答题
11.在等比数列{an}中，已知：a1=2,S3=26,求q与a3;
12.已知：对任意自然数n都有a1+a2+……+an=2n-1，求+……+.
13．有四个数，前三个成等比数列，且和为19；后三个成等差数列，且和为12.求这四个数.
14．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
15．已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，{an}中部分项组成的数列恰为等比数列，且知k1=1, k2=5,k3=17.
（1）求kn；
（2）证明： k1+k2+……+kn=3n-n-1.
【答案与解析】
1. 【答案】　D
【解析】　∵，a4＝a3q，
∴，a4＝12q.
∴.即2q2－5q＋2＝0，
∴或q＝2.
或a10＝12×27＝3×29.故选D.
2．【答案】　C
【解析】　由题意知
即a1q2＝a1＋2a1q
∴q2－2q－1＝0
∴或 (舍)
，故选C.
3. 【答案】　D
【解析】　由于.故选D.
4. 【答案】　C
【解析】　由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，则an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
5. 【答案】　B
【解析】　设公比为q，则，
于是.
6. 【答案】　B
【解析】　由题意知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100，
S偶＝a2·a4·…·a2n＝120
∴，
∴，故选B
7．【答案】　11
【解析】　设数列{an}的公比为q，则由已知，得q3＝－2.
又，
∴，
∴.故填11.
8．【答案】2，.
【解析】，解得，
9. 【答案】　11
【解析】　am＝a1·a2·a3·a4·a5
＝a15· q1＋2＋3＋4＝a15q10＝a1·q10
∴m＝11.
10. 【答案】　63
【解析】　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
又Sn＝48，S2n＝60，∴S3n－S2n＝S3n－60
∴122＝48(S3n－60)
∴S3n＝63.
11.【解析】2(1+q+q2)=26, 解得q=3或q=-4.当q=3时a3=18；当q=-4时, a3=32.
12.【解析】依题意Sn=2n-1,易求得an=2n-1, a1=1且公比为2，可知，，……成等比数列，公比为4.∴++……+==.
13．【解析】依题意设这四个数为y, x-d, x,x+d，
∵后三个数和为12，∴(x-d)+x+(x+d)=12，解得x=4.
又前三个数成等比且和为19，
∴, 解得或，
∴这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18.
14.【解析】　(1)依题意有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而.
(2)由已知可得，
故a1＝4，
从而.
15．【解析】
依题意：=a1, =a5=a1+4d, =a17=a1+16d，而，，为等比数列.
故有(a1+4d)2=a1(a1+16d),解得a1=2d.
因而{}的公比q====3.
而在等差数列{an}中是第kn项，
∴=a1+(kn-1)d,即=(kn+1)d……(1)
又在等比数列{}中是第n项，
∴=a1·qn-1即=2d·3n-1……(2)
联立(1)(2)，解得kn=2·3n-1-1.
（2）k1+k2+……+kn=(2·30-1)+(2·31-1)+……+(2·3n-1-1)=2(30+31+……+3n-1)-n
=一元二次不等式及其解法
编稿：张希勇 审稿：张希勇
【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；
2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.
设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数（）的图象
有两相异实根 有两相等实根 无实根
要点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法
例1. 解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
【解析】
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：
因而不等式的解集是.
方法二： 或
解得 或 ，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：
所以，原不等式的解集是
方法二：（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：∵
∴原不等式的解集是.
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】
【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.
【答案】由题意知或
解得：x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
【变式2】解不等式：
【答案】原不等式可化为不等式组
，即，即，
解得
∴原不等式的解集为.
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解关于x的不等式：ax2-x+1>0
【解析】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；
若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.
方程的判别式△=1-4a
(Ⅰ)当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，
故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为实数集R；
(Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，
故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为；
(Ⅲ)当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根
，，
①当时，函数的图象开口向上，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为；
②当a<0时，函数的图象开口向下，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：
所以，此时不等式的解集为；
综上所述：
a<0时，原不等式解集为；
a=0时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为实数集R.
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时，解集为；
②当0③当a>1或 -1【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型二 含参数的一元二次不等式的解法】
【变式2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【答案】
当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为.
【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若， 即时，；
若， 即时，x∈R；
若， 即时，.
②当a<0时，则有：， ∴ .
【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0时，.
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
①a>0时，则Δ>0，.
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0， 即 -1 类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【思路点拨】
由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
举一反三：
【变式1】不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3【答案】由不等式的解集为{x|-3由根与系数关系得
解得a=-2, b=-2.
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得,
代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
类型四：不等式的恒成立问题
例5．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.
举一反三：
【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】
【变式2】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【答案】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理，得
解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
开始
结束
将原不等式化成一般形式ax2+bx+c>0(a>0)
Δ=b2-4ac
求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2
方程ax2+bx+c=0没有实数根
原不等式解集为R
原不等式解集为
原不等式解集为{x|xx2}(x1Δ≥0
x1=x2
否
是
是
否【巩固练习】
一、选择题
1．中，若，，，则 （ ）
A、3 B、 C、4 D、
2．中，若，则有（ ）
A. B. C. D.、大小不能确定
3．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　)
A．12　　　　　　　　　　　　 B.
C．28 D．
4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
5. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
二、填空题
6. 在中,已知,则的度数为 .
7. 在中,已知，，，(其中为外接圆的半径),
则 。
8．中 ,若，，，则______
9.已知中，，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么BC的边长等于
10. 中三边分别为a,b,c,且那么角C=
11．锐角△ABC的面积为，BC＝4，CA＝3，则AB＝________.
12．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．
三、解答题
13．已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．
14. 在△ABC中，若，请判断三角形的形状.
15. 已知的三角内角、、有2B=A+C，三边、、满足.
求证：.
【答案与解析】
1. 答案：　D
解析：∵，∴
由余弦定理有，∴.
2. 答案：　C
解析：∵，∴由正弦定理有，
即，整理得
即， ∴
3答案：　D
.解析：　由余弦定理可得cos A＝，A＝60°，∴S△ABC＝bcsin A
＝.故选D.
4. 答案：B
解析： 设中间角为，则为所求
5. 答案：A
解析：长为6的边所对角最大，设它为， 则
6.解析：∵，∴，
∴，∴
7.解析：∵，∴，
∵，∴
8. ；
解析：∵，∴， ∴.
9. 答案：
解析：∵，∴
而
∴A10. 答案：
解析：∵
∴即
∴
11. 答案：　
解析：　由三角形面积公式得
×3×4·sin C＝，sin C＝.
又∵△ABC为锐角三角形
∴C＝60°.
根据余弦定理
AB2＝16＋9－2×4×3×＝13.
AB＝.
12. 答案：　45°
解析：　a2＝b2＋c2－2bccos A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos A＝bcsin A，从而sin A＝cos A，tan A＝1，A＝45°.
13. 解析：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·3·2·(-)＝49．
　　∴　b＝7，
S△＝acsinB＝×3×2×＝．
14. 解析：
∴等腰三角形或直角三角形
15解析：
∵且，∴，，
∵, ∴，即，
又∵， ∴ ，
即 ，
∴，
∵ , ∴，即，
故.【巩固练习】
一、选择题
1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝＝12，则c的值为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．8
C．4或8 D．无解
2．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝，则角C为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2A. B.
C. D.
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝，且∠A＝75°，则b＝(　　)
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.
5.在△ABC中，若则△ABC中最大角的度数为（ ）
A．120o B．90o
C．600 D.150o
6．在△ABC中，若a2＋b2－c2<0，则△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．都有可能
二、填空题
7．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B
＝ac，则角B的值为________．
9．在中，若，则的大小是___________.
三、解答题
10．在中，若，求.
11. 在中，A=120O ,AB=5,BC=7,求AC
12. 在中，已知AB=2,BC=5, 的面积等于4，若，求cos
13. 在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b14.在△ABC中，已知sin C＝，试判断三角形的形状．
15. 在△ABC中，已知c＝，b＝1，B＝30°.
(1)求角A；
(2)求△ABC的面积．
【答案与解析】
1. 答案：　C
解析：　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
2. 答案：　B
解析：　根据余弦定理：
,
∴C＝60°.
3. 答案：　B
解析：　根据余弦定理：，∴A为锐角．
∵在不等边三角形中，a是最大边，∴A是最大角，
∴△ABC为锐角三角形，∴4. 答案：　A
解析：　△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，
∴
=4
∴b＝2.
5. 答案：　A
解析：　∵c>a>b,故C最大，cosC=
∴A=120 o
6. 答案：　C
解析：　由余弦定理，得<0.
所以C为钝角．于是△ABC为钝角三角形．
7.解析：　由题设和正、余弦定理得，
化简得a2－b2＝0，即a＝b.
答案：　等腰三角形
8.解析：　∵＝cos B，
结合已知等式得cos B·tan B＝.
∴sin B＝，
∵B∈(0，π)
∴B＝或
答案：或
9.解析：abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，
由余弦定理可解得的大小为.
10.解析：∵，
∴由余弦定理的推论得：
∵，
∴.
11. 解析：得
即解得，AC=3或AC=-8(舍)
12. 解析：
13. 解析：　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可求得
14. 解析：　∵sin C＝，
由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b，
再由余弦定理得，
c·＋c·＝a＋b，
∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0，
∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，
故三角形为直角三角形.
15. 解析：　(1)由得
sin C＝sin B＝×sin 30°＝.
∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或C＝120°.
∴A＝90°或A＝30°.
(2)S△ABC＝bcsin A
＝×1×sin 90°＝.
或S△ABC＝bcsin A＝×1××sin 30°＝.
即△ABC的面积为或.解三角形应用举例
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【学习策略】
解斜三角形的知识主要用于测量及航海两大类型问题.实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比 ( http: / / baike. / view / 1001859.htm" \t "_blank )，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点的方位角是。
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；
如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.
东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：距离问题
例1如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C、D，测得，并且在C、D两点分别测得，，，，求河的对岸的两点A、B间的距离。
【思路点拨】
这是一道关于研究两个不可到达的点之间的距离测量问题。题目条件告诉了边CD的长以及以C、D为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理和正弦定理很容易算出AC、AD、BC或BD；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。
【解析】在中， ，，
∴，
∴在中，
在中，，，，
∴，
由正弦定理得：
在中，由余弦定理得：
故A、B间的距离为.
【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
举一反三：
【变式1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是42m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离.
【答案】
根据正弦定理，得，
∴
答:A、B两点间的距离为.
【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D、E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，又测得A、B两点到隧道口的距离AD=80m，BE=40m(A、D、E、B在一条直线上)，计算隧道DE的长.
【答案】在△ABC中，CA=400m，CB=600m， ∠ACB=60°，
由余弦定理得
∴
∴
答：隧道长约为409.2m.
类型二：测量高度问题
【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】
例2 某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【思路点拨】
画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。
【解析】由上图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在
.由正弦定理，得
∴
在中，
∴
在中，∴（米）
故所求塔高为米
【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.
举一反三：
【变式】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
【答案】所求角，建筑物高度为15m。
类型三：方位角问题
例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在西偏北的方向上,行驶后到达B处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,求此山的高度CD.
【思路点拨】
欲求出CD，只需在BCD中求出BD或BC，而在BCD中先求BC边比较适合；或设CD=x,列方程解答.
【解析】方法一：在ABC中, ，，,
根据正弦定理： = ,有，
∴ .
方法二：设CD=x，则，
根据正弦定理： = ,有，
∴，解得，即.
【总结升华】正确地画出其空间示意图是解题的关键.
举一反三：
【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏西30，灯塔B在观察站C南偏西60，则A、B之间的距离为 ；
【答案】；
如图，，，。
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】B
类型四：航海问题
【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】
例4如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船 并求出所需要的时间.
【思路点拨】这里必须弄清楚三个概念：
(1)方位角；
(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；
(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等，画出示意图，即可求出CD的方位角及由C到D所需航行的时间.
【解析】设缉私船追上走私船需，则，.
由余弦定理，得
，
由正弦定理，得，
∴，而，
∴
∴，.
∴，即，∴
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形.
举一反三：
【变式1】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？
【答案】　由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得
∴DB
＝
＝
＝10 (海里)
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°
BC＝20海里
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)
答：救援船到达D点需要1小时．
【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】
【变式2】如图所示，海中小岛A的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？
【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC(或AB)，再算出A到BC所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.
在中，，，，
∴，
由正弦定理知：，∴
∴
于是A到BC所在直线的距离为(海里)
它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.【巩固练习】
选择题
1. 下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时， B．当x>0时，
C．当x≥2时，的最小值为2 D．当02.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为(　　)
①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤.
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
3.设,若是与的等比中项,则的最小值为( )
A.8 B.4 C.1 D.
4．若-4A．最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-1
5. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为(　　)
A．240 B．200
C．180 D. 160
6．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)
A．3 B．4
C. D.
填空题
7．已知x，y∈R＋，且满足，则xy的最大值为________．
8．若lgx+lgy=1，则的最小值为_____.
9. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
10. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．
11. 有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．
解答题
12. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？
13. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：.
14.求证:
15. 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．
【答案与解析】
1．【答案】　B
【解析】　
A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，
∴或；
C中，当x≥2时，；
D中，当02. 【答案】　C
【解析】　因，所以①正确；
因，
所以，故②不正确；
因，所以③正确；
因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；
因，所以⑤正确．
故正确的命题为①③⑤.
3．【答案】B
【解析】由题意的，所以，
则.
4．【答案】D
【解析】
5. 【答案】B
【解析】依题意得每吨的成本是，则 ，当且仅当 ，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.
6．【答案】　B
【解析】　∵
∴
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
∴x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍)．
7．【答案】　3
【解析】　由为定值知
.
∴当且仅当时xy有最大值3.
8．【答案】2
【解析】lgx+lgy=1, xy=10, .
9. 【答案】
【解析】，当且仅当时取等号．
10. 答案:
【解析】　
又
∴
∴
11. 【答案】2500 m2
【解析】设所围场地的长为x，则宽为，其中012. 【解析】∵, ∴,
∴
当且仅当即时，原式有最小值1.
13.【解析】 证明：∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，∴，
， .
∴
＝3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴.
14.【解析】证明:由基本不等式和得
=
当且仅当即时取等号.
15. 【解析】
(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用为y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝(6x2－6x)(元)．
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x元，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为.
∴，
当且仅当，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，为714元．【巩固练习】
选择题
1．不等式(x＋3)2＜1的解集是(　　)
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
2．若，则a,b,c的大小顺序是(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．a>c>b
C．c>a>b D．b＞c>a
3.已知集合则等于(　　)
A． B．
C． D．
4．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[0,4) D．(0,4)
5．满足不等式y2－x2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是(　　)
6．已知x，y为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
7．若a＞1，则的最小值是(　　)
A．0 B．2
C. D．3
填空题
8．设a＜0，－1＜b＜0，则a、ab、ab2从小到大的顺序为________．
9.已知，则的最大值是 .
10.若，已知下列不等式：
①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④；
⑤a2＞b2；⑥2a＞2b.
其中正确的不等式的序号为________．
11．已知点P(x，y)满足条件 (k为常数)，若x＋3y的最大值为8，
则k＝________.
解答题
12.已知，解关于x的不等式.
13.求函数的值域.
14.若不等式对任意恒成立，求a的最小值.
15.某城建公司承包旧城拆迁工程，按合同规定要在4个月内完成，若提前完成，每提前一天可获得2千元奖金，但要追加投入费用，追加投入费用按以下关系计算：（单位：千元），其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？（附加效益=所获奖金-追加投入费用）
【答案与解析】
1. 【答案】　C
【解析】　原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，
解得－4＜x＜－2.
2. 【答案】　B
【解析】　由，得
b3. 【答案】　D
【解析】　，
∴，故选D
4. 【答案】　C
【解析】　(1)当k＝0时，不等式变为1＞0成立；
(2)当k≠0时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，
则
即0＜k＜4，所以0≤k＜4.
5. 【答案】　B
【解析】　取测试点(0,1)可知C，D错；再取测试点(0，－1)可知A错，故选B.
6. 【答案】　C
【解析】　∵x，y为正实数，
∴，
当且仅当x＝4y即，时取等号．
7. 【答案】　D
【解析】　
∵a＞1，∴a－1＞0
∴.
当且仅当即a＝2时取等号．
8. 【答案】　ab＞ab2＞a
【解析】　方法一：ab－ab2＝ab(1－b)＞0，
ab2－a＝a(b2－1)＞0，
∴ab＞ab2＞a.
方法二(特值法)：取a＝－1，，
易得a＝－1，，，
∴ab＞ab2＞a.
9.【答案】9
【解析】 当且仅当时取等号，故最大值为9
10. 【答案】　①④⑥
【解析】　∵，
∴b＜a＜0，故③错，
又b＜a＜0，可得|a|＜|b|，a2＜b2，故②⑤错．
11. 【答案】　－6
【解析】　作出可行域如图所示，
作直线l0：x＋3y＝0，平移l0知当l0过点A时，x＋3y最大，由于A点坐标为.
∴，从而k＝－6.
12.【解析】原不等式可化为
∵0∴
∴不等式的解集是
13【解析】，
若则，
当且仅当 即x=3时，取等号.
若则，
∴当且仅当即x=1时，取等号.
14.【解析】∵
∴原不等式可变为
对一切恒成立，
设
∵在上为增函数，
∴的最大值=
∴a的最小值为.
15.【解析】设该城建公司获得附加效益为y千元，则由题意，得
当且仅当时取等号.简单的线性规划问题
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；
掌握线性规划问题的图解法.
能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.
【要点梳理】
要点一、线性规划的有关概念：
线性约束条件：
如果两个变量、满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量、的约束条件，这组约束条件都是关于、的一次不等式，故又称线性约束条件．
线性目标函数：
关于、的一次式是欲达到最大值或最小值所涉及的变量、的解析式，叫线性目标函数．
线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
可行解、可行域和最优解：
在线性规划问题中，
①满足线性约束条件的解叫可行解；
②由所有可行解组成的集合叫做可行域；
③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题.
要点二、线性规划的应用
1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.
2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.
要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等.
要点三、确定线性规划中的最优解
对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是：
① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；
② 画出可行域；
③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)；
④作答．
要点诠释：
确定最优解的思维过程：
线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.
对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.上述求整点最优解的方法可归纳为三步：
找整点---验证--- 选最优解
【典型例题】
类型一：求目标函数的最大值和最小值.
例1.已知、满足约束条件，求下列各式的最大值和最小值.
（1）； （2）.
【解析】
（1）不等式组表示的平面区域如图所示：
求出交点，，，
作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，
当经过点时的直线所对应的最大，所以；
当经过点时的直线所对应的最小，所以.
（2）不等式组表示的平面区域如图所示：
作过点的直线:，平移直线，得到一组与平行的直线:,.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于的直线中，
当经过线段上的所有点时的直线所对应的最大，所以；
当经过点时的直线所对应的最小，所以.
【总结升华】
1.本题的切入点是赋予“”恰当的几何意义：纵截距或横截距；
2.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；
3.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个，此时目标函数的图象一定与区域中的一条边界直线平行．
举一反三：
【变式1】求的最大值和最小值，使式中的、满足约束条件.
【答案】不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，
以经过点的直线所对应的最小，
以经过点的直线所对应的最大.
所以，
.
【变式2】求的最大值、最小值，使、满足条件
【答案】，
类型二：已知目标函数的最值求参数.
【高清课堂：简单的线性规划问题 训练2】
例2.已知变量x，y满足条件
若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y
仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线
x＋2y－3＝0的斜率，即，∴.
【总结升华】这是线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系.
举一反三：
【变式1】若满足约束条件目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围（ ）
A.(-1,2) B.(-4,2) C(-4,0) D.(-2,4)
【答案】B
【解析】可行域为△ABC，如图
当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝＞kAC＝－1，a＜2.
当a＜0时，k＝＜kAB＝2，∴a＞－4. 综合得－4＜a＜2.
【变式2】已知实数满足如果目标函数的最小值为-1，则实数m等于
A.7 B.5 C.4 D.3
【答案】B
类型三：实际问题中的线性规划.
【高清课堂：一元二次不等式及其解法 例4】
例3. 某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：
产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）
A产品 3 9 4
B产品 10 4 5
已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？
【解析】设生产A、B两种产品各x、y吨，利润为z万元
则，目标函数
作出可行域，如图所示，
作出在一组平行直线7x+12y=t（t为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线，
此直线经过点M（20，24）
故z的最优解为（20，24），z的最大值为7×20+12×24=428（万元）.
【总结升华】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
举一反三：
【变式】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润
【答案】设制作x把椅子，y张桌子约束条件：，
目标函数：z=15x+20y.
如图：目标函数经过A点时，z取得最大值
即A(200, 900)
∴ 当x=200, y=900时，zmax=15×200+20×900=21000(元)
答：安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元.
例4.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元.有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少
【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件
约束条件：，
目标函数：z=7000x+12000y
如图：目标函数经过A点时，z取得最大值
， 即A（20，24）
∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）.
答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元.
【总结升华】注意本例中变量的取值限制.
举一反三：
【变式】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？
【答案】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：
，即
如图所示，作出不等式表示的区域，
作直线，即，
作直线的平行线：
当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，
可得A点坐标为.
∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，
而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，
即过时，，
但此时，
∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，
当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求.
∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，
即zmin=160×5+2×252=1304（元）【巩固练习】
选择题
1．等差数列{an}中，，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于(　　)
A．48　　　　　　　　　　　 B．49
C．50 D．51
2．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列(　　)
A．是公差为2的递增等差数列 B．是公差为5的递增等差数列
C．是首项为7的递减等差数列 D．是公差为2的递减等差数列
3.已知{an}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于(　　)
A．20　　　　　　　　　　 B．48
C．60 D．72
4. 已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
5. 若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12　　　　　　　　　　　 B．13
C．14 D．15
6. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
填空题
7.等差数列{an}中，a1>0, d≠0, S20=S30, 则Sn取得最大值时的n的值为_____.
8.在公差d=的等差数列{an}中，已知S100=145，则a1+a3+a5+……+a99的值为_____.
9.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.
10.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足511. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.
解答题
12.在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.
13．已知数列{an}是等差数列，令，求证：{bn}也是等差数列.
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，……成等差数列.
15．已知等差数列{an}满足，Sp=q，Sq=p，(p≠q)，求Sp+q.
16．已知等差数列{an}中，a1＜0，S9=S12，求Sn何时取最小值.
【答案与解析】
1．答案：　C
解析：　∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4
又∵，∴
∴
∴n＝50.故选C.
2. 答案：　A
解析：　∵an－an－1＝(2n＋5)－[2(n－1)＋5]＝2(n≥2)，
∴{an}是公差为2的递增等差数列．
3. 答案：　A
解析：　∵a6＋a8＝2a7，
又a3＋a11＝2a7＝40.∴a7＝20.
∴a6－a7＋a8＝2a7－a7＝a7＝20，故选A.
4. 答案：　C
解析：　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
5. 答案：　B
解析：　
∴a1＋a5＝10，又∵a1＋a5＝2a3
∴a3＝5，a2＝3，∴d＝2
∴a7＝a3＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选B.
6. 答案：　A
解析：　设S3＝m，∵，
∴S6＝3m，∴S6－S3＝2m，
由等差数列依次每k项之和仍为等差数列，
得S3＝m，S6－S3＝2m，S9－S6＝3m，S12－S9＝4m，
∴S6＝3m，S12＝10m，
∴，故选A.
7.答案 25；
解析：等差数列前n项和Sn=an2+bn可判断a<0，故考查函数S(x)=ax2+bx.
由S(20)=S(30)知抛物线对称轴x=即x=25，
故n=25.
8. 答案60；
解析:设,
,
由题有
故B=(145－50d)×=60.
9. 答案2，4，6，8；
解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.易知x=5，d=1或-1
10. 答案：　8
解析：　由Sn＝n2－9n，得此数列为等差数列，计算得an＝2n－10，由5<2k－10<8，得7.511. 答案：　13
解析：　由已知得，解得，
所以a6＝a1＋5d＝13.
12. 解析：
解法一：统一成关于a1，n，d的表达式.
设{an}的首项和公差分别为a1和d，则
a3+a4+a5+a6+a7=5a1+20d=450
.
解法二：am+an=ap+aqm+n=p+q
由等差数列的性质可知
a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5
∴.
13．证明：
设{an}公差为d，则
=(an+2+an+1)·d-(an+1+an)·d
=d·[(an+2+an+1)-(an+1+an)]
=d·(an+2-an)
=d·2d
=2d2
∵2d2是与n无关常数
∴{bn}是等差数列.
14．证明：
取数列Sn，S2n-Sn，……中的第k+1项和第k项作差：
(S(k+1)n-Skn)-(Skn-S(k-1)n)
=akn+1+akn+2+…+a(k+1)n-(a(k-1)n+1+…+akn)
=(akn+1-a(k-1)n+1)+(akn+2-a(k-1)n+2)+…+(a(k+1)n-akn)
故Sn，S2n－Sn，……成公差为n2d的等差数列.
15．解析：
①
②
①－②得
即
p≠q，∴
16．解析：
S12－S9=a10+a11+a12=0 ∴3a1+30d=0 ∴a1=－10d，a1＜0，∴d＞0
，d＞0，
∴是开口向上的二次函数且
∴的图象对称轴为，∴
又n∈N*，故n=10或11时Sn最小
∴S10和S11最小.【巩固练习】
选择题
1．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0
2．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．已知a,b,cR,则下面推理中正确的是( )
A．a>b am2>bm2 B . a>b
C．a3>b3, ab>0 D.a2>b2, ab>0
4．若x+y>0,a<0,ay>0，则x-y的值为( )
A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、符号不确定
5．已知，则有（ ）
A. B. C. D.
6．若任意实数，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7．下列命题中的真命题为
（１）若a>b, 则ac2>bc2；
（２）若a（３）若a；
（４）若a（５）若c>a>b>0，则＞．
8．若实数试确定的大小关系 .
9．已知则M、N、P的大小顺序是 .
10．设由小到大的排列顺序是
三、解答题
11. 如图，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)
12．已知,且，，比较和的大小.
13．设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小。
14.已知，试比较 的大小.
15. 甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
16、已知
【答案与解析】
1．【答案】　D
【解析】　a－|b|＞0即－a＜b＜a∴∴D正确．
对于A：由a－b＞0则b－a＜0∴A错．
对于B：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a－b)2＋b2]＞0∴B错．
对于C：a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0∴C错．
2．【答案】A
【解析】A 即寻找命题使，推不出，逐项验证可选A
3．【答案】C
【解析】用淘汰法。
　　 (A)中若m=0不成立；(B)中若c<0，不成立；(C)中a3-b3>0(a-b)(a2+ab+b2)>0。
　　 ∵a2+ab+b2>0恒成立，故a-b>0。
　　 ∴a>b，又∵ab>0，∴<
　 (D)中a2>b2(a+b)(a-b)>0，不能说明a>b，故本题应选(C)。
4．【答案】A
【解析】用直接法。
　　 ∵a<0，ay>0y<0，
　　 又∵x+y>0x>0，
　 　∴x-y=x+(-y)>0。故本题应选(A)。
5．【答案】D
【解析】∵0＜x＜y＜a＜1，∴0＜xy＜1，故loga(xy)＞0，排除A，
又xy＜y＜a，故loga(xy)＞logaa＝1，排除B，
∵loga(xy)＝logax＋logay＞logaa＋logaa＝1＋1＝2，故选D。
6．【答案】D
【解析】∵a＞b且y＝为单减函数，故，故选D，
因不知道a，b的正负，故可排除A、B、C选项。
7．【答案】（4）（5）【解析】
（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题。
（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题。
（３）由于a（４）∵a|b|>0，∴＜１，∴＜１，故原命题为真命题．
（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，
又∵a>b>0 ，∴＞，故原命题为真命题．
8．【答案】
【解析】由已知，
∴
综上所述，
9．【答案】
【解析】 ，， ，，
，
10．【答案】
【解析】特殊值法：对a、b、m、n分别取特殊值，
比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得.
11.【解析】　
(1)销售量大于a吨，即x＞a时，公司赢利，
即f(x)＞g(x)．
(2)当销售量小于a吨，即0≤x＜a时，公司亏损，
即f(x)＜g(x)
12．【解析】,
当时，， ， ，即.
当时， ，，即
综上
13．【解析】作差：
(1) 当， 即0(2) 当
(3) 当
, 此时，其中时取等号。
(4) 当 即时，，此时
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1＋logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1＋logx3＜2logx2；
当x＝时，1＋logx3＝2logx2。
14.【解析】作差：
∵
∴ 上式>0 ，即
15.【解析】　设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b.则甲采购员两次购粮的平均单价为元/kg，
乙采购员两次购粮的平均单价为元/kg.
∵，
又a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
∴0，即.
所以乙采购员的购粮方式更合算．
16.【解析】令
∴
∵∴
∴
即【巩固练习】
选择题
1．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[0,4) D．(0,4)
2. 若a＞1，则的最小值是(　　)
A．0 B．2
C. D．3
3．若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）
A．2∈M，0∈M B．2M，0M C．2∈M，0M D．2M，0∈M
4. 在坐标平面上，不等组所表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．2
5．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．若a，b，c＞0且，则2a+b+c的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）
A．[6，15] B．[7，15] C．[6，8] D．[7，8]
填空题
8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________.
9.已知，则的最大值是 .
10.若，已知下列不等式：
①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④；
⑤a2＞b2；⑥2a＞2b.
其中正确的不等式的序号为________．
11．已知点P(x，y)满足条件 (k为常数)，若x＋3y的最大值为8，则k＝________.
解答题
12.不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
13. 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
14.若不等式对任意恒成立，求a的最小值.
15. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【答案与解析】
1. 【答案】　C
【解析】　(1)当k＝0时，不等式变为1＞0成立；
(2)当k≠0时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，
则
即0＜k＜4，所以0≤k＜4.
2. 【答案】　D
【解析】　
∵a＞1，∴a－1＞0
∴.
当且仅当即a＝2时取等号．
3．【答案】A
【解析】，
∵。
∴2∈M，0∈M.
4. 【答案】B
【解析】或
图形△ABC的面积即为所求。
所以.
5.【答案】C
【解析】只需求的最小值大于等于9即可，
又
，(等号成立当且仅当)
所以，即
得或（舍），所以a≥4，即a的最小值为4.
6.【答案】D
【解析】
由
。
而。
当且仅当a+b=a+c，即b=c时等号成立.
7.【答案】D
【解析】如图所示，由图形知A（2，0），C（0，4）。
又由知，B (4－s，2s－4)，C＇(0，s)
（1）当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC＇，此时7≤z≤8；
（2）当4≤s≤5时，可行域是△OAC，此时，zmax=8.
8. 【答案】
【解析】点P（x，y）满足的可行域△ABC区域，A（1，1），C（1，3）
由图可知；。
9.【答案】9
【解析】当且仅当时取等号，故最大值为9
10. 【答案】　①④⑥
【解析】　∵，
∴b＜a＜0，故③错，
又b＜a＜0，可得|a|＜|b|，a2＜b2，故②⑤错．
11. 【答案】　－6
【解析】　作出可行域如图所示，
作直线l0：x＋3y＝0，平移l0知当l0过点A时，x＋3y最大，由于A点坐标为.
∴，从而k＝－6.
12. 【解析】　若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，不合题意；
当m＝3时，符合题意．
若m2－2m－3≠0，设f(x)＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1，则由题意，得
解得：.
综合以上讨论，得.
13.【解析】　因为ax2－(a＋1)x＋1＜0 (ax－1)(x－1)＜0
(1)当a＝0时，(ax－1)(x－1)＜0 －x＋1＜0 x＞1；
(2)当a＜0时，(ax－1)(x－1)＜0 (x－1)＞0
或x＞1；
(3)当a＞0时，(ax－1)(x－1)＜0 (x－1)＜0
因为
①当即a＞1时，
，(ax－1)(x－1)＜0 ＜x＜1.
②当，即当a＝1时，不等式的解集为 .
③当0，即0＜a＜1时，
，(ax－1)(x－1)＜0 1＜x＜；
综上所述：原不等式的解集为：
当a＜0时为；
当a＝0时为{x|x＞1}；当0＜a＜1时为；
当a＝1时为 ；当a＞1时为.
14.【解析】∵
∴原不等式可变为
对一切恒成立，
设
∵在上为增函数，
∴的最大值=
∴a的最小值为
15. 【解析】　设投资人分别用x，y万元投资甲、乙两个项目，
由题意，得，
目标函数为z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，此时z最大，这里点M是直线x＋y＝10与直线0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组，得。
此时，z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大．【巩固练习】
一、选择题
1．已知0＜a＜1，，，，则(　　)
A．x＞y＞z　　　　　　　　 B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（ ）
A. B. C. D.
3．已知a,b,cR,则下面推理中正确的是( )
A、a>b am2>bm2 B、 a>b
C、a3>b3, ab>0 D、a2>b2, ab>0
4．若x+y>0,a<0,ay>0，则x-y的值为( )
A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、符号不确定
5．已知，则有（ ）
A、 B、
C、 D、
6．若任意实数，且，则（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题
7．下列命题中的真命题为
（１）若a>b, 则ac2>bc2；
（２）若a（３）若a；
（４）若a（５）若c>a>b>0，则＞．
8.若α，β满足，则2α－β的取值范围是
9．若实数试确定的大小关系
10．已知则M、N、P的大小顺序是 .
11．设由小到大的排列顺序是
三、解答题
12．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
13．已知,且，，比较和的大小.
14．设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小.
15.已知，求，的取值范围．
.
【答案与解析】
1．【答案】　C
【解析】　∵，，，又由0＜a＜1知，函数f(x)＝logax为减函数，∴y＞x＞z.故选C.
2．【答案】B
【解析】依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为注意这两个不等式要同时成立
3．【答案】C
【解析】用淘汰法.
　　 (A)中若m=0不成立；(B)中若c<0，不成立；(C)中a3-b3>0(a-b)(a2+ab+b2)>0.
　　 ∵a2+ab+b2>0恒成立，故a-b>0.
　　 ∴a>b，又∵ab>0，∴<
　 (D)中a2>b2(a+b)(a-b)>0，不能说明a>b，故本题应选(C).
4．【答案】A
【解析】用直接法.
　　 ∵a<0，ay>0y<0，
　　 又∵x+y>0x>0，
　 　∴x-y=x+(-y)>0.故本题应选(A).
5．【答案】D
【解析】∵0＜x＜y＜a＜1，∴0＜xy＜1，故loga(xy)＞0，排除A，
又xy＜y＜a，故loga(xy)＞logaa＝1，排除B，
∵loga(xy)＝logax＋logay＞logaa＋logaa＝1＋1＝2，故选D.
6．【答案】D
【解析】∵a＞b且y＝为单减函数，故，故选D，
因不知道a，b的正负，故可排除A、B、C选项.
7．【答案】（4）（5）
【解析】
（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题.
（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题.
（３）由于a（４）∵a|b|>0，∴＜１，∴＜１，故原命题为真命题．
（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，
又∵a>b>0 ，∴＞，故原命题为真命题．
8．【答案】.
【解析】　∵，
又，且α<β，
∴－π<α－β<0，
∴.
9．【答案】
【解析】由已知，
∴
综上所述，
10．【答案】
【解析】 ，， ，，
，
11．【答案】
【解析】特殊值法：对a、b、m、n分别取特殊值，
比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得.
12．【解析】　设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．
根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可，
，即
13．【解析】,
当时，， ， ，即.
当时， ，，即
综上
14．【解析】作差：
(1) 当， 即0(2) 当
(3) 当
, 此时，其中时取等号.
(4) 当 即时，，此时
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1＋logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1＋logx3＜2logx2；
当x＝时，1＋logx3＝2logx2.
15. 【解析】　因为，所以，.
两式相加，得.
因为，所以，
则.
又α＜β，所以，
则.【巩固练习】
选择题
1.数列1,2,4,8,16,32，……的一个通项公式是
A. B. C. D.
2.已知数列……，则0.96是该数列的（ ）
A.第20项 B.第22项 C.第24项 D.第26项
3．已知数列的通项公式：则a2·a3等于(　　)
A．70　　　　　　　　　　 B．28
C．20 D．8
4．已知an＝n2＋n，那么(　　)
A．0是数列中的项 B．20是数列中的项
C．3是数列中的项 D．930不是数列中的项
5．设数列，，，，…则是这个数列的(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第8项 D．第9项
填空题
6.已知数列的前n项和Sn=3+2n, 则an=__________.
7.已知数列前n项和Sn=5n2-n, 则a6+a7+a8+a9+a10=_________.
8.已知数列中，, . 那么数列的前5项依次为_________.
9.数列{an}的通项公式an=n2+n+1; 则273是这个数列的第_______项.
10．写出下列各数列的通项公式，使其前4项分别是:
(1) , -,, -,……；
(2) , , , ,……;
(3) 5, 55, 555, 5555, ……;
(4) 3,5,3,5,…….
解答题
11．已知数列{an}的通项公式为an=n2+n, 若数列{an}为递增数列，试求最小的整数.
12．已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n， 求an.
13．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) ()；
(2) ＝3, ＝3－2 ().
14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
15.已知数列的通项公式为且为递减数列，求m的取值范围
. 8,16,32^【答案与解析】
1.答案：B
解析：容易观察，从第二项开始，每一项都是前一项的2倍，故，故选B.
2.答案：C
解析：易知数列的通项公式，把0.96化为通项的形式，故n=24
3. 答案：　C
解析：　a2＝2×2－2＝2
a3＝3×3＋1＝10
a2·a3＝20.故选C.
4. 答案：　B
解析：　令n2＋n＝0，得n＝0或n＝－1，∵n N*，故A错．
令n2＋n＝20，即n2＋n－20＝0，∴n＝4或n＝－5(舍)，
∴a4＝20.故B正确．
令n2＋n＝3，即n2＋n－3＝0.
∴Δ＝1－4×(－3)＝13，故无有理根，C错．
令n2＋n＝930，即(n＋31)(n－30)＝0，
∴n＝30或n＝－31(舍)，∴a30＝930，故D错．
5. 答案：　B
解析：　该数列通项公式为.
令，得n＝7.
6.答案： ;
解析：利用可求，另n=1时，∴
7.答案： 370;
解析：a6+a7+a8+a9+a10=S 10- S 5,可求a6+a7+a8+a9+a10=370
8.答案 1, ,,,; 　
解析：∵, .　∴，同理可求其它项.
9. 答案：16.
解析：令；求得
10．答案(1);　 (2);　
(3); 　(4) an=4+(-1)n
11．解析:依题意有:an+1-an>0, 即[(n+1)2+(n+1)]-(n2+n)>0.
解得 >-(2n+1), .
∵-(2n+1)( )的最大值为-3，
∴ 满足条件的最小整数=-2.
12．答案：
解析：
时，，所以
13．解析:
(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ；
(2),,,
,
∴.
14.解析：　
(1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.
∴数列有两项是负数．
(2)方法一：∵，
可知对称轴方程为.
又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为
22－5×2＋4＝－2.
方法二：设第n项最小，
由
得
解这个不等式组得2≤n≤3，
∴n＝2,3，
∴a2＝a3且最小，
∴a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
15.解析：∵数列为递减数列，∴
∴
解得【巩固练习】
一、选择题
1.某工厂生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为（　　）
Ａ． B. C.p D.12p
2.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且…… ，
则……等于（ ）
Ａ． B. C. D.
3．已知函数，且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100 C．－100 D．10200
4．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)
A. B.
C. D.
5．数列{an}中，，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)
A．－10 B．－9
C．10 D．9
二、填空题
6．已知函数f(x)＝log2x，若数列{an}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
7．已知函数f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上，，Tn是数列{bn}的前n项和，则使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于________．
8.求等比数列，，，…的前6项和 .
9. 已知数列中，求前项和= .
10．求数列，，…，，…的前项和= .
三、解答题
11. 求数列，，，…，，…的前项和.
12.已知数列，，，…，，求此数列前项和.
13．求的和.
14. 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
15.等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】设年增长率为，基数为，则
∴
2.【答案】A
【解析】将数列的前30项分成三组，设
则，可求，即.
3. 【答案】B
【解析】由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
4. 【答案】D
【解析】∵，∴，
，∴是首项为，
公差为的等差数列，∴，∴.
5. 【答案】B
【解析】数列{an}的前n项和为
，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0，所以其在y轴上的截距为－9.
6. 【答案】
【解析】设等差数列的公差为d，则由题意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，…，从而a1＝24，a2＝26，a3＝28，….易知数列{an}是等比数列，其公比，所以．
7.【答案】10
【解析】由Sn＝3n2－2n，得an＝6n－5，
又∵，
∴，
要使对所有n∈N*成立，
只需，∴m≥10，故符合条件的正整数m＝10.
8.【答案】
【解析】 ∵，，，∴
9. 【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】
11. 【解析】∵，
∴，
故.
12. 【解析】， ①
当时，
当时，.
当且时， ②
由①-②得：
∴.
13．【解析】
当n为奇数时，
当n为偶数时，
.
14．【解析】
(1)由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n-1＋22n-3＋…＋2)＋2＝22(n+1)-1，
而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n-1.
(2)由bn＝nan＝n·22n-1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n-1 ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n+1 ②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n-1－n·22n+1.
即Sn＝[(3n－1)22n+1＋2]．
15. 【解析】
（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以.
由条件可知,故.由得，所以.
故数列的通项式为=.
（Ⅱ ）
.
故,
.
所以数列的前n项和为.等差数列及其前n项和
编稿：张希勇 审稿：李霞
【学习目标】
1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；
2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.
3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
【学习策略】
数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。
注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。
【要点梳理】
要点一、等差数列的定义
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。
要点诠释：
⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；
符号语言形式
对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。
要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。
等差中项
如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.
要点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.
②三个数,,成等差数列的充要条件是.
要点二、等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为，公差为的等差数列的通项公式为：
（）
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义可得：，
∴，
，
，
……
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。
（2）叠加法：
根据等差数列定义，有：
，
，
，
…
把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，
∴.
(3)迭代法：
∴.
要点诠释：
①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。
等差数列通项公式的推广
已知等差数列中，第项为，公差为，则：
证明：∵，
∴
∴
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。
要点三、等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
①若，且,则，
特别地，当时.
②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为.
③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列.
④仍是等差数列.
⑤数列（为非零常数）也是等差数列.
要点四、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和公式
公式一：
证明：倒序相加法
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
公式二：
证明：将代入可得：
要点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一。
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。
要点五、等差数列的前项和的有关性质
等差数列中，公差为，则
①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为.
②若项数为2n，则，，
③若项数为2n-1，则，，，，
要点六、等差数列中的函数关系
等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数)
等差数列中，，令,则：
（,是常数且为公差）
（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。
（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。
①当时，一次函数单调增，为递增数列；
②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。
等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由，令，，则：
（,为常数）
（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。
（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。
①当时有最小值
②当时，有最大值
要点诠释：
1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。
2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。
3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。
4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件.
【典型例题】
类型一：等差数列的定义
例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项.
（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【思路点拨】
（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.
【解析】
（1）根据题意可知：,.
∴该数列的通项公式为：（,）
∴.
（2）根据题意可得：,.
∴此数列通项公式为：（,）.
令,解得：,
∴100是这个数列的第15项.
【总结升华】
1.根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出通项公式.
2.要注意解题步骤的规范性与准确性.
举一反三：
【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项
【答案】由，，∴.
【变式2】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【答案】由题意可知：,，∴此数列的通项公式为：,
令,解得，所以－20不是这个数列的项.
【变式3】求集合的元素的个数，并求这些元素的和
【答案】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件，
又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，
∴.
例2.已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？
【思路点拨】
由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（）是不是一个与无关的常数。
【解析】因为时，
所以数列是等差数列，且公差为3.
【总结升华】
1. 定义法和等差中项法是证明等差数列的常用方法.
2. 一般地，如果一个数列的前项和为，其中、、为常数，且，那么当常数项时，这个数列一定是等差数列；当常数项时，这个数列不是等差数列，但从第二项开始的新数列是等差数列.
举一反三：
【变式1】已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
【答案】当时, （为常数）
∴是等差数列，首项，公差为.
【变式2】已知数列中，，（），求证：是等差数列。
证明：∵，∴
∴，∴是公差为的等差数列。
类型二：等差数列通项公式的应用
例3．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。
【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量a1、d的问题，列出a1、d的方程组。
【解析】
方法一：由通项公式得：，解得，
∴（,）,
∴,解得.
方法二：由等差数列性质，得,即，解得,
∴， ∴,解得.
方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，
∵点、、在同一条直线上，
∴ ，解得。
【总结升华】
1. 等差数列的关键是首项与公差；五个基本量、、、、中，已知三个基本量便可求出其余两个量；
2.列方程（组）求等差数列的首项和公差，再求出、，是数列中的基本方法.
举一反三：
【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.
【答案】由 解得；
【变式2】等差数列中, , , ,求的值.
【答案】即，
解得：或.
【变式3】已知等差数列，，，则= 。
【答案】
方法一：设数列首项为,公差为，则
， 解得，
∴。
方法二：∵, ∴，解得：，
∴.
方法三：∵为等差数列，∴,,,，…，也成新的等差数列，
由，知上述新数列首项为，公差为-2
∴ .
类型三：活用等差数列的性质解题
例4. 已知等差数列中，若,,求的通项公式。
【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.
【解析】∵，∴即,
代入已知，有,解得或，
当,时，，∴；
当,时，, ∴.
【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷.
举一反三：
【变式1】在等差数列中，，则=
【答案】9
【变式2】在等差数列中，，则=
【答案】10
【变式3】在等差数列中，若,, 则= , =
【答案】∵，，∴，
∴，∴.
类型四：前n项和公式及性质的运用
例5.已知等差数列……,则它的前多少项和是54？
【解析】
设题中的等差数列为中，前n项和为，则
设根据等差数列的前n项和公式，
得
求得（舍去）
因此等差数列……,的前9项和是54.
【总结升华】利用等差数列的有关公式，结合条件列出满足条件的方程，是解决这类问题的常用办法.
举一反三：
【变式1】等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5=30, a6+a7+a8+a9+a10=80, 则a11+a12+a13+a14+a15=___________.
【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a11+a12+a13+a14+a15=2×80-30=130.
【变式2】等差数列中，若, 则=_________.
【答案】由，得.
【变式3】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .
【答案】.
【变式4】等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.
【解析】
方法一：利用等差数列的前n项和公式求解。
由已知得，解得，
∴。
方法二：利用等差数列前n项和公式及性质,则求解。
由已知得
由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4), 得S3m=210.
方法三：根据性质：“已知{an}成等差数列，则Sn,S2n-Sn, S3n-S2n,……,Skn-S(k-1)n,……(k≥2)成等差数列”解题。
由上述性质，知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列。
∴Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴ S3m=3(S2m-Sm)=210.
方法四：由的变形式解题，由上式知，
∴数列也成等差数列，即成等差数列，
∵ ，又Sm=30, S2m=100, ∴S3m=210.
方法五：∵{an}为等差数列， ∴设
∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100, 得，
∴S3m=9m2a+3mb=210.
【高清课堂：等差数列及其前n项和379548 练习5】
例6．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。
【思路点拨】
本题设这三个数时，常规设法为, ，，但不如用对称设法设为, , 。
【解析】设这三个数分别为, , ，则
，解得,.
∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1。
【总结升华】
1. 三个数成等差数列时，可设其分别为, , ；若四个数成等差数列，可设其分别为,,,.
举一反三：
【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。
【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8
类型五：等差数列前n项和的最值问题
例7．已知数列是等差数列，,，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？
【思路点拨】
要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决。
【解析】
方法一：∵, ∴即,
∵， ∴，
又，
∵，∴ 当, 有最大值为.
方法二：要使最大，必须使且，
即
解得， ∵，
∴时，最大为.
【总结升华】
对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
1. 利用:
当，时，前项和有最大值。可由，且，求得的值；
当，时，前项和有最小值。可由，且，求得的值.
利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值
举一反三：
【变式】设等差数列的前项和为, 已知,,.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.
【答案】
（1）依题意，有，即，
解得.
（2）法一:由，可知.
设存在自然数,使得就是，，…，中的最大值，只需,,
由，
故是，，…，中的最大值.
法二:
∵, ∴最小时，最大，
∵, ∴，
∴时，最小，
故是，，…，中的最大值.【巩固练习】
一、选择题
1．已知函数。且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100 C．－100 D．10200
2．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且 (n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)
A. B.
C. D.
3．数列{an}中，，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　)
A．－10 B．－9
C．10 D．9
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＞0，a8＜0，则下列结论正确的是(　　)
A．S7＜S8 B．S15＜S16
C．S13＞0 D．S15＞0
5．数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n＝(　　)
A．11 B．17
C．19 D．21
二、填空题
6. 已知数列中，求前项和= .
7．求数列，，…，，…的前项和= .
8．已知函数f(x)＝3x2－2x，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上，，Tn是数列{bn}的前n项和，则使得对所有n∈N*都成立的最小正整数m等于________．
9．设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn-1，若已知，且数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
10．已知函数f(x)＝log2x，若数列{an}的各项使得2，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，2n＋4成等差数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
三、解答题
11. 求数列，，，…，，…的前项和.
12.已知数列，，，…，，求此数列前项和.
13．求的和.
14. 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n-1.
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
15.等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 求数列的前n项和.
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】由题意，a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.
2. 【答案】D
【解析】∵，∴，
，∴是首项为，
公差为的等差数列，∴，∴.
3. 【答案】B
【解析】数列{an}的前n项和为 ，所以n＝9，于是直线(n＋1)x＋y＋n＝0即为10x＋y＋9＝0，所以其在y轴上的截距
为－9.
4. 【答案】C
【解析】因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，由已知可知该等差数列{an}是递减的，且S7最大即Sn≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16＜a15＜0，S16＝S15＋a16＜S15，选项B错误；，选项D错误；.
5. 【答案】C
【解析】由题意可知，数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11＜a10，又因为，所以a10＞0，a11＜－a10，由等差数列的性质有a11＋a10＝a1＋a20＜0，a10＋a10＝a1＋a19＞0，所以Sn取得最小正值时n＝19.
6.【答案】
【解析】
7．【答案】
【解析】
8. 【答案】10
【解析】由Sn＝3n2－2n，得an＝6n－5，
又∵，
∴，
要使对所有n∈N*成立，
只需，∴m≥10，故符合条件的正整数m＝10.
9. 【答案】
【解析】由得.由f(1)＝n2an得a1＋a2＋…＋an＝Sn＝n2an，①
所以当n≥2时，
Sn－1＝(n－1)2an－1②，
①－②得an＝n2an－n2an－1－an－1＋2nan－1，(n2－1)an＝(n2－2n＋1)an－1，于是(n＋1)an
＝(n－1)an－1，
即.
因此，
而，
所以.
10. 【答案】
【解析】设等差数列的公差为d，则由题意，得2n＋4＝2＋(n＋1)d，解得d＝2，于是log2a1＝4，log2a2＝6，log2a3＝8，…，从而a1＝24，a2＝26，a3＝28，….易知数列{an}是等比数列，其公比，所以．
11. 【答案】
【解析】∵，
∴，
故.
12. 【解析】， ①
当时，
当时，.
当且时， ②
由①-②得：
∴.
13．【解析】
当n为奇数时，
当n为偶数时，
.
14．【解析】
解：(1)由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n-1＋22n-3＋…＋2)＋2＝22(n+1)-1，
而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n-1.
(2)由bn＝nan＝n·22n-1知
Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n-1 ①
从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n+1 ②
①－②得
(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n-1－n·22n+1.
即Sn＝ [(3n－1)22n+1＋2]．
15. 【解析】
（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以.
由条件可知,故.由得，所以.
故数列的通项式为=.
（Ⅱ ）
.
故,
.
所以数列的前n项和为.【巩固练习】
选择题
1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A． m　　　　　　　　 B． m
C． m D. m
2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(15＋3) m B．(30＋15) m
C．(30＋30) m D．(15＋30) m
3．某海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°角，从B岛望C岛和A岛成75°角，则B，C两岛之间的距离是(　　)
A．10海里 B. 海里
C．海里 D.海里
4．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据(　　)
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
5.有一长为10m的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为，则坡底要延长（ ）
A.5m B.10m C.m D.m
6. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是(　　)
A． B．
C． D．
填空题
7. 一艘船以的速度向正北方向航行,船在处看见灯塔在船的东北方向上,后船在处看见灯塔在船的北偏东的方向上,这时,船与灯塔的距离 ；
8. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为，测得塔基B的俯角为，则塔AB的高度为 ；
9. 江崖边有一炮台江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为和,炮台顶部到江面高,而且两条船与炮台底部连线成,则两条船相距 ；
解答题
10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．
13. 如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.(精确到1m)
14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离
15. 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.
16. 一个人在建筑物的正西点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从点向南走到点，再测得建筑物顶的仰角是，设，间的距离是．
证明：建筑物的高是．
【答案与解析】
1．答案：　A
解析：在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
∴∠ABC＝30°，由正弦定理：
∴AB＝＝m．故选A.
2. 答案：　C
解析：　由正弦定理可得，
，h＝PBsin 45°＝(30＋30) m.
故选C.
3. 答案：　D
解析：　如图所示，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，所以C＝45°，
由正弦定理，得 (海里)．
4. 答案：　C
解析：　由A与B不可到达，故不易测量α，β，故选C.
5. 答案：　C
解析：在△ABB’中由正弦定理,得
6. 答案：　D
解析：　如图，由题意得∠BAC＝30°，∠ACB＝75°，
∴，
∴BC＝＝.
7. 答案：；
如图所示：
，，，
在中，根据正弦定理。
8. 答案：；
如图，，，则
，，
所以.
9. 答案：30m；
如图所示：
，，，，
则在中，，，
根据余弦定理，.
10.解析：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小
∴航行小时，两船之间距离最近．
11．解析：　如图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D两点到考点的距离为1千米．
在△ABC中，AB＝≈1.732，AC＝1，∠ABC＝30°，
由正弦定理sin∠ACB＝·AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1，
在△ACD中，AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形，∴CD＝1.
∵×60＝5，∴在BC上需5分钟，CD上需5分钟．
答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．
12. 解析：如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．
则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°
由得x=2.
故AB=28，BC=20
即所需时间2小时，为.
13.
解析：在△ABD中，∠ADB=180°-110°-40°=30°，
由正弦定理得.
在Rt△ACD中，CD=ADtan25°≈480(m).
答：山高约为480m.
14、解析：在中， ，
根据余弦定理，
根据正弦定理, ，
有，
∵ ∴
所以 ，
答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行
15. 解析：设∠POB=，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：?
PC2=OP2+OC2-2OP·OCcos=5-4cos?
∴ｙ=Ｓ△OPC+Ｓ△PCD=+(5-4cos)
=2sin(-)+
∴当-=即=时，ｙmax=2+.
16. 证明：设建筑物的同度是，建筑物的底部是，
则．
是直角三角形，是斜边，
所以，
，
．
所以，．
A
B’
B