北京四中高一数学同步复习教学案：基础+提高（128份打包）

三角函数模型的简单应用
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；
2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【要点梳理】
要点一：三角函数模型的建立程序
要点二：解答三角函数应用题的一般步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．
（1）审题
三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
（2）建模
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．
（3）解模
利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．
（4）结论
将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．
要点诠释：
实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
【典型例题】
类型一：三角函数周期性的应用
例1．国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心距离地面200米高，直径170米.摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光.(如图)，摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点的起始位置在最低点处(即时刻分钟时的位置).已知在时刻分钟时点距离地面的高度.
(Ⅰ)求20分钟时，点距离地面的高度；
(Ⅱ)求的函数解析式.
【思路点拨】由周期，可求出距地面的高度，然后求出三角函数中的参数A，h，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（t）．
【答案】（1）285（2）
【解析】设过摩天轮的中心与地面垂直的直线为，垂直于地面于点，于点，
(1)∵旋转的周期，∴20分钟后点在最高点，距地面高度是285米.
(2)分钟时，∴
∴
【总结升华】实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题．
举一反三：
【高清课堂：三角函数模型的简单应用394861 例1】
【变式1】如图，质点在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，），角速度为1，那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为（ ）
【答案】C
类型二：三角函数模型在气象学中的应用
例2．如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
【答案】（1）20℃（2），x∈[6，14]
【解析】 （1）由图象知这段时间的最大温差是30－10=20℃．
（2）观察图象可知题图中从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象，
∴，解得．
由图象知，
，∴．
将（6，10）代入上式，解得．
∴，x∈[6，14]．
【总结升华】 借助图象上标注的各点的坐标，利用五个基本点：（0，0），，（π，0），，（2π，0）求解函数式中的未知量，这种方法种为“五点法”．本题运用“五点法”作图的逆向思维分析此题是解题的关键．
举一反三：
【变式1】 估计某一天的白昼时间的小时数D（t）可由下式计算：，其中t表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D（t）在0≤t≤365时的图象．
（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
【答案】(1)略 (2) 6月20日 12月20日 (3) 243天
【解析】 （1）k=6时，．先用五点法画出的简图如图，由和，得t=79和t=444，列出下表：
t 79 170.25 261.5 352.75 444
f（t） 0 3 0 －3 0
若t=0，．
∵的周期为365，
∴．将，t∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到，0≤t≤365的图象，如图所示．
（2）白昼时间最长的一天，即D（t）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D（t）取最小值，即12月20日白昼最短．
（3）D（t）＞10.5，即，，t∈[0，365]．
∴292＞t＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．
类型三：三角函数模型在物理学中的应用
例3.一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为rad，与时间t满足关系式．
（1）当时，的值是多少？并指出小球的具体位置；
（2）单摆摆动的频率是多少？
（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？
【思路点拨】（1）根据已知条件中的函数解析式，把代入，即可求出摆角．（2）由可求出频率．（3）求最大摆角，先求出的最大值为1，然后求角．
【答案】（1）0（2）（3）rad
【解析】
（1）当时，，这时小球恰好在平衡位置；
（2）因为单摆摆动的周期，所以频率；
（3）令t=0，得的最大值为1．故有最大值rad，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是rad．
举一反三：
【变式1】一根为的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，
(1)求小球摆动的周期和频率；
(2)已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度应当是多少？
【答案】（1） （2）24.8
【解析】(1)；
(2).
例4.交流电的电压E（单位：伏）与时间t（单位：秒）的关系可用来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
【答案】（1）（2）0.02（3）
【解析】
（1）当t=0时，（伏），即开始时的电压为伏；
（2）（秒），即电压重复出现一次的时间间隔为0.02秒；
（3）电压的最大值为伏，当，
即秒时第一次取得这个最大值．
收集数据
画散点图
选择函数模型
检验
求函数模型
用函数模型解决实际问题【巩固练习】
1．若，则的取值范围是（ ）
A. B.或 C. D.或
2．函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3．函数的图象关于（ ）
A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称
4．函数的大致图象是（ ）
5.设，，，则（　　　）．
A. B. C. D.
6．图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为( )
A. B.
C. D.
7.函数的值域为( )
A. B. C. D.
8.下列函数中，在上为增函数的是( )
A. B.
C. D.
9．函数的图象过定点 。
10．已知，则、、0、1间的大小关系是 。
11.已知函数，则 .
12.函数是 (奇、偶)函数.
13.已知函数，判断的奇偶性和单调性.
14. 已知函数（）
（1）若函数的反函数是其本身，求的值；
（2）当时，求函数的最大值。
15．设
（1）判断f(x)的单调性，并给出证明；
（2）若f(x)的反函数为f-1(x)，证明f-1(x)=0有唯一解；
（3）解关于x的不等式.
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】由，当时，为增函数，所以，得；当时，为减函数，所以，得，故选D。
2. 【答案】C　
【解析】要使函数有意义，则解得，故选C。
3. 【答案】C
【解析】=，为奇函数，故其图象关于原点对称。　
4. 【答案】D　
【解析】易知为奇函数，又时，，所以选D。
5. 【答案】D　
【解析】因为，，所以
，所以，故选Ｄ．
6. 【答案】A
【解析】在第一象限内，，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；在第四象限内，，从顺时针方向看图象，逐渐增大，；所以相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为.选A.
7. 【答案】A　
【解析】因为，所以=，故选A。
8. 【答案】A　
【解析】复合函数的单调性是由内函数、外函数的单调性决定的，两个函数的单调性“同增异减”，即内外函数的单调性相同，复合函数单调增；内外函数的单调性相反，复合函数单调减。
9．【答案】
【解析】函数的图象过定点，函数的图象过定点（-1,3）。
10．【答案】
【解析】 ，。又在（0,1）内递增且函数值小于0，。
11．【答案】1
【解析】由得，。
12. 【答案】奇
【解析】为奇函数.
13. 【答案】奇函数 增函数
【解析】(1)，
∴是奇函数
(2)，且，
则，
∴为增函数.
14. 【答案】（1）2 （2）
【解析】（1）函数的反函数，
由题意可得，。
（2）由题意可知，解得，则的定义域为。
=。
，当且仅当时等号成立。
。
当时，函数在处取得最大值。
15．【解析】（1）由 得-1设-1　　 ，
又因为(1-x1)(1+x2)-(1-x2)(1+x1)
=(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0，
(1-x1)(1+x2)>0， (1+x1)(1-x2)>0，
所以
所以，又易知，
∴ f(x1)-f(x2)>0 ， 即f(x1)>f(x2). 故f(x)在(-1，1)上是减函数.
（2）因为，所以， 即f-1(x)=0有一个根.
假设f-1(x)=0还有一个根，则f-1(x0)=0，
即，这与f(x)在(-1，1)内单调递减相矛盾.
故是方程f-1(x)=0的唯一解.
3)因为，所以.
又f(x)在(-1，1)上单调递减，所以.
解得.【巩固练习】
1．已知ABCD是平行四边形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.在正六边形ABCDEF中，O为其中心，则
A. B. C. D.
3.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则=( )
A. B. C. D.
4．A、B、C为不共线三点，则（ ）
A． B． C． D．
5．4(―)―3(+)－等于（ ）
A．―2 B． C．―6 D．―8
6．设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相反 B．与2的方向相同
C．|－|≥|| D．|－|=||·
7．已知向量、，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
8．已知正方形ABCD边长为1，，则的模等于(　　)
A.0 B.3 C. D.
9．若||=5，与反向，||=3，则=________．
10．点C在线段AB上，且，则=________．
11．已知，不共线，有两个不等向量、且=k+，b=+k，当实数k=________时，、共线．
12．如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC中点，
已知，
用表示= ， .
13．化简：（1）2(3―2)+3(+5)―5(4―)；
（2）．
14．已知，D、E是△ABC中AB、AC的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知，试用分别表示.
15． G为△ABC的重心，O为平面内不同于G的任意一点，求证：．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】正确．
2. 【答案】B
【解析】，故选B.
3. 【答案】D
【解析】∵，由三角形中位线定理，故选D.
4．【答案】B
【解析】．
5．【答案】D
【解析】原式=4―4―3―3―=―8．
6．B
【解析】 ≠0时2＞0，∴与2方向相同．
7．【答案】A
【解析】∵，∴A、B、D三点共线．
8．【答案】C
【解析】正方形ABCD边长为1
∴.
9．【答案】
【解析】 ，又与反向．
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】―1
【解析】=ke1+e2=(e1+ke2)(k―)e1=(k―1)e2，k=±1．当k=1时，a=e1+e2=b=e1+e2，∴k=－1．
12．【答案】
【解析】设，M、N为DC、BC中点，，，在△ABN中和△ADM中，① ②
解①②：.
13．【解析】（1）原式=6―4+3+15―2+5=14―9；
（2）原式．
14．【解析】
由 三角形中位线定理知：DE//BC且DE=BC
故
.
15．【解析】∵，，，
∵G为△ABC重心，∴，
∴，即．
F
E
D
A
B
C
A
D
M
C
N
B【巩固练习】(提高)
1．设，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则（ ）
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
4．的值是（ ）
A．tan28° B．－tan28° C． D．
5．若是第二象限的角，且，则的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．2
6．在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)
A. B. C．1 D.
7．函数在区间上的最小值（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．函数（ ）
A．在上递增，在上递减
B．在上递增，在上递减
C．在上递增，在上递减
D．在上递增，在上递减
9．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．
10．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
11．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．
12．若（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）
13．已知求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．已知：0<α<<β<π，cos(β－)＝，sin(α＋β)＝.
(1)求sin2β的值；
(2)求cos(α＋)的值．
15．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连结BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵，∴，，，∴，，，故选D．
2．【答案】A
【解析】，∴，
原式，故选A．
3．【答案】D
【解析】 因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．
4．【答案】D
【解析】原式
，故选D．
5．【答案】A
【解析】是第二象限的角，且，
∴，k∈R，
，故选A．
6．【答案】D
【解析】由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，
∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A
＝－cos2A＋2cosA＋1.
又0＜A＜，0＜cosA＜1.
∴cosA＝时，有最大值.
7．【答案】D
【解析】，
又因为，所以，故选Ｄ．
8．【答案】A
【解析】原式=，图象如图所示．
9．【答案】
【解析】cos(＋A)＝coscosA－sinsinA
＝(cosA－sinA)＝，
∴cosA－sinA＝＞0. ①
∴0＜A＜，∴0＜2A＜
①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.
∴cos2A＝.
10．【答案】，
【解析】第一问略．（2）因为x∈[-π/6，a]，所以2x+π/6∈[-π/6，2a+π/6]，因为值域是[-1/2，1]，画一个单位圆可知定义域的长度是小于2π的．然后通过单位圆可知2a+π/6小于等于7π/6 ，大于等于π/2，所以a∈[π/6，π/2]
11．【答案】[－，]
【解析】法一：设x＝cosαsinβ，
则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.
∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴ ∴
∴－≤x≤.
法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.
即sin2αsin2β＝2x.
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.
12．【答案】（－2，2）
【解析】由，得
．
由于函数y=cos x的对称轴为x=kπ（k∈Z），因此只需（k∈Z）即可，于是（k∈Z），此时tan=－1，∴a+b=0．于是取任意一对非零相反数即可，如（1，－1）．
13．【解析】
，，
（1）
（2）
14．【解析】(1)法一：∵cos(β－)＝coscosβ＋sinsinβ
＝cosβ＋sinβ＝.
∴cosβ＋sinβ＝.
∴1＋sin2β＝，∴sin2β＝－.
法二：sin2β＝cos(－2β)
＝2cos2(β－)－1＝－.
(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<.
∴sin(β－)>0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－)＝，sin(α＋β)＝，
∴sin(β－)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝－×＋×＝.
15．【解析】（1）因为
，所以的最小正周期为π．
（2）因为，所以．
于是，当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值－1．
16．【解析】设∠PAB=α，连结PB.
∵AB是直径，∴∠APB=90°.
又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα.
∵PC是切线，∴∠BPC=α.又PC=1，
∴S四边形ABCP=S△APB+S△BPC
=
=
=
=
=
由已知，
．
又．
故当点P位于AB的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于．
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898函数及其表示方法
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
； ；
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.如何确定象与原象
对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.
3.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
4.函数定义域的求法
(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
5.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一、函数的概念
例1：下列式子是否能确定是的函数？
（1）
（2）
（3）.
【答案】（1）不能 （2）能（3）不能
【解析】（1）由得，因此由它不能确定是的函数，如当时，由它所确定的值有两个，即y=.
（2）由得，当在中任取一个值时，由它可以确定唯一的值与之对应，故由它可以确定是的函数.
（3）由得，
故由它不能确定是的函数.
【总结升华】判断由一个式子是否能确定是的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的的取值的集合中任意一个的值，由式子是否可确定唯一的一个的值与之对应，也可以看由式子解出的的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值.
【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例2】
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1) 的定义域不同，前者是，后者是，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
(3)是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；　　　　(3).
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)； (2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
类型三、求函数的值及值域
例4. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)．
【解析】
(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
类型四、映射与函数
【高清课程：函数的概念与定义域 例1】
例6. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1， }，对应法则是f：
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
(3)是映射，也是函数，函数解析式为．
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．
【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．
举一反三：
【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？
(1)A=N，B={1，-1}，f：xy=(-1)x；
(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；
(3)A=R，B=R，
(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；
(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；
(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.
【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.
类型五、函数解析式的求法
例7. 求函数的解析式
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)已知，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)用代入法，．
(2)法一：换元法
令，则，所以
即：.
法二：凑配法
=，所以．
(3) ①，用代替上式中的，得 ②
由①②联立，消去，得
故所求的函数为．
【总结升华】（1）由求，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出的解析式．
举一反三：
【变式1】已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)．
【答案】f(x)=x2+2x-1
【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax2+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
；
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
类型六、函数的图象
例8.作出下列函数的图象.
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．
类型七、分段函数
例9.函数中，若，则的值为（ ）．
A．1 B．1或 C． D．
【思路点拨】分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.
【答案】D
【解析】若，由，得，舍去．
若，由，得，由于，舍去，故．
若，则得，舍去．
综上知．故选D．
【总结升华】（1）解决分段函数的问题关键在于“分段归类”，即首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系（图象），离开定义域谈函数是无意义的．
（2）作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可．
举一反三：
【变式1】 已知，若，则实数
　　A．-4或-2　　　B．-4或2　　　 C．-2或4　　　 D．-2或2
【答案】B
　　【解析】
　　　　
　　　　 故选B．【巩固练习】
1．已知△ABC中，则cos A=（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知tan α＝－2，则的值为
A. B. C. D.
4．已知A是三角形的一个内角，sinA＋cosA = ,则这个三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．不等腰直角三角形 D．等腰直角三角形
5．已知是第三象限角，且，则 （ ）
A． B． C． D．
6．化简等于（ ）
A.sin5+cos5 B.sin5－cos5 C. －sin5+cos5 D. －sin5－cos5
7．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．若是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，那么的值是 ．
10．若，则的值是________．
11．________．
12．若，则的值为________________．
13．已知，，求的值．
14．（1）已知，且为第二象限角，求tan；
（2）已知sin=m（m≠0，m≠±1），求tan．
15．已知关于x的方程的两根为sin和cos，，求：
（1）m的值；
（2）方程的两根及此时的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】由知，A为钝角．
，又cosA＜0，故．
2．【答案】A
【解析】 原式=．
3．【答案】D
【解析】
4．【答案】B
【解析】由已知得，，所以A是钝角．
5．【答案】A
【解析】由已知得，解得
6．【答案】D
【解析】原式=，因为，所以原式=．
7．【答案】B
【解析】
8．【答案】B
【解析】，又，所以
解得：，又，得，所以．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】原式
．
11．【答案】－1
【解析】原式．
12．【答案】
【解析】原式=．
13．【答案】
【解析】∵，
∴．
∴sin和cos的符号相反．又∵，∴．
∴sin＞0，cos＜0．∴sin－cos＞0．
∴．
∴．
14．【解析】（1）∵，为第二象限角，
∴，
∴．
（2）∵sin=m（m≠0，m≠±1），
∴（当为第一、四象限角时取正号，当为第二、三象限角时取负号）．
∴当为第一、四象限角时，；
当为第二、三象限角时，．
15．【解析】由根与系数的关系，可知
，
（1）由①式平方得，所以．
由②式得，所以．
由③式得，而，所以．
（2）当时，原方程变为，解得，．
所以 或 ．
又因为，所以或．【巩固练习】（提高）
1．若则
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A．－cos1 B．cos1 C． D．
3．化简得（ ）
A． B． C．1 D．―1
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．函数是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
6．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．－2
7．若，且，则( )
A． B． C． D．
8．若，则（ ）
A．3―cos2x B．3―sin2x C．3+cos2x D．3+sin2x
9．若则 ．
10．的取值范围是 ．
11．已知那么的值为 ,的值为 ．
12．的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 ．
13．已知，，求．
14．在△ABC中，cosA=,tanB=2，求tan(2A+2B)的值．
15．已知，为的最小正周期，向量，，且a·b=m，求的值．
16．已知，．
（1）求sin x的值；
（2）求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
2．【答案】C
【解析】 2+cos2―sin21=2+2cos21―1―sin21=2cos21+1―sin21=3cos21，∴原式．
3．【答案】C
【解析】．
4．【答案】B
【解析】由已知，所以，所以．
5．【答案】A
【解析】，为奇函数，最小正周期为，故选A．
6．【答案】A
【解析】由3sin+cos=0，得．所以
7. 【答案】A
【解析】
=．
8．【答案】C
【解析】，∴，
∴．
9. 【答案】
【解析】
10. 【答案】
11. 【答案】
【解析】
12．【答案】
【解析】
当，即时，得
13．【解析】
原式==，，， 是第三象限角，，．
14．【解析】
由题意知，，，．
15．【解析】因为为的最小正周期，故β=π．
因为a·b=m，又，
故．
由于，所以
．
16．【解析】（1）因为，所以．
于是，
则
．
（2）因为，故，，．
所以．
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（ ）
A．―2 B． C．―1 D．
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知两力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为（ ）
A．N B．5 N C．10 N D．N
4．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，20km/h B．北偏西，20km/h
C．北偏东，20km/h D．北偏东，20km/h
5．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C． 菱形 D．等腰梯形
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为 ( )
A.(-2，4) B.(-30，25) C.(10，-5) D.(5，-10)
7．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．用力F推动一物体，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为，则F对物体所做的功为（ ）
A．F·s·cos B．F·s·sin C．|F|·|s|·cos D．|F|·|s|·sin
9.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.
10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：
①；②；
③；④
其中正确的序号是________．（写出所有正确的序号）
11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h．
12．夹角为的两个力和作用于同一点，且，则和的合力的大小为
，与的夹角为 ．
13．已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）．试求：
（1）力F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力对质点所做的功．
14．在中，，且，是的中点，E是AB上一点，且AE=2EB.
求证：AD⊥CE
15．所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵·=0，且，，均为单位向量，
∴，||=1．
∴(―)·(―)=·―(+)·+2．
设+与的夹角为，
则．
故(―)·(―)的最小值为．
2．【答案】A
【解析】 由，AM=1知，，，，所以
．故选A．
3．【答案】B
【解析】由题作出示意图，如下图，有．
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】5秒后点P的坐标为(-10，10)+5(4，-3)= (10，-5)
7．【答案】B
8．【答案】D
【解析】F与水平方向的夹角为，故F对物体所做的功为．
9. 【答案】x+2y-4=0
【解析】∴(1，2)·(x，y)=4，∴x+2y-4=0.
10．【答案】①②④
【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；
对于③，；
对于④，且，设，，
．即，．
11．【答案】
【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴
12．【答案】
13．【解析】（1），从而W1=F1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W2=F2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3．
（2）W=（F1+F2）·s=F1·s+F2·s=W1+W2=―102．
14．法一：
证明：设此等腰直角三角形的直角边长为，
=
=
所以
法二：以点C为原点，CA，CB所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，
则
可得出
所以
15．【证明】建立如题图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，
则A（0，1），，，，
∴，，
∴，
，
∴，∴PA=EF．对数函数及其性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
要点诠释：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论。
要点二、对数函数的图象与性质
a＞0 0＜a＜1
图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0
要点诠释：
关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0要点四、反函数
1．反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、对数函数的概念
例1.下列函数中，哪些是对数函数？
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
（5）．
【答案】（5）
【解析】（1）中真数不是自变量，不是对数函数．
（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．
（3）中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数．
（4）中底数是自变量，二非常数，所以不是对数函数．
（5）中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数．
【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．
类型二、对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例2. 求下列函数的定义域：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为，即，所以函数；
(2)因为，即，所以函数.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1) (2).
【答案】（1）(1，)(，2)；（2）．
【解析】(1)因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2).
（2）由得
故所求定义域为．
类型三、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例3. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)；
(2)；
(3)与；
(4) 与．
(5)（）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；
解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；
(2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；
(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．
(4)
(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，
当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令，则，令，则
当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b1当时，在R上是减函数，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【高清课堂：对数函数369070 例1】
例4．利用对数函数的性质比较、、的大小．
【答案】
【解析】，，，只需比较与的大小即可
【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于的一个结论，，得出三个数的大小．
举一反三：
【变式1】 已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得
又∵为单调递增函数，
∴
故选C.
例5．求函数的值域和单调区间.
【思路点拨】先解不等式，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．
【答案】[-1，+∞；增区间为；减区间为．
【解析】设，则.∵ y=为减函数，且，
∴ ，即函数的值域为[-1，+∞.再由：函数的定义域为，即.
∴ 在上递增而在上递减，而y=为减函数.
∴ 函数的增区间为，减区间为.
【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即型；另一类是内函数为对数函数，即型．对于型的函数的单调性，有以下结论：函数的单调性与函数的单调性，当时相同，当时相反．
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
举一反三：
【变式1】求函数的值域和单调区间．
【答案】；减区间为，增区间为．
【解析】设，则，∵ y=为增函数，
的值域为．
再由：的定义域为
在上是递增而在上递减，而为增函数
∴ 函数y=的减区间为，增区间为.
类型四、函数的奇偶性
例6. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2).
【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型五、反函数
例7．求出下列函数的反函数
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对数函数，它的底数为，所以它的反函数是指数函数；
（2）指数函数的反函数是对数函数。
【总结升华】
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
举一反三：
【高清课堂：对数函数369070 例5】
【变式1】 若函数是函数且a≠1)的反函数，且，则（ ）
(A) (B) (C) (D)2
【答案】 A
【解析】解法1：函数是函数且a≠1)的反函数
，又
，，
故选A．
解法2：函数是函数且a≠1)的反函数，且
点（1，2）在函数的图象上，
故选A．
类型六、利用函数图象解不等式
例8．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。
【答案】
【解析】 要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
举一反三：
【变式1】 当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】1＜a≤2
【解析】设，，要使当x∈（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，
只需，
即，，∴1＜a≤2．
类型七、对数函数性质的综合应用
例9．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）已知函数的值域为，，求实数的取值范围；
（3）的定义域为，求实数的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.
的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.
的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.
（1）的定义域为R，
恒成立，，．
（2）的值域为R，
取遍一切正数，，．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．
【总结升华】如果函数的定义域为某个区间D，则函数在这个区间D的任何子集内部都有意义；如果函数在区间E上有意义，而的定义域为D，则必有．
举一反三：
【变式1】 已知函数.
(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围.
【答案】（1）a>1；（2）0≤a≤1．
【解析】(1) 的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范围为0≤a≤1.三角函数综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.
3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义.
5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．
6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：终边相同的角
1．终边相同的角
凡是与终边相同的角，都可以表示成的形式.
要点诠释：
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
特例：
终边在x轴上的角集合，
终边在y轴上的角集合，
终边在坐标轴上的角的集合.
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.
2．弧度和角度的换算
(1)角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.
要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：
1.三角函数定义：
角终边上任意一点为，设则：
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,．
2.三角函数符号规律：
一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
3.特殊角的三角函数值
0 2
sin 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tan 0 1 不存在 0 不存在 0
4.同角三角函数的基本关系：
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)是的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):
sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tan
sin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tan
sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan
sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan
sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan，
sin()=cos，cos()=sin
sin()=cos，cos()=-sin
要点诠释：
(1)要化的角的形式为(为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)；.
要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
1.三角函数的图象与性质：
y=sinx y=cosx
定义域 (-∞，+∞) (-∞，+∞)
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 增区间 减区间 增区间 减区间
周期性 最小正周期 最小正周期
最值 当时，当时， 当时，当时，
对称性 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心
y=cosx的图象是由y=sinx的图象左移得到的.
2．三角函数的图象与性质：
y=tanx
定义域
值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 增区间
周期性
最值 无最大值和最小值
对称性 对称中心
要点四：函数的图象与性质
1．“五点法”作简图
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：
用“五点法”作图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
2．的性质
(1)三角函数的值域问题
三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.
(2)三角函数的单调性
函数的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体，比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间；
要点诠释：
（1）注意复合函数的解题思想；
（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.
3．确定的解析式的步骤
①首先确定振幅和周期，从而得到；
②确定值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.
要点五：正弦型函数的图象变换方法
先平移后伸缩
的图象
的图象
的图象
的图象的图象.
先伸缩后平移
的图象
的图象
的图象
的图象的图象.
【典型例题】
类型一：三角函数的概念
例1．已知角的终边上一点，且，求的值.
【思路点拨】
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
【总结升华】理解正弦函数和余弦函数的定义，三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点在终边上的位置无关.
举一反三：
【变式1】已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
【答案】B
【解析】r＝，
∴cos α＝，∴m>0，
∴，∴m＝±.∵m>0，∴m＝.
例2.已知角；
(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；
(2)集合，，那么两集合的关系是什么？
【答案】(1) 或(2)
【解析】(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，
则令 ，
得
解得 ，从而或
代回或.
(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.
【总结升华】(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.
举一反三：
【变式1】集合，，则( )
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
(法二)在平面直角坐标系中，数形结合
(法三)集合M变形，
集合N变形，
是的奇数倍，是的整数倍，因此.
类型二:扇形的弧长和面积公式
例3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
【答案】
【解析】设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是
依题意，得
≈≈
【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：
类型三：同角三角函数基本关系式
例4．若sinθcosθ= ，θ∈(，)，求cosθ－sinθ的值．
【思路点拨】已知式为sinθ、cosθ的二次式，欲求式为sinθ、cosθ的一次式，为了运用条件，须将cosθ－sinθ进行平方．
【解析】 (cosθ－sinθ)2=cos2θ+sin2θ－2sinθcosθ=1－ = ．
∵θ∈( ，)，∴ cosθ＜sinθ．
∴cosθ－sinθ= － ．
【总结升华】 sinθcosθ，cosθ+sinθ，cosθ－sinθ三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二．
举一反三：
【变式1】已知是的一个内角，且，求
【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.
【答案】
【解析】为钝角，
由，平方整理得
【变式2】已知cosθ－sinθ= －， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．
【答案】
【解析】
，，
，
类型四：三角函数的诱导公式
例5．（1）sin 585°的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
（2）已知sin(2π－α)＝，α∈，则等于(　　)
A. B．－ C．－7 D．7
【思路点拨】本题是对诱导公式和特殊三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可.
【答案】（1）A（2）A
【解析】（1）sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－.
（2）sin(2π－α)＝－sinα＝，∴sinα＝－.
又α∈，∴cosα＝.
∴＝.
【总结升华】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数k来讲的，象限指中，将看作锐角时，所在象限，如将写成，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又看作第四象限角，为“+”，所以有.
举一反三：
【变式1】已知cos，且－π<α<－，则cos等于 (　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】D
【解析】 cos＝cos
＝sin.
又－π<α<－，∴－π<＋α<－，
∴sin＝－，
∴cos＝－.
类型五：三角函数的图象和性质
例6. 函数y＝-xcosx的部分图象是( )
【思路点拨】结合函数的奇偶性以及函数值的正负，或采用特殊值法.
【解析】因为函数y＝-xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈(0，)时，y＝-xcosx＜0.答案为D.
【总结升华】
本题通过观察四个选项A，C与B，D分别关于y轴和原点对称，从而启示我们从研究函数奇偶性入手考虑进行筛选，然后通过研究其函数值的符号进行确定，充分体现了数形结合的思想在解题中的应用.
举一反三：
【高清课堂：三角函数的综合395043 例1】
【变式1】函数在内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
例7．已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象（ ）
A． 向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【思路点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚．
【答案】A
【解析】
由题知又，所以所以
=
=
显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象．故选A．
举一反三：
【变式1】把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A. B.
C. D.
解析：
，故选C.
例8．函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值.
【思路点拨】由题意知，A=2，，可求出．（2）把代入函数解析式，求出的值．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)∵函数的最大值为3,∴即
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期为
∴,故函数的解析式为 ．
(2)∵
即
∵,∴
∴,故
【总结升华】由三角函数值，求角的时候，一定要注意角的范围．
举一反三：
【变式1】已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）最小值为1，最大值为．
【解析】（1）由最低点为
由
由点在图像上得即
又，
（Ⅱ）
．
PAGE平面向量的数量积
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
【要点梳理】
要点一： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.
要点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.
要点二：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当当时，由于，所以。
要点三：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
1.
2.
3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
4.
5.
要点四：向量数量积的运算律
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
要点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；
2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
要点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
要点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量数量积的运算
例1． （1）已知||=4，||=5，向量与的夹角为，求①·；②(+)2；③2―2；④(2+3)·(3―2)；
（2）若向量++=0，且||=3，||=1，||=4，求·+·+·的值。
【思路点拨】（1）(+)2=，(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2 把模和数量积代入可得。（2）(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和数量积代入可得。
【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13
【解析】 （1）①。
②(+)2=||2+2·+||2=61。
③2―2=||2―||2=－9。
④(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2=―4。
（2）∵(++)2=2+2+2+2(·+·+·)，
∴。
【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用2=||2。
（2）在解题中，利用了(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)这一关系式，类似于实数的运算。
举一反三：
【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·.
【答案】35
【解析】
原式=
=
=35
例2．（1）若||=4，·=6，求在方向上的投影；
（2）已知||=6，为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出在方向上的正投影，并画图说明。
【答案】（1）（2）略
【解析】 （1）∵·=|| ||cos=6，又||=4，
∴4||cos=6，∴。
（2）在方向上的投影为||·cos。
如上图所示，当=60°时，在方向上的正投影的数量为||·cos60°=3；
当=90°时，在方向上的投影的数量为||·cos90°=0；
当=120°时，在方向上的正投影的数量为||·cos120°=－3。
【总结升华】 要注意在方向上的投影与在方向上的投影不是相同的。
类型二：平面向量模的问题
例3．已知||=||=4，向量与的夹角为，求|+|，|―|。
【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|+|和|―|用向量的模和夹角的来表示，所以先求出和，然后再开方即可。
【答案】4，
【解析】 因为2=||2=16，2=||2=16，
，
所以。
同事可求。
【总结升华】关系式2=||2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化。因此欲求|+|，可求(+)·(+)，并将此式展开。由已知||=||=4，得·=·=16，·也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值。
举一反三：
【高清课堂：平面向量的数量积395485 例4】
【变式1】已知，求。
【答案】
【解析】
，
同理，
【变式2】已知的夹角为，， ，则 等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
【解析】， ，解得，故选B.
【总结升华】涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.
类型三：向量垂直（或夹角）问题
例4．已知、都是非零向量，且+3与7―5垂直，―4与7―2垂直。求与的夹角。
【思路点拨】由题意知，， =0，解得||=||．
【答案】60°
【解析】 ∵+3与7―5垂直，
∴(+3)·(7－5)=0。
∵―4与7―2垂直，
∴(―4)·(7―2)=0。
于是有
由①－②得 2·=2。 ③
将③代入①得 2=2，
∴||=||。
∴。
∵0°≤≤180°，∴=60°。
【总结升华】 正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2·=2，不能得出2=，同样由2=2，也不能得出=或=－。
举一反三：
【变式1】已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向+与向量k－垂直，则k=________。
【答案】1
【变式2】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.
【解析】法一：将两边平方得
，
则， 故的夹角为30°.
法二： 数形结合
因为，如图
作，则，
是等边三角形，
延长至C，使AC=AB，，
与的夹角为，易知大小为30°。
【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
【高清课堂：平面向量的数量积395485 例5】
【变式3】已知为非零向量，且，，
求证：。
【证明】由，得
， （1）
同理： （2）
由（1）、（2）式得：，
例5．（1）已知量、、满足++=0，且||=5，||=7，||=10，求、的夹角的余弦值；
（2）已知||=2，||=3，与的夹角为60°，若+与+的夹角为锐角，求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】 （1）由++=0知，+=－，
∴|+|=||，(+)2=2，
即2+2·+2=2。
∴。
则。
故、的夹角的余弦值为。
（2）由题意可得。
又(+)·(+)= 2+(2+1) ·+2，
而+与+的夹角为锐角，
∴2+(2+1) · +2＞0，
而2=||2=4，2=||2=9，·=3，
∴32+13+3＞0，
解得或。
但是当=1时，+与+共线，其夹角不为锐角。
故的取值范围是。
【总结升华】（1）已知两向量的模，欲求它们的夹角，一般是先求它们的数量积，然后利用向量的数量积的定义求其夹角。
（2）求向量，的夹角范围，可转化为·与零的关系来确定，本题要注意排除两向量+与+共线且同向的情况。因为此时两向量夹角为0°，非锐角。两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，反之若两向量数量积大于零，则夹角不一定为锐角，还可能存在两夹角为0°的情况。
举一反三：
【变式1】 对于两个非零向量，，求使|+t|的值最小时t的值，并求此时与+t的夹角。
【答案】90°
【解析】 |+t|2=2+2(2·)t+t22=||2+2(·)t+t2||2
。
当时，|+tb|2取得最小值，即|+tb|取得最小值，
此时，。
又∵≠0，(+t)≠0，∴⊥(+t)。
∴与+t的夹角为90°。
【总结升华】本题中字母较多，求|+t|的最小值是转化为关于t的一元二次函数的最值问题，同时应用数量积进行化简也是必不可少的 。
类型四：平面向量数量积的坐标表示及运算
例6．已知||=1，，，求：
（1）|―|；
（2）+与―的夹角。
【思路点拨】利用向量坐标运算的公式去解此题。
【解析】 （1）|―|2=(―)2=2―2·+2=4―2·，
又，故(+)2=4，即2+2·+2=4，
即·=0，|+|=2，∴。
（2）设+与－的夹角为，
则。
又∈[0，π]，故夹角。
【总结升华】关于向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式
举一反三：
【变式1】已知向量和，若·=·，试求模为的向量的坐标。
【答案】
【解析】 设=（x，y），则，，
由·=·及，得，解得 或 。
所以或。
【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解。
例7．在△ABC中，，，且△ABC的一个内角为直角，求k的值。
【思路点拨】△ABC中的哪一个内角为直角并不明确，因此要分类讨论，分类讨论的时候要分类明确，不重不漏。
【解析】
（1）当∠A=90°时，，故2×1+3k=0，即。
（2）当∠B=90°时，，，
故2×(―1)+3(k―3)=0，。
（3）当∠C=90°时，。由（2）得。
故―1+k(k―3)=0，k2―3k―1=0，。
故当或或时，△ABC为直角三角形。
【总结升华】直角边所形成的两向量互相垂直，故可借此构造关于k的方程。
举一反三：
【变式1】已知=（1，1），=（0，―2）当k为何值时，
（1）k―与+共线；
（2）k―与+的夹角为120°。
【答案】（1）－1（2）
【解析】∵=（1，1），=（0，―2），k―=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）。
+=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）。
（1）∵k－与+共线，∴k+2―(―k)=0。∴k=－1。
（2）∵，，
(k―)·(+)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而k―与+的夹角为120°，
∴，
即。
化简，整理得k2+2k―2=0，解之得。
类型五：平面向量数量积的综合应用
例8. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cos∠AMB的值。
【解析】 （1）如图，设M（x，y）。则，
∵点M在直线OP上，∴向量与共线。
又，∴x·1－y·2=0，即x=2y。∴。
又，，∴。
同理。
于是，=4y2―12y+5+y2―8y+7=5y2―20y+12
由二次函数的知识，可知当时，有最小值―8，此时。
（2）当，即y=2时，有，，，，
，
∴。
【总结升华】平面向量的共线关系、垂直或数量积关系式常和函数、三角函数、解析几何中的直线、直线与曲线的位置关系等知识联系起来解决问题。
举一反三:
【变式1】如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。
（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（2）求的最大值和最小值。
【答案】（1）（2）、
【解析】
（1）以直径所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系。
因为P是弧靠近点B的三等分点，
连接OP，则，
点P坐标为。
又点A坐标是，点B坐标是，
所以，
所以。
（2）设则
所以
所以
=
=
=
当有最小值，
当有最大值。
PAGE【巩固练习】
1．下列等式不成立的是（ ）
A．+= B．+=+ C． D．
2．若是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
3．化简等于（ ）
A．0 B． C． D．
4．在矩形ABCD中，，，则向量的长度等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知P是△ABC所在平面内的一点，若，，则点P一定在（ ）
A．△ABC的内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
6.已知向量，若与共线，则( )
A. B. C. D.或
7．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）
A．， B．，
C． D．，
8.若非零向量、满足｜-｜=｜｜，则( )
A.｜2｜＞｜-2｜ B.｜2｜＜｜-2｜
C.｜2｜＞｜2-｜ D.｜2｜＜｜2-｜
9．（1）与非零向量共线的单位向量为 ；（2）已知向量与方向相反，则
．
10．已知，不共线，有两个不等向量、且=k+，=+k，当实数k=________时，、共线．
11．在矩形ABCD中，O为AC、BC的交点，若，，则=________．
12．在ABCD中，E、F分别在DC和AB上，且，，则与的关系是____．
13.已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D是将分成2：1的一个内分点，DC与OA交于E，设.
(1)用与表示；
(2)若，求实数的值.
14．如图，已知向量，，∠DAB=120°，且||=||=3，求|+|和|－|．
15．已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：A、B、D三点共线．
（2）欲使k+和+k共线，试确定实数k的值．
16．已知平面中不同的四点和非零向量，且，．
（1）证明：三点共线；
（2）若与共线，证明四点共线．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 ，而不是数0．
2. 【答案】B
【解析】向量的加、减法法则.
3．【答案】B
【解析】．
4．【答案】B
【解析】．，∴，∴．
5．【答案】B
【解析】易得，即，从而，又，有一个公共点P，所以C、P、A三点共线，又，所以点P在直线AC上．
6. 【答案】D
【解析】非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=；与任一向量共线.
7．【答案】A
【解析】 由向量加法运算法则可知，及点P在对角线AC上，故与同向，且，故，∈（0，1）．
8. 【答案】A
【解析】若两向量共线，则由于是非零向量，且，则必有；代入可知只有A、C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；令， ，则，
∴且；
又BA+BC>AC ∴
∴，选A.
9．【答案】（1）（2）
10．【答案】―1
【解析】 =k+=(+k)(k―)=(k―1) ，k=±1．当k=1时，a=+=b=+，∴k=－1．
11．【答案】
【解析】．
12．【答案】
【解析】设，，∵，，∴，．
13. 【解析】(1)∵A是BC中点
∴2，而
(2)设
∵共线∴存在实数k，使
，.
14．【解析】以AB、AD为邻作平行四边形ABCD，
由于，故此四边形为菱形．
由向量的加减法知，，，
故，，
因为∠DAB=120°，所以∠DAC=60°，
所以△ADC是正三角形，则，
由于菱形对角线互相垂直平分，所以△AOD是直角三角形，
，即．
15．【解析】（1）∵，．
∴，共线，且有公共点B，∴A、B、D三点共线．
（2）∵k+与+k共线，∴存在，使k+=(+k)，
则(k―)=(k―1) ，由于与不共线，
只能有，∴k=±1．
16．（1）证明：，,
，因为二者均经过B，所以A、B、D三点共线．
（2）证明：与共线，设，，．
，，
,所以B、C、D三点共线，又A、B、D三点共线
所以A、B、C、D四点共线．
D
O
C
A
B
E【巩固练习】
1．若〈，〉=60°，||=4，(+2)·(―3)=―72，则向量的模是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
2．若向量=（1，2），=（1，―1），则2+与―的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3．若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
4．已知=（－3，2），=（―1，0），向量+与―2垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A． B． C．4 D．12
6．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
7.设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
8．平面上三点A、B、C ，若，则等于（ ）．
A．25 B． C．50 D．
9．已知〈，〉=30°，||=2，，则向量和向量的数量积·=____．
10.已知，均为单位向量，〈，〉=60°，那么|+3|= .
11.已知||=4，，|－2|=4,则cos〈，〉= .
12.设向量，，满足++=0,( -)⊥, ⊥,若||=1，则||2+||2+||2的值是 ．
13．以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰Rt△OAB，使∠B=90°，求点B和向量的坐标
14．设向量 满足 及
(1)求 所成角的大小；
(2)求 的值.
15．已知O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），且0＜＜π．
（1）若，求与的夹角；
（2）若，求tan的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 (+2)·(―2)= 2―62―·=―72，即||2―6×42―2||=―72，∴||=6．
2．【答案】C
【解析】2+=（3，3），－=（0，3），则cos＜2+，，
故夹角为，选C．
3．【答案】C
【解析】 设与的夹角为，
∵⊥，∴·=0．
又=+，∴(+)·=0,
即2+·=0||2+|| ||cos=0．
又||=1，||=2，∴．
又∵∈[0°，180°]，∴=120°．
4．【答案】A
【解析】向量+=（―3―1，2），―2=（―1，2），因为两个向量垂直，故（―3－1，2）·（―1，2）=0，即3+1+4=0，解得，故选A．
5．【答案】B
【解析】∵=（2，0），故||=2，．∵·=||·||·cos60°=1，∴．
6．【答案】B
【解析】， ，所以
7. 【答案】A
【解析】由与在方向上的投影相同，可得：，
即 ，.选A.
8．【答案】B
9．【答案】3
【解析】 由题意知．
10. 【答案】
11. 【答案】
12. 【答案】4
【解析】由++=0，得= －－，又(-b)⊥，(－)·（－－）=0，
－||2－·+ ·+||2=0,
||=||=1.
又= －－，
||2=|－－ |2= (－－)·（－－）=||2 + 2·+||2=2
||=
综上，||2+||2+||2=2
13．【解析】设B点坐标为（x，y），则，，
∵，
∴x(x―5)+y(y―2)=0，即x2+y2―5x―2y=0． ①
又，
∴x2+y2=(x―5)2+(y―2)2，即10x+4y=29． ②
联立①②，解得或．
∴B点坐标为或．
∴或．
14．【解析】(1)
而则，
故与所成的角为
(2)
15．【解析】（1）因为，，所以(2+cos)2+sin2=7．
所以．又∈（0，π），所以，即．又，所以与的夹角为．
（2），，因为，所以，
即 ①．
所以．所以．
因为，所以．又，
，所以 ②．
由①②得，，从而．【巩固练习】
1． 函数是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
2．若函数是偶函数，则有 ( )
A. B. C. D.
3．设函数，且则等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A．　　　B．
C．　　　D．
5．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
7．设函数的图象关于轴对称，且，则 .
8．如果函数为奇函数，那么= .
9．设函数是定义在R上的奇函数，且，在上单调递减，在上单调递减，则不等式的解集为 ．
10．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.
11．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.
12．已知函数，，试判断的奇偶性.
13．设函数是偶函数，且在上是增函数，判断在上的单调性，并加以证明.
14．定义在上的偶函数满足：对任意 ，有成立，试比较的大小.
【答案与解析】
1. 【答案】A.
2. 【答案】D.
【解析】 因为函数是偶函数，所以，即，整理得，故选D.
3. 【答案】C.
【解析】 因为是奇函数，所以，所以
.
4. 【答案】D.
【解析】
5. 【答案】A.
【解析】奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
6. 【答案】 A.
【解析】
7. 【答案】
【解析】因为是偶函数，所以，所以.
8. 【答案】0
【解析】因为为奇函数，所以，所以，所以.
9. 【答案】
【解析】 奇函数关于原点对称，补足左边的图象，可知的解集．
10. 【答案】
【解析】
11. 【答案】.
12．【解析】 ，
画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，
则
当时，，则
都是奇函数.
13．【解析】结论：在上是减函数.
证明：任取，且.
由是偶函数，所以.
，且在上是增函数，.
，故在上是减函数.
14．【解析】，，
当时，，
在为单调减函数，.
又偶函数，.
故.【巩固练习】（基础）
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．的值是（ ）
A． B． C． D．
3． 若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．sincos的值是． （ ）
A．0 B． — C． D． 2 sin
5． 已知则的值等于 （ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，如果sinA=2sinC cosB．那么这个三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
7．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是（ ）
A．1 B． C． D．
8．的值是(　　)
A． B． C． D．
9．如果cos=－ ，那么 cos=________．
10．已知为锐角，且cos= cos = －, 则cos=_________．
11．tan20 +tan40 +tan20 tan40 的值是____________．
12．函数y=cosx+cos(x+)的最大值是__________．
13．已知，，且，，求角的值．
14．求值：
15．若锐角，满足，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若时，的最大值为1，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】
2．【答案】D
【解析】原式==
3．【答案】D
【解析】
4．【答案】B
【解析】原式===．
5．【答案】B
【解析】
6．【答案】C
【解析】∵ A+B+C=π，∴ A=π -(B+C)．
由已知可得：sin(B+C)=2sinCcosBsinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB
sinBcosC-cosBsinC=0sin(B-C)=0．
∴ B=C，故△ABC为等腰三角形．
7．【答案】A
【解析】　原式
．
8．【答案】C
解析：原式
9．【答案】
【解析】 因为cos=－ ，所以，
所以原式==．
10．【答案】
【解析】∵ α为锐角，且，∴ ．
又∵ α、β均为锐角，
∴ 0＜α＋β＜π，且，
∴ ．
则
11．【答案】
【解析】原式=
12．【答案】
【解析】原式===，故．
13．【解析】由且，得．
又由，且，得．
．
又∵，．
∴，则．
14．【解析】原式
．
15．【解析】（1）因为，为锐角，所以，，所以．
所以．
（2）因为， ①
又， ②
由①②得，．
所以．
16．【解析】（1），
所以的最小正周期为．
（2），，
的最大值为．
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1．下列命题中正确的是（ ）
A. 第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等
C. 相等的角终边位置必定相同 D.不相等的角终边位置必定不相同
2．已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
3．角与角终边互为反向延长线，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限
5．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
6．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
7．设集合，，则集合A与B之间的关系为（ ）
A．AB 　　 B．AB 　　　 C．A=B 　　　D．
8．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比为（ ）
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
9．与终边相同的最大负角是_______________．
10．一个半径为的扇形中，弦长为的扇形的圆心角的弧度数是 ．
11．若角，钝角与的终边关于轴对称，则= ；若任意角的终边关于轴对称，则的关系是 ．
12．圆心在原点，半径为2008的圆上的两个动点M、N同时从点P（2008，0）出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转，速度为弧度／秒，N点按顺时针方向旋转，速度为弧度／秒，则它们出发________秒后第三次相遇；相遇时M点走过的弧度数为________．
13．已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长．
14．已知，如图所示．
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
15．如图，一长为dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面时，被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由角的定义知C正确．
2．【答案】D
【解析】如图所示，所在的象限是第二或第四象限，故选D．
3．【答案】D
【解析】由、终边互为反向延长线知，=180°++k·360°，k∈Z．
4．【答案】C
【解析】∵，
∴设（n∈Z）．当n=2m（m∈Z）时，在第一象限；当m=2m+1（m∈Z）时，在第二象限；∴角在第一或第二象限．故选C．
5．【答案】A
【解析】把分针拨快，即分针顺时针旋转，所以这个角度是负角，又，故选A．
6．【答案】D
【解析】150°=，（cm）．
7．【答案】C
【解析】对于集合A，当时，；此时表示终边在轴正半轴上的任意角．
当时，，
此时仍表示终边在轴正半轴上的任意角，综合，A=B．
8．【答案】B
【解析】 由右图可知，内切圆半径r与扇形半径a的关系为a=3r．
∴
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
11．【答案】，
【解析】由已知，作出角终边，依终边对称性可得，所以；由上述分析，换一个角度，可以得出一般性结论：与终边相同，所以，即．
12．【答案】12 2π
【解析】设从点P（2008，0）出发t秒后M、N第三次相遇，则它们走过的弧度之和为6π（三个圆周）．
于是有，解得t=12（秒），此时M点走了（弧度）．
13．【解析】设的长为，半径OA=r．
则，所以． ①
设扇形的中心角的弧度数为，
则，所以=4r．　　②
由①②解得r=1，=4．
所以扇形的周长为+2r=6（cm）．
如右图所示，作OH⊥AB于H，则（cm）．
14．【解析】（1）终边落在OA位置上的角的集合为{|=90°+45°+k·360°，k∈Z}={|=135°+k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{|=－30°+k·360°，k∈Z}．
（2）由题图可知，在―180°～180°范围内，终边落在阴影部分的角满足―30°≤≤135°，因此所求角的集合是所有与之终边相同的角的组成的集合，故该区域可表示为
{|―30°+k·360°≤≤135°+k·360°，k∈Z}．
15．【解析】在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长，面积．
在扇形A1CA2中，圆心角亦为，弧长，面积．
在扇形A2DA3中，圆心角为，弧长，
面积．
∴点A走过路程的长，
点A走过的弧所在扇形的总面积．巩固练习
一、选择题
1.若，则等于（ ）
A. B. C. D. 非以上答案
2.若，，则（ ）
A.1 B.5 C. -1 D.
3.计算的结果是（ ）
A.32 B.16 C. 64 D.128
4.化简，结果是（ ）
A. B. C. D.
5.等于（ ）
A. B. C. D.
6.若，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.2
二、填空题
7.计算= .
8.化简= .
9.= .
10.若化简= .
三、解答题
11.计算：
（1）；
（2）.
12.计算下列各式：
（1）；
（2）。
13. 计算：
答案与解析
一、选择题
1. B 因为，所以，原式==，故选B。
2. A 因为，所以，故选A。
3. A ，故选A。
4. A 原式=
=
=
=
5. C =
6. C 因为，所以，即。同理，又因为，所以，故。
二、填空题
7.. 原式=
8..原式=。
9.. 原式==。
10.. 因为，所以，原式=。
三、解答题
11.解：（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
12.解：（1）原式=
=
=.
（2）原式=
=-（）
=0
13. 原式=
=
=
=0【巩固练习】
1．函数的定义域是(　 )
A． B．　 C． D．
2．函数的值域是( )
A． B． 　　C． D．
3．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论 ( )
①B中的任何一个元素在A中必有原象； ②A中的不同元素在B中的象也不同；
③A中任何一个元素在B中的象是唯一的； ④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
4．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有 ( )个．
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
5．已知函数则实数的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
6．已知函数定义域是，则的定义域是( )
A． B． C． D．
7．向高为的水瓶里注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（ ）
8．已知函数，则的值是（ ）
A．2008 B．2009 C． D． 2010
9．若函数的定义域是，则函数的定义域是
．
10．已知，则不等式的解集是 ．
11．设函数则的值域是（ ）．
12．已知，则= ．
13．当为何值时，方程（1）无解；（2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（4）有四个实数解．
14．已知函数，且满足求的值域．
15．设两地相距260，汽车以的速度从A地到B地，在B地停留后，再以的速度返回到A地．试将汽车离开A地后行走的路程表示为时间的函数．
16．已知函数对任意的实数，都有成立．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D．
【解析】由题意1-x≥0且x≥0，解得，故选D．
2．【答案】C.
【解析】
；
3．【答案】A．
【解析】由映射的概念知，只有③正确．
4．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
5．【答案】A．
【解析】该分段函数的二段各自的值域为，
∴∴ ．
6．【答案】A．
【解析】 ；
7．【答案】B.
【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快”，后来“增得慢”，A、C、D都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度的增加，体积V也增加，并且随单位高度的增加，选项A的体积V的增加量变大；选项B的体积V的增加量变小；选项C的体积V的增加量先变小后变大；选项D的体积V的增加量不变，故选B.
8．【答案】C．
【解析】，．
9．【答案】
解不等式组得，又．
10．【答案】
【解析】.
当
当，
∴.
11．【答案】
【解析】．
令，即，解得或．令，而，解得，故函数当或时，函数；当时，函数，即．故函数的值域是．
12．【答案】4020
【解析】 令，则由
可得即
分别令，
则
=2+2+2+…+2=2010×2=4020
13．【解析】设，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问题来处理．
设
则
画出函数的图象，如右图．
再画出函数的图象．由图象可以看出：
（1）当时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．
（2）当或时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解．
（3）当时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解．
（4）当时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．
14．【答案】
【解析】由得，从而
由得
整理得，，，解得.
，的值域为.
15．【答案】
16．【解析】（1）不妨设
则应用
从而得，设，
则应有
.
（2）证明：当时，注意到，于是，而
所以.
（3）题设中有，因此需将36转化，注意到36=，因此，=.
PAGE
5简单的三角恒等变换（提高）
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
【要点梳理】
要点一：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
要点二：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)
，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
要点四：积化和差公式
要点诠释：
规律1：公式右边中括号前的系数都有．
规律2：中括号中前后两项的角分别为和．
规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
要点五：和差化积公式
要点诠释：
规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．
规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．
　　规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．
　　规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．
注意
1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．
2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．
3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．
4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．
5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．
　【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：．
【思路点拨】观察等式左右两边，易知运用倍角公式进行转换．
【证法一】
=右边
∴ 等式成立
【证法二】
∴ 等式成立
【总结升华】 证明题的一般原则是由繁到简．本题从左往右证，方法是弦化切，注意到，然后巧妙地运用二倍角的余弦公式而获解．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】
．
【变式2】 证明：．
【证明】
．
例2．已知．
【证明】
方法一：
将代入：
又
方法二：，
又，
,
，
，
．
【总结升华】证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系．方法一用代入法把，再把；方法二中利用恒等式消去条件中的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法．
类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知，试化简．
【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式，于是
【解析】原式，
∵，∴，∴，，
从而，，
∴原式．
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos2，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到，则，，设，则x＜0，则，又，故，从而．
举一反三：
【变式1】化简．
【解析】∵，∴cos＞0，则由半角公式得，
∴原式，又，∴，
从而．即原式=．
类型三：利用公式进行三角函数式的求值
例4． 已知，试求的值．
【解析】 解法一：由①2+②2，得，即．
再将①②两边分别相乘，得
，
即．
将代入上式，得．
解法二：因为，
所以，再由例1的【变式1】中的公式可得：
．
【总结升华】 将条件进行加、减、乘、除以及对条件式进行平方再进行运算都是常用的解题手段，当然这需要根据题设条件灵活处理．
举一反三：
【变式1】若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为(　　)
A．－ B.
C. D.
【答案】A
【解析】 由tanα＋＝ (tanα－3)(3tanα－1)＝0得tanα＝3或tanα＝，由α∈(，)得tanα>1，故tanα＝舍去，而sin(2α＋)＝×＝×，将分式分子与分母同除以cos2α得sin(2α＋)＝×＝－.
【变式2】若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________ .
【答案】
【解析】∵＝＝3，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝－＝.
类型四：三角恒等变换的综合应用
例5．已知，求：
（1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）的单调区间．
【思路点拨】先用降幂公式降幂，然后利用这个公式把原式进行变形．
【答案】（1） （2）单增区间 单间区间
【解析】
（1）
=
由，时
即时，．
（2），
即
是单增函数．
，
即
是单减函数．
举一反三：
【变式1】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.
求函数f(x)的最大值和最小正周期.
设A,B,C为 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ABC的三个内角，若cosB=，f( HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 )=－，且C为锐角，求sinA.
【答案】（1） HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 （2）
【解析】（1）f(x)=cos(2x+)+sinx=
所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.
（2）f( HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 )==－,所以,因为C为锐角,所以,所以,所以sinA =cosB=.
【变式2】已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
为所求
（2）
类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用
例6．青海玉树地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m，圆心角，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
【思路点拨】因为A点是动点，所以连接OA，设∠AOP=，然后用的三角函数来表示平行四边形钢板ABOC的面积，最后利用三角函数的知识求面积的最大值．
【答案】当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3
【解析】连接OA，设∠AOP=，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，AH=sin，OH=cos．在Rt△ABH中，，所以，所以，
设平行四边形ABOC的面积为S，则
．
由于，所以当，即时，．所以当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3．
【总结升华】 解决本题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立S关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用．
举一反三：
【变式1】如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.
（1）设，长方形停车场PQCR面积为S，求
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）14050－9000 950
【解析】（1）作PM⊥AB于M点，又，则
（2）设，即
则．
代入化简得．
故当t=时，Smin=950(m2)；当t=时，Smax=14050－9000(m2) ．
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一、选择题
1.化简，结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A.32 B.16 C. 64 D.128
3.若，且，则的值等于（ ）
A. B. C. D.2
4.下列各式中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5.、、这三个数的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
二、填空题
7. .
8.= .
9.若，则= .
10.已知，则= .
三、解答题
11.计算：
（1）；
（2）.
12.计算下列各式：
（1）；
（2）．
13. 计算：
14.已知.
求证：为定值.
15.（1）化简：；
（2）已知，求的值.
答案与解析
一、选择题
1. A 原式=
=
=
=
2. A ，故选A。
3. C 因为，所以，即．同理，又因为，所以，故．
4.D D中左边=
5. B ，，．，．
6．B 因为，又是奇函数，是偶函数，所以，所以，，两式联立解得，进一步求得．
二、填空题
7. 原式=.
8. 原式=.
9.-23 原式===4-27=-23.
10. 因为，所以．
三、解答题
11.解：（1）原式=.
（2）原式=
=
=
=
=
12.解：（1）原式=
=
=.
（2）原式=
=-（）
=0
13. 原式=
=
=
=0
14．证明：
同理
原式=2，结论得证．
15．解：（1）原式==+
=
（2）因为，
所以 ，
所以
故当 a>b时， =a-b.当a=b时，=0.当a1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．=( )
　　A.　　 B.　　 C.　　 D.
3．设,若,则( )
A. B. C. D.
4．等于( )
A. B. C. D.
5．已知、都是锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|等于(　　)
A. B.
C. D．1
7．的值是 ( )
A. B. C.1 D.
8．已知A.B均为钝角,,,则A+B的值为( )
A. B. C. D.
9．cos555°的值为 ．
10． .
11．若
12．若则的取值范围. .
13．若a＝(sin193°，sin313°)，b＝(sin223°，－sin103°)，试求a·b的值．
14．已知cos(α＋β)＝－，cos2α＝－，α、β均为钝角，求cos(α－β)的值．
15．求值：．
16．已知，，且，，求角的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】原式=cos45°cos75°+sin45°sin75°=cos(－30°)=．
2．【答案】A
3．【答案】B
【解析】∵,,∴,
原式==
4. 【答案】B
【解析】原式
=
5．【答案】A
【解析】、、，，，
．
6．【答案】D
【解析】|a－b|＝
＝＝1.
7．【答案】A
【解析】=
= =
8. 【答案】A
【解析】
=
9．【答案】B
【解析】cos555° ＝cos(720°－165°)＝cos165°
＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)
＝－.
10．【答案】
【解析】
原式=
=
=
==
11．【答案】
【解析】（1），（2），（1）2+（2）2得：．
12．【答案】
【解析】令,
则
13．【解析】a·b＝(sin193°，sin313°)·(sin223°，－sin103°)
＝sin193°·sin223°－sin313°sin103°
＝sin(180°＋13°)·sin(180°＋43°)－sin(360°－47°)·sin(180°－77°)
＝sin13°sin43°＋sin47°sin77°
＝sin13°sin43°＋cos43°cos13°
＝cos(43°－13°)＝cos30°＝.
14．【解析】∵α、β∈(90°，180°)，
∴α＋β∈(180°，360°)，2α∈(180°，360°)．
∵cos(α＋β)＝－＜0，cos2α＝－＜0.
∴α＋β∈(180°，270°)，2α∈(180°，270°)．
∴sin(α＋β)＝－＝－
＝－，
sin2α＝－＝－＝－.
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝(－)×(－)＋(－)×(－)＝.
15．【解析】原式
．
16．【解析】由且，得．
又由，且，得．
．
又∵，．
∴，则．
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898单调性与最大（小）值
编稿：丁会敏　　审稿：王静伟　
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
要点诠释：
(1)属于定义域A内某个区间上；
(2)任意两个自变量且；
(3)都有；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
①对于任意的，都有（或）；
②存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；
③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数.
要点二、基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
4．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】
例1．已知：函数
（1）讨论的单调性.
（2）试作出的图像.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是实数集上的任意实数，且x1①当时，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函数.
②当-1∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是减函数.
同理：函数是减函数, 函数是增函数.
（2）函数的图象如下
【总结升华】
（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
■
举一反三：
【变式1】讨论函数的单调性，并证明你的结论.
【解析】设，则，.
，即.
在上单调递减.
同理可得在上单调递增；在上单调递增；在上单调递减.
故函数在和上单调递增；在和上单调递减.
类型二、求函数的单调区间
例2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
【思路点拨】 对进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
【答案】（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
（2）f(x)在上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2)　(3)；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
（2）上为减函数；
（3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
（4）单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.
【解析】(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).
【高清课堂：函数的单调性356705 例3】
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.
【总结升华】
（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；
（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.
例3.已知函数的定义域为，且对任意的、均有，且对任意的，都有.
（1）试说明：函数是上的单调递减函数；
（2）试求函数在（且）上的值域.
【思路点拨】（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；（2）由（1）的结论可知、分别是函数在上的最大值与最小值，故求出与就可得所求的值域.
【答案】（1）证明略；（2）．
【解析】
（1）任取、，且，，于是由题设条件可知：
.
对任意的都有，
.
.
故函数是上的单调递减函数.
（2）由于函数是上的单调递减函数，
在[m,n]上也为单调递减函数，
在[m,n]上的最大值为，最小值为.
由于，同理...
因此函数在上的值域为.
【总结升华】像本例这样不知道解析式的函数，我们称为抽样函数.研究抽象函数的单调性是依据定义和题设来进行论证的.一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“”型[即给出所具有的性质，如本例]，二是“”型.对于型的函数，只需构造，再利用题设条件将它用与表示出来，然后利用题设条件确定的范围，从而确定与的大小关系；对型的函数，则只需构造即可.
举一反三：
【变式1】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性.
【答案】单调递增
【解析】设，则.
.
在上单调递增.
【变式2】已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
【答案】
【解析】令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2
再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3
∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8)
.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例4. 已知函数是定义域为的单调增函数．
（1）比较与的大小；
（2）若，求实数的取值范围．
【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．
（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．
例5. 求下列函数的值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4).
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.
(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2) ；
(3)经观察知，，；
(4)令.
举一反三：
【变式1】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间；
(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.
【思路点拨】这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.
【答案】（1）上单调递增，在上单调递增；
（2）．
【解析】
(1)
上单调递增，在上单调递增；
(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.
例6. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.
【答案】（1）a≤0或a≥2；（2）．
【解析】(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2
(2)1°当a<-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a
2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-1
3°当a>1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a
，如图
【总结升华】二次函数在闭区间上的最值问题由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴的位置（在区间上，还是在区间左边，还是在区间右边）来确定，当开口方向和对称轴的位置不确定时，则需要进行分类讨论.
举一反三：
【变式1】 求在区间[0，2]上的最大值和最小值.
【解析】，对称轴为．
（1）当时，由上图①可知，，
（2）当时，由上图②可知，，
（3）当时，由上图③可知，，
（4）当时，由上图④可知，，
PAGE【巩固练习】
1.已知A ,B ,C是△ABC的三个内角, 且sinA>sinB>sinC,则( )
(A) A>B>C (B) A (D) B+C >
2.在平面直角坐标系中，已知两点A(cos800,sin800),B(cos200,sin200)，则|AB|的值是 ( )
(A) (B) (C) (D) 1
3. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的
面积为1,小正方形的面积是,则sin2θ-cos2θ的值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
4.D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D两点测得A点的仰角
分别是α、 β（α>β）,则A点离地面的高度等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
5．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．2πs B．πs C．0.5 s D．1 s
6．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为
的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
（A）； （B）
（C）； （D）
7．如图甲，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为，弦AP的长为d，则函数的图象大致是（ ）
8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈（A＞0，ω＞0，）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为（ ）
A． （1≤x≤12，x∈N+）
B．（1≤x≤12，x∈N+）
C．（1≤x≤12，x∈N+）
D．（1≤x≤12，x∈N+）
9．已知某人的血压满足函数解析式，其中为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
10．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
11．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．
12．平静的水面上，扔下一个小石子，我们会看到：水波每隔一段时间会重复出现．如果从局部来看，可以近似地视为正弦型曲线．2004年12月26日，印度尼西亚苏门答腊岛附近海域发生地震，并引发大规模的海啸．若某次海啸的周期为7.2小时，以200 m／s的速度涌向岸边，浪高达到80 m，试求出此次海啸的函数解析式，并画出其波形示意图．
13．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离是h．
（1）求h与间的函数关系式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？
【答案与解析】
1. 【答案】A
2. 【答案】D
【解析】因为
=
3. 【答案】D
【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设所对的直角边为
则由勾股定理得：，解得，，，进一步求得，所以，故选D.
4. 【答案】A
【解析】,,化简整理得：，故选A．
5．【答案】D
【解析】周期（s）．
6．【答案】A
【解析】八边形的面积=
7．【答案】C
【解析】当为时，∠AOP=（弧度），过O作OD⊥AP．则，∴d=2sin．
8．【答案】A
【解析】令x=3，可排除D，令x=7，可排除B，由，排除C．
9．【答案】80
【解析】，．
10．【答案】
【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴，
将点（0.1，2）代入，得．
11．【答案】60米，米
【解析】如图甲楼的高度AC=AB=60米，
在Rt△CDE中，．
∴乙楼的高度为米．
12．【解析】设函数解析式为，由题意知，，令t=0时，，所以函数解析式为．波形示意图如图所示．
13．【解析】（1）以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为，故B点坐标为．
∴．
（2）点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为，
∴，t∈[0，+∞）．
到达最高点时，h=10.4 m．
由得，∴t=30，
∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
A
B
C
D
α
β【巩固练习】(基础)
1．=（ ）
．
2．已知，则=（ ）
3．= （ ）
4．cos(α－55°)cos(5°＋α)＋sin(α－55°)sin(5°＋α)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D.
5．在平面直角坐标系中，已知两点A（cos800,sin800）,B(cos200,sin200),则|AB|的值是（ ）
A． B． C． D． 1
6．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．的值是 ( )
A. B. C.1 D.
8．已知A.B均为钝角,,,则A+B的值为( )
A. B. C. D.
9．sinα＝，α∈(，π)，则cos(－α)的值为 ．
10．sin100°sin380°＋cos80°cos20°的值为________．
11．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α、β∈(0，)且α＞β，若a·b＝，则α－β＝________.
12．设其中，则 .
13．已知，，求的值．
14．若a＝(sin193°，sin313°)，b＝(sin223°，－sin103°)，试求a·b的值．
15．已知α、β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
【解析】原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos60°＝.
5．【答案】D
6．【答案】B
【解析】由．
．
两式相加得，∴．
7．【答案】A
【解析】=
= =
8. 【答案】A
【解析】
=
又
9．【答案】
10．【答案】
【解析】原式＝sin80°sin20°＋cos80°cos20°＝cos60°＝.
11．【答案】
【解析】a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，
又α、β∈(0，)，α>β，∴0<α－β<，∴α－β＝.
12．【答案】
13．【解析】由已知得：，而，所以，
．
14．解：a·b＝(sin193°，sin313°)·(sin223°，－sin103°)
＝sin193°·sin223°－sin313°sin103°＝sin(180°＋13°)·sin(180°＋43°)－sin(360°－47°)·sin(180°－77°)
＝sin13°sin43°＋sin47°sin77°
＝sin13°sin43°＋cos43°cos13°
＝cos(43°－13°)＝cos30°
＝
15．【解析】∵α、β均为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝
=
又sinα∴－<α－β<0.故α－β＝－.
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898正切函数的性质与图象
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；
2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；
3．理解正切函数的对称性．
【要点梳理】
要点一：正切函数的图象
正切函数，且的图象，称“正切曲线”
（1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα
（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从到也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置；
⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.
要点二：正切函数的性质
1．定义域：，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴
5．单调性：在开区间内，函数单调递增
要点诠释：
正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
要点三：正切函数型的性质
1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
值域：
3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
要点诠释：
若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为．
【典型例题】
类型一：正切函数的定义域
例1．求下列函数的定义域．
（1）；（2）．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．
【答案】（1）（k∈Z）
（2）（k∈Z）
【解析】 （1）要使有意义，必须满足
，即，
∴函数的定义域为（k∈Z）．
（2）要使有意义，必须满足，
∴函数的定义域为（k∈Z）．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】求的定义域、周期、单调区间．
【答案】
【解析】由，
所以定义域是，周期．
由，
得．
所以函数在上递增．
类型二：正切函数的图象
例2．函数在一个周期内的图象是下图中的（ ）
【答案】 A
【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．
由函数周期，排除选项B、D．将代入函数式中，．故函数图象与x轴的一个交点为．故选A．
【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法．
举一反三：
【变式1】作出函数y=tan x+2，的简图；
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
类型三：正切函数的周期性
例3．求下列函数的周期
（1）y=3tan(2x+) （2）y=7tan(－)
【解析】（1）f(x)= 3tan(2x+)=3tan(2x++π)= 3tan[2（x+）+]=f(x+). ∴周期为.
（2）f(x)= y=7tan(－)=7tan(－+π)=7 tan[（x+3π）－]=f(x+3π)
∴周期为3π.
举一反三：
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）是（2）是（3）不是
【解析】
（1）
函数是周期函数，最小正周期是．
（2）
是周期函数，最小正周期是．
（3）由图象知，函数不是周期函数
类型四：正切函数的单调性
例4．比较与的大小．
【解析】 ∵，，
又∵，y=tan x在内单调递增，
∴，即；
【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间．
【解析】，
由．
得，k∈Z．
∴函数的单调递减区间为，k∈Z．
【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例3】
【变式2】求函数的单调增区间.
【答案】集合与函数综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.集合
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.函数
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；
（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】
【要点梳理】
一、集合
1．集合含义与表示
（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．
2．集合间的关系
（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记为“AB”或“BA”．
（2）若AB，且B中至少存在一个元素不是A的元素，则A是B的真子集，记为“AB”或“BA”．
（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”．判断集合相等还可以用下面两种方法：且A=B；．
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
3．集合的基本运算
（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的并集，记作“A∪B”．用数学语言表示为A∪B={x|x∈A，且x∈B}．
（2）由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的交集，记作“A∩B”．用数学语言表示为A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
（3）若已知全集U，A是U的子集，则由所有U中不属于A的元素构成的集合称为集合A在U中的补集．记作“”．用数学语言表示为．
要点诠释：
；．
二、函数及其表示
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
三、函数的性质
1．函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
2．函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
【典型例题】
类型一：集合的关系及运算
例1．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例4】
【变式1】设全集为，，，
求及．
【答案】=；=.
例2．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若，则≤l≤1；③，则．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，对于②，则，对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【答案】D
【解析】 若m=1，则x=x2，可得x=1或x=0（舍去），则S={1}，因此命题①正确；若，当时，，故，当时，，则，可得或（舍去），故，∴，因此命题②正确；若，则，得，因此命题③正确．
类型二：映射
例3．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b2－4a≥0；（3）b2=4a
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型三：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例4．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由函数是奇函数且在[0，2]上是增函数可以推知在[－2，2]上递增，又，故函数以8为周期，，，，故．故选D．
（2）由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例5．设偶函数满足，则（ ）
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【思路点拨】先求的解析式，即，然后再去解这个不等式。
【答案】 B
【解析】 当x＜0时，－x＞0，
∴，
又是偶函数，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故选B．
例6．设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例7．设函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．
【答案】（1）右图；（2）．
【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示．
（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a＜―2时，函数与函数y=ax的图象有交点．故不等式的解集非空时，a的取值范围为．
举一反三：
【变式1】 直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 如图，作出y=x2－|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得．
例8． 已知函数（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有恒成立，即可得的取值范围。
【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）（－∞，16]．
【解析】 （1）当a=0时，，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴为偶函数．
当a≠0时，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x1＜x2，
，要使函数在x∈[2，+∞）上为增函数，必须恒成立．
∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．
又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．
∴a的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，+∞）上为增函数，
∴在[2，+∞）上为增函数．
当a＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）2 ；（2）单调递增
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则
=
所以函数在上单调递增．
例9．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数，问函数是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4，当x=1时，u有最大值，umax=4，显然u没有最小值．∴当x=1时，有最小值，没有最大值．
（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
（2）对于函数，试研究其最值情况．
【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【解析】（1）不正确．没有考虑到u还可以小于0．
正确解答如下：令u=3+2x―x2，则u=―(x―1)2+4≤4，
当0＜u≤4时，，即；当u＜0时，，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
（2）对于函数，令u=ax2+bx+c（a＞0）．
①当Δ＞0时，u有最小值，，
当时，，即；当u＞0时，即．
∴或，即既无最大值，也无最小值．
②当Δ=0时，u有最小值，，
此时，u≥0，∴＜，即，既无最大值，也无最小值．
③当Δ＜0时，u有最小值，，
即．
∴，即．
∴当时，有最大值，没有最小值．
综上，当Δ≥0时，既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，有最大值，此时，没有最小值．
【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
（2）设，是二次函数，若的值域是[0，+∞），则的值域是（ ）
A．（－∞，－1]∪[1，+∞） B．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C
【解析】要使的值域是[0，+∞），则可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又是二次函数，定义域连续，故不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C项．
【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出的值域，要求的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．
类型四：函数的综合问题
例10．（1）已知函数在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数，x∈[－1，1]，求函数的最小值．
【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；
第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．
【答案】（1）－3或；（2）略
【解析】
（1）．
①当a=0时，函数在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；
②当a＞0时，函数在区间[－1，2]上是增函数，最大值为，；
③当a＜0时，函数在区间[―1，2]上是减函数，最大值为，a=―3．
综上，a的值为－3或．
（2），对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：
当a≥1时，函数在区间[―1，1]上是减函数，最小值为；
当―1＜a＜1时，函数在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为；
当a≤―1时，函数在区间[―1，1]上是增函数，最小值为．
【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．
举一反三：
【变式1】设函数，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数的最小值．
【答案】
【解析】 二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．
，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：
当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为；
当1≤t+1≤2，即0≤t≤1时，如上图②，最小值为；
当t＞1时，如上图③，函数在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为．
综上有
【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．
例11．设a为实数，函数．
（1）若，求a的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）设函数，x∈（a，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式的解集．
【答案】（1）（―∞，－1]；（2）；（3）略．
【解析】（1）因为，所以－a＞0，即a＜0．
由a2≥1知a≤―1．因此a的取值范围为（―∞，－1]．
（2）记的最小值为，我们有
（i）当a≥0时，，由①②知，此时．
（ii）当a＜0时，．若x＞a，则由①知；若x≤a，则x+a≤2a＜0，由②知．此时．
综上得．
（3）（i）当时，解集为（a，+∞）；
（ii）当时，解集为；
（iii）当时，解集为．【巩固练习】(基础)
1．若
B. C. D.
2．已知，，则等于 （ ）
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
3．已知，则的值是（　 ）
A、1999 　　　B、2000 　　C、2001 　　D、2002
4．已知，,则的值为（　 ）
A、 　　　B、1 　　　C、 　　　D、2
5．已知, ，则的值为（　 ）
A、 　　　B、 　　　C、3 　　 　D、
6．若,,且是锐角，则等于（　）
A、　　　 B、　　　C、　　D、
7. 若,，则的值为（　）
A、1 　　　B、 　　C、　　　D、
8．已知, 则的值是（　）
A、 　　B、 　　C、 　　　D、
9．的值为＿＿．
10．已知，，，则____.
11．函数的图象如图所示，则的值等于
12．定义一种运算令且，
则函数的最大值是______.　
13．条件求值：
（1）已知
（2）已知，（ⅰ）求的值；（ⅱ）求的值.
14．已知
（1）求的值；
（2）求的值．
15．已知函数,.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】由
∴
2. 【答案】 A
3．【答案】C
【解析】
=
＝2001
4．【答案】B
【解析】注意角的特点：
5．【答案】D
【解析】易知,利用可求．
6．【答案】A
【解析】∵都是锐角，∴,
又,利用易求．
7．【答案】C
【解析】需要先求出k的值，再求出的值．
8．【答案】C
【解析】=．由已知求再求,代入即可．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
11． 【答案】
【解析】由图知，，，所以周期，又，所以，所以，即，所以，所以，
又，
所以.
12．【答案】
【解析】令，则
　　∴由运算定义可知，
∴当，即时，该函数取得最大值.　　由图象变换可知，
所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
13．【解析】（1）由已知得
∴ ①
由已知得，，∴，即
∴tan，∴由①得
∴
＝
＝
＝
(2) (ⅰ)由已知得，由此解得
(ⅱ)利用(ⅰ)的结果，原式＝
14．【解析】（1）对于 ，两边平方得
∴
∵，∴cosx＞0，sinx＜0
∴sinx－cosx<0，
∴sinx－cosx＝－
（2）
=
=
=
=
15．【解析】
所以,的最小正周期.
(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为.
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1．sin585°的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则的值等于（ ）
A．―1 B．1 C． D．0
4．等于（ ）
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
5．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，若，则△ABC必是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
7．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．计算：＝ ．
10．若，为第三象限角，则的值是 ．
11．已知，则__________.
12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；
（2）cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值为________。
13. 已知、均为锐角，。若，求的值。
14．化简：，k∈Z
15．已知tan，是关于x的方程x2―kx+k2―3=0的两实根，且。
求的值。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】sin585°=sin(360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°)=－sin45°=。
2．【答案】C
【解析】，所以
3．【答案】A
【解析】。
4．【答案】A
【解析】原式=
5．【答案】B
【解析】原式=，由。
而，∴。
原式=sincos=3cos2=。
6．【答案】C
【解析】由已知，得，所以或，故选C。
7．【答案】B
【解析】，因为，
所以。故选B。
8．【答案】A
【解析】因为，，故
9．【答案】0
【解析】原式===
10．【答案】
【解析】原式==
=
=
11．【答案】
【解析】由已知得：
12．【答案】（1）－1 （2）
【解析】（1）因为cos(180°―)=―cos，所以cos+cos(180°―)=0，故cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+…+cos(89°+cos91°)+cos90°+cos180°=―1。
（2）cos21°+cos22°+cos23°+…cos289°=cos21°+cos22°+cos244°+cos245°+sin244°+…+sin22°+sin21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+sin22°)+…+(sin244°+cos244°)+cos245°=.
13．【解析】由，得。
又、均为锐角，则，即。
于是，。
14．【解析】（1）当k=2n，n∈Z时，
原式
。
（2）当k=2n+1，k∈Z时，
原式
。
15．【解析】∵tan，是方程x2―kx+k2―3=0的两根，
∴，即 ，
∴，∴，故k=2。
即，。
∴。
∴。三角函数的诱导公式
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【要点梳理】
要点一：诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
要点诠释：
(1)要化的角的形式为(为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)；.
要点二：诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.
化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值
【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】
例1．求下列各三角函数的值：
（1）；
（2）
（3）
【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【答案】（1）0（2）（3）
【解析】（1）原式=
（2）原式=
=
=
（3）原式=
=
=
=
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．
（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式】（1）；（2）；（3）tan（－855°）．
【答案】（1）（2）（3）1
【解析】（1）
．
（2）．
（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
例2．已知函数，其中a、b、、都是非零实数，又知f（2009）=－1，求f（2010）．
【解析】
．
∵f（2009）=－1 ∴．
∴
．
【总结升华】 求得式子，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．
举一反三：
【变式1】 已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．
【答案】
【解析】 ∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)=,
sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+)，
∵为第三象限角，
∴75°+为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上．
又cos(75°+)=＞0，∴75°+为第四象限，
∴．
∴．
【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+=180°－(105°－)或105°－=180°－(75°+)等．
【变式2】已知，，且0＜＜π，0＜＜π，求和的值．
【解析】由已知得，．
两式平方相加，消去，得，
∴，而，
∴，∴或．
当时，，又，∴；
当时，，又，∴．
故，或，．
类型二：利用诱导公式化简
例3．化简
(1)；
(2).
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【答案】（1）-1（2）略
【解析】(1)原式；
(2)①当时，原式.
②当时，原式.
【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；
(2)关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
（3）
（4），．
【解析】（1）原式=
=
=
（2）
（3）原式==0
（4）由(kπ+)+(kπ―)=2kπ，[(k―1)π―]+[(k+1)π+]=2kπ，
得，
．
故原式．
【总结升华】 常见的一些关于参数k的结论：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
类型三：利用诱导公式进行证明
例4．设，求证：．
【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁” ( http: / / www. / wxc / )到“简”，从左边到右边的方法．
【证明】 证法一：左边
=右边．
∴等式成立．
证法二：由，得，
∴左边
=右边，
∴等式成立．
举一反三：
【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】
【变式1】设A、B、C为的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
（3）
【解析】（1）左边==右边，等式得证．
（2）左边===右边，等式得证．
（3）左边==右边，等式得证．
【变式2】求证：．
证明：∵左边
，
右边，
∴左边=右边，故原式得证．
类型四：诱导公式的综合应用
例5．已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限的角，且，求的值．
（3）若，求的值．
【解析】 （1）．
（2）∵，
∴，
∴．∴．
（3）．
【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．
举一反三：
【变式1】已知、均为锐角，，若，求的值．
【解析】由得
，又、均为锐角．
则，即．
于是，．两角差的余弦公式(提高)
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.
2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.
【要点梳理】
要点一：两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则
由向量数量积的概念，有
，结合向量数量积的坐标表示，有
所以= （*）
（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下：
由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使．
①若，则．
②若，则，且
由以上的讨论可知，对于任意的，都有：
=
2．公式的记忆
右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角．
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即．
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．
要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用
1．逆用
=
要点诠释：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
．
2．角变换后使用
．
3．移项运用
4．特殊化使用
5．以代
即
【典型例题】
类型一：利用差角的余弦公式进行证明
例1．求证：
（1）
（2）
【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开．（2）利用及两角和的余弦公式可证得．
【证明】（1）=
=
（2）
=
=
=
=
举一反三：
【变式1】
证明：
=
=
=
=
=
类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式
例2．（1）；
（2）．
【解析】
（1）原式
．
（2）原式=
=
=
=
=
【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型．
举一反三：
【变式1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；
（2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；
（3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°；
（4）；
【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式
类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）
例3．已知，，，均为锐角，求．
【思路点拨】
【解析】∵，均为锐角，∴，，
由，，
易知，．
∴
．
【总结升华】
举一反三：
【变式1】已知，，且、、均为锐角，求的值
【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内，所以，．
而，
所以
．
例4．已知、均为锐角，且，，求的值．
【思路点拨】先求，然后根据确定的范围．
【答案】
【解析】 ∵、均为锐角，且，，
∴，，
∴
．
又∵，，，
而，∴，即，
∴，∴．
【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
举一反三：
【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值．
【解析】 ∵为锐角且，
∴．
又为锐角，∴，
又，∴．
∴．
∴
．
又为锐角，．
【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题．（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围．
【变式2】若，，求的值．
【解析】
（1）
（2）
（1）2+（2）2得：2+2=1
类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用
例5．已知三点、、．若向量（k为常数，且0＜k＜2），求的最大、最小值及相应的k值．
【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得．
【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值－1．
【解析】 由已知得．
移项得．
①2+②2得．
∴
∵0＜k＜2，故k=1时，有最大值，
又，∴的最小值为－1，
此时，解得或．
综上所述，当k=1时，有最大值；
当或时，有最小值－1．
【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引起足够的重视．
（2）形如的一类问题，平方相加或相减，或者先移项再平方相加而消元，是解决此类问题的常用方法．
举一反三：
【变式1】设A、B为锐角三角形ABC的两个内角，向量，，若a，b的夹角为60°，则A－B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
a·b=
又|a|=，|b|=
又
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】（基础）
1．若，则
A． B． C． D．
2．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（ ）
A． B． C． D．
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．函数是（ ）
A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
5．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．求值（ ）
A． B． C． D．
7．若，且，则( )
A． B． C． D．
8．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A．y=cos2x B．y=2cos2x C． D．y=2sin2x
9．已知，则= ．
10．的值为 ．
11．函数的周期为 ，当时，函数的值域为 ．
12．的取值范围是 ．
13．求的值．
14．已知求的值．
15．已知△ABC的内角满足，若，且满足：，，为的夹角.求．
16．已知．
（1）求tan x的值；
（2）求的值．
【答案与解析】
1．【答案】A
2．【答案】B
【解析】 由角的终边在直线y=2x上可得，
．
3．【答案】C
4．【答案】C
【解析】 ∵，
∴．
5. 【答案】B
【解析】
6. 【答案】C
【解析】
7. 【答案】A
【解析】
=．
8．【答案】B
【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数，即的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为1+2cos2x=2cos2x，故选B．
9．【答案】
【解析】，，，．
10．【答案】4
【解析】=
11．【答案】1；
【解析】，，，，
12．【答案】
【解析】原式=，．
13．【解析】原式
．
14. 【解析】，
而
．
15. 【解析】
得，
16．【解析】（1）由得．
∴
（2）原式
．
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1．角的终边经过点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若角的终边上有一点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
4．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．sin＞cos＞tan B．cos＞tan＞sin
C．sin＞tan＞cos D．tan＞sin＞cos
6．设角属于第二象限，且，则角属于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．若为锐角且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若cos＞0，且sin2＜0，则角的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。
10．若为第二象限角，则________。
11．已知角的终边经过点，则 。
12．已知角的终边在直线上，则 。
13．已知角终边上一点，且。求和的值。
14．判断下列三角函数式的符号：
（1）sin320°·cos385°·tan155°；
（2）
15．角的顶点为坐标原点，终边在直线上，且。若是终边上的一点，且，求的值。
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由。
2. 【答案】B
【解析】
3．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴。
4. 【答案】A
【解析】
5．【答案】D
【解析】 结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正切线最长，余弦线最短，且都为正，故tan＞sin＞cos。
6. 【答案】C
【解析】
当时，在第一象限；当时，在第三象限；
而，在第三象限；
7. 【答案】A
【解析】
8．【答案】D
【解析】 利用三角函数值的符号，确定角的象限。
∵cos＞0，sin2＜0，
∴（k∈Z）
即（k∈Z）。L
当k为奇数时，无公共部分；当k为偶数时，公共部分是第四象限。
9．【答案】0
【解析】 原式=5×1+2×1－3×(－1)+10×(－1)=0。
10．【答案】2
【解析】 为第二象限角，∴sin＞0，cos＜0。
11．【答案】
【解析】利用三角函数的定义去解。
12．【答案】
【解析】可以在直线上任意一个点的坐标，利用三角函数的定义去解。
13．【解析】由已知，解得，则有。
14．【解析】（1）由于320°，385°=360°+25°，155°分别在第四象限、第一象限、第二象限，则sin320°＜0，cos385°＞0，tan155°＜0，∴sin320°·cos385°·tan155°＞0。
（2）由于，，，∴4，2，，分别在第三象限、第二象限、第一象限、第三象限，∴tan4＞0，cos2＜0，，，∴。
15．【解析】由已知，并且。又，。【巩固练习】
1．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( )
A． B． C． D．
2．设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数在上递减，那么在上( )
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
5．函数的定义域为（ ）；
A． B．
C． D．
6.已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，＋∞)上是增函数且，则不等式f（log4x）＞0的解集是（ ）.
A． B． C． D．
7．已知, 判断、、之间的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
8. 函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
9．不等式的解集为 .
10．已知函数，对任意都有,则、 、的大小顺序是 ．
11．函数的定义域是 ；值域是 .
12．若函数是奇函数，则为 .
13．已知，求函数的值域.
14．函数在上最大值是14，求的值.
15．若函数时的最小值为g(t)，求函数g(t)当[-3,2]时的最值．
【答案与解析】
1. 【答案】A
【解析】.
2. 【答案】D
【解析】不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D.
3. 【答案】A
【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值.
4. 【答案】C
【解析】=，只需将的图象上所有点向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，即可得要求的图象．
5. 【答案】D
【解析】.
故选D.
6. 【答案】A
【解析】，又当,故选A．
7. 【答案】B
【解析】先比较两个同底的，即与，因为函数是单调递减的，又，所以．再比较两个同指数的，即与，因为函数在上是增函数，又，所以．
8. 【答案】D
【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D．
9. 【答案】
【解析】依题意得，，，即，解得.
10. 【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以
11. 【答案】
【解析】；
12. 【答案】2
【解析】
.
13．【答案】
【解析】，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．
14．【答案】3或
【解析】(1) a>1时，u=ax>0在[-1，1]上为增函数，y=u2+2u-1在(0,+∞)上为增函数，
∴ y=a2x+2ax-1在[-1，1]上为增函数，∴x=1时，y取最大值14，
∴a2+2a-1=14, ∴a=3(a=-5不满足a>1, 舍去).
(2) 00在[-1，1]上为减函数，y=u2+2u-1在(0,+∞)上为增函数，
∴y=a2x+2ax-1在[-1，1]上为减函数，∴ x=-1时，y取最大值14.
∴a-2+2a-1-1=14,∴a=(a=-不满足0综合(1),(2)a=3或a=.
15．【答案】10
【解析】与区间[t,t+1]的不同位置关系分类讨论：
若t>1，则；
若；
若t+1<1，即t<0，则．
函数g(t)在内是减函数，在[0,1]内是常值函数，在内是增函数，
又g(-3)>g(2)，故在区间[-3,2]内，g(t)min=1(当0≤t≤1时取得)，g(t)max=g(-3)=10．
PAGE
4平面向量的实际背景及基本概念
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.
4．理解两个向量共线的含义.
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
要点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2.向量的表示方法:
(1)字母表示法:如等.
(2)几何表示法:以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
要点三：向量的有关概念
1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
要点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3．单位向量:长度等于1个单位的向量.
要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？
（1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．
【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．
【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量．故（2）（3）是向量，（1）（4）不是向量．
【总结升华】 实际问题中的一些量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念．
举一反三：
【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A． 质量 B． 速度 C．位移 D．力
【答案】 A
例2．下列说法正确的是（ ）．
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量与平行，则与的方向相同或相反
C．向量的长度与向量的长度相等
D．单位向量都相等
【思路点拨】本题考查向量的有关概念．
【答案】 C
【解析】对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上．A错．
对于B，由于零向量与任意向量平行，因此若，中有一个为零向量时，其方向是不确定的．B错．
对于C，向量与向量方向相反，但长度相等．C对．
对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．
【总结升华】上述概念性试题，关键是把握好概念的内涵与外延，对于一些似是而非的概念一定要分辨清楚，如有向线段与向量，有向线段是向量的几何表现形式，并不能等同于向量．还有如单位向量，任何一个非零向量都有单位向量，若以2 cm为1个单位，则长度为1 cm的向量便不是单位向量．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589 ( https: / / resource.etiantian.com / ett20 / totalmanage / resource / viewResourceDetail.jsp resourceID=402589" \o "查看资源信息" \t "_blank )例2】
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法正确的个数是( )
①向量，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③向量既是有向线段；
④在平行四边形中，一定有.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
类型二：向量的表示方法
例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量．
（1），点A在点O正西方向；
（2），点B在点O北偏西45°方向；
（3），点C在点O南偏东60°方向．
【解析】 如图所示．
【总结升华 】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
例4．如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量平行的向量；
(3)与向量模相等的向量；
(4)与向量模相等、方向相反的向量．
【解析】(1)与向量相等的向量有.
(2)与向量平行的向量有、、、、.
(3)与向量模相等的向量有、、.
(4)与向量模相等、方向相反的向量有、.
举一反三：
【变式1】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在右图所示向量中，
（1）写出与，，相等的向量；
（2）写出模相等的向量．
【解析】（1），，．
（2），，．
【变式2】 （1）与向量相等的向量有多少个？并把这些向量写出来．
（2）是否存在与向量长度相等、方向相反向量？
（3）与向量共线的向量有哪些？
【解析】（1）3个 、、（2）存在 、、、
（3）向量共线的向量有：、、、、、、．
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例5． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且．
求证：．
【思路点拨】证明，要证明这两个向量的方向相同和大小相等．
【证明】 ∵，∴且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴且DA∥CB．
又∵与的方向相同，∴．
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴．
∵，，∴，
又与的方向相同，∴．
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若，则且AB∥CD．
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．
【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．
PAGE单调性与最大（小）值
编稿：丁会敏　　审稿：王静伟　　
【学习目标】
1.理解函数的单调性定义；
2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性．
【要点梳理】
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1如果对于内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间上是减函数.
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量且；
（3）都有；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意的，都有（或）；
(2) 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；
③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数．
要点二、基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
4．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
【高清课堂：函数的单调性 356705 例1】
例1.已知：函数
（1）讨论的单调性.
（2）试作出的图象.
【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
【解析】
（1）设x1，x2是实数集上的任意实数，且x1①当时，x1-x2<0，1，故，即f(x1)-f(x2)<0
∴x1上是增函数.
②当-1∵0故，即f(x1)-f(x2)>0
∴x1f(x2)
上是减函数.
同理：函数是减函数, 函数是增函数.
（2）函数的图象如下
【总结升华】
（1）证明函数单调性要求使用定义；
（2）如何比较两个量的大小？(作差)
（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】 证明函数在上是增函数.
【解析】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1=
=
∵ ∴．
，即
在上是增函数．
类型二、求函数的单调区间
例2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
【思路点拨】 对进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。
【答案】（1）f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
（2）f(x)在上递增.
【解析】(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2)　　　　(3) ；（4）y=|x2-2x-3|.
【答案】（1）函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；（2）上为减函数；（3）单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)．
【解析】(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；
(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞)；
【高清课堂：函数的单调性 356705 例3】
（4）先画出y=x2-2x-3，然后把轴下方的部分关于轴对称上去，就得到了所求函数的图象，如下图
所以y=|x2-2x-3|的单调减区间是（-∞，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+∞）.■
【总结升华】
（1）数形结合利用图象判断函数单调区间；
（2）关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.
（3）复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3. 已知函数是定义域为的单调增函数．
（1）比较与的大小；
（2）若，求实数的取值范围．
【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式，再依据函数的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）因为，所以，由已知，是单调增函数，所以．
（2）因为是单调增函数，且，所以，解得或．
例4. 求下列函数的值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4).
【思路点拨】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.
【答案】（1）1），2）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图
1)f(x)在[5，10]上单增，；
2)；
(2) ；
(3)经观察知，，；
(4)令.
举一反三：
【变式1】已知当的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
【答案】（1）在区间[0，3]上，当时，；当时，.
（2）在区间[-1，1]上，当时，；当时，.
（3）在区间[3，+∞）上，当时，；在这个区间上无最大值.
【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大（小）值的关键.
例5. 已知函数在区间是增函数，求及的取值范围．
【答案】；．
【解析】∵ 对称轴是决定单调性的关键，联系图象可知
只需．
又，∵，，即．
举一反三：
【变式1】函数在内单调递减，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【变式2】函数在区间[1，2]上单调，则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
PAGE指数与指数幂的运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
要点四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.求下列各式的值：
（1）.
【答案】 -3；；；
【解析】 熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是，但不是.
（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换.
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值：
（1）；（2）；（3）；（4）.
【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.
例2.计算：（1）；
（2）.
【答案】．
【解析】 对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
类型二、指数运算、化简、求值
例3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】 ；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂．
=
==
=
=
【总结升华】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
举一反三：
■高清课程：指数与指数运算 例1
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）．
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=．
例4.计算：
(1)；
(2)
(3)．
【答案】 3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
注意：（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；　　(2).
【答案】 112；．
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
【变式2】计算下列各式：■高清课程：指数与指数运算 例3
【答案】21+
【解析】原式=16++5+2+=21+．
例5.化简下列各式.
(1) ；　　(2)；　　(3).
【答案】 ；；0.09
【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
(1)
(2)
(3)
举一反三：
【变式1】化简：
.
【答案】
【解析】原式=.
注意：当n为偶数时，.
【变式2】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式3】化简下列式子：
(1) (2) (3)
【答案】 ；；
【解析】 (1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.
■高清课程：指数与指数运算 例4
例6．已知，求的值．
【答案】
【解析】 从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
，，
，
=
=
【总结升华】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．本题的关键是先求及的值，然后整体代入．
举一反三：
【变式1】求值：
(1)已知，求的值；
(2)已知a>0， b>0， 且ab=ba， b=9a，求a的值.
【答案】 23；
【解析】熟练掌握幂的运算是关键问题.
(1)由，两边同时平方得x+2+x-1=25，整理得：x+x-1=23，则有；
(2)a>0， b>0， 又∵ ab=ba， ∴
∴ .巩固练习
一、选择题
1．下列函数中，是幂函数的个数是（ ）．
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数的定义域是( )
A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R
3.函数的图象是( )
4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
5.幂函数，其中m∈N，且在(0，+∞)上是减函数，又，则m=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.若幂函数的图象在0A.<1 B.>1 C.0<<1 D.<0
7.下列结论中正确的个数有( )
(1)幂函数的图象一定过原点； 　　 (2) 当<0时,幂函数是减函数；
(3)当>0时，幂函数是增函数；(4)函数既是二次函数，又是幂函数.
A.0 B.1 C.2 D.3
8. 三个数，，的大小顺序是( )
A.c二、填空题
9.若幂函数的图象经过点，则的值是 .
10.若幂函数的图象不过原点，则的值为 .
11.若，则实数a的取值范围是 .
12．函数的单调递减区间为 .
三、解答题
13.比较下列各组中两个值大小
(1) (2)
14. 已知函数和的图象关于原点对称，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式函数．
答案与解析
一、选择题
1．B 根据幂函数的定义判断，是幂函数．
2.C 函数，所以函数的定义域是．
3.C 函数，因为，所以这个函数为偶函数，图象关于轴对称，可能是或，又，所以当时，图象应在直线的下方，故选C．
4. A 函数，所以函数是偶函数，又，所以函数在区间上单调递减，故选A．
5.B 因为函数，其中m∈N，且在(0，+∞)上是减函数，所以，即，又函数是偶函数，故．
6.B 幂函数，考察指数函数的增减性知，．
7.A 幂函数，当时，图象一定过原点，当时，图象一定不过原点,故(1)不对．当时，幂函数图象在上是减函数，故（2）不对．当时，幂函数图象在上是增函数，故（3）不对．函数是二次函数，不是幂函数，故（4）不对．
8. A ,易知，又函数在上单调递增，所以，故选A．
二、填空题
9. 设，则，即，得．
10.-6 由，解得或．又当时，指数不合题意；当时，，所以．
11. 由题意知解得．
12.和 将函数的单调区间向左平移一个单位即可．
三、解答题
13.解：(1)
(2)函数上增函数且
14. 解析：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为，则，即，因为点在函数的图象上，所以，即．
（2）由，得
当时，，由函数的图象可知，此不等式无解．
当时，，由函数的图象，解得．
原不等式的解集为【巩固练习】
1．设、是同一平面内的两个向量，则有（ ）
A．、一定平行
B．、的模相等
C．对一平面内的任一向量，都有=+（、∈R）
D．若、不共线，则对同一平面内的任一向量，都有=+（、∈R）
2．已知四边形的三个顶点，，且，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C．（3，2） D．（1，3）
3.已知向量且.则，的值分别为( )
A. –2，1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1，2
4．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
5．已知向量=（3，2），=（x，4），且∥，则x的值是（ ）
A．―6 B．6 C． D．
6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，，则等于（ ）
A．（―2，―4） B．（―3，―5） C．（3，5） D．（2，4）
7．已知向量、不共线，＝k＋ (k∈R)，＝－.如果∥，那么(　　)
A．k＝1且与同向
B．k＝1且与反向
C．k＝－1且与同向
D．k＝－1且与反向
8．设点A（2，3），B（5，4）C（7，10），若，若点在第三象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图在正方形ABCD中，设，，，则在以，为基底时，可表示为________，在以，为基底时，可表示为________．
10.若M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1， y)，且，则y 的值为_______ .
11.，则点D的坐标是__________.
12．已知=―+3，=4+2， =―3+12，若用与表示，则应有=________．
13．如图所示，在ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知，，试用、表示与．
14．已知=（1，2），=（―3，2），当k为何值时，k+与―3平行？平行时它们是同向还是反向？
15．已知点，线段AB的三等分点（点C靠近A）．
（1）求点C，D的坐标；
（2）若点E相对点B的位置向量为，求点E的坐标．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 、是任意向量，A、B、C都不一定成立，只有、不共线，由平面向量基本定理知，D正确．
2．【答案】A
3. 【答案】D
4．【答案】A
【解析】，故A、B、D共线．
5．【答案】B
【解析】 由∥3×4=2x，∴x=6．
6．【答案】B
【解析】设AC与BD交于O点，则，而，
∴．
7．【答案】D
【解析】不妨设＝(1,0)，＝(0,1)．依题意＝－＝(1，－1)，又c＝k＋＝(k,1)，∵∥，∴12－(－1)·k＝0，∴k＝－1，又k＝－1时，＝(－1,1)＝－，∴与反向．
8．【答案】B
9．【答案】+ 2+
【解析】以，为基底时将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平面四边形法则即得．
10. 【答案】2
【解析】
11. 【答案】(7，6)
【解析】，而C(3，0)，设D点的坐标为(x，y)，则
12．【答案】
【解析】设，则
，故．
∴，解得，故．
13．【解析】可以借鉴解方程组的思想，设，，
在△ABN中，有；
在△ADM中，有，联立以上两式可得
，．
14．【解析】 k+=k（1，2）+（―3，2）=（k―3，2k+2），―3=（1，2）―3（―3，2）=（10，―4）．
当k+与―3平行时，
存在唯一实数使k+=(－3)．
由（k―3，2k+2）=（10，―4）得
，解得．
当时，k+与―3平行，
这时，
∵，∴k+与－3反向．
15．【解析】（1）=
点C坐标为（2，2）．
=（3，0）
点D坐标为（3，0）．
（2）
点E坐标为（12，0）．任意角的三角函数
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
知识点一：三角函数定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即；
(2)叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。
知识点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
知识点三：诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等
，其中
，其中
，其中
要点诠释：
该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.
知识点四：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；
余弦线在轴上；
正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；
（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】（1），，，或，，，（2）或
【解析】 （1）。
若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则
，，
，。
若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则
，，，。
（2）因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
【总结升华】 三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
【高清课堂：任意角的三角函数385947 例2】
【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。
【答案】或
【解析】 y=|2x|，
取点P（1，2），
或
类型二：三角函数的符号
例2．（1）判断的符号；
（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？
【答案】（1）＞（2）＜（3）＜（4）四（5）三
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），
所以（k∈Z）。
当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。
又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。
综上知，角终边在第三象限。
【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。
举一反三：
【变式1】求函数的值域。
【答案】{－1，3}
【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。
当x是第一象限角时，；
当x是第二象限角时，；
当x是第三象限角时，；
当x是第四象限角时，，
故函数的值域为{－1，3}。
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）；
（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）+sin750°+tan405°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）2
【解析】（1）原式
。
（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】设，其中a，b，，都是非零实数，若f（2006）=1，求f（2010）的值。
【答案】1
【解析】 由，即，得。
故。
类型四：三角函数线的应用
例4．若，求证：.
【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。
【证明】
如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。
例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
举一反三：
【变式1】 求满足的的取值范围。
【答案】
【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。
终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。
∴角的集合为。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），
∴（k∈Z）。 ①
又9－x2≥0，∴－3≤x≤3。 ②
求①与②的交集如图所示，
得或。
故函数的定义域为。
【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【高清课堂：任意角的三角函数385947 例6】
【变式2】求下列函数的定义域
（1）； （2）.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1），
（2），【巩固练习】(提高)
1．已知,函数在上单调递减.则的取值范围是 （　　）
A． B． C． D．
2．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）
3．设是方程的两个根,则的值为 （　　）
A． B． C．1 D．3
4．若,,则（　　）
A． B． C． D．
5．已知,(0,π),则=（　　）
A．1 B． C． D．1
6．若tan+ =4,则sin2=（　　）
A． B． C． D．
7．函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为（　　）
A．[ -2 ,2] B．[-,] C．[-1,1 ] D．[- , ]
8．已知为第二象限角,,则（　　）
A． B． C． D．
9．的取值范围是 ．
10．设为锐角,若,则的值为 .
11．函数的图象如下，则等于（ ）
12．关于函数有下列命题：
①函数的周期为；
②直线是的一条对称轴；
③点是的图象的一个对称中心；
④将的图象向左平移个单位，可得到的图象.其中真命题的序号是______.（把你认为真命题的序号都写上）
13．条件求值：
（1）已知
（2）已知
14．已知
（1）求的值；
（2）求的值.
15．设函数
(I)求函数的最小正周期;
(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式.
16．将一块圆心角为，半径为200cm的扇形铁片截成一块矩形；如图有两种截法：让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行．请问哪种截法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值．
【答案与解析】
1．【答案】
【解析】 不合题意 排除
合题意 排除
另:,
得:
2． 【答案】A
【解析】把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得:y1=cosx+1,向左平移1个单位长度得:y2=cos(x+1)+1,再向下平移1个单位长度得:y3=cos(x+1).令x=0,得:y3>0;x=,得:y3=0;观察即得答案.
3．【答案】A
【解析】
4．【答案】
【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D.
5．【答案】A
【解析一】
,故选A
【解析二】
,故选A
【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.
6． 【答案】D
【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.
因为,所以..
【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.
7．【答案】B
【解析】
f(x)=sinx-cos(x+),,值域为[-,].
【总结升华】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.
8． 【答案】A
【思路点拨】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题.
【解析】法一：,两边平方可得
是第二象限角,因此,
所以
法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又
所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选.
9．【答案】
【解析】原式=
=
，．
10．【答案】.
【解析】∵为锐角,即,∴.
∵,∴.∴.
∴.
∴
.
11．【答案】 2012
【解析】由图象可知，函数的最大值为，最小值为，解得，函数的周期，即，所以，所以，当时，，所以，所以，即.在一个周期内，
所以.
12．【答案】①③
【解析】，所以周期，所以①正确，当时，不是最值，所以②不正确.，所以③正确.将的图象向左平移个单位，得到，所以④不正确，综上正确的命题为①③.
13．【解析】（1）由已知得
∴ ①
由已知得，，∴，即
∴tan，∴由①得
∴
＝
＝
＝
（2）注意到互为余角，
由已知得
∵，∴
∴
∴原式＝＝
＝＝
＝=
14．【解析】（1）对于 ，两边平方得
∴
∵，∴cosx＞0，sinx＜0
∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－
（2）联立，解得
∴原式＝
15．【解析】
(I)函数的最小正周期
(2)当时,
当时,
当时,
得:函数在上的解析式为
16．【解析】 在方案一中，令∠AOM=，则0＜＜90°，
在Rt△OMP中，MP=200sin，OP=200cos，
所以，SOPMN=20000sin2，
当2=90°，即=45°时，SOPMN取得最大值20000 cm2．
在方案二中，令∠AOM=，则0＜＜60°，
在Rt△OMS中，MS=200sin，OS=200cos，
在Rt△MQS中，∠MQS=60°，
，
在Rt△OCQ中，
，
所以，
，
当2+30°=90°，即=30°时，SMNPQ取得最大值cm2．
比较两种方案的最大值可知，第二种截法能得到最大面积，最大面积为cm2．
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1．若P（3，y）是角终边上的一点，且满足y＜0，，则tan=（ ）
A． B． C． D．
2．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C． D．
3．化简的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）．
A． B． C．或 D．
5．若sin＜0且tan＞0，则（ ）
A． B． C． D．以上均不对
6．设角A是第三象限角，且，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知，那么下列命题成立的是（ ）
A.若是第一象限角，则
B.若是第二象限角，则
C.若是第三象限角，则
D.若是第四象限角，则
8．已知点P（sin－cos，tan）在第一象限，则在[0，2π）内的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．若角终边上有一点，则的值为 ．
10．已知角的终边经过点P（）,且则的取值范围为 ．
11．若（k∈Z），则cos2=________；若，则=________．
12．方程在上有两个实数解，则实数的取值范围为 ．
13．已知角的终边过点P（－3cos，4cos），其中，求sin，cos，tan的值．
14．已知，
（1）比较、、的大小；（2）求证：．
15．求下列三角函数的定义域：
（1）；（2）．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由知r=5，∴，∴．
2．【答案】C
【解析】 由于，在第三象限，∴．
3. 【答案】A
【解析】
4. 【答案】D
【解析】 ，
当是第二象限角时，；
当是第四象限角时，
5．【答案】D
【解析】 ∵sin＜0且tan＞0，∴是第三象限角，∴是第二、四象限角，∴与正负不确定，故A、B不对；而，C不对，故选D．
6．【答案】D
【解析】 ∵角A是第三象限角，则可能是第二或第四象限角，又，故，∴是第四象限，故选D．
7. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可．
8．【答案】B
【解析】 由题意，得，∴，
∴或，k∈Z，
而∈（0，2π），．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】因为cosa≤0,sina>0，所以π/2≤a＜π，所以P在第二象限或在y轴的正半轴上，所以3a-9≤0，且a+2＞0，解得-2＜a≤3．
11．【答案】 （k∈Z）
【解析】 当（k∈Z）时，；
当时，有或（k∈Z），
∴（k∈Z）．
12．【答案】
【解析】在单位圆中画出正弦线，若要使方程有两个实根，即一个函数值，能得到两个与之对应，只能是，解之得：．
13．【解析】因为，所以cos＜0，所以．
于是，，．
14．【解析】（1）设单位圆半径是1，sina=圆内小三角形面积S1×2，a=圆弧所围面积S2×2
tana=圆外大三角形面积S2×2，S3>S2>S2
所以：sina＜a＜tana
（2）在上图中，有三角形两边之和大于第三边，证得。
15．【解析】（1）如图（1），∵2cos x－1≥0，∴，
∴（k∈Z）．
（2）如图（2），∵3－4sin2x＞0，∴．
∴．
∴（k∈Z），
即（k∈Z）．【巩固练习】
1．下列函数是以π为周期的函数的是（ ）
A． B．y=cos2x C．y=1+sin3x D．y=cos3x
2．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y=sin2x B．y=－sin x C．y=sin |x| D．y=sin x+1
3.已知函数的图象关于直线对称，则可能是( )
A. B. C. D.
4．设函数，x∈R，则是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
5．下列区间中，使函数y=sin x为增函数的是（ ）
A．[0，π] B． C． D．[π，2π]
6．为得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）.
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
7．已知a∈R，函数，x∈R，为奇函数，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
8．函数的值域是 ( )
A. B. 　　C. D.
9．函数的最小正周期为，其中，则________。
10．函数的单调递增区间是 .
11．已知函数的最大值是5，最小值是1，则 ， 。
12．函数的值域是 。
13．求函数，上的值域.
14．设是以1为一个周期的函数，且当x∈（－1，0）时，，求的值。
15．设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】y=sinωx与y=cosωx的周期，∴ω=2。
2．【答案】C
【解析】 当时，成立。
3. 【答案】C
【解析】对称轴过最高点或最低点，
.
4．【答案】B
【解析】，∴T=π，偶函数。
5．【答案】C
【解析】y=sin x在（k∈Z）的每一个区间上递增。
6．【答案】D
7．【答案】A
【解析】由可知a=0。
8. 【答案】B
【解析】数形结合：法一：利用单位圆中的三角函数线；法二：利用正弦函数曲线.
9．【答案】10
【解析】由。
10．【答案】
【解析】函数递减时，.
11．【答案】3，2
12．【答案】
13．【答案】
【解析】=.
14．【解析】是以1为一个周期的函数，
∴k∈Z也是的周期。
∴，故，从而。
又当x∈（－1，0）时，，
所以。
15．【解析】令，则，对称轴，
当，即时，是函数的递增区间，；
当，即时，是函数的递减区间，
得，与矛盾；
当，即时，
得或，，此时.【巩固练习】
1．函数的部分图象如下图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝的图象(　　)
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
3．要得到y＝的图象，只需将y＝的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
4．函数的图象经 平移后所得的图象关于点中心对称．
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．函数的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为(　　)
A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
7．已知a是实数，则函数的图象不可能是（ ）
8．若函数对于任意的都有成立，则的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．4
9．函数y=3sin(2x+)（0＜＜π）为偶函数，则=________．
10．若函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称，则a= .
11．函数（A，ω，为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象如下图所示，则ω=________．
12．函数的部分图象如图所示，则
．
13．已知函数（A＞0，ω＞0）的图象过点，图象与P点最近的一个最高点坐标为，
（1）求函数解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使y≤0时，x的取值范围．
14．已知函数在一个周期内的图象如下图所示，求直线与函数图象的所有交点的坐标．
15．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】T=4×(3－1)=8，．又当x=1时，，，∴．
2．【答案】　A
【解析】y＝sinx＝cos＝cos
＝，
∴须将y＝cos的图象向右平移个单位．
3．【答案】B
【解析】y＝sin＝sin
4．【答案】D
【解析】设平移后得．当时，y=0，∴，∴，k=0，，故向右平移个单位．
5．【答案】B
【解析】由已知得A=2，T=2×π=6π，又，所以，故，又图象过点（0，1），所以，，因为，所以，所以，选B．
6．【答案】A
7． 【答案】D
【解析】当a=0，图象如C；当0＜a＜1，图象如A；当1＜a＜2，图象如B；在D中，就振幅看a＞1，就周期看0＜a＜1．
8．【答案】B
【解析】“对于任意的都有成立”的含义是是函数的最小值，是函数的最大值，是使得函数取得最小值的一个自变量，是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，的最小值应为半个周期．因为函数的最小正周期为4，所以的最小值为2．
9．【答案】
【解析】∵，∴当时，为偶函数．
10. 【答案】4.
【解析】这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
∵是定义域中关于对称的两点
即
.
11．【答案】3
【解析】 ，∴．
12．【答案】
【解析】根据函数图象可得，所以，计算得
所以，且函数周期为8．
所以
13．【解析】（1），∴T=π，A=5，∴，由，∴．
∴．
（2）∵，
∴，．
∴增区间为．
（3）∵，∴．
∴．
14．【解析】由题图可知，函数的A=2，，
∴，此时．
又，
∴，∴，
∴，即．
∴或，k∈Z．
∴或，k∈Z．
∴所求交点的坐标为或，其中k∈Z．
15．【解析】由，得，因为，所以
又的图象关于点对称，所以，即，
结合，可得，
当时，在上是减函数；
当时，在上是减函数；
当时，在上不是单调函数；
所以，综上得．函数的奇偶性
编稿：丁会敏　　审稿：王静伟　　
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)．
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例2（2）】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【答案】A
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.
举一反三：
【变式1】已知为奇函数，，则为（ ）．
【答案】6
【解析】，又为奇函数，所以．
例3.已知是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式．
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，
，当时，，
=
又奇函数在原点有定义，．
【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性356732 例3】
【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，，求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当时，求的取值范围.
【答案】
【解析】∵f(a-1)而|a+1|，|a|∈[0，2]
.
【总结升华】若一个函数是偶函数，则一定有，这样就减少了讨论的麻烦．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数. 当当.
【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当时，
① 且
②上单调递增，
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当时，
①上单调递减，上的最小值为
②上的最小值为
综上：
.
举一反三：
【变式1】 判断的奇偶性．
【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
【解析】对进行分类讨论．
若，则．
，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数．
当时，，是奇函数．
综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
例6. 已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．
设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
4
1函数及其表示方法
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．
【要点梳理】
要点一、函数的概念
1．函数的定义
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y=f(x)，xA．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.
要点诠释：
（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；
②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.
3．区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
(2)无穷区间；
(3)区间的数轴表示．
区间表示：
{x|a≤x≤b}=[a，b]；
； ；
.
要点二、函数的表示法
1．函数的三种表示方法：
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值.
图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.
2．分段函数：
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
要点三、映射与函数
1.映射定义：
设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.
象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.
要点诠释：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
2.函数与映射的区别与联系：
设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).
要点诠释：
(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；
(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；
(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；
(4)原象集合=定义域，值域=象集合.
3.函数定义域的求法
(1)确定函数定义域的原则
①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.
②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.
③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合。
（2）抽象函数定义域的确定
所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
要点诠释：
求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
4.函数值域的求法
实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：
观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；
配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；
判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；
换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.
求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.
【典型例题】
类型一、函数的概念
例1.已知集合，，则从到的函数有 个.
【答案】8
【解析】抓住函数的“取元的任意性，取值的唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
4 4 4 4 5 5 5 5
4 4 5 5 4 4 5 5
4 5 4 5 4 5 4 5
由表可知，这样的函数有8个，故填8.
【总结升华】函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键.
举一反三：
【变式1】下列各问的对应关系是否是给出的实数集上的一个函数？为什么？
（1）；
（2），；
（3），对任意的.
【解析】（1）对于任意一个非零实数被唯一确定，所以当时，是函数，可表示为.
（2）当时，，得或，不是有唯一值和对应，所以（）不是函数.
（3）不是，因为当时，在集合中不存在数值与之对应.
【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例2】
例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.
【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是
【解析】
(1) 的定义域不同，前者是，后者是，因此是不同的函数；
(2)，因此的对应关系不同，是不同的函数；
(3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数；
(4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.
【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.
(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.
举一反三：
【变式1】判断下列命题的真假
(1)y=x-1与是同一函数；
(2)与y=|x|是同一函数；
(3)是同一函数；
(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.
【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.
类型二、函数定义域的求法
例3.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)； (2)；　　　　(3).
【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
(1)的定义域为x2-3≠0，；
(2)；
(3).
【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）：
(1)； (2)；（3）.
【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）；（3）．
【解析】
(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，无意义，当|x-1|-2≠0，即x≠-1且x≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；
(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；
(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为.
【总结升华】小结几类函数的定义域：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)
(5)满足实际问题有意义.
例4.（1）已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
（3）已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【思路点拨】（1）若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域．（2）若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．
【答案】（1）[1，]；（2）[3，5]；（3）[2，3]．
【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]，，故，即，解得，所以函数的定义域为[1，].
（2）设，因为，所以，即，函数的定义域为[3，5] .由此得函数的定义域为[3，5] .
（3）因为函数的定义域为[1，2]，即，所以，所以函数的定义域为[3，5]，由，得，所以函数的定义域为[2，3] .
【总结升华】求抽象函数的定义域，一要理解定义域的含义是的取值范围；二要运用整体思想，也就是在同一对应关系下括号内的范围是一样的.
举一反三：
【变式1】已知的定义域为，求的定义域.
【答案】
【解析】的定义域为，，，，解得：或，所以的定义域为.
例5.已知函数的定义域为，求实数的取值范围.
【思路点拨】确定的取值范围，使之对任意，都有，即方程无实根.
【答案】
【解析】
当时，对任意恒成立.
当时，要使恒成立，即方程无实根.只需判别式，于是.
综上，的取值范围是.
【总结升华】（1）函数有意义，分母恒成立，转化为时，二次方程无实根是关键一步.（2）由于判别式是对二次方程的实系数而言，所以这里应分、两种情况讨论.（3）本题是求定义域的逆向问题，即已知函数的定义域求解析式中所含字母的取值范围.
类型三、求函数的值及值域
例6. 已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：
(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))
【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．
【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x2-46x+40，4x2-6x-55．
【解析】
(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；
(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；
(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；
g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.
【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.
例7. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4，①；②；.
【答案】（1）[3，12]；（2）；（3）(-∞，1)∪(1，+∞).
【解析】(1)法一：配方法求值域．
，①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．
法二：图象法求值域
二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以①当时，值域为[7，28]；②当时，值域为[3，12]．
(2)；
(3)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞).
【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．
（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
举一反三：
【变式1】 求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】（1），即所求函数的值域为；
（2），，，即函数的值域为；
（3）
函数的定义域为
，，，即函数的值域为．
（4）
所求函数的值域为．
类型四、映射与函数
【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例1】
例8. 判断下列对应哪些是从集合A到集合B的映射，哪些是从集合A到集合B的函数？
（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x，y）|}，对应法则是：A中的点与B中的（x，y）对应．
（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；
（3）A=N，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；
（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f：
（5）A={0，1，2}，B={0，1， }，对应法则是f：
【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．
【解析】
(1)是映射，不是函数，因为集合A、B不是数集，是点集；
(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．
(3)是映射，也是函数，函数解析式为．
（4）是映射，也是函数．
（5）对于集合A中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．
【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．
举一反三：
【变式1】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？
(1)A=N，B={1，-1}，f：xy=(-1)x；
(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；
(3)A=R，B=R，
(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；
(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；
(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.
【答案】(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.
类型五、函数解析式的求法
例9. 求函数的解析式
(1)已知是二次函数，且，求；
(2)若f(2x-1)=x2，求f(x)；
（3）已知，求.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】求函数的表达式可由两种途径.
(1)设，由得
由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，故所求函数的解析式为.
(2) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则
（3）因为，①
用代替得，②
由①②消去，得.
【总结升华】（1）解析式类型已知的，如本例（1），一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式，顶点式和两点式的选择.
（2）已知求的问题，方法一是用配凑法；方法二是用换元法，如本例（2）.
（3）函数方程问题，需建立关于的方程组，如本例（3），若函数方程中同时出现、，则一般用代之，构造另一个方程.
举一反三：
【变式1】 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)．
【答案】f(x)=x2+2x-1．
【解析】(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1
∴f(x)=x2+2x-1；
(法3)设f(x)=ax2+bx+c则
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c
∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2
；
【总结升华】求函数解析式常用方法：
(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.
类型六、函数的图象
例10.作出下列函数的图象.
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。
【解析】(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图（1）．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图（2）．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示（3）．
类型七、分段函数
例11. 设函数求.
【思路点拨】这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换.
【答案】：98
【解析】
==
==
=
=.
【总结升华】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决.
例12．如图所示，等腰梯形的两底分别为，作直线交于，交折线于.设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数.
【思路点拨】此题是应用型问题，要求函数的表达式，这样就需准确揭示之间的变化关系.依题意，可知随着直线的移动，点分别落在梯形的边、及边上，有三种情况，所以需要分类解答.
【答案】
【解析】
作，为垂足，，为垂足，依题意，则有
（1）当位于点的左侧时，，
由于
（2）当位于点、之间时，由于
（3）当位于点的右侧时，
由于
=
=
综上有
【总结升华】（1）由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可.
（2）注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
举一反三：
【变式1】如图，在边长为4的正方形的边上有一点，沿着边线
由（起点）向（终点）运动.设点运动的路程为，的面积为.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）画出的图象.
【解析】（1）
（2）当点在边上运动时，即当时，
当点在边上运动时，即当时，
当点在边上运动时，即当时，，故为分段函数.
P
D
C
A
B三角函数的诱导公式
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(的正弦、余弦、正切)；
2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.
【要点梳理】
要点一：诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
要点诠释：
(1)要化的角的形式为(为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)；.
要点二：诱导公式的记忆
记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.
要点三：三角函数的三类基本题型
(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.
①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；
②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；
③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.
求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.
(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.
(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.
化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.
【典型例题】
类型一：利用诱导公式求值
例1．求下列各三角函数的值：
（1）；（2）；（3）tan（－855°）．
【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．
【答案】（1）（2）（3）1
【解析】（1）
．
（2）．
（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．
【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．
（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．
举一反三：
【变式1】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．
【答案】2
【解析】原式=－sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)－cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)+tan(2×360°+225°)=―sin(180°―60°)·cos(180°+30°)―cos(360°―60°)·sin(360°―30°)+tan(180°+45°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°．
例2．（1）已知，求的值．
（2）已知，且为第四象限角，求sin(105°+)的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵，
∴．
（2）∵，且为第四象限角，
∴―75°是第三象限角，
∴，
∴．
【总结升华】注意观察角，若角的绝对值大于2π，可先利用2kπ+转化为0～2π之间的角，然后利用π±、2π－等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤．
举一反三：
【变式1】 已知，其中为第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．
【答案】
【解析】 ∵cos(105°－)=cos[180°－(75°+)]=－cos(75°+)=,
sin(―105°)=―sin[180°－(75°+)]=－sin(75°+)，
∵为第三象限角，
∴75°+为第三、四象限角或终边落在y轴负半轴上．
又cos(75°+)=＞0，∴75°+为第四象限，
∴．
∴．
【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+=180°－(105°－)或105°－=180°－(75°+)等．
类型二：利用诱导公式化简
例3．化简
(1)；
(2) .
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【答案】（1）-1（2）1
【解析】(1)原式；
(2) 原式
【总结升华】诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；
举一反三：
【变式1】（1）；
（2）；
【答案】（1）1（2）-1
【解析】（1）原式．
（2）原式
．
类型三：利用诱导公式进行证明
例4． 求证：．
【思路点拨】（1）要证明的等式左边有切有弦，而等式右边只有切；
（2）等式左边较复杂但却可以直接利用诱导公式．
解答本题可直接把左式利用诱导公式进行化简推出右边．
【证明】 左边
=右边，原式得证．
【总结升华】利用诱导公式证明等式 ，主要思路在于如何配角，如何去分析角之间的关系．
举一反三：
【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】
【变式1】设A、B、C为的三个内角，求证：
（1）；
（2）；
（3）
【证明】（1）左边==右边，等式得证．
（2）左边===右边，等式得证．
（3）左边==右边，等式得证．
【变式2】设．求证：．
【证明】左边
=右边．
∴等式成立集合与函数综合
编稿：丁会敏 审稿:王静伟
【巩固练习】
1．设全集,，则集合等于（ ）．
A. B. C. D.
2.已知{a，b}，则满足条件的集合A的个数为( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知集合M={x|-1≤x＜2}，N={x|x≤a}，若，那么实数的取值范围是( )
A. {a|a<2} B. {a|a>-1} C. {a|-1≤a≤1} D. {a|a≥-1}
4.函数的定义域为（ ）
A. B. Ｃ. 　　　Ｄ.
5.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
6.设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．{x|x≤1}
C． D．
8.实数满足，则的最大值是（ ）
A．23 B．21 C．19 D． 17．
9.设，则函数的值域是 .
10.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2)= .
11.函数是定义在上的偶函数，且则的解析式可以是 .（写出一个符合条件的函数即可）
12.关于函数，有下列四个结论：
①当时，函数在区间上单调递增；
②当时，函数在区间上单调递减；
③对于任意，必有成立；
④对于任意，必有成立．
其中正确的论断序号是 ．（将全部正确结论的序号都填上）
13. 已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1
(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围；
(2)当x[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．
14. 已知实数，将函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的表达式；
(2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求出g(a)的最小值．
15．已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有．
（1）求；
（2）解不等式．
【答案与解析】
1. 【答案】B
【解析】 由补集的概念知B正确．
2. 【答案】B
【解析】集合A中一定有元素，所以含有三个元素的A有三个，含有四个元素的A也有三个，含有五个元素的A有一个，所以共有7个．
3. 【答案】D
【解析】如右图所示，欲使，，故选D．
4. 【答案】A
【解析】要使式子有意义，须，解得或．
5. 【答案】C
【解析】先画出的图象，然后把轴下方的部分关于轴翻折上去，就得的图象，由图象知单调递减区间是．
6. 【答案】D
【解析】令，则，所以它不是奇函数，故A选项不对；同理选项B、C都不对，只有选项D正确．
7. 【答案】C
【解析】由题意得不等式等价于（1）或（2），解不等式组（1）得x＜－1；解不等式组（2）得．因此原不等式的解集是，选C项．
8. 【答案】19
【解析】 C ．．故当时，取得最大值19．
9. 【答案】
10. 【答案】-26
【解析】 把代入，比较两个式子，即可求得．
11. 【答案】答案不唯一，如等
12. 【答案】 ②③④
13.【解析】 (1)
(2)当a≤-1时，f(x)的最大值为f(-1)=-a2-2a
当-1当a≥1时，f(x)的最大值为f(1)=-a2+2a
所以
14.【解析】(1)f(x)的对称轴为：，分以下两种情况讨论；
①当M(a)=f(3)=9a-5，
②当，M(a)=f(1)=a-1，
综上，
(2)当单调递减，
当单调递增
15.【解析】 （1）令，则
（2）
，
则．巩固练习
一、选择题：
1.下列个函数中，是指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
2．若函数与的图象关于轴对称，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3．若，则下列各不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
6.已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.函数是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 　　 D.非奇非偶函数
8.已知，则函数的图像必定不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题：
9．当时，的值域为 。
10．设函数是偶函数，则实数的值是 。
11.设函数若，则的取值范围是_________.
12.函数的单调递减区间是_______________.
三、解答题：
13．比较下列各题中两个数的大小：
（1）；（2）；
（3）已知，比较的大小。
14.已知函数，求其单调区间及值域.
15.已知函数，
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求该函数的值域；
(3)证明是上的增函数.
答案与解析
一、选择题
1. D 根据指数函数的概念判断。
2．C 因为函数与的图象关于轴对称，所以，，即，所以。故选C。
3．D 用特殊值法：取，则，，因为，故选D。
4.D 因为函数是上的减函数，所以，所以，即。
5．B 因为（1），所以，又为奇函数，为偶函数，所以（2），有（1）、（2）得：。。
6．C （2）（4）（5）正确，其余错误。
7．A 因为，故为奇函数。
8．A 取特殊值法，取，所以得函数=，由图象平移的知识知， 函数=的图象是由函数=的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限。
二、填空题
9． 因为，则，即。
10．-1 取特殊值法 因为函数为偶函数，所以，即，，，，，，。
11.，当时，由可知，；当时，由可知，，∴ 或 .
12.，令， ∵为增函数，∴的单调递减区间为.
三、解答题：
13.（1）是上的增函数，，。
（2）是上的减函数，。
（3）设函数，它在实数集上是减函数，。
14.令，，则是关于的减函数，而是上的减函数，上的增函数，∴在上是增函数，而在上是减函数，又∵， ∴的值域为.
15.（1）∵定义域为，且是奇函数；
（2）即的值域为；
（3）设，且，
(∵分母大于零，且)
∴是上的增函数.三角函数综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义.
3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义.
5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．
6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：终边相同的角
1．终边相同的角
凡是与终边相同的角，都可以表示成的形式.
要点诠释：
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
特例：
终边在x轴上的角集合，
终边在y轴上的角集合，
终边在坐标轴上的角的集合.
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.
2．弧度和角度的换算
(1)角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度
(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.
要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关系式、诱导公式：
1.三角函数定义：
角终边上任意一点为，设则：
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,．
2.三角函数符号规律：
一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．
3.特殊角的三角函数值
0 2
sin 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tan 0 1 不存在 0 不存在 0
4.同角三角函数的基本关系：
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)是的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取．
5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):
sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tan
sin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tan
sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan
sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan
sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan，
sin()=cos，cos()=sin
sin()=cos，cos()=-sin
要点诠释：
(1)要化的角的形式为(为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4)；.
要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
1.三角函数的图象与性质：
y=sinx y=cosx
定义域 (-∞，+∞) (-∞，+∞)
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 增区间 减区间 增区间 减区间
周期性 最小正周期 最小正周期
最值 当时，当时， 当时，当时，
对称性 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心
y=cosx的图象是由y=sinx的图象左移得到的.
2．三角函数的图象与性质：
y=tanx
定义域
值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 增区间
周期性
最值 无最大值和最小值
对称性 对称中心
要点四：函数的图象与性质
1．“五点法”作简图
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：
用“五点法”作图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
2．的性质
(1)三角函数的值域问题
三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函数的值域或化为关于的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域.
(2)三角函数的单调性
函数的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体，比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间；
要点诠释：
（1）注意复合函数的解题思想；
（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单调区间上的两个同名函数值，再利用单调性比较.
3．确定的解析式的步骤
①首先确定振幅和周期，从而得到；
②确定值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点作为突破口，要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.
要点五：正弦型函数的图象变换方法
先平移后伸缩
的图象
的图象
的图象
的图象的图象.
先伸缩后平移
的图象
的图象
的图象
的图象的图象.
【典型例题】
类型一：三角函数的概念
例1. 已知角的终边过点，求的三个三角函数值.
【思路点拨】分两种情况求的三个三角函数值．
【解析】因为过点，所以，.
当；
，.
当，；.
【总结升华】(1)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论；
(2)若角已经给定，不论点选在的终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角的三角函数值也是确定的.
举一反三：
【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.
【解析】由题设知，，所以，得，
从而，
解得或.
当时，， ；
当时，， ；
当时，， .
类型二：扇形的弧长与面积的计算
例2．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
【答案】
【解析】设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是
依题意，得
≈≈
【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：
举一反三：
类型三：同角三角函数的基本关系式
例3．已知，求的值.
【思路点拨】由题意知，所以A为钝角，然后求出即可求得．
【解析】
方法一：由，得
又
由 得
方法二：由可得
即整理得
即
或，由已知知不合题意，舍去.
，两边平方得：，所以
【总结升华】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法．
举一反三：
【变式1】已知cosθ－sinθ= －， 求sinθcosθ，sinθ+cosθ的值．
【答案】
【解析】
，，
，
【变式2】证明：.
【证明】 [法1]——右到左，切化弦，由繁到简.
右左.
[法2](证与原式等价的式子)即证：.
左右.
类型四：三角函数的诱导公式
例4．已知sin(3π＋θ)＝，求的值．
【思路点拨】利用诱导公式，求出sin θ＝－．然后化简要求的式子，即可求得结果．
【答案】18
【解析】　∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，
∴原式＝
＝
＝＋＝
＝＝＝18.
【总结升华】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与cos对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式中的整数k来讲的，象限指中，将看作锐角时，所在象限，如将写成，因为3是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又看作第四象限角，为“+”，所以有.
举一反三：
【变式1】已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 009)＝3，则f(2 010)的值是 (　　)
A．－1 B．－2 C．－3 D．1
【答案】C
【解析】
f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝3.
∴asin α＋bcos β＝－3.
∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－3.
【变式2】化简(1)
(2)．
【解析】(1)当n=4k(k∈Z)时，
当n=4k+1(k∈Z)时，
当n=4k+2(k∈Z)时，
当n=4k+3(k∈Z)时，
(2)①当时，
原式．
②当时，
原式．
【总结升华】关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
类型五：三角函数的图象和性质
例5. 函数的图象是( )
【答案】A
【解析】是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.
举一反三：
【高清课堂：三角函数的综合395043 例1】
【变式1】函数在内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
例6．把函数y=cos2x+1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是（ ）
【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），然后将曲线y=cos（x+1）的图象和余弦曲线y=cosx进行对照，可得正确答案．
【答案】A
【解析】将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，∴曲线y=cos（x+1）经过点和，且在区间上函数值小于0，由此可得，选项A正确，故选A．
举一反三：
【变式1】已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象（ ）
A． 向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【思路点拨】对于不同三角函数图象之间的平移变换，一定要根据诱导公式将二者之间变换清楚．
【答案】A
【解析】
由题知又，所以所以
=
=
显然将的图象向左平移个单位长度便可得到的图象．故选A．
例7．已知函数其中，
（I）若求的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数．
【思路点拨】（1）把所给的式子化简，然后结合平方关系式得出，由，
，求出的值．（Ⅱ）由题意求得，，故，进一步求出的解析式．
【答案】（I）（Ⅱ）
【解析】
（I）由，得，得
又．
（Ⅱ）由（I）得，
依题意，
又故
函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为
是偶函数当且仅当
即
从而，最小正实数
　【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数的性质，属中等难度题．
举一反三：
【变式1】已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的最值.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）最小值为1，最大值为．
【解析】（1）由最低点为
由
由点在图像上得即
又，
（Ⅱ）
．
PAGE集合与函数综合
撰稿：丁会敏 审稿:王静伟
【巩固练习】
1. 已知集合，则集合等于( )
A. {2} B. {3} C. {-2,3} D. {-3,2}
2.已知{a，b}，则满足条件的集合A的个数为( )
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知集合M={x|-1≤x＜2}，N={x|x≤a}，若，那么实数a的取值范围是( )
A. {a|a＜2} B. {a|a＞-1} C. {a|-1≤a≤1} D. {a|a≥-1}
4.函数的定义域为（ ）
A. B. Ｃ. 　　　Ｄ.
5.设集合，则从A到B的对应法则是映射的是（ ）
A. B. C. D.
6.设为常数，函数．若为偶函数，则等于( )
A.-2 B. 2 C. -1 D. 1
7.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
8. 设函数 若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.已知集合A={x||2x-3|≤7}，B=，若AB=B，则实数的取值范围为 .
10.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，则f(2)= .
11.设，则 ， .
12.函数在区间上是增函数，则的取值范围是 .
13. 设A={x|4ax2+(a+3)x+1=0}，B={x|x>0}，若，求实数a的取值范围．
14．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
【答案与解析】
1. 【答案】A
【解析】化简集合，故
2. 【答案】B
【解析】集合A中一定有元素，所以含有三个元素的A有三个，含有四个元素的A也有三个，含有五个元素的A有一个，所以共有7个．
3. 【答案】D
【解析】 如右图所示，欲使，，故选D
4. 【答案】D
【解析】要使式子有意义，则解之得或，故选D．
5. 【答案】D
【解析】 由映射的定义知D正确．
6. 【答案】B
【解析】因为为偶函数，即=为偶函数，所以，解得．
7. 【答案】D
【解析】因为偶函数，所以．又因为在上是增函数，所以在上是减函数，所以，故选D．
8. 【答案】B
【解析】若，解得或，即；若，解得，故选B．
9. 【答案】(5，+∞)
【解析】因为AB=B，所以,化简集合，故．
10. 【答案】-26
【解析】把代入，比较两个式子，即可求得．
11. 【答案】 ，
【解析】分段代入求值即得．
12. 【答案】
【解析】据区间定义中有：①；又，时，是区间上的增函数②；由①②得．
13.【解析】 (1)a=0时，，符合题意；
(2)a≠0且△<0时，1(3)；
综上，a≥0.
14．【解析】对称轴
∴
（2）对称轴当或时，在上单调
∴或．集合及集合的表示（B层）
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一、集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1 集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
答案：是
解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
类型二：元素与集合的关系
例2.用符号“”或“”填空．
(1)
(2)
(3)
解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
(1)
(2)令，则
令，则
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，
∴
点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.
举一反三：
【变式1】 用符号“”或“”填空
（1）若,则 ；-2 .
（2）若则 ；-2 .
答案：
（1）， （2），
类型三：集合中元素性质的应用
例3.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b）,在中唯一确定的元素与之对应），若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案： A
解析：抓住本题的本质恒成立. 只要为中元素即可有. B中由已知即为符合已知条件形式.中即可. D中相当于已知中的也正确.只有A不一定正确.
点评：本题应紧紧抓住关系式，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.
举一反三：
【变式1】定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
答案： D
解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.
点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.
例4. ，则M=( )
A. {2，3} B. {1，2，3，4} C. {1，2，3，6} D. {-1，2，3，4}
答案：D
解析：集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以
由aZ，所以-1≤a≤4
当a=-1时，符合题意；
当a=0时，不符合题意；
当a=1时，不符合题意；
当a=2时，符合题意；
当a=3时，符合题意；
当a=4时，符合题意.
故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.
■高清课程：集合的表示及运算 例1
例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
答案：0，1
解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合，若，求实数的值及集合.
答案：，
解析：（1）若则.
所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（2）若，则或，
当时，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.
综上，，集合.
点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】已知集合，，求实数的值
答案：
解析：当，即时，，满足题意；
当即，时，，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去，
时， 由上面知，满足题意
故
例7．设是实数集，且满足条件：若，则.
（1）若，则中必还有另外两个元素；
（2）集合不可能是单元素集；
（3）集合中至少有三个不同的元素.
答案：（1） （2）略 （3）略
解析：（1）若，则，于是，故集合中还含有两个元素.
（2）若为单元素集，则，即，此方程无实数解，，与都为集合的元素，则不可能是单元素集.
（3）由已知.现只需证明三个数互不相等.
①若方程无解，；
②若，方程无解，；
③若，方程无解，，
故集合中至少有三个不同的元素.
点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.
类型四：集合的表示方法
例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
答案：；。
解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN}
(3)C={y|x+y=3，xN， yN}
(4)
(5)
(6)P={x|x(x-a)=0， aR}
解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程的解集；
（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。
答案：（1）；（2）；（3）。
解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为。
（2）方程可化为，
方程的解集为。
（3）用描述法表示为。
点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。
1，2，3，4
PAGE正弦函数、余弦函数的性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)．
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
要点诠释：
1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期 最小正周期
单调区间k∈Z 增区间减区间 增区间减区间
最值点k∈Z 最大值点最小值点 最大值点最小值点
对称中心k∈Z
对称轴k∈Z
要点诠释：
（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
要点三：正弦型函数和余弦型函数的性质．
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．
要点诠释：
判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．
要点诠释：
若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心．
【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1．求函数的定义域；
【答案】
【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得．
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．
∴定义域为．
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
举一反三：
【变式1】求函数的定义域
【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z），
∴函数的定义域为．
例2．求下列函数的值域：
（1）y=3―2sin x
（2），；
（3）．
【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）
【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函数的值域为[1，5]．
（2）∵，∴．
∴．∴，
∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．
（3）∵，
当cos x=－1时，，
∴函数的值域为．
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式1】 求y=cos2x+4sin x―2的值域．
【解析】y=cos2x+4sin x―2
=―sin2x+4sin x―1
=―(sin x―2)2+3．
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x=―1时，ymin=―6；当sin x=1时，ymax=2．
∴函数的值域为[－6，2]．
类型二：正弦函数、余弦函数的单调性
例3．求的单调区间．
【思路点拨】要将原函数化为再求之.
【解析】∵，
∴函数的递增区间就是函数的递减区间．
∴（k∈Z），
得（k∈Z）．
∴函数的递增区间为（k∈Z）．
【总结升华】函数的单调区间的确定，基本思想是把 看作一个整体．
举一反三：
【变式1】求函数的递减区间．
【解析】已知函数．欲求该函数的单调递减区间，只需求的单调递增区间．
由（k∈Z），解得（k∈Z）．
所以原函数的单调递减区间为（k∈Z）．
类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立．
∴函数为偶函数．
（2）由2sin x－1＞0，即，得函数定义域为（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：
①对任意的，都是非奇非偶函数；
②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使是奇函数；
④对任意的，都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.
【思路点拨】
当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.
当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.
当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，
当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
类型四：正弦函数、余弦函数的对称性
例5．求函数的对称轴方程．
【解析】 令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．
（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．
举一反三：
【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】
【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为．
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）．
类型五：正弦函数、余弦函数的周期
例6．求下列函数的周期：
（1）；（2）；（3）；
（4）
【解析】（1）①令，而，即．
．∴T=2π．
②令z=2x，则，
即，∴T=π．
③令，则，
∴T=4π
④∵原式，
∴．
举一反三：
【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）是 （2）不是 （3）
类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用
例7．已知函数．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；
（4）写出单调区间．
【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将看成是由，u=|t|，t=sin x复合而成．
【解析】 （1）由，得，∴x≠kπ，k∈Z．
∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵，∴，
∴函数的值域为{y|y≥0}．
（2）∵，
∴函数是偶函数．
（3）∵，
∴函数是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证）
（4）设t=|sin x|，
当时，sin x＞0，t=|sin x|为增函数；
当时，sin x＜0，t=|sin x|为减函数．
又∵函数为减函数，
∴函数的单调增区间为，k∈Z；单调减区间为，k∈Z．
举一反三：
【变式】已知函数．
（1）画出函数的简图；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
（3）指出这个函数的单调增区间．
【解析】 （1）
．
函数图象如右图所示．
（2）由图象知函数的周期是2π．
（3）由图象知函数的单调区间为（k∈Z）
【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化．集合及集合的表示
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．
2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．
【要点梳理】
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.
要点一、集合的有关概念
1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.
3．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
4．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作
5．集合的分类
(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.
(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.
(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.
6．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
要点二、集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.
1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.
2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.
【典型例题】
类型一：集合的概念及元素的性质
例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？
(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.
答案：(4)、（5）
解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.
“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.
点评：
(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.
(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.
举一反三：
【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.
答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。
解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.
(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；
(2)举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；
(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.
(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.
(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.
例2．集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？
答案：是
解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.
点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.
（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.
举一反三：
【变式1】设
(1)若aZ，则是否有aS？
(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？
答案：aS 是
解析：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；
(2)x1，x2S，则
∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z
∴x1·x2S.
类型二：元素与集合的关系
例3.用符号“”或“”填空．
(1)
(2)
(3)
解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.
(1)
(2)令，则
令，则
(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，
∴
点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.
举一反三：
【变式1】 用符号“”或“”填空
（1）若,则 ；-2 .
（2）若则 ；-2 .
答案：
（1）， （2），
类型三：集合中元素性质的应用
例4.定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为
A. 0 B. 6 C. 12 D. 18
答案： D
解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.
点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.
举一反三：
【变式1】定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 6
答案：D
解析：，且，，
z的取值有：0，2，4
故，
集合的所有元素之和为：0+2+4=6.
■高清课程：集合的表示及运算
例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.
答案：0，1
解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：
当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.
当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.
例6.已知集合，若，求实数的值及集合.
答案：，.
解析：（1）若则.
所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（2）若，则或，
当时，满足题意；
当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.
（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.
综上，，集合.
点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.
举一反三：
【变式1】已知集合，，求实数的值
答案：
解析：当，即时，，与集合的概念矛盾，故舍去
当即时，不满足题意舍去，故.
类型四：集合的表示方法
例7．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程的所有实数根组成的集合；
(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.
答案：（1）；（2）。
解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件
因此，用描述法表示为；
方程有两个实数根
因此，用列举法表示为.
(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；
大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，
因此，用列举法表示为.
点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.
（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.
（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.
举一反三：
【变式1】用列举法表示集合：
(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}
(2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN}
(3)C={y|x+y=3，xN， yN}
(4)
(5)
(6)P={x|x(x-a)=0， aR}
解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.
(1)A={1，-2，-1，2}
(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}
(3)C={0，1，2，3}
(4)D={(0，0)}
(5)M={0}
(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.
点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.
【变式2】用适当的方法表示下列集合：
（1）比5大3的数；
（2）方程的解集；
（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。
答案：（1）；（2）；（3）
解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为。
（2）方程可化为，
方程的解集为。
（3）用描述法表示为。
点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。
1，2，3，4
PAGE【巩固练习】
1．下列说法正确的个数是（ ）
①小于90°的角是锐角 ②钝角一定大于第一象限角 ③第二象限的角一定大于第一象限的角 ④始边与终边重合的角为0°
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
4．610°是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
5．若角与终边相同，则一定有（ ）
A． B．
C．，k∈Z D．，k∈Z
6．1920°转化为弧度数为（ ）
A． B． C． D．
7．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
8．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
9．与终边相同的最小正角是 ．
10．扇形的周长是16，圆心角是2 rad，则扇形的面积是________．
11．将下列各角写成的形式：
（1）= ；（2）= ．
12．在直径为10 cm的轮子上有一长为6 cm的弦，P是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的速度旋转，则经过5秒后点P转过弧长是________．
13．用弧度制表示下图中顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（包含边界）．
14．已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长．
【答案与解析】
1．【答案】A
2．【答案】D
【解析】 如图所示，所在的象限是第二或第四象限，故选D．
4．【答案】C
【解析】 610°=360°+250°，250°是第三象限的角．
5．【答案】C
【解析】终边相同的角一定相差360°的整数倍．
6．【答案】D
【解析】1920°=5×360°+120°，弧度数为5×2π+．
7．【答案】A
【解析】把分针拨快，即分针顺时针旋转，所以这个角度是负角，又，故选A．
8．【答案】D
【解析】150°=，（cm）．
9．【答案】
【解析】
10．【答案】16
【解析】由题意得r+r+2r=16，即4r=16，r=4，扇形的弧长为=2r=2×4=8，扇形的面积是．
11．【答案】（1）（2）
12．【答案】100 cm
【解析】 如图，CD=6 cm，OD=5 cm，易知OP=4 cm；A、P两点角速度相同，故5秒后P点转过的角度为5弧度，从而P转过的弧长为25×4=100（cm）．
13．【解析】以OB为终边的330°角与―30°角的终边相同，―30°=，而，∴符合条件的角的集合为．
14．【解析】设的长为，半径OA=r．
则，所以． ①
设扇形的中心角的弧度数为，
则，所以=4r．　　②
由①②解得r=1，=4．
所以扇形的周长为+2r=6（cm）．
如右图所示，作OH⊥AB于H，则（cm）．【巩固练习】
1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有( )
A．函数先增后减
B．函数先减后增
C．函数是上的增函数
D．函数是上的减函数
2．在区间上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
3．函数的一个单调递减区间可以是（ ）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．函数的值域为( )
A． B．
C． D．
6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
8．在函数的图象上任取两点，称为函数从到之间的平均变化率.设函数，则此函数从到之间的平均变化率为（ ）.
A． B． C． D．
9．函数的单调区间是____________________.
10．函数的值域是____________.
11．若函数在上是减函数，是增函数，则 .
12．函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：
① 函数是单函数；
② 若为单函数，且，则；
③ 若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；
④ 函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．
其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
13．函数的定义域为，若对于任意，当时，都有，则称函数在上为非减函数.
设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①；②；③.
则= .
14．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.
15．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
16．设，函数．
（1）解不等式；
（2）求在区间上的最小值．
17．对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．
（1）求函数的所有“保值”区间；
（2）函数是否存在“保值”区间？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1. 【答案】C.
【解析】由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，故选C.
2. 【答案】B.
【解析】,故选B．
3. 【答案】C.
【解析】函数，图象开口向下，对称轴是，故选C.
4. 【答案】D.
【解析】 函数的对称轴是，依题意，，解得．
5. 【答案】B.
【解析】 ，是的减函数，当
6. 【答案】A.
【解析】 由于，且函数图象的对称轴为所以函数在上单调递减.因为，从而.
7．【答案】C.
【解析】在上单调递增；在上单调递增.又，
，推出得，解得，故选C.
8．【答案】B.
【解析】=（）（），
故选B.
9．【答案】
10. 【答案】
【解析】 是的增函数，当时，.
11. 【答案】-4
【解析】依题意函数的对称轴是，所以.
12. 【答案】②③
【解析】 对于①，若，则，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意，若有两个及以上的原象，也即当时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．
13. 【答案】
【解析】因为由③得，，
在②中令则.
在③中分别令则.
在②中令，得，.
因为，且函数为非减函数，
所以
则.
故.
14．【解析】，则，
15．【解析】对称轴
∴
(2)对称轴当或时，在上单调
∴或.
16.【解析】（1），即，
化简整理得解得．
（2）函数图象的对称轴方程是．
①当，即时，在区间上单调递增，
所以；
②当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增，所以；
③当，即时，在区间上单调递减，所以．
综上，
17．【解析】（1）因为函数的值域是，且在的值域是，
所以，所以，从而函数在区间上单调递增，
故有解得
又，所以
所以函数的“保值”区间为．
（2）若函数存在“保值”区间，则有：
①若，此时函数在区间上单调递减，
所以消去得，整理得．
因为，所以，即．
又所以
因为，
所以．
②若此时函数在区间上单调递增，
所以消去得，整理得．
因为，所以，即．
又所以．
因为
所以．
因为，所以
综合①②得，函数存在“保值”区间，此时的取值范围是．正弦函数、余弦函数的图象
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；
2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象．
【要点梳理】
要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．
2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象．
3．五点法
先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．
在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
要点诠释：
（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点．
（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象．
（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．
要点二：正弦曲线、余弦曲线
（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
（2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质．
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数．
要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到．
【典型例题】
类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象
例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．
（1）；（2）．
【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．
【解析】 （1）描点、作图
x 0
1 1
其图象如下图所示．
（2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．
【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式1】用五点法作出下列函数的图象．
（1），；
（2），．
【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点．
【解析】 （1）找出五点，列表如下：
x 0
0 1 0 －1 0
y=2－u 2 1 2 3 2
描点作图（如下图）．
（2）找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u 1 0 －1 0 1
描点作图（如下图）．
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
类型二：利用图象变换作出函数的图象
例2．（1）作函数的图象；
（2）作函数的图象．
【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象．
（2）函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数的图象后，要把x=kπ（k∈Z）对应的点去掉．
【解析】 （1）将化为，其图象如下图．
（2）当，即x≠kπ（k∈Z）时，有，即（x≠kπ，k∈Z）．其图象如下图．
【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称．
举一反三：
【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：．
【解析】 先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．
类型三：利用函数图象解简单的三角不等式
例3．根据正弦曲线求满足的x的范围．
【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍．
【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图．
观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．
因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是．
【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是[0，2π]或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]．
（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．
（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解．
举一反三：
【变式1】已知，解不等式．
【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是．
类型四：三角函数图象的应用
例4．（1）方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）若函数，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
（3）当k为何值时，方程sin x+2|sin x|=k有一解、两解、三解、四解？
【答案】 （1）D （2）1＜k＜3（3）k=3时，方程有一解；1＜k＜3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0＜k＜1时，方程有四解．
【解析】 （1）作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．
（2）．
图象如图，由图象可知1＜k＜3．
（3）由图象易各k=3时，方程有一解；1＜k＜3时，方程有两解；k=1或k=0时，方程有三解；0＜k＜1时，方程有四解．
【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会．
举一反三：
【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x＞cos x成立的x的取值范围．
【解析】用“五点法”作出y=sin x，y=cos x（0≤x≤2π）的简图如图．
由图象可知（1）当或时，sin x=cos x．
（2）当时，sin x＞cos x．
（3）当或时，sin x＜cos x．
故x∈[0，2π]时要使sin x＞cos x，则x的取值范围为．【巩固练习】
1．下列物理量中不是向量的个数是（ ）．
（1）质量 （2）速度 （3）力 （4）加速度 （5）路程 （6）密度 （7）功 （8）电流强度
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列说法中错误的是（ ）．
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量与不共线，则与都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
3．下列说法正确的是（ ）．
①零向量的长度为零，方向是任意的；②若，是单位向量，则=；③若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．
A．① B．② C．③ D．①和③
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有(　　)
A．6个　 B．7个
C．8个 D．9个
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
6．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
7．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　)
A．||＝||
B. 与共线
C.与共线
D.与共线
8．下列命题正确的是(　　)
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
9．对于下列命题：
①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上。
其中真命题的序号为 。
10．已知、、为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定________．
11．若某人从点出发向东走3至点，从点向北走至点C，则点C相对于点的位置向量为 。
12．一艘船以5的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求出终点坐标．
（1）||=2，的方向与x轴正方向夹角为60°，与y轴正方向夹角为30°；
（2）||=4，的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3），的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°．
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米，刚好到达B点的正北方向D点．
（1）作出向量，，；
（2）求的模．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向性的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）只有大小没有方向，不是向量．
2．【答案】 C
【解析】方向相反的两个向量是共线向量．
3． 【答案】A
【解析】单位向量是指长度为l的向量，共线向量可能是平行的．
4．【答案】D
【解析】与向量共线的向量有：，故共有9个．
5．【答案】C
【解析】∵，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵||＝||，∴四边形为菱形．
6．【答案】D
【解析】所有的向量的终点均在半径为1的圆上．
7．【答案】C
【解析】∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．
8．【答案】D
【解析】当＝0时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
在 ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，∴，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
9．【答案】③
【解析】相反向量是方向相反、大小相等的向量。方向相同或相反的两个非零向量是共线（或平行）向量。
10．【答案】不共线
【解析】若与共线，即∥，又∥，则∥，这与已知与不共线相矛盾．
11．【答案】“东偏北60°，6km”或“北偏东30°，6km”
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】如图所示．
14．【解析】（1）如图所示．
（2）连接BD，可知△BDC为一个等腰直角三角形，故BD长为10米．在Rt△ABD中，AB=5，BD=10，所以，即有．平面向量的基本定理及坐标表示
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
【要点梳理】
要点一：平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果且，那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
要点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
要点二：向量的夹角
已知两个非零向量与，在平面上任取一点O，作，，则叫做与的夹角，记为〈，〉．当向量与不共线时，与的夹角；当向量与共线时，若同向，则；若反向，则，综上可知向量与的夹角．
当向量与的夹角是，就说与垂直，记作．
要点诠释：
（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．
（2）向量是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．
要点三：平面向量的坐标表示
1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
要点诠释：
如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
要点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
要点四：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运 算 坐标语言
加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)
实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y)
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．
要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示
1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.
要点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，
若则A，B，C三点共线.
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
例1．如果、是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
①可以表示平面内的所有向量；②对于平面内任一向量，使的实数对有无穷多个；③若向量与共线，则有且只有一个实数，使得；④若实数，使得，则．
A．①② B．②③ C．③④ D．②
【思路点拨】考查平面向量基本定理．
【答案】 B
【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当向量与均为零向量，即时，满足条件的实数有无数个．故选B．
【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．
例2．如图所示，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，C为对角线的交点．又，，试用，表示，．
【解析】 由题意，得，所以，
则，，
．
．
【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．
举一反三：
【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】
【变式1】如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：
（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）
=
=
=
=
（2）=
（3）在中，取
同理：
是的中点
==
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例3．设两个非零向量和不共线．
（1）如果，，，求证：A、C、D三点共线；
（2）如果，，，且A、B、C三点共线，求k的值．
【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．
【解析】（1）证明：，，，
，
∴与共线．
又∵与有公共点，∴A、C、D三点共线．
（2），
∵A、C、D三点共线，
∴与共线，从而存在实数使得，
即3―2=(2―k)，由平面向量的基本定理，
得，解之得，．
【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
举一反三：
【变式1】设，是平面内的一组基底，如果，，，求证：A，C，D三点共线．
【解析】 因为，所以与共线．
类型三：平面向量的正交分解
例4．如下图，分别用基底，表示向量、、，并求出它们的坐标．
【解析】 由图可知，∴=（―2，3）．
同理可知=3+4=（3，4）．
=4―4=（4，―5）．
【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．
举一反三：
【变式1】已知O是坐标原点，点M在第二象限，，∠xOM=120°，求的坐标．
【解析】设M（x，y），则．
，即，所以．
类型四：平面向量的坐标运算
例5．已知，且求M、N及的坐标.
【思路点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.
【解析】
设，则
同理可求，因此
【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
举一反三：
【变式1】 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标.
【解析】设点C、D的坐标分别为，
由题意得
因为，
所以有和，解得和
所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而
类型五：平面向量平行的坐标表示
例6．如图所示，在平行四边形ABCD中，A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点，求、的坐标，并判断、是否共线．
【解析】 已知A（0，0）、B（3，1）、C（4，3）、D（1，2），又M、N分别为DC、AB的中点，
∴由中点坐标公式可得M（2.5，2.5），N（1.5，0.5），
∴，，
其坐标满足2.5×(―2.5)―2.5×(－2.5)=0，
∴、共线．
【总结升华】求出两向量的坐标，验证x1y2－x2y1=0即可．
举一反三：
【变式1】向量，，，当k为何值时，A、B、C三点共线？
【解析】 ，
．
∵A、B、C三点共线，∴，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．
整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．
∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【总结升华】以上方法是用了A、B、C三点共线即公共点的两个向量，共线，本题还可以利用A、B、C三点共线或，即得k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【变式2】已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若为实数，（+）∥，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】
例7．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，
则．
，
由与共线得(4－4)×6－4×(－2)=0，解得，
所以．所以P点坐标为（3，3）．
方法二：设P（x，y），则，
因为，且与共线，所以，即x=y．
又，，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P点坐标为（3，3）．
【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．
（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标．
【解析】设顶点D的坐标为（x，y）．
∵，．
由，得（1，2）=（3―x，4―y）．
∴，∴．
∴顶点D的坐标为（2，2）．
PAGE三角函数模型的简单应用
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；
2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【要点梳理】
要点一：三角函数模型的建立程序
要点二：解答三角函数应用题的一般步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论．
（1）审题
三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
（2）建模
根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．
（3）解模
利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果．
（4）结论
将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．
要点诠释：
实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
【典型例题】
类型一：三角函数周期性的应用
例1．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速运动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）试确定在时间t min时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多少时间P点距离地面超过70 m？
【思路点拨】（1）由实际问题求出三角函数中的参数A，h，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（t）．（2）解不等式可得．
【答案】（1）（2）1分钟
【解析】（1）以中心O为坐标原点建立如图所示的坐标系，由题意可知：A=40，h=50，T=3，，即，又，，，所以．
（2）令，
所以，所以，
所以，所以3k+1＜t＜3k+2．
令k=0，得1＜t＜2．
因此，共有1分钟时间距地面超过70 m．
【总结升华】 实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP．为保护参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°．求A，ω的值和M，P两点间的距离．
【答案】 5
【解析】 依题意，有，，
又，∴．∴，x∈[0，4]．
∴当x=4时，．∴M（4，3）．又P（8，0），
∴（km）．
类型二：三角函数模型在天气中的应用
例2. 下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表：（时间近似到0.1小时）
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序号x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355
白昼时间y（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画出这些数据的散点图；
（2）试选用一个形如的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算）
（3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时？
【思路点拨】先作散点图，结合图象求出中的，最后利用函数模型，解不等式可得．
【答案】（1）略（2）（1≤x≤365，x∈N*）（3）121天
【解析】 （1）如图所示．
（2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为，
由题中图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，
即ymax=19.4，ymin=5.4，
由19.4－5.4=14，得A=7；
由19.4+5.4=24.8，得t=12.4．
又T=365，∴．
∴（等于，，，均可）．
∴（1≤x≤365，x∈N*）．
（3）由y＞15.9，得，
∴，
，∴112≤x≤232．
∴该地大约有121天白昼时间大于15.9小时．
【总结升华】现实生产、生活中，周期现象广泛存在，三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合，而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题．
举一反三:
【变式1】 估计某一天的白昼时间的小时数D（t）可由下式计算：，其中t表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D（t）在0≤t≤365时的图象．
（2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
【答案】（1）略（2）6月20日 12月20日（3）243天
【解析】 （1）k=6时，．先用五点法画出的简图如图，由和，得t=79和t=444，列出下表：
t 79 170.25 261.5 352.75 444
f（t） 0 3 0 －3 0
若t=0，．
∵的周期为365，
∴．将，t∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到，0≤t≤365的图象，如右图所示．
（2）白昼时间最长的一天，即D（t）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D（t）取最小值，即12月20日白昼最短．
（3）D（t）＞10.5，即，，t∈[0，365]．
∴292＞t＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．
类型三：三角函数模型在物理学中的应用
例3．已知弹簧上挂着小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化规律为：
，t∈[0，+∞）．
用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：
（1）小球在开始运动（t=0）时，离开平衡位置的位移是多少？
（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？
（3）经过多少秒，小球往复运动一次？
【答案】（1） （2）（3）3.14
【解析】 列表如下：
t 0
π 2π
s 4 0 －4 0
作图（如图）．
（1）将t=0代入，
得．
以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是cm，方向为正向．
（2）由题图可知，小球上升到最高点离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下．
（3）由于这个函数的周期，所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14 s．反映在图象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次．
【总结升华】 （1）注意简谐运动中自变量的范围为[0，+∞）．
（2）正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键．
举一反三：
【变式1】一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为rad，与时间t满足关系式．
（1）当时，的值是多少？并指出小球的具体位置；
（2）单摆摆动的频率是多少？
（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？
【答案】（1）0（2）（3）
【解析】
（1）当时，，这时小球恰好在平衡位置；
（2）因为单摆摆动的周期，所以频率；
（3）令t=0，得的最大值为1．故有最大值rad，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是rad．
例4.如图所示，表示电流I与时间t的关系式（A＞0，）在一个周期内的图象．
（1）试根据图象写出的解析式；
（2）为了使中t在任意一段s时间内I能同时取得最大值|A|和最小值－|A|，那么正整数的最小值为多少？
【思路点拨】由图象，可求出 ，因此可写出解析式．（2）要满足题意，则必须，解之可得．
【答案】（1）（2）629
【解析】 （1）由图可知，A=300，周期，
∴．
当时，，即．
故图象的解析式为．
（2）要使t在任意一段s的时间内能同时取得最大值和最小值，必须使得周期．
即．
由于为正整数，故的最小值为629．
【总结升华】 由三角函数的图象求解析式的方法是：根据函数图象性质，结合“五点法”作图时的对应关系，分别确定A，，．
收集数据
画散点图
选择函数模型
检验
求函数模型
用函数模型解决实际问题【巩固练习】
1．函数的定义域是(　 )
A． B．　 C． D．
2．设函数，则等于（ ）
A．0 B．　　　 C． D．
3．函数的值域是( )
A．(-∞，)∪(，+∞) 　　B．(-∞，)∪(，+∞)
C．R 　　 　D．(-∞，)∪(2，+∞)
4．对于集合A到集合B的映射，有下述四个结论 ( )
①B中的任何一个元素在A中必有原象； ②A中的不同元素在B中的象也不同；
③A中任何一个元素在B中的象是唯一的； ④A中任何一个元素在B中可以有不同的象．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
5．设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有 ( )个．
A．1个 B．2个　　　 C．3个 D．4个
6．已知函数则实数的值等于（ ）
A．－3 B．－1 C．1 D．3
7．设函数则的值为（ ）
A． B．　　　 C． D．18
8．汽车经过启运、加速行驶、匀速行使、减速行使之后停车，若把这一过程中汽车的行使路程看做是时间的函数，其图象可能是（ ）
9．设函数则实数的取值范围是 ．
10．函数的值域是_________．
11．如图，有一块边长为的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子．设长方体盒子的体积是，则关于的函数关系式为 ；此函数的定义域是 ．
12．已知函数分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则的值 ；满足的的值 .
13．设函数，
（1）求的值；（2）若，求的值．
14．作出下列函数的图象：
（1）；（2）.
15．建一个容积为8、深为2的长方体无盖水池，如果池底造价是120元/，池避的造价是80元/，求水池的总造价（元）与池底（）之间的函数关系式.
【答案与解析】
1．【答案】D．
【解析】由题意1-x≥0且x≥0，解得，故选D．
2．【答案】B．
【解析】把和代入函数解析式相减求得．
3．【答案】B．
【解析】法一：由y=，∴x= ∴y≠， 应选B．
　　　法二：
4．【答案】A．
【解析】由映射的概念知，只有③正确．
5．【答案】A．
【解析】由函数的定义知选A．
6．【答案】A．
【解析】该分段函数的二段各自的值域为，
∴∴ ．
7．【答案】C
【解析】 ，，故．
8. 【答案】A.
9．【答案】
【解析】当，这是矛盾的；当.
10. 【答案】.
【解析】
11．【答案】
【解析】设，对称轴，当时，.
12．【答案】1，2
13．【答案】（1）0，（2）
【解析】（1） ；．
（2）或或解得．
14．【解析】
15．【答案】
【解析】设池底矩形宽（），则池底矩形长为（）．
底面积为4，造价为（元）．左、右两侧面造价为（元），前、后两侧面造价为（元）．
水池的总造价与池底宽之间的函数关系式为
．
PAGE
4指数函数及其性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
①如果，则
②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，则是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
01时图象
图象
性质 ①定义域R，值域 （0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1x>0时，00时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
② ③ ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、指数函数的概念
例1．函数是指数函数，求的值．
【答案】2
【解析】由是指数函数，
可得解得，所以．
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：
（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量．
举一反三：
【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）=，符合指数函数的定义，而（2）中底数不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数的乘积；（4）中底数，所以不是指数函数．
类型二、函数的定义域、值域
例2．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3） ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)
[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).
∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，
∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.
(4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时，；0【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即．
(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
(4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型三、指数函数的单调性及其应用
例3．讨论函数的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3]
【解析】
解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
∴，，
．
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．
又对于x∈R，恒成立，∴．
∴函数在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
．∴．
∴函数在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．
∴函数的值域为（0，3]．
解法二：∵函数的下义域为R，令u=x2－2x，则．
∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【答案】上单增，在上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2， y=3u；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.
设u=-x2+3x-2， y=3u，
其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，
u=-x2+3x-2在上单减，
则在上单增，在上单减.
又u=-x2+3x-2， 的值域为.
【变式2】求函数的单调区间.
【解析】当a>1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；
当0例4．证明函数在定义域上为增函数.
【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。
【解析】定义域为xR，任取x1.
∵， ∴，
又a>1， x1则 在定义域上为增函数.
另：， ∵， a>1且x2-x1>0，
∴， ∴ .
【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.
例5．判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a与1.8a+1； (2)
(3)22.5，(2.5)0， (4)
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3）
（4）当a>1时，，当0【解析】
(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，
又因为a(2)因为，又是减函数，所以，即．
(3)因为，，所以
(4)当a>1时，，当0【总结升华】
(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).
举一反三：
【变式1】比较大小：
(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1
(4)0.90.3与0.70.4 (5).
【解析】
(1)22.1＜22.3
(2)3.53＞3.23.观察两函数值，底数不同，而指数不变——不是指数函数，而是y=x3，它为增函数.
(3)由0.9-0.3，0<0.9<1， -0.3<00.9-0.3>1，
1.1>1， -0.1<00<1.1-0.1<1， 则0.9-0.3>1.1-0.1；
(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，0.90.3>0.70.4.
(5)∵，又函数为减函数，
， ∴ ，
∵为增函数，时，y>1，.
另解：幂函数为增函数，则有，(下略).
【高清课堂：指数函数 369066 例1】
【变式2】利用函数的性质比较，，
【答案】
【解析】=
作出的图象知
所以
【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.
【答案】
【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)， ∴ 在R上是减函数，∵ ， ∴ ，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1， ∴ .
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：
【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对进行分类讨论，去掉绝对值。
【解析】
举一反三：
【变式1】如果（，且），求的取值范围．
【答案】当时，；当时，
【解析】（1）当时，由于，
，解得．
（2）当时，由于，
，解得．
综上所述，的取值范围是：当时，；当时，．
类型四、判断函数的奇偶性
例7．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)
【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则
∴ g(x)为奇函数， 又 ∵为奇函数，∴ f(x)为偶函数.
【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：.
【答案】偶函数
【解析】定义域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.
类型五、指数函数的图象问题
例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．
举一反三：
【变式1】 设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【变式2】为了得到函数的图象，可以把函数的图象(　　)
A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
【答案】C
【解析】注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．
∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选C．
【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．任意角的三角函数
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦,记做,即；
(2)叫做的余弦,记做,即；
(3)叫做的正切,记做,即.
要点诠释：
三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等
，其中
，其中
，其中
要点诠释：
该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.
要点四：单位圆中的三角函数线
圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；
余弦线在轴上；
正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan的值。
【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论
【答案】，，或，，
【解析】 。
若a＞0，则r=5a，是第二象限角，则
，
，
，
若a＜0，则r=－5a，是第四象限角，则
，，。
【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想。三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。
举一反三：
【变式1】已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。
【答案】或
【解析】因为角的终边在直线上，
所以可设为角终边上任意一点。
则（a≠0）。
若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以
，
，
。
若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。
类型二：三角函数的符号
例2．判断下列各三角函数值的符号
（1）；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。
【答案】（1）＞（2）＞（3）＞
【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。
（2）∵120°是第二象限的角，∴tan120°＜0。
∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0。
∴tan120°·sin269°＞0。
（3）∵191°是第三象限的角，
∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0。
举一反三：
【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】
【变式1】确定下列各三角函数值的符号.
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）； （6），其中是第二象限角.
【答案】（1）＞（2）＞（3）＞（4）＞（5）＞（6）＜
【变式2】（1）若sin=―2cos，确定tan的符号；
（2）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；
（3）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？
【答案】（1）＜（2）＜（3）四
【解析】（1）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。
（2）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。
（3）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，
又cos＞0，所以为第一或第四象限角，
所以为第四象限角。
类型三：诱导公式一的应用
例3．（1）
（2）sin810°+tan765°+tan1125°+cos360°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。
【答案】（1）（2）4
【解析】（1）原式。
（2）原式= sin(2×360°+90°)+tan(2×360°+45°)+tan(3×360°+45°)+cos(0°+360°)
=sin90°+tan45°+tan45°+cos0°=4。
【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
举一反三：
【变式1】计算：
（1）
（2）sin1170°+tan405°+cos720°。
【答案】（1）（2）3
【解析】
（1）原式。
（2）原式= sin(3×360°+90°)+tan(360°+45°) +cos(0°+2×360°)
=sin90°+tan45°+cos0°=3。
类型四：三角函数线的应用
例4．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角的终边。
①；②；③tan=2；
（2）比较sin1155°与sin（―1654°）的大小。
【答案】（1）略（2）>
【解析】（1）①作直线交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角的终边，如下图①。
②作直线交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角的终边。如下图②。
③在直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D两点，则OC与OD为角的终边。如下图③。
（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数。
sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°。
在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M2P2，M1P1（如图）。
因为M1P1＜M2P2，所以sin1155°>sin（－1654°）。
【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如的三角函数的角的终边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的。
（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和1654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角函数线即可比较出大小。
举一反三：
【变式1】求证：当时，sin＜＜tan。
【证明】如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin=MP；
在Rt△AOT中，tan=AT。
又根据弧度制的定义，有。
易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，
即，
即sin＜＜tan。
例5．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的集合：
（1）；（2）。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【解析】（1）作直线交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
（2）作直线交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域如上图②中阴影部分，即为角的终边的范围。
故满足条件的角的集合为。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
类型五：三角函数定义域的求法
例6．求函数的定义域。
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 由题意得。
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。
从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。
∴该函数的定义域为：
。
【总结升华】（1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角函数线解三角不等式是最常用的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义。（2）不可忽略正切函数自身的定义域。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域：
【答案】
【解析】 要使函数有意义，需tan x≠0，
∴（k∈Z）且x≠kπ（k∈Z）
∴（k∈Z）。
∴函数的定义域为。巩固练习
一、选择题：
1.函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足
，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3.已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.用表示三个数中的最小值。设，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6　　 D.7
5.函数的值域是（ ）
A. B. 　　C. D.
6.已知，则函数的图像必定不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.是偶函数，且不恒等于零，则( )
A.是奇函数 B.可能是奇函数，也可能是偶函数
C.是偶函数 D.不是奇函数，也不是偶函数
8.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
9.设函数若，则的取值范围是_________.
10．设函数是偶函数，则实数的值是 。
11.函数的值域是 .
12.方程的实数解的个数为 。
13．设函数，则 。
三、解答题：
14.设，解关于的不等式.
15.已知，求的最小值与最大值.
16.若函数的值域为，试确定的取值范围.
17.某工厂今年月，月，月生产某产品分别为万件，万件，万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关系．模拟函数可以选二次函数或函数（其中，，为常数）．已知月份该产品的产量为万件，请问，用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
答案与解析
选择题
1．D 因为函数是上的减函数，所以，所以，即。
2.B 因为（1），所以，又为奇函数，为偶函数，所以（2），有（1）、（2）得：。。
3.C （2）（4）（5）正确，其余错误。
4.C 由题意易知，画出的图象，易知的最大值为6。
5.D 当时，；当时，，故选D。
6.A取特殊值法，取，所以得函数=，由图象平移的知识知， 函数=的图象是由函数=的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定不过第一象限。
7.A 令，由奇函数定义证得，为奇函数，所以也为奇函数。
8.D 一年后价值为，两年后价值为，…，年后价值为，故选D。
二、填空题
9.，当时，由可知，；当时，由可知，，∴ 或 .
10．-1 取特殊值法 因为函数为偶函数，所以，即，，，，，，。
11.，令，∵ ，又∵为减函数，∴.
12. 2 分别作出函数与函数的图象，当，从图象上可以看出它们有2个交点。
13． 首先证明：如果满足，则
=，
，从而原式=。
三、解答题：
14.∵，∴ 在上为减函数，∵ ， ∴.
15.，
∵， ∴.
则当，即时，有最小值；当，即时，有最大值57.
16.，依题意有
即，∴
由函数的单调性可得.
17.答案：用函数作为模拟函数较好．
解析：设，
则，
解得，，．
．
．
再设，则，
解得，，．
，
．
经比较可知，用作为模拟函数好．【巩固练习】
1.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
2.下列等式成立的有( )
①；②；③；④；⑤；
A.①② B.①②③　　　　C.②③④ D.①②③④⑤
3.已知，那么用表示是( )
A. B. C. D.
4.已知，且等于( )
A. B. C. D.
5．若，则（ ）
A. B. C. D.
6．设a，b，c为正数，且3a=4b=6c，则有( )
A. B. C. D.
7．如果方程的两根为、，则的值为（ ）
A. B. C. D. -6
8．已知函数满足：当时，；当时，，则=（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，则 ；
10. (1)= ；
(2)= ．
11．已知a=0.33，b=30.3， c=log30.3， d=log0.33，则a，b，c，d的大小关系是 .
12．已知，则的值等于 ．
13．计算：（1）；
（2）若，求．
14．设logac， logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求的值.
15．2010年我国国民生产总值为亿元，如果平均每年增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍（，精确到1年）？
【答案与解析】
1. 【答案】C　
【解析】由知①②正确．
2. 【答案】B　
【解析】；
3. 【答案】A　
【解析】原式==，故选A．
4．【答案】D
【解析】因为，所以，所以．
5．【答案】B
【解析】，因为，所以，故选B．
6．【答案】B
【解析】设3a=4b=6c=k， 则a=log3k， b=log4k， c=log6k，
∴， 同理，，
而， ∴，即.
7．【答案】C
【解析】由题意、是关于的方程的两根，，．
8．【答案】A
【解析】 由于，所以，则
==．
9．【答案】3
【解析】因为，所以，故．
10. 【答案】 (1)-3； (2)4．
11．【答案】b>a>d>c
【解析】 ∵0.3>0，3>0， ∴a=0.33>0， b=30.3>0.
∵3>1， 0<0.3<1， ∴c=log30.3<0， d=log0.33<0
又∵b=30.3>1， a=0.33<1， ∴ b>a
而， ， ∴d>c.
12．【答案】2008
【解析】2008 令，则，
，所以．
13．【答案】(1)(2)1
【解析】（1）原式=
=
=
（2）
=
=
即
=
14．【答案】
【解析】依题意得： 即 ， 即
∴.
∴.
故.
15．【答案】9
【解析】设经过年国民生产总值为2010年的2倍
经过1年，国民生产总值为，
经过2年，国民生产总值为，
…
经过年，国民生产总值为
，两边同取常用对数，得
即（年）
答：约经过9年，国民生产总值是2010年的2倍．【巩固练习】
1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）
　　A、 B、 C、A=B D、A∩B=
2. 集合M={y| y=x2-1, x∈R}， N={x| y=}，则M∩N等于（ ）
　 A、{(-, 1), (, 1)} B、
　 C、 D、
3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．设，则.
8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.
9．若且，则 .
10．若，则= .
11．设全集，集合，，那么等于________________.
12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 .
13．设，其中，如果，求实数的取值范围.
14．设，集合，；若，求的值.
15．设，集合.满足以下两个条件：
（1）
（2）集合中的所有元素的和为124，其中.
求的值.
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】.学生易错选C。错因是未正确理解集合概念，误以为A={-1，2}，
其实{(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}={(-1, 2)}，A是点集而B是数集，故正确答案应选D。
2.【答案】C
【解析】 集合M中的元素是y，它表示函数y=x2-1的值域，
集合N中的元素是x，它表示函数y=的定义域。
由M={y| y≥-1}，N={x| -≤x≤}，知M∩N={t| -1≤t≤}，因此选C。
3．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
4．【答案】C
【解析】
5.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，
而，∴；∴.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】
【解析】.
8.【答案】26
【解析】全班分类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为人；仅爱好体育的人数为()人；仅爱好音乐的人数为()人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为人 .∴，∴.
9.【答案】
【解析】由，则，且.
10.【答案】
【解析】，.
11.【答案】
【解析】，代表在直线上，但是挖掉的点，代表直线外，但是包含点的点；
代表直线外的点，代表直线上的点，∴.
12.【答案】11
【解析】含2个元素的子集有15个，但、、只能取1个；、只能取1个；、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个.
13.【答案】
【解析】由，而，
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得
∴.
14.【答案】 或
【解析】，由，
当时，，符合；
当时，，而，∴，即
∴或.
15.【答案】
【解析】由得是完全平方数，又，
.，由可得，由可得.
设中另一元素为，
则.
又中所有元素之和为124，所以解得或（舍），
.的图象与性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；
2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
要点二：函数中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.
要点三：由得图象通过变换得到的图象
1.振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02.周期变换：
函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换：
函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).
要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0【典型例题】
类型一：三角函数的图象
例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图.
【解析】
法一：(五点法)：
列表
x
x+ 0
sin(x+) 0 1 0 -1 0
描点画图：
法二：(图象变换)
函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
【总结升华】“五点法”作图时，五点的确定应先令分别为0、、、、，解出x，从而确定这五点。
例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.
【解析】(五点法)由，得，列表：
x
2x+ 0
3sin(2x+) 0 3 0 -3 0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.
举一反三：
【变式1】已知函数，
（1）用五点法画出函数图象；
（2）指出它的图象与函数的图象间的关系。
【解析】 （1）由，列表如下：
x
0
y 0 0 0
描点画图，如下图所示：
把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图。
（2）该函数的图象将函数的图象上每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变。
【总结升华】函数的图象，可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。
【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象？
【解析】
解法一：
。
解法二：
。
【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系。
类型二：三角函数的解析式
例3.如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.
【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出.
【解析】 A=5，
由点(，5)在此函数的图象上，则
法一：(单调性法)
∵点在递减的那段曲线上
∴
由得
∴
∵.
法二：(最值点法)
将最高点坐标(，5)代入得
∴
∴取.
法三：(起始点法)
函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，∴
法四：(平移法)
由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即.
【总结升华】错解：
将代入该式得：，
由，得
∵或
∴或.
代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出.
举一反三：
【变式1】函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。
【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力，由图知A=3，，则，可由点或或确定。
【解析】
方法一：（逐一定参法）
由图象知，振幅A=3，又，
∴。由点，令，得。
∴。
方法二：（待定系数法）
由图象知A=3，又图过点和，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有，解得ω=2，。
∴。
【总结升华】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。
【变式2】（1）已知函数的图象如下图①所示，求解析式：
（2）函数的图象如下图②所示，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析式。
【解析】 （1）∵T=(2+1)×4=12，∴。
∵C点为第四点，∴，∴。
∵，∴。
又∵点在图象上，∴。
∴A=2，∴。
（2）由题图知，振幅A=3，又，
∴。
由点，令，得。
∴。
【总结升华】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程中求出，但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，则；若在第二、三两点之间，则；若在第三、四两点之间，则或；若第四、五两点之间，则或。
（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。
类型三：函数的性质的综合运用
例4．函数的图象如图所示，试依图推出：
（1）的最小正周期；
（2）时x的取值集合；
（3）使的x的取值集合；
（4）的单调递增区间和递减区间；
（5）使取最小值时的x的取值集合；
（6）图象的对称轴方程；
（7）图象的对称中心；
（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？
【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。
【解析】 （1）。
（2）在一个周期中，使的x是，π，。
故所求的x的取值集合是。
（3）使的x的取值集合是。
（4）的单调递增区间是；
单调递减区间是。
（5）取最小值时x的取值集合是。
（6）对称轴方程是。
（7）对称中心是。
（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。
【总结升华】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在利用的性质解题时，一定要与y=sin x的性质结合，更离不开对定义的理解和掌握。
举一反三：
【变式1】已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（ ）
A．在区间[―2π，0]上是增函数
B．在区间[―3π，―π]上是增函数
C．在区间[3π，5π]上是减函数
D．在区间[4π，6π]上是减函数
【答案】A
【变式2】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间。
【解析】（1）依题意得：，周期,
,故，又图象过点，
，解得：，即
。
（2）由
得：
故函数的递增区间为：。
PAGE【巩固练习】
1.下列说法中错误的是( )
A.零和负数没有对数　　　　　　　　　　B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数　　　　 D.以e为底的对数叫做自然对数
2.有以下四个结论：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，则x=10；④若e=lnx，则x=e2，其中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
3.下列等式成立的有( )
①；②；③；④；⑤；
A.①② B.①②③　　　　C.②③④ D.①②③④⑤
4．对数式中，实数的取值范围是（ ）
A. B.　　　C. D.
5．若，则下列说法正确的是（ ）
①若，则；②，则；
③，则；④若，则。
A.①③ B.②④ C. ② D. ①②③④
6.已知，那么用表示是( )
A. B. C. D.
7.已知，且等于( )
A. B. C. D.
8．若，则（ ）
A. B. C. D.
9.3的 次幂等于8.
10.若，则x= 。
11. 若 ；
12．若，则 。
13．（1）设，求；
（2）已知，用表示。
14．计算.
【答案与解析】
1. 【答案】 B
【解析】　由对数的概念知，指数式中，只有，且的指数式才可以化为对数式。
2. 【答案】C
【解析】　由知①②正确。
3. 【答案】B
【解析】　；
4. 【答案】C
【解析】 由对数的定义可知所以且，故选C。
5. 【答案】 C
【解析】 注意使成立的条件是M、N必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C。
　
6. 【答案】A
【解析】　原式==，故选A。
7．【答案】D
【解析】因为，所以，所以。
8．【答案】B
【解析】，因为，所以，故选B。
9. 【答案】
【解析】 由对数的恒等式可得；　
10. 【答案】 -13
【解析】 由指数式与对数式互化，可得，解得。　
11. 【答案】 12
【解析】 。
12. 【答案】1
【解析】 因为所以，又因为所以，所以原式=。
13．【答案】 (1)9 (2)
【解析】（1）利用换底公式得：，得。
（2）由对数换底公式得：
=2（）=。
14．【答案】1
【解析】原式=
=【巩固练习】
1．已知，那么a的取值范围是( )
A. B. C. D.或a>1
2．函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
4.函数的图象关于( )
A.轴对称 B.轴对称 C.原点对称 D.直线对称
5.函数的值域是( )
A. B. C. D.
6．下列区间中，函数在其上为增函数的是
A. B. C. D.
7．设方程2x+x-3=0的根为，方程log2x+x-3=0的根为，则的值是( 　)
A.1 B.2 C.3 D.6
8．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，=，则的值为（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
9．函数若则= ．
10．已知集合，定义在集合上的函数的最大值与最小值的和是2，则= ．
11．函数的反函数是 ．
12．已知函数y=loga(kx2+4kx+3)，若函数的定义域为R，则k的取值范围是 ； 若函数的值域为R，则k的取值范围是 .
13.已知函数的定义域为，值域为，求的值.
14．已知函数（）的图象关于原点对称．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性．
15．一片森林的面积为，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是50年．为了保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为
（1）问到今年为止，该片森林已砍伐了多少年？
（2）问今后最多还能砍伐多少年？
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】当a>1时，由知，故a>1；当01.
2. 【答案】C　
【解析】要使原题有意义，必须满足：，解得．
3. 【答案】C　
【解析】函数=，由“左加右减”知，选C．
4. 【答案】C　
【解析】此函数是奇函数，奇函数图象关于原点对称。
5. 【答案】C　
【解析】令，的值域是，所以的值域是。
6. 【答案】D
【解析】用图象法解决，将的图象关于轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图象.由图象，选项中是增函数的显然只有D.
7．【答案】C　
【解析】将方程整理得2x=-x+3，log2x=-x+3，如图所示，可知是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点A的横坐标；是对数函数y=log2x的图象与直线y=-x+3的交点B的横坐标.由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以A，B两点也关于直线y=x对称，所以，.注意到在直线y=-x+3上，所以有，即.
8．【答案】C
【解析】依题意得，
，于是，故选C．　
9. 【答案】-1或2；　
【解析】令，。
10. 【答案】；
【解析】因为最大值和最小值之和是，所以，所以。
11. 【答案】
【解析】由得，由得．因此原函数的反函数是　
12. 【答案】.
【解析】要使函数的定义域为R，只需对一切实数x， kx2+4kx+3>0恒成立，其充要条件是k=0或解得k=0或，故k的取值范围是.
要使函数的值域为R，只需kx2+4kx+3能取遍一切正数，则，解得. 故k的取值范围是.
13. 【答案】
【解析】由，得，即
∵，即
由，得，由根与系数的关系得，解得.
14．【答案】（1）1或-1 （2）当时，，即在上递减；
当时，，即在上递增．
【解析】（1）由已知，对于定义域内的任意都有，即，
，即，所以，即，所以，解得或．
若，，无意义，舍去，所以
（2）设，由（1）知．因为，所以
当时，，即在上递减；
当时，，即在上递增．
15．【答案】（1）25（2）75
【解析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，经过年后森林剩余面积为
则，所以，即．
又，所以，
所以，即到今年为止，一砍伐了25年．
（2）设从今年开始，以后砍伐了年，
则砍伐了年后森林剩余面积为．
由题意，有，所以，
由（1）知，，即，因为，
所以，解得．
所以，今后最多还能砍伐75年．巩固练习
一、选择题
1.函数的定义域是( )
A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R
2. 设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是（ ）．
A. B. C. D.
4．如果是幂函数，则在其定义域上是（ ）．
A.增函数
B.减函数
C.在上是增函数，在上是减函数
D.在上是减函数，在上也是减函数
5. 如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小( )
A．
B．
C．
D．
6. 三个数，，的大小顺序是( )
A.c7.已知，那么= ( )
A. B.8 C.18 D.
8.若幂函数存在反函数，且反函数的图象经过则的表达式为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.函数的定义域是 .
10.已知，且，则 .
11.方程的解的个数是 .
12.函数的对称中心是 ，在区间 是 函数.(填“增”或“减”)
三、解答题
13．已知二次函数满足，且的最大值为5，求的表达式.
14. 已知函数和的图象关于原点对称，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式函数．
15.已知幂函数在上是增函数，且在其定义域内是偶函数.
（1）求的值，并写出相应的函数
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在上是增函数，若存在，请求出来，若不存在，请说明理由。
答案与解析
一、选择题
1.C
2.A 当时，为奇函数，当时在上单调递减，同时满足两个条件的只有一个，即．故选A．
3.B 因为是偶函数，排除A、D；又要求当时，图象在直线下方，故适合．
4.D 要使为幂函数，则，即．当时，，．在上是减函数，在上也是减函数．
5.D 在上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故，故选D．
6.B因为指数函数是减函数，所以，故．又幂函数在上是减函数，所以，故，所以．
7.D 令则，所以，所以．
8.B 因为反函数的图象经过，所以原函数图象经过，所以，解得，故选B．
二、填空题
9. 原函数，所以解得．
10.-26 令，则为奇函数，又=10，。。
11.2个 利用数形结合，分别作出函数和的图象，可以看出图象又两个交点，即方程的解．
12.(-2，1)；(-∞，-2)，(-2，+∞)；增 函数，将的图象向左平移2个单位，再向上平移一个单位，可以看出图象的对称中心是(-2，1)．增区间是(-∞，-2)，(-2，+∞)．
三、解答题
13．解析：由题意知，-2，3是二次函数的零点，
故设二次函数表达式为，而且对称轴为
即当时该函数的最大值为5.
5，解得
所求的函数表达式为.
14. 解析：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为，则，即，因为点在函数的图象上，所以，即．
（2）由，得
当时，，由函数的图象可知，此不等式无解．
当时，，由函数的图象，解得．
原不等式的解集为
15.解析：（1）在上是增函数，
，
，由，得。
当或时，不合题意。
由此可知当时，相应的函数式为
（2）函数，假设存在实数使得满足条件。设，则
=
=
=。
①若，易得，，要使在上是减函数，则应使恒成立，，
又，，从而欲使恒成立，则应有成立，即，
②同理，时，应有。由①②可得，综上所述，存在这样的实数，使得在上是减函数，且在上是增函数。
点评：在（2）问求的时候采用了恒成立的问题的解法，进而转化为求最值由两个区间上求得的值取交集即为所求。【巩固练习】（基础）
1．的值是（ ）
A. B. C. D.
2．已知∈(－,0),，则等于( )
A. B. C. D.
3．若，是第二象限角，则等于（ ）
A. B. C. D.
4．若，则的值是 ( )
A. B. C. D.
5．(　　)
A. B. C．2 D.
6．函数的最小正周期是π，则函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，则（ ）
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
8．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．已知则= ．
10．已知，，则等于 ．
11．已知，，则________．
12．若是偶函数，则a=________．
13．已知求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
15．已知函数．
（1）求的最小正周期及的最小值；
（2）若，且，求的值．
【答案与解析】
1、【答案】A
2、【答案】D
【解析】∵ ∈(，0)
又∵ ∴
∴ ∴ .
故选D.
巧思妙解析：解法一：由题设得
则2×(－)×=－
故.
解法二：由题设得
又∵
∴
∴
又
∴ .
3、【答案】C
4、【答案】D
【解析】
∵ ，∴ ，∴
∴ 原式
5、【答案】C
【解析】原式，故选C.
6．【答案】B
【解析】，，∴ω=1，单调递增区间为：由，得，令k=1，∴．
7．【答案】D
【解析】因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．
8．【答案】B
【解析】=，，
9．【答案】
【解析】=．
10．【答案】
【解析】因为，，所以，=．
11．【答案】
【解析】因为，
所以，
，所以．
12．【答案】－3
【解析】，
当a=－3时，为偶函数．
13．【解析】 ，，
（1）
（2）
14．【解析】(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，
得sinβ＝，tanβ＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，
所以sinα＝，cosα＝－，
f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx，
所以f(x)的最大值为.
15．【解析】（1）
，因此的最小正周期为π，最小值为－1．
（2）由得，即．
而由得，
故，解得．
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898函数的奇偶性
编稿：丁会敏　　审稿： 王静伟　　
【学习目标】
1.理解函数的奇偶性定义；
2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.
【要点梳理】
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且=-，则既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)；
(5)； (6)
【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)；
(4).
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
【解析】(1)的定义域是，
又，是奇函数．
（2）的定义域是，
又，是偶函数．
（3）
，∴为非奇非偶函数．
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
【变式3】设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【答案】A
例2.已知函数，若对于任意实数都有，判断的奇偶性.
【答案】奇函数
【解析】因为对于任何实数，都有，可以令为某些特殊值，得出.
设则，.
又设，则，
，是奇函数.
【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行.
举一反三：
【变式1】 已知函数，若对于任意实数，都有，判断函数的奇偶性.
【答案】偶函数
【解析】令得，令得
由上两式得：，即
是偶函数.
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最小值为 ．
【答案】 -1
【解析】考虑到均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求与的关系．
+=
，
．
当时，，
而，，
在上的最小值为-1．
【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：时，的最大值为5，时的最大值为3，时的最小值为-3，时，的最小值为-3+2=-1．
举一反三：
【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【答案】-26
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题便能迎刃而解.
例4. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式．
【答案】
【解析】是定义在R上的奇函数，
，当时，，
=
又奇函数在原点有定义，．
【总结升华】若奇函数在处有意义，则必有，即它的图象必过原点（0，0）．
举一反三：
【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】
【变式1】（1）已知偶函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
（2）已知奇函数的定义域是R，当时，
求的解析式.
【答案】（1）；（2）
例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围．
【思路点拨】根据定义域知1－m，m∈[―1，2]，但是1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数的性质：，可避免讨论．
【答案】．
【解析】
由于为偶函数，所以，．因为x≥0时，是单调递减的，故，所以，解得．
故m的取值范围是．
【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．
类型三、函数奇偶性的综合问题
例6. 已知是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数的单调递增区间．
【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]
【解析】 ∵是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴在（－∞，0]上是增函数．
设u=1―x2，则函数是函数与函数u=1―x2的复合函数．
∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，是减函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，是增函数，根据复合函数的性质，可得是增函数．
同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，是减函数．
∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
例7. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数.
当.
【解析】当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；
当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.
(1)当时，
①
且
②上单调递增，
上的最小值为f(a)=a2+1.
(2)当时，
①上单调递减，
上的最小值为
②上的最小值为
综上：
.
举一反三：
【变式1】 判断的奇偶性．
【答案】当时，函数既是奇函数，又是偶函数；当时，函数是奇函数．
【解析】对进行分类讨论．
若，则．
，定义域关于原点对称，函数既是奇函数，又是偶函数．
当时，，是奇函数．
综上，当时，函数既是奇函数，又是偶函数；
当时，函数是奇函数．
例8. 对于函数，若存在x0∈R，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点．
（1）已知函数有不动点（1，1），（―3，―3），求a，b的值；
（2）若对于任意的实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数．
【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax2+bx―b=x的根，
由违达定理a=1，b=3．
（2）由已知得：ax2+bx―b=x（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴Δ1=(b－1)2+4ab＞0对于任意的实数b恒成立．
即b2+(4a－2)b+1＞0对于任意的实数b恒成立．
也就是函数的图象与横轴无交点．
又二次函数的图象是开口向上的抛物线，
从而Δ2=(4a―2)2―4＜0，即|4a―2|＜2，∴0＜a＜1．
∴满足题意的实数a的取值范围为（0，1）．
（3）∵是R上的奇函数，∴.
令x=0，得，∴．∴（0，0）是的一个不动点．
设（x0，x0）（x0≠0）是的一个不动点，则．
又，∴（―x0，―x0）也是的一个不动点．
又∵x0≠－x0，∴的非零不动点是成对出现的．
又（0，0）也是的一个不动点，∴若存在n个不动点，则n必为奇数．
【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x的方程的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
4
1平面向量的线性运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.
2．能结合图形进行向量的计算．
3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．
4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．
5．掌握向量共线的条件．
【要点梳理】
要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2．向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
要点诠释：
两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1.向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2．向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
要点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
(1)当不共线时，；
(2)当同向且共线时，同向，则；
(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
要点四：向量的减法
1．向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
要点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2．向量减法的作图方法
（1）已知向量，（如图），作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
要点五：数乘向量
1.向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)；
(2)①当时，的方向与的方向相同；
②当时.的方向与的方向相反；
③当时，.
2．向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3.向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
要点六：向量共线的条件
1．向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2．向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3．向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
要点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
【典型例题】
类型一：向量加法的几何运算
例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由图知，OABC为平行四边形，∴
（2）由图知，∴．
（3）∵，∴．
又，∴．
【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．
举一反三：
【变式1】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
类型二：向量减法的几何运算
例2．如图，解答下列各题：
（1）用，d，e表示；（2）用，c表示；
（3）用，，e表示；（4）用d，表示．
【答案】（1）（2）
【解析】 ∵，，，，，
∴（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】在本题中，我们看到，这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．
举一反三：
【高清课堂：向量的线性运算 395568 例1】
【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（ ）．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【答案】Ｂ
【变式2】如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设 ，，．求证：．
【解析】∵，，∴，即．
类型三：与向量的模有关的问题
例3． 已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
【解析】 如图，，，则．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．
由于．
故，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．
【总结升华】 （1）向量+，－的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．
（2）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和．因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加法．
举一反三：
【变式1】若，，则的取值范围是多少？
【答案】
【解析】．
当，同向时，，当，反向时，；
当，不共线时，．
类型四：向量的数乘运算
例4． 计算下列各式：
（1）4(+)―3(―)；
（2）3(―2+)―(2+―3)；
（3）．
【解析】（1）原式=4―3+4+3=+7．
（2）原式=3―6+3―2―+3=―7+6．
（3）原式
．
【总结升华】 数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）6(3―2)+9(―2+)；
（2）；
（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．
【解析】 （1）原式=18―12―18+9=―3．
（2）
．
（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2
=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)
=6+2．
例5.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.
【解析】在中
【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
举一反三：
【变式1】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．
【解析】 ∵，
∴，
∵，
∴，
．
类型五：共线向量与三点共线问题
例6.设两非零向量和不共线，
(1)如果求证三点共线.
(2)试确定实数，使和共线.
【思路点拨】要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.
【解析】(1)证明
　　共线，又有公共点，
　　∴三点共线.
(2)解 ∵ 和 共线，
　　∴存在，使，
　　则由于 和不共线，
　　只能有 则.
【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)
举一反三：
【变式1】设和是两个不共线的非零向量，若向量
，试证明：A、C、D三点共线.
证明：
　　∴又
　　∴
　　∴与共线，
　　∴A、C、D三点共线.
【变式2】设e1，e2是两个不共线的向量，，，，若A、B、D三点共线，求k的值．
【解析】，若A，B，D三点共线，则与共线，则2∶1=k∶(―4)，k=―8．
类型六：向量在证明平面几何问题中的应用
例7． 如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．
求证：．
【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如下图．
∵E是AD的中点，∴．
∵F是BC的中点，∴，
又∵，
∴．
∴．
【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．
举一反三：
【变式1】 已知：如图所示，在四边形ABCD中，对角AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．
求证：四边形ABCD是平行四边形（要求用向量的方法证明）．
【证明】根据向量加法的三角形法则，
有，，
又∵，，∴．
∴．∴AB∥DC，AB=DC．
即AB与DC平行且相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【总结升华】（1）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．
（2）注意以下两个问题：
①法则的灵活应用；
②要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．
PAGE三角恒等变换综合(基础)
【学习目标】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式
= ①；
②；
③；
要点诠释：
1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中
2．正向用公式①、②，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简．
要点二：二倍角公式
1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：
；
；
．
要点诠释：
1．在公式中，角α没有限制，但公式α中，只有当时才成立；
2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．
要点三：二倍角公式的推论
升幂公式：，
降幂公式：；
；
.
要点四：三角恒等变换的基本题型
三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：
1．三角函数式的化简
（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
2．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
3．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．
【典型例题】
类型一：正用公式
例1．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【思路点拨】（1）由题意知，，然后利用二倍角公式求得的值．（2）求得，然后利用两角差的余弦公式可求解．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）得，
（2）得
=
=
举一反三：
【变式1】求值： = ；= ；=
【答案】
【解析】，
，
.
【变式2】已知和是方程的两个根，求的值.
【答案】
【解析】由韦达定理，得， ，
∴ .
例2．已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值．
【思路点拨】因为，分别求出和的正弦值和余弦值，利用两角和的正弦公式可求解．
【答案】
【解析】
∵，∴π＜α＋β＜，0＜α－β＜
∵sin(α＋β)＝－，cos(α－β)＝，
∴cos(α＋β)＝－，sin(α－β)＝
∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝．
【总结升华】
（1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有, 等.
（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.
【答案】
【解析】由且是第二象限角，得，
∵，
∴.
【变式2】已知
【答案】
【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
∵，∴
∴
∴＝
类型二：逆用公式
例3.求值：
（1）；（2）；
（3）；
【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．
（1）若将式中的改写为则恰为两角和的正弦；
（2）中将其转化为特殊角的三角函数值，然后可以逆用公式；
（3）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式．
【总结升华】
①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．
②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.
举一反三：
【变式1】求值：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）1/2（2）－1（3）1/2
【解析】
（1）原式；
（2）原式=；
（3）原式＝
【变式2】下列各式中，值为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】；
；
；
.
例4. 求值：
（1）；（2）
【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．
【答案】（1）1/4（2）1/8　
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=
【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．
举一反三：
【变式】求值：
【答案】
【解析】
原式=
=
=．
类型三：变用公式
例5．求值：
（1）；（2）
【思路点拨】表示两个正切的和，可以“凑”公式的变形：
.
（1）中，又，
变形：.
【答案】（1）（2）2
【解析】
（1）原式
.
（2）原式=
【总结升华】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.
举一反三：
【变式1】求值：= ．
【答案】1
例6. 化简：
（1）；(2）
【思路点拨】
（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简；
（2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系．
【答案】（1）1（2）1
【解析】
（1）原式
=
（2）原式=
【总结升华】
（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．
（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）； （2）
【答案】（1）4（3）
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=
=.
类型四：三角函数知识的综合应用
例7．已知函数的最小正周期为
（1）求的值；
（2）设，求的值．
【思路点拨】(1)由T＝10π可得ω的值；(2)化简所给的已知条件，求得cos α、sin β的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．
【答案】（1）1/5（2）
【解析】（1）由得
（2）由（1）知
∵
∴，
∵
∴，
∴
【总结升华】 (1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．
(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．
(3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝＋等．
举一反三：
【变式1】已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)因为
.
由直线是图象的一条对称轴,可得,
所以,即.
又,,所以,故.
所以的最小正周期是.
(Ⅱ)由的图象过点,得,
即,即.
故,
由,有,
所以,得,
故函数在上的取值范围为.
简单的三角
恒等变换
三角恒等变换
两角和与差的
三角函数公式
倍角公式
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】（基础）
1．的值是（ ）
A. B. C. D.
2．已知∈(－,0),，则等于( )
A. B. C. D.
3．若，是第二象限角，则等于（ ）
A. B. C. D.
4．若，则的值是 ( )
A. B. C. D.
5．(　　)
A. B. C．2 D.
6．函数的最小正周期是π，则函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，则（ ）
A．在上单调递增，其图象关于直线对称
B．在上单调递增，其图象关于直线对称
C．在上单调递减，其图象关于直线对称
D．在上单调递减，其图象关于直线对称
8．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．已知则= ．
10．已知，，则等于 ．
11．已知，，则________．
12．若是偶函数，则a=________．
13．已知求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
15．已知函数．
（1）求的最小正周期及的最小值；
（2）若，且，求的值．
【答案与解析】
1、【答案】A
2、【答案】D
【解析】∵ ∈(，0)
又∵ ∴
∴ ∴ .
故选D.
巧思妙解析：解法一：由题设得
则2×(－)×=－
故.
解法二：由题设得
又∵
∴
∴
又
∴ .
3、【答案】C
4、【答案】D
【解析】
∵ ，∴ ，∴
∴ 原式
5、【答案】C
【解析】原式，故选C.
6．【答案】B
【解析】，，∴ω=1，单调递增区间为：由，得，令k=1，∴．
7．【答案】D
【解析】因为，所以在单调递减，对称轴为2x=kπ，即．
8．【答案】B
【解析】=，，
9．【答案】
【解析】=．
10．【答案】
【解析】因为，，所以，=．
11．【答案】
【解析】因为，
所以，
，所以．
12．【答案】－3
【解析】，
当a=－3时，为偶函数．
13．【解析】 ，，
（1）
（2）
14．【解析】(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，
得sinβ＝，tanβ＝2，
所以tan(α＋β)＝＝1.
(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，
所以sinα＝，cosα＝－，
f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx，
所以f(x)的最大值为.
15．【解析】（1）
，因此的最小正周期为π，最小值为－1．
（2）由得，即．
而由得，
故，解得．
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898平面向量应用举例
编稿：丁会敏　　审稿：王静伟
【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
要点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
要点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°．
证明：联结OP，设向量，则且，
，即∠APB＝90°．
【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例1】
【变式1】P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心
【答案】D
【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】
【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【解析】==1
=
=
= （F是E点在上的投影）
当F与C点重合时，上式取到等号．
例2．如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.
【思路点拨】如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证.
【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，
，则，，，，
于是，，
∵
∴.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足，求t的值．
【答案】（1），（2）
【解析】 （1）由题设知，，则，．
所以，．
故所求的两条对角线长分别为，．
（2）由题设知，．
由，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，
从而5t=―11，所以．
类型二：向量在解析几何中的应用
例3．已知圆C：（x-3）2+（y-3）2=4及定点A（1，1），M为圆C上任意一点，点N在线段MA上，且
，求动点N的轨迹方程．
【思路点拨】设出动点的坐标，利用向量条件确定动点坐标之间的关系，利用M为圆C上任意一点，即可求得结论．
【答案】x2+y2=1
【解析】设N（x，y），M（x0，y0），则由得（1―x0，1―y0）=2（x―1，y―1），
∴，即．
代入(x―3)2+(y―3)2=4，得x2+y2=1．
【总结升华】本题考查轨迹方程，解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系，属于中档题．
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程．
【答案】（1）x―y+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则．，．
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0．
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则．
∴．又，．
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程．
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．
类型三：向量在物理学中“功”的应用
例4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为北偏东60°；|F3|=6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
【答案】
【解析】 以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正半轴建立直角坐标系．
如图，则，，，
则．
又位移，
合力F所做的功为（J）．
∴合力F所做的功为J．
【总结升华】用向量的方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来，再根据它的物理意义建立数学模型，将物理问题转化为数学问题求解，最后将数学问题还原为物理问题．
举一反三：
【变式1】已知一物体在共点力的作用下产生位移，则共点力对物体所做的功为（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
【答案】C
【解析】对于合力，其所做的功为.因此选C.
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为．
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围．
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大．
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为．
（3）由题意，，
∴，即．
由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求．
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释．
举一反三：
【变式1】两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.
【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.
类型五：向量在速度中的应用
例6．在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
【思路点拨】这是航行中的速度问题，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则.
【答案】，北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，．
所以，．
从而，∠CAD=30°．
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°．
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用．此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考．
举一反三：
【变式1】一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为，求船实际航行的速度的大小与方向.
【解析】如图所示，由向量的三角形法则知，对于2，，得，方向为逆水流与水流成夹角.
【总结升华】对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向
PAGE平面向量应用举例
编稿：丁会敏　　审稿：王静伟
【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。
【要点梳理】
要点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）。
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）。
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。
要点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。
（4）夹角问题：利用公式。
要点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．如下图，正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P。求证：BP⊥CD。
【思路点拨】将向量和用基底表示，然后把证明线段垂直问题，转化成的问题。
【解析】设，正三角形ABC的边长为a，
则。
又，，∴。
∴。
于是有，解得。
∴，，
∴，
，
从而，即，
故BP⊥CD。
【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的内积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的内积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示。当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知。
举一反三：
【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例3】
【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】D
【高清课堂：平面向量的应用举例395486 例4】
【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【答案】1 1
【解析】==1
=
=
= （F是E点在上的投影）
当F与C点重合时，上式取到等号。
例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。
求证：AF=AE。
【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。
【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。
因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。
又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。
由，得，即。
又设F（x＇，1），由和共线，
得，解得，
所以。
所以，。
所以。
所以AF=AE。
【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。
举一反三：
类型二：向量在解析几何中的应用
例3．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且，求动点P的轨迹方程。
【思路点拨】设动点P的坐标，先把向量之间的关系化简，然后代入向量坐标，化简整理即得轨迹方程。
【答案】
【解析】设P，则
由
得：
即
化简得。
【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。
【答案】（1）x―y+2=0 x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则。，。
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程。
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0。
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则。
∴。又，。
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程。
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。
类型三：向量在物理学中“功”的应用
例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）
【答案】 ―22
【解析】 设木块的位移为s，
则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×（J）。
F在竖直方向上的分力的大小为。
则（N）。
则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。
即F与f所做的功分别是J与―22 J。
【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。
举一反三：
【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，
（1）F1，F2分别对质点做的功；
（2）F1，F2的合力对质点做的功。
【答案】（1）―28，23；（2）―5
【解析】。
（1）F1做的功，
F2做的功。
（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为。
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围。
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大。
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为。
（3）由题意，，
∴，即。
由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求。
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。
举一反三：
【变式1】两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.
【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.
类型五：向量在速度中的应用
例6．某人骑摩托车以20 km / h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。
【答案】东北方向
【解析】设a表示车的速度20 km / h，在无风时，此人感受到风速度为―a，实际风速为b时，此人所感受到的风速为b―a，如图，令，，实际风速为b。因为，所以，这就是当车的速度为20 km / h时，人感受到的由正南方向吹来的风速。因为，所以，这就是当车的速度为40 km / h时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA⊥BD，BA=AD，所以△BCD为等腰三角形，CB=CD，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=DA=。所以km / h，b的方向是东北方向。
答：实际风向是东北方向，风速的大小为km / h。
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量，当实际风速为b时，此人感受到的风速是b―a，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。
举一反三：
【变式1】在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
【答案】 北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，。
所以，。
从而，∠CAD=30°。
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°。
PAGE【巩固练习】
1．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）
3．若集合，，且，则的值为( )
A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0
4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． AB B． BA C． D．
5．若全集，则集合的真子集共有( )
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
6．设集合，，则( )
A． B． C． D．
7．用适当的符号填空：
（1） ；（2） ；（3） .
8. 若集合，，，则的非空子集的个数为 .
9．若集合，，则_____________．
10．设集合，，且，则实数的取值范围是 .
11．已知，则_________.
12．已知集合，若，请写出满足上述条件得集合.
13．已知，，，求的取值范围.
14．已知集合，且,求实数的值．
15．设全集，，.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】对于，因此．
2．【答案】B
【解析】由，得，则,选B．
3.【答案】D
【解析】当时，满足，即；当时，而，∴；∴.
4.【答案】 C
【解析】
5.【答案】 C
【解析】 ，真子集有.
6.【答案】 B
【解析】 ；，整数的范围大于奇数的范围.
7.【答案】（1） ；（2） ；（3） .
8.【答案】15
【解析】 ，，非空子集有.
9.【答案】
【解析】 ，显然.
10.【答案】
【解析】，则得.
11.【答案】
【解析】，，，.
12.【答案】满足条件的集合是，，，，，，.
13.【答案】
【解析】当，即时，满足，即；
当，即时，满足，即；
当，即时，由，得，得，即；
∴综上得.
14.【答案】
【解析】显然又,，即0-0+=0，.
由解得或1
，可解得.于是，解得或1.
.
15.【答案】
【解析】当时，，即；
当时，即，且
∴，∴
而对于，即，∴
∴.简单的三角恒等变换(基础)
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
【要点梳理】
要点一：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
要点二：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
　【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：
【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中与之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明．
【证明】
方法一：
方法二：
【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】
．
例2．求证：（1）
(2)
【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令即可得证．
【证明】
（1） ①
又 ②
①+②得
结论得证．
（2） ①
又 ②
①+②得
令，则
结论得证．
【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】，
上面两式相加得：
令，则
结论得证．
【变式2】求证：．
【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x，2x凑成，的形式，注意到，，于是
【证明】右边
左边．
∴等式成立．
【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．
类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知，试化简．
【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式，于是利用此公式先化简．
【解析】原式，
∵，∴，∴，，
从而，，
∴原式．
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos2，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到，则，，设，则x＜0，则，又，故，从而．
举一反三：
【变式1】化简．
【解析】∵，∴cos＞0，则由二倍角公式得，
∴原式，又，∴，
从而．
即原式=．
类型三：利用公式进行三角函数式的求值
例4．已知，，求的值．
【解析】原式=
=
=
=
=
由得
【总结升华】求解三角函数式的值时，一般先化简所给三角函数式，寻求它与条件的联系，以便迅速找出解题思路．
举一反三：
【变式1】已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x，y为锐角，则sin(x＋y)的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D.
【答案】A
【解析】∵sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，两式相加得：sinx＋cosx＝siny＋cosy，
∴sin2x＝sin2y.又∵x、y均为锐角，
∴2x＝π－2y，∴x＋y＝，∴sin(x＋y)＝1.
【变式2】若，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【答案】
【解析】∵，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝
=
类型四：三角恒等变换的综合应用
例5．求函数；的值域
【思路点拨】设，则，然后把转化为关于的二次函数，利用配方法求的最值．
【解析】 设
又，，
又，
则
=
当时，
当时，
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件．
举一反三：
【变式1】已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，所以，所以．
因此，即的取值范围为．
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898平面向量的实际背景及基本概念
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．
4．理解两个向量共线的含义．
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。
要点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。
要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
2．向量的表示方法：
(1)字母表示法：如等．
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
要点三：向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．
要点诠释：
（1）向量的模。
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。
2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的。
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。
要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．
规定：与任一向量共线．
要点诠释：
1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若，则四边形为平行四边形；
(3)若，则
(4) 单位向量都相等。
【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．
【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出．
(2)正确，且．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四边形是平行四边形．
(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同．故．
(4)不正确，对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589 ( https: / / resource.etiantian.com / ett20 / totalmanage / resource / viewResourceDetail.jsp resourceID=402589" \o "查看资源信息" \t "_blank )例2】
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
② 若非零向量与共线，则=；
④若=，则；
⑤向量与平行，则与的方向相同或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．
类型二：向量的表示方法
例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点．
（1）作出向量，，；
（2）求．
【解析】 （1）如图所示．
（2）由题意，易知与方向相反，故与共线即AB∥CD．
又，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴（千米）．
【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．
举一反三：
【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【变式2】如图，点D、E、F分别是△ABC的各边中点．在图所示向量中，
（1）写出与，，相等的向量；
（2）写出模相等的向量．
【解析】 （1），，。
（2），，。
【总结升华】利用三角形的中位线和平行四边形的性质研究向量的各种关系是常考题型，要注意掌握解决这类问题的方法．
【高清课堂：平面向量的实际背景及基本概念402589 ( https: / / resource.etiantian.com / ett20 / totalmanage / resource / viewResourceDetail.jsp resourceID=402589" \o "查看资源信息" \t "_blank )例6】
【变式3】如图是4×3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，
试问：（1）与相等的向量有几个（不含）？
（2）与平行且模为的向量有几个？
（3）与同向且模为有几个？
【答案】（1）5（2）24（3）2
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例3． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且。
求证：。
证明：∵，∴且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴且DA∥CB。
又∵与的方向相同，∴。
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴。
∵，，∴，
又与的方向相同，∴。
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若，则且AB∥CD。
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．
【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例4． 一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助．试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．
【解析】 （1）如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB+BC=70（n mile）．
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为，由于，故方向为北偏东53°．
【总结升华】 本题往往会误认为路程和位移是一致的，事实上，路程是指物体行进轨迹的长度，只有大小，而位移只与物体起点和终点有关，有大小和方向，与行进的轨迹无关．
举一反三：
【变式1】已知下列三个位移：飞机向南飞行50 km，飞机向西飞行50km，飞机向东飞行50km．下列判断中正确的是（ ）．
A．这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等
B．这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等
C．这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等
【答案】B
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www.任意角和弧度制
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.
3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】
知识点一：任意角的概念
1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
要点诠释：
角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.
2.终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
要点诠释：
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
3．常用的象限角
角的终边所在位置 角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
知识点二：弧度制
1．弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)
3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.
【典型例题】
类型一：终边相同的角的集合
例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。
【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案．
【答案】（1）―50°（2）670°
【解析】 （1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。
（2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。
【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。
举一反三：
【变式】已知=－1910°。
（1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。
（2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。
【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470°
【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°，
∴－1910°=－6×360°+250°，
相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。
（2）令=250°+k·360°（k∈Z），
取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角；
250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。
例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。
（1）、的终边关于原点对称；
（2）、的终边关于x轴对称；
（3）、的终边关于y轴对称。
【答案】（1）（2）+=k·360°（3）+=(2k+1)·180°
【解析】 （1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）。
（2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。
（3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z）
【总结升华】 首先在0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完整答案。
举一反三：
【变式1】已知是任意角，则与的终边（ ）
A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
【答案】 B
类型二：角所在象限的研究
例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。
【思路点拨】因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°，把上式两边都乘以2、、，然后对进行讨论，就可得 ，，的终边所在的位置。
【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第三象限或第四象限的角
【解析】
解法一：因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。
（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。
（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。
（3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第三象限或第四象限的角。
解法二：以为例讲解。把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起 ( http: / / www. / wxc / )依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的
区域.由图可知，是第一、三、四象限角.
【总结升华】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以n，根据k的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意。
举一反三：
【高清课堂：任意角与弧度数385946 例2】
【变式1】若是第三象限的角，则2，分别是第几象限的角？
【答案】一、二象限或轴的正半轴上；二、四象限
【变式2】集合，，则( )
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
(法二)在平面直角坐标系中，数形结合
(法三)集合M变形，
集合N变形，
是的奇数倍，是的整数倍，因此.
类型三：弧度制与角度制的互化
例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成即可，注意。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用。
例5．设角，，，。
（1）将，用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
（2）将，用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角。
【答案】（1） （2） ―612°和―252°； =―420°－60°
【解析】 要确定角所在的象限，只要把表示为=2kπ+0（k∈Z，0≤＜2π）的形式，由0所在的象限即可判定出所在的象限。
（1），
。
所以在第二象限，在第一象限。
（2），
设=k·360°+（k∈Z），
因为－720°≤＜0°，
所以－720°≤k·360°+108°＜0，
解得k=―2或k=―1，
所以在―720°～0°间与有相同终边的角是―612°和―252°。
同理=―420°，在―720°～0°间与有相同终边的角是－60°。
【总结升华】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系。②用弧度作为单位时，常出现π，如果题目没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数。③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法。
举一反三：
【高清课堂：任意角与弧度制385946 例4】
【变式1】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：
(1) 与终边相同的角
(2) 终边在y轴正半轴上的角的集合
(3) 终边在y轴负半轴上的角的集合
(4) 终边在y轴上的角的集合
【答案】
（1），
（2），
（3），
（4），
类型四：扇形的弧长、面积与圆心角问题
例6．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路点拨】用弧长公式和扇形面积公式去求解
【答案】10 、2，100
【解析】设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为，面积为S，则+2r=40，∴=40－2r，
∴。
∴当半径r=10 cm时，扇形的面积最大，最大面积为100 cm2，这时。
【总结升华】有关扇形的弧长，圆心角，面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用=||·R，两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决。
举一反三：
【变式1】如图，扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角的弧度数及弦AB的长。
【答案】，
【解析】 设长为cm，扇形半径为R cm，则由题意，
得，解得 或 （不合题意，舍去）。
∴（rad）。
∴弦（cm）。
例7．将一条绳索绕在半径为40 cm的轮圈上，绳索的下端B处悬挂着物体W，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现想将物体W的位置向上提升100 cm，需要多长时间才能完成这一工作？
【思路点拨】关键是求弧长是100 cm时，弧长所对的圆心角是多少，进一步求出上升所用时间。
【答案】4
【解析】 如图，当BB＇=100 cm时，的长是100 cm，所对的圆心角。∵轮子每分钟匀速旋转6圆，∴每秒匀速转过，即，于是t秒转过rad，∴，解得。
【总结升华】 轮子按逆时针方向旋转，点A转过的弧长的长等于B点上升到B＇时的距离，这是本题中隐藏的等量关系。
举一反三：
【变式1】一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于5′，试问：
（1）离人10 m处能阅读的方形文字的大小如何？
（2）欲看清长、宽约0.4 m的方形方字，人离开字牌的最大距离为多少？
【答案】（1）0.01454（2）275
【解析】（1）设文字的长、宽均为，则=10，这里=5′=0.001454，
所以=10×0.001454=0.01454（m）。
（2）设人离开字牌x m，则（m）。【巩固练习】
1．函数的图象( )
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．不具有对称轴
2．已知函数为偶函数，则的值是( )
A. B. C. D.
3．设函数，且则等于（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D. 5
4．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )
A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是
5．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )
A． B．
C． D．
7．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )
A．> B．<
C． D．
8．若定义在上的函数满足：对任意有+1，则下列说法一定正确的是（ ）．
A．为奇函数 B． 为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数
9．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .
10．若函数在上是奇函数，则的解析式为 .
11．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则 .
12．已知函数为偶函数，其定义域为，则的值域 ．
13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明．
(1)； (2)
14．已知奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范围．
15．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意的都满足．
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论．
16．设奇函数是定义在上的增函数，若不等式对于任意都成立，求实数的取值范围．
【答案与解析】
1. 【答案】B.
【解析】因为，所以是偶函数，其图象关于轴对称.
2. 【答案】B.
【解析】 奇次项系数为
3. 【答案】C.
【解析】因为是奇函数，所以，所以
.
4. 【答案】A.
【解析】 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性
5. 【答案】A.
【解析】
6. 【答案】A.
【解析】，函数的周期2，又函数是偶函数，在上是增函数，则在上减，在上增，故选A.
7. 【答案】C.
【解析】 ，
8. 【答案】C.
【解析】解法一：（特殊函数法）由条件可取，所以是奇函数.
解法二：令，则，
令，则，
，为奇函数，故选C.
9. 【答案】
【解析】 设，则，，
∵∴，
10. 【答案】
【解析】 ∵∴
即
11. 【答案】
【解析】 在区间上也为递增函数，即
12．【答案】
【解析】因为函数为上的偶函数，所以即即，所以在上的值域为．
13．【解析】(1)定义域为，，所以是奇函数．
(2)函数的定义域为，当时，，此时，．
当时，，此时，．
当时，．
综上可知对任意都有，所以为偶函数．
14．【解析】由已知，由为奇函数，所以，
又在上是减函数，
解得
15．【解析】（1）
，．
（2），
．
=
故为奇函数．
16．【解析】由得
为奇函数，．
又在上为增函数，原问题等价于对都成立，即对都成立．
令，问题又转化为：在上，
或或
解得．
综上，．【巩固练习】
1. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是,
则sin2θ-cos2θ的值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ）
A．2πs B．πs C．0.5 s D．1 s
3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为
的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
（A）； （B）
（C）； （D）
4．电流强度I（A）随时间t（s）变化的关系式是，则当s时，电流强度I为（ ）
A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A
5．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始旋转，15 s旋转一圈．水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．，A=3 B．，A=3
C．，A=6 D．，A=6
6．2008年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y（米）可看作是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作，经长期观测，的曲线可近似地看成是函数，下表是某日各时的浪高数据：
t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 2 1 2 0.99 2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为=1°，若很小时，可取sin≈，试估算该气球的高BC约为（ ）
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
8．设是某港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0至24 h记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A．，t∈[0，24]
B．，t∈[0，24]
C．，t∈[0，24]
D．，t∈[0，24]
9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
10．甲、乙两楼相距60米，从乙楼望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为________．
11．如图表示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h（米）在24小时内的变化情况，若变化情况近似于函数危（＞0，＞0），则水面高度h与时间t的函数关系式为________．
12．某昆虫种群数量在1月1日时低至700只，而在当年7月1日时高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线呈规律性变化．
（1）求出种群数量关于时间t的函数解析式，t以月为单位；
（2）画出种群数量关于时间t的简图．
13．某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下表是水深数据：
t（小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象．
（1）试根据数据表和曲线，求出的表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】由题意，大正方形的边长为1，小正方形的边长为，设所对的直角边为
则由勾股定理得：，解得，，，进一步求得，所以，故选D.
2．【答案】D
【解析】周期（s）．
3．【答案】A
【解析】八边形的面积=
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】A
【解析】 ∵T=15，故，显然的值等于圆O的直径长，即，故．
6．【答案】B
【解析】由周期T=12，得，，．
7．【答案】B
【解析】由已知CD=3 m，，又，
∴，∴BC=AC·sin30°≈86（m）．故选B．
8．【答案】A
【解析】在中，．
，，而T=12，，显然．
9．【答案】
【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴，
将点（0.1，2）代入，得．
10．【答案】60米，米
【解析】 如图甲楼的高度AC=AB=60米，
在Rt△CDE中，．
∴乙楼的高度为米．
11．【答案】
【解析】由题图知A=6，T=12，，又由，得，，k∈Z．
所以．
12．【解析】（1）设所求的函数解析式为，则，A=100，且，所以．又．所以．因此所求的函数解析式为．
（2）图象（简图）如图．
13．【解析】（1）从拟合的曲线可知，函数在一个周期内由最大变为最小需要9―3=6个小时，此为半个周期，所以函数的最小正周期为12小时，因此，．
又当t=0时，y=10；当t=3时，ymax=13，得b=10，A=13―10=3．
于是所求函数解析式为．
（2）由于船的吃水深度为7米，船底与海底的距离不少于4.5米，故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5（米）．
令，可得．
∴（k∈Z）．
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z）．
取k=0，则1≤t≤5；取k=1，则13≤t≤17；
而取k=2时，则25≤t≤29（不合题意）．
∴船只可以安全进港的时间为1～5点和13～17点，船舶要在一天之内在港口停留的时间最长，就应从凌晨1点（1点到5点都可以）进港，而下午17点（即13点到17点之间）前离港，在港内停留的时间最长为16小时．指数函数、对数函数、幂函数综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点。
3．理解对数的概念及其运算性质。
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.
6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).
【知识框图】
【要点梳理】
要点一、指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.n次方根的性质：
(1)当为奇数时，；当为偶数时，
(2)
3.分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
要点二、指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.指数函数函数性质：
函数名称 指数函数
定义 函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，.
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.
要点三、对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：.
2.几个重要的对数恒等式
，，.
3.常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).
4.对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
要点四、对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.
2.对数函数性质：
函数名称 对数函数
定义 函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，.
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.
要点五、反函数
1.反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.
2.反函数的性质
(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.
(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
要点六、幂函数
1.幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.
(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.
(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.
(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1.计算
(1) ； (2)；
(3)；(4)
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.
【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14。
【解析】(1)原式=；
(2)原式=
=
=1-+=1
(3)原式=
=
=2+=3；
(4)令，两边取常用对数得
=
=
=
即=14。
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
举一反三：
【变式1】=（ ）
A.0 　B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】=。
【变式2】(1)；(2)。
【答案】(1)2；(2)。
【解析】(1) 原式
；
(2) 原式
。
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例2.设偶函数满足，则= ( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】且是偶函数.
或
或
解得或，故选B。
【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用.
举一反三：
【变式1】已知函数若，则的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】依题意或即或，所以，故选A。
例3.设函数 若，则实数的取值范围是( ) ．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解法一：①若，则，
，得，得，解得。
②若则，
，
解得
由①②可知
解法二：特殊值验证
令
，满足，故排除A、D。
令，，
不满足，故排除B。
【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.
【高清课堂：幂指对函数综合377495 例1】
例4．函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D。
例5. 若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是( )
A.m≤-1 B.-1≤m<0 C.m≥1 D.0【思路点拨】对进行讨论，去掉绝对值，画出图象。
【答案】B.
【解析】，
画图象可知-1≤m<0.
【总结升华】本题考察了复杂形式的指数函数的图象特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图象特征.
举一反三：
【变式1】 函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B
【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）。
A.（1，10） B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）
【答案】C
【解析】由互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以，故选C.
【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法。
类型三：综合问题
例6.已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
【思路点拨】（1）利用奇函数的定义去解。（2）先判断函数的单调性，由单调性脱掉函数符号，转化成二次函数问题去解决。
【答案】（1）；（2）。
【解析】(1) 因为是R上的奇函数，所以
从而有 又由，解得
(2)解法一：由(1)知
由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式
等价于
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而
解法二：由(1)知
又由题设条件得
即
整理得，因底数2>1，故
上式对一切均成立，从而判别式
【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解.
举一反三：
【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设，解不等式f（x）＞0．
【解析】（1）依题意知，解得
函数f（x）的定义域为。
（2）函数是奇函数
任取，，所以
=0
所以函数是奇函数。
（3）因为，所以
由，得
解得
。
【高清课堂：幂指对综合377495 例5】
例7．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了。
【答案】
【解析】依题意，在上恒成立。
则设
只需求的最大值
任取且
=
由于是单调递减函数
，即在上是单调递增的，
【总结升华】解决本题的关键是把转化成，转化成，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意。
举一反三：
【变式1】设函数。
（1）求的定义域；
（2）求使在上恒成立的实数的取值范围。
【解析】（1），即
若，则的定义域为；
若，则的定义域为；
若，则的定义域为。
（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立。
令，则在上递减，在上递增，，即。
另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知
由且可知。
②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立。
显然这样的实数不存在。
综上所求的的取值范围为。
0
1
0
1
0
1
0
1
PAGE巩固练习
一、选择题
1．下列条件所指对象能构成集合的是 ( )
A．与0非常接近的数 B．我班喜欢跳舞的同学
C．我校学生中的团员 D．我班的高个子学生
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A． B．
C． D．
3．集合可化简为（ ）
A． B． C． D．
4．下面有四个命题：
(1)集合中最小的数是1；　　　　　　 (2)若不属于，则属于；
(3)若则的最小值为2； (4)的解可表示为；
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6． 设，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．用符号“”或“”填空
(1)-3______， ______， ______；
(2)(是个无理数).
8. 方程组用列举法表示为 .
9．自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 .
10．由所确定的实数集合是 .
11．用描述法表示的集合可化简为 .
三、解答题
12．已知集合，试用列举法表示集合.
13．分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）大于且小于6的整数所组成的集合；
（2）方程的实数根所组成的集合.
14．已知集合={x|，}，若中元素至多只有一个，求实数的取值范围.
答案与解析：
一、选择题
1.C 元素的确定性.
2.D 选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.
3. B 解方程得，因为，故选B.
4.A (1)最小的数应该是；(2)反例：，但；
(3)当；(4)元素的互异性.
5.D 元素的互异性.
6. A 不等式两边同除以一个负数，不等号的方向改变.
二、填空题
7..
8. 加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.
9. 最小的6个自然数是0，1,2,3,4,5，容易把自然数“0”漏掉.
10. 分别对进行讨论，去掉绝对值，得到集合中的三个元素：-2,0,2.
11. ，，.
三、解答题
12.解：由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即 .
13.解：（1）
（2） .
14. 解：（1）时，原方程为，得符合题意；
（2）时，方程为一元二次方程，依题意，解得.
综上，实数的取值范围是或.
PAGE同角三角函数基本关系
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【要点梳理】
要点一：同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
(2)商数关系：
(3)倒数关系：，，
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)是的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形：
，
2．商数关系式的变形
。
【典型例题】
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．已知tan=－2，求sin，cos的值。
【思路点拨】先利用,求出sin=－2cos，然后结合sin2+cos2=1，求出sin，cos。
【解析】 解法一：∵tan=－2，∴sin=－2cos。 ①
又sin2+cos2=1， ②
由①②消去sin得(－2cos)2+cos2=1，即。
当为第二象限角时，，代入①得。
当为第四象限角时，，代入①得。
解法二：∵tan=－2＜0，∴为第二或第四象限角。
又由，平方得。
∴，即。
当为第二象限角时，。
。
当为第四象限角时，。
。
【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。
举一反三：
【变式1】已知是的一个内角，且，求
【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.
【解析】为钝角，
由平方整理得
例2．已知cos=m（－1≤m≤1），求sin的值。
【解析】（1）当m=0时，角的终边在y轴上，
①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin=1；
②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin=－1。
（2）当m=±1时，角的终边在x轴上，此时，sin=0。
（3）当|m|＜1且m≠0时，
∵sin2=1―cos2=1―m2，
∴①当角为第一象限角或第二象限角时，，
②当角为第三象限角或第四象限角时，。
【总结升华】 当角的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。
类型二：利用同角关系求值
【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】
例3．已知：求：
（1）的值；（2）的值；
（3）的值；（4）及的值
【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
【答案】（1）（2）（3）0（4）或
【解析】（1）由已知
（2）
（3）
（4）由，解得或
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。
举一反三：
【变式1】已知，求下列各式的值：
（1）；（2）sin3+cos3。
【解析】 因为，
所以，
所以。
（1）
（2）。
【总结升华】 对于已知sin±cos=m型的问题，常有两种解法：一是两边平方，得±2sincos=m2－1，联立以上两个式子解出sin，cos的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sin±cos，sin·cos的形式代入求解，解题时注意正、负号的讨论与确定。
例4．已知tan=3，求下列各式的值。
（1）；（2）；（3）。
【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以使用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解.
【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得，
原式。
（2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得，
原式。
（3）用“1”来代换，
原式。
【总结升华】 ①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。
举一反三：
【变式1】（1）已知tan=3，求sin2－3sincos+1的值；
（2）已知，求的值。
【解析】（1）∵tan=3，1=sin2+cos2，
∴原式
。
（2）由，得，解得：
∴
。
类型三：利用同角关系化简三角函数式
例5．化简：。
【解析】 解法一：原式
。
解法二：原式
。
解法三：原式
。
【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2+cos2=1，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简单。这里，所谓逆用公式sin2+cos2=1，实质上就是“1”的一种三角代换：“1=sin2+cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
=
=，
类型四：利用同角关系证明三角恒等式
例6．求证：。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
【解析】 证法一：右边
=左边。
证法二：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
证法三：左边，
右边，
所以左边=右边，原等式成立。
【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般情况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为方便。但是，不管采取哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有：弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回归定义等。
举一反三：
【变式1】求证：.
【解析】证法一：由题意知，所以.
∴左边=右边.
∴原式成立.
证法二：由题意知，所以.
又∵，
∴.
证法三：由题意知，所以.
，
∴.
【变式2】已知，求证：。
【证明】 ∵，∴，
∵，∴。
∴。指数函数、对数函数、幂函数综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点．
3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.
6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).
【知识框图】
【要点梳理】
要点一、指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中
当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
2.n次方根的性质：
(1)当为奇数时，；当为偶数时，
(2)
3.分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
要点二、指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.指数函数函数性质：
函数名称 指数函数
定义 函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，.
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.
要点三、对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化：.
2.几个重要的对数恒等式
，，.
3.常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).
4.对数的运算性质
如果，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④
⑤
⑥换底公式：
要点四、对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.
2.对数函数性质：
函数名称 对数函数
定义 函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，.
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
函数值的变化情况
变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.
要点五、反函数
1.反函数的概念
设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.
2.反函数的性质
(1)原函数与反函数的图象关于直线对称.
(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.
(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.
要点六、幂函数
1.幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.
(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1.化简与计算下列各式
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.
【答案】（1）；（2）100；(3)．
【解析】
(1)原式=
=1+=；
(2)原式=
=
=100
(3) 原式=
.
【总结升华】化简要求同初中要求，注意结果形式的统一，结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数位分数等，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的；
举一反三：
【变式一】化简下列各式：
(1)； (2).
【答案】（1）-27；（2）．
【解析】(1)
；
(2)
.
例2． 已知：，求：的值.
【思路点拨】先化简再求值是解决此类问题的一般方法.
【答案】2
【解析】
∴ 当时，.
【总结升华】解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．，;
例3.计算
(1) ； (2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14．
【解析】(1)原式=；
(2)原式=
=
=1-+=1
(3)原式=
=
=2+=3；
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
【变式1】=（ ）
A.0 　B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】=．
【变式2】(1)；(2)．
【答案】(1)2；(2)．
【解析】(1) 原式
；
(2) 原式
．
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例4.已知函数则( )
A.4 　B. C.-4 D.-
【答案】B
【解析】，.
【总结升华】利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值.
举一反三：
【变式一】已知函数若，则实数等于（ ）．
A. 　B. C. 2 D. 9
【答案】．
【解析】，由，则有．，，选．
例5.函数的定义域( ) ．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【总结升华】以对数函数、幂函数为背景的函数定义域问题，一直是高考命题的热点.解答这类问题关键是紧扣真数大于零、底数大于零且不等于1，偶次根号大于等于零、分母不为零．
【高清课堂：幂指对综合377495 例4】
例6．函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B
【高清课堂：幂指对函数综合 377495 例1】
例7. 函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D．
类型三：综合问题
例8.已知函数为常数)
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.
(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围.
【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性
【答案】（1）；（2）f(x)为增函数；（3）a＞1．
【解析】(1)由
∵a＞0，x≥0
∴f(x)的定义域是.
(2)若a=2，则
设 ， 则
故f(x)为增函数.
(3)设
①
∵f(x)是增函数，
∴f(x1)＞f(x2)
即 ②
联立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞).
【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可.
举一反三：
【变式1】已知．
（1）求定义域；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）解方程．
【答案】（1）当时，定义域为；当时，定义域为．
（2）当时，函数在上单增；当时，函数在上单增．
（3）．
【解析】（1）由，得，
当时，定义域为；当时，定义域为．
（2）当时，设，则
，
当时，函数在上增函数；同理可证，当时，函数在上也是增函数．
（3）由，得，推出，所以，
，，，
，（舍），．
0
1
0
1
0
1
0
1
PAGE三角恒等变换综合(提高)
【学习目标】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式
= ①；
②；
③；
要点诠释：
1．公式的适用条件(定义域) ：公式①、②对任意实数α，β都成立，这表明①、②是R上的恒等式；公式③中
2．正向用公式①、②，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数．公式③正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简．
要点二：二倍角公式
1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：
；
；
．
要点诠释：
1．在公式中，角α没有限制，但公式α中，只有当时才成立；
2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用．
3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．
要点三：二倍角公式的推论
升幂公式：，
降幂公式：；
；
.
要点四：三角恒等变换的基本题型
三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：
1．三角函数式的化简
（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等．（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．
2．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角．
3．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明．
【典型例题】
类型一：正用公式
例1．已知:，求的值.
【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值．
【解析】由已知可求得.
当在第一象限而在第二象限时，
.
当在第一象限而在第三象限时，
.
当在第二象限而在第二象限时，
.
当在第二象限而在第三象限时，
.
【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．
举一反三：
【变式1】已知，求的值．
【答案】
【解析】
．
例2．已知，，，，求的值．
【思路点拨】注意到，应把看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求，只需求出．
【答案】
【解析】∵ ， ∴，
∵ ， ∴．
∴
【总结升华】
（1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,, 等.
（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】已知
【思路点拨】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
【答案】
【解析】∵，∴
∴
∴＝
【变式2】已知求的值．
【答案】
【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
∵，∴
∴
又
∴
∴
＝
于是有.
类型二：逆用公式
例3.求值：
（1）； （2）.
【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算．
（1）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）原式；
（2）原式=
.
【总结升华】
（1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”．
（2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式＝
【变式2】已知，那么的值为（ ）
A． B．　 C． D．
【答案】A；
【解析】∵，
∴.
例4. 求值：
（1）；（2）
【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦．
【答案】（1）1/4 （2）1/8　
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=
【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法．
举一反三：
【变式】求值：．
【答案】1/8
【解析】
原式=
=
=．
类型三：变用公式
例5．在中，求值：
【答案】1
【解析】∵，∴，∴
∴原式=
例6. 化简：
（1）；(2）
【思路点拨】
（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简；
（2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系．
【答案】（1）1（2）1
【解析】
（1）原式
=
（2）原式=
【总结升华】
（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．
（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.
举一反三：
【变式1】化简：
（1）；（2）； （3）
【答案】（1）4（2）4（3）
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=
=.
【变式2】若，且，则___________.
【答案】
【解析】由，，得，
.
例7．已知，，求的值．
【思路点拨】 先分析所求式 ,分子、分母均为已知条件中和差角的展开式的项．
【答案】
【解析】∵，
，
解得, ，
∴.
举一反三：
【变式1】若、是方程的两根，求的值．
【答案】
【解析】由已知 ，因而应将所求式转化成已知的结构，
∴=．
类型四：三角函数知识的综合应用
例8．函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.
(Ⅰ)求的值及函数的值域;
(Ⅱ)若,且,求的值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由已知可得:
=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4
所以,函数
所以,函数
(Ⅱ)因为(Ⅰ)有
由x0
所以,
故
【总结升华】本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.
举一反三：
【变式1】设,其中
(Ⅰ)求函数 的值域
(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.
【思路点拨】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列,从而解得的取值范围,即可得的最在值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(1)
因,所以函数的值域为
(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数.
依题意知对某个成立,此时必有,于是
,解得,故的最大值为.
【变式2】已知向量,函数的最大值为6.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域.
【答案】(Ⅰ) 6 (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ),
则;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象,
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数.
当时,,.
故函数在上的值域为.
另解:由可得,令,
则,而,则,
于是,
故,即函数在上的值域为.
简单的三角
恒等变换
三角恒等变换
两角和与差的
三角函数公式
倍角公式
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898正切函数的性质与图象
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；
2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；
3．理解正切函数的对称性．
【要点梳理】
要点一：正切函数的图象
正切函数，且的图象，称“正切曲线”
（1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα
（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从到也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置；
⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.
要点二：正切函数的性质
1．定义域：，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴
5．单调性：在开区间内，函数单调递增
要点诠释：
正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
要点三：正切函数型的性质
1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
值域：
3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
要点诠释：
若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为．
【典型例题】
类型一：正切函数的定义域
例1．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0等．
【答案】（1）
（2）
【解析】 （1）由题意得，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．
由图可得函数定义域集合为．
（2）由 得 ．
则有 ．
所以函数定义域为．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】利用正切函数的图象解不等式．
【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为，k∈Z．
类型二：正切函数的图象
例2．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；
（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．
①y=tan |x|；②y=|tan x|
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
（2）①∵
故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；
当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示．
观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．
②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．
观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．
【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系．
如果由的图象得到及的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出（x≥0）的图象，令其关于y轴对称便可以得到（x≤0）的图象；同理只要作出的图象，令图象不动下翻上便可得到的图象．
举一反三：
【变式1】函数在区间内的图象大致是（ ）
【答案】D
类型三：正切函数的周期性
【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例1】
例3．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是
【解析】
（1）
函数是周期函数，最小正周期是．
（2）
是周期函数，最小正周期是．
（3）由图象知，函数不是周期函数
（4）是周期函数，最小正周期是．
类型四：正切函数的单调性
例4．（1）求函数的周期和单调递减区间；
（2）试比较与的大小．
【解析】 （1）因为，所以．
由（k∈Z），得（k∈Z）．
因为在（k∈Z）内单调递增，所以在（k∈Z）内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为（k∈Z）．
（2），
，
因为，且y=tan x在上单调递增，所以，所以．
【总结升华】（1）对于形如（，为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．
（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数的单调增区间.
【答案】
【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例2】
【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.
【解析】函数在区间单调递减
，且，即
，解得：
类型五：正切函数性质的综合应用
例5．（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；
（2）求函数，的值域；
（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．
【解析】 （1）由，得，
∴所求定义域为．
值域为R，周期，是非奇非偶函数．
在区间（k∈Z）上是增函数．
（2）设tan x=t．
∵，∴．
∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．
∴当t=1，即时，ymin=8，
当，即时，．
∴函数的值域为．
（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．
∵＞0，∴=2．从而．
∵函数的图象关于点对称，
∴（k∈Z），即（k∈Z）．
∵，∴只能取．
故．
【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数作整体代换，转化为对函数y=tan x的性质的研究；
第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；
第（3）题，，（A＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质加以类比得到．
举一反三：
【变式1】已知函数，的部分图象如下图，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B两角和与差的正弦、余弦和正切公式(提高)
【学习目标】
1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
【要点梳理】
要点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
；
(4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；
(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.
要点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则.
(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.
要点三：两角和与差的正切函数
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：；
(2)公式的变形：
(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.
(4)公式对分配律不成立，即.
要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键。
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况。中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开。
2．重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视。常见的角的变换有：
；；等，常见的三角变换有：切化弦、等。
要点五：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定。）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）。这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等。
【典型例题】
类型一：两角和与差的三角函数公式的正用
例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。
【答案】
【解析】 ∵，，且、均在第二象限，
故，
，
故
。
。
=
=
【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。
举一反三：
【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。
【答案】
【解析】 由，得
，
又由，为第三象限角得
，
∴，
。
例2．（1）已知，，且，求以及的值；
（2）已知，，求，的值。
【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角、之间有关系、。（2），。
【答案】（1）1/3 1（2）
【解析】（1），
。
∵，，，
∴，。
∴，∴。
（2）。
。
【总结升华】 已知三角函数值求角，要对所给角的范围进行讨论，尽量化到它的一个单调区间上，必要时可对角的范围进行适当的缩小。
举一反三：
【变式1】（1）求的值；
（2）已知求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
(2),
又
=
=
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。
（1）求的值；
（2）求的值。
【答案】（1）（2）
【解析】
由三角函数定义可得，
又因为为锐角，所以因此
（1）；
（2）所以，
为锐角，
类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用
例3。计算下列各式的值：
（1）sin163°sin223°+sin253°sin313°；
（2）；
（3）。
【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形。
【解析】 （1）sin163°sin223°+sin253°sin313°
=sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°)
=sin163°sin223°+cos163°cos223°
=cos(223°－163°)=cos60°=.
（2）。
（3）
。
【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构。以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口。公式的变形应予以灵活运用。
举一反三：
【变式1】求值：
【解析】原式==
【变式2】求下列各式的值：
（1）；（2）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=
=
=
=1
【变式3】化简：。
【解析】 原式
。
类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例4．在锐角△ABC中，求证：
（1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）。
【思路点拨】注意三角形内角和这一隐含条件的运用。
【证明】 （1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C，所以tan（A+B）=tan（π－C），所以，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。
（2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有。
左边
右边。
所以原式成立。
【总结升华】本题主要考查两角和正切公式的应用。三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经何种形式联系起来（如本题中A+B+C=π）；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一。例如（2），由于右边为常数，左边经过提取、变形展开必能各项相消。
举一反三：
【变式1】已知，求证：
【证明】
得
类型四：辅助角公式的应用
例5．化简下列各式：
（1）；（2）；（3）。
【思路点拨】形如sin x+cos x、sin x-cos x，等，化成一个角的三角函数的方法：一般是逆用和差角公式，引入辅助角来处理。处理过程如下。
【解析】（1）
。
（2）
。
（3）。
【总结升华】 运用哪个辅助角是可以选择的，如，也可以化为：
。
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
（1）sin x+cos x；（2）sin x-cos x；（3）。
【答案】（1）（2）（3）。
【解析】（1）sin x+cos x=；（2）sin x-cos x=；
（3）=
类型五：两角和与差三角函数公式的综合应用
例6．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．
（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值；
（Ⅱ） 若∣AB∣=, 求的值.
【思路点拨】（Ⅰ）由题意知, ， ,然后利用=求出的值. （Ⅱ）因为∣AB∣=||=||,上式两边平方,可求得的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义得，
， ，
∵的终边在第一象限，∴．
∵的终边在第二象限，∴ ．
∴==+=．
（Ⅱ）方法（1）∵∣AB∣=||=||，
又∵，
∴．
∴．
方法（2）∵，
∴=．
举一反三：
【变式1】已知函数。的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】 C
【解析】。因为函数的图象与y=2的两个相邻交点的距离为π。所以。即ω=2。所以。
令得。即（）。
所以函数的单调区间为（）。
【变式2】已知函数的定义域为，
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，当为何值时，为偶函数．
【答案】（1）递增区间为 递减区间为
（2）
【解析】（1）当时，
为递增；
为递减
为递增区间为；
为递减区间为。
（2）为偶函数，则
【变式3】已知点M(1＋cos2x,1)，N(1，sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a是常数)，设y＝ (O为坐标原点)．
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)，并求f(x)的最小正周期；
(2)若x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值，并求f(x)在[0，]上的最小值．
【答案】（1）π（2）1 1
【解析】(1)依题意得：＝(1＋cos2x,1)，＝(1，sin2x＋a)，
∴y＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝2sin(2x＋)＋1＋a.
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)若x∈[0，]，则(2x＋)∈[，]，
∴－≤sin(2x＋)≤1，
此时ymax＝2＋1＋a＝4，∴a＝1，
ymin＝－1＋1＋1＝1.
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1.已知函数在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么( )
2.如图，已知函数的图象(部分)，则函数的表达式为( )
A.y=2sin()
B.y=2sin()
C.y=2sin(2x+)
D.y=2sin(2x-)
3．把函数的图象向右平移个单位得到的函数解析式为（ ）
A．y=sin x B．y=cos x C． D．
4．函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sin x的图象按下列哪种变换得到的？（ ）
A．横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
B．纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的倍
C．横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍
D．纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的2倍
5．已知函数的最小正周期为π，将的图象向左平移||个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C． D．
6．为得到函数的图象，只需将函数y=sin x的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
7.函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为(　　)
A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
8．函数的图象为C，
①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
以上三个结论中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．的最小正周期为，其中，则 ．
10．将函数y=sin x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象的函数解析式是________．
11．有下列四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移；③横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的．
其中能将正弦曲线y=sin x的图象变为的图象的是________．
12．如图是函数的图象的一部分，则A=________，=________，=________．
13.函数在同一周期内，当时，y有最大值为，当时，y有最小值，求此函数的解析式.
14．设函数图象的一条对称轴是直线.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求函数的单调增区间.
15．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求在上的取值范围．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】A=2，，代入点(，2)得到
2. 【答案】C
3．【答案】C
【解析】．
4．【答案】B
【解析】．
5．【答案】D
【解析】由T=πω=2，
，
．∴，当k=0时，．
6．【答案】C
【解析】．
7. 【答案】A
8. 【答案】C
【解析】对于①，当时，，因此图象C关于直线对称；对于②，由得，k∈Z，令k=0，得函数在区间内是增函数；对于③，由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到，故①②正确；③不正确．
9．【答案】10
10．【答案】
【解析】．
11．【答案】①②
【解析】对于①，，故①正确；
对于②，，故②正确．
12．【答案】2 2
【解析】由图象最高点及最低点的纵坐标可知A=2．由图象可得半周期，所以，ω=2，所以，当时，y=0，即，又因为，所以．
13. 【答案】
【解析】∵函数
当时，y取最大值，当x=时，y取最小值
∴可知A=，
周期
故
得到：，将代入，得
得到．
14． 【解析】(Ⅰ)的图象的对称轴，
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由题意得：，
所以函数的单调增区间为
15．【解析】（1）
（2）．对数及对数运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2.了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
要点诠释：
对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有
即， 即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【典型例题】
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例1.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
高清课程：对数及对数运算 例1
【变式2】计算：并比较．
【答案】2 3 5
【解析】
．
类型二、利用对数恒等式化简求值
例2．求值：
【答案】35
【解析】.
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
.
类型三、积、商、幂的对数
高清课程：对数及对数运算例3
例3. 表示下列各式
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式1】求值
(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
【变式2】（1）设，求的值．
（2）已知，求．
【答案】（1）1；（2）
【解析】（1）由已知分别求出和，
，
由换底公式得：
=
=
（2），，又，故
故，又，从而，
故．
类型四、换底公式的运用
例4.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，则，
即
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
类型五、对数运算法则的应用
例5.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13
【解析】(1)原式=
(2) 原式=
=
(3)原式=
(4)原式
举一反三：
【变式1】求值：
【答案】2
【解析】
另解：设 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.
例6.若方程的两根是a，b，求ab的值．
【答案】
【解析】设，则
是原方程的两个根，
【总结升华】解决本题的关键是要分清楚a，b是哪个方程的根，所以首先利用换元法把方程化成一元二次方程，这样就可以得到原方程的两根是．
举一反三：
【变式1】若是方程的两个实根，求的值．
【答案】12
【解析】原方程可化为，设，则原方程化为．．
由已知是原方程的两个根，
则，即，
=
=
=．
即．指数函数及性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域；
2.掌握指数函数图象：
(1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质；
(2)掌握底数对指数函数图象的影响；
(3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别．
3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；
4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法；
5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题．
【要点梳理】
要点一、指数函数的概念：
函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像，，等函数都不是指数函数．
（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：
①如果，则
②如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在．
③如果，则是个常量，就没研究的必要了．
要点二、指数函数的图象及性质：
y=ax
01时图象
图象
性质 ①定义域R，值域 （0，+∞）
②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点
③ax=a，即x=1时，y等于底数a
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数
⑤x<0时，ax>1x>0时，00时，ax>1
⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数
要点诠释：
（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。
（2）当时，；当时。
当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。
当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。
（3）指数函数与的图象关于轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
② ③ ④
则：0＜b＜a＜1＜d＜c
又即：x∈(0,+∞)时， （底大幂大）
x∈(－∞,0)时，
（2）特殊函数
的图像：
要点四、指数式大小比较方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.
(2)中间量法
(3)分类讨论法
(4)比较法
比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：
①若；；；
②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．
【典型例题】
类型一、函数的定义域、值域
例1．求下列函数的定义域、值域.
(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)
【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3） ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞)
[1，a)∪(a，+∞)
【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).
∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，
∴ ， ∴ ，
∴ ， ∴值域为(0，1).
(2)定义域为R，，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).
(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.
(4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，
又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).
【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(4)小题中不能遗漏.
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a>1时，；0【解析】(1)R
(2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即，即．
(3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即
(4) 为使得原函数有意义，需满足，即，所以a>1时，；0【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.
类型二、指数函数的单调性及其应用
例2．讨论函数的单调性，并求其值域．
【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．
【答案】函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3]
【解析】
解法一：∵函数的定义域为（－∞，+∞），设x1、x2∈（－∞，+∞）且有x1＜x2，
∴，，
．
（1）当x1＜x2＜1时，x1+x2＜2，即有x1+x2－2＜0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知．
又对于x∈R，恒成立，∴．
∴函数在（－∞，1）上单调递增．
（2）当1≤x1＜x2时，x1+x2＞2，即有x1+x2－2＞0．
又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知
．∴．
∴函数在[1，+∞）上单调递减．
综上，函数在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．
∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1，，．
∴函数的值域为（0，3]．
解法二：∵函数的下义域为R，令u=x2－2x，则．
∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数．
又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数．
值域的求法同解法一．
【总结升华】由本例可知，研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同；当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间及值域.
【答案】上单增，在上单减.
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x2+3x-2， y=3u；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.
设u=-x2+3x-2， y=3u，
其中y=3u为R上的单调增函数，u=-x2+3x-2在上单增，
u=-x2+3x-2在上单减，
则在上单增，在上单减.
又u=-x2+3x-2， 的值域为.
【变式2】求函数的单调区间.
【解析】当a>1时，外层函数y=au在上为增函数，内函数u=x2-2x在区间上为减函数，在区间上为增函数，故函数上为减函数，在区间上为增函数；
当0例3．讨论函数的单调性．
【答案】在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增
【解析】注意．因而原函数是指数函数与二次函数y=t2－2t+2的复合函数．
令，则y=t2―2t+2．由在R上递减，又y=t2―2t+2在（―∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，而当，则x≥0；当，则x≤0．
∴函数在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增．
【总结升华】研究型的复合函数的单调性，一般用复合法，即设，再由内函数与外函数的单调性来确定的单调性．
举一反三：
【变式1】 求函数(x[-3，2])的单调区间，并求出它的值域.
【答案】单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1] [，57]
【解析】令， 则，
∵ x[-3，2]， ∴ ， ∴， ∴ 值域为[，57]， 再求单调区间.
(1) 即 即x[1，2]时，是单调减函数，是单调减函数，故是单调增函数.
(2)即即x[-3，1]时，是单调减函数，是单调增函数，故是单调减函数，
∴ 函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1].
【总结升华】形如y=Aa2x+Bax+C(a>0，且a≠1)的函数若令ax=u，便有y=Au2+Bu+C，但应注意u>0
例4．(1)1.8a与1.8a+1； (2)
(3)22.5，(2.5)0， (4)
【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。
【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3）
（4）当a>1时，，当0【解析】
(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，
又因为a(2)因为，又是减函数，所以，即．
(3)因为，，所以
(4)当a>1时，，当0【总结升华】
(1)注意利用单调性解题的规范书写；
(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)；
(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”).
举一反三：
【变式1】比较大小：【高清课堂：指数函数369066 例1】 ，，；
【答案】（1）
【解析】（1）解：=
作出的图象知
所以
【变式2】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 的大小.
【答案】
【解析】先比较的大小.由于底数(0，1)， ∴ 在R上是减函数，∵ ， ∴ ，再考虑指数函数y=1.3x， 由于1.3>1， 所以y=1.3x在R上为增函数1.30.7>1.30=1， ∴ .
【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.
【变式3】如果（，且），求的取值范围．
【答案】当时，；当时，
【解析】（1）当时，由于，
，解得．
（2）当时，由于，
，解得．
综上所述，的取值范围是：当时，；当时，．
类型三、判断函数的奇偶性
例5．判断下列函数的奇偶性： (为奇函数)
【答案】偶函数
【解析】f(x)定义域关于原点对称(∵定义域关于原点对称，且f(x)的定义域是定义域除掉0这个元素)，令，则
∴ g(x)为奇函数， 又 ∵为奇函数，∴ f(x)为偶函数.
【总结升华】求的奇偶性，可以先判断与的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出的奇偶性．
举一反三：
【变式1】判断函数的奇偶性：.
【答案】偶函数
【解析】定义域{x|xR且x≠0}，
又
，
∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数.
类型四：指数函数的图象问题
例6．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
【答案】
【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C2的底数＜C1的底数＜C4的底数＜C3的底数．
【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”．
举一反三：
【变式1】 设，c＜b＜a且，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
例7．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值范围是
．
【思路点拨】画出与的图象，利用数形结合的方法去解题。
【答案】
【解析】当时，通过平移变换和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即与矛盾．
当时，同样通过平移和翻折可得如图所示的图象，则由图可知，即，即为所求．
【总结升华】（1）解答此题时，要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；（2）根据条件确定直线与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．
举一反三：
【变式1】如图是指数函数①，②，③，④的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为（ ）
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
【答案】B
例8．确定方程的根的个数．
【思路点拨】画出的图象和的图象，把求方程根的个数问题转化成求函数图象的交点问题。
【答案】2
【解析】根据方程的两端分别设函数，，在同一坐标系中画出函数与的图象，如图所示：
由图可以发现，二者仅有两个交点，
所以方程的根的个数为2．
类型五：指数函数的应用
例9． 假设A型进口汽车关税率在2010年是2005年的25％，2005年A型进口汽车每辆价格为64万元（其中含32万元关税款），（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2005年每辆价格为46万元，若A型车价格只受关税降低的影响，为了保证2010年B型车的价格不高于A型车价格的90％，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少要降多少万元？（2）某人在2005年将33万元存入银行，假设银行扣除利息税后的年利率为1.8％（五年内不变），且每年按复利计算（例如第一年的利息计入第二年本金），那么五年到期时，这笔钱连本带息是否一定能够买一辆按（1）所述降价后的B型汽车？
【答案】2 能买
【解析】（1）∵2010年的关税率为2005年的关税率的，故所减少的关税款为32×=24（万元）．∴2010年A型车价格为64－24=40（万元）．∵5年后B型车价格不高于A型车价格的90％，∴有B型车价格≤40×90％=36（万元）．∵2005年B型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，∴平均每年至少要降2万元．
（2）根据题意，2005年存入的33万元，5年到期时连本带息可得33×(1+1.8％)5（万元）．通过计算器算得33×(1+1.8％)5≈36.08（万元）．∴到期时，这笔钱连本带息一定能够买一辆按（1）所述降价后的B型汽车．
【总结升华】本题是涉及指数函数的应用题，与指数函数相关的应用题较多，如放射性物质的衰变、人口的增长问题、国民生产总值的增长问题、成本的增长或降低等问题．它的基本模型是：设原有产值为N，平均增长率为P，则对于经过x年后的总产值y可以用y=N(1+P)x表示．
本例（2）在计算五年到期连本带息的和时，用到了公式（其中a为开始存入时的本金，r为每期的利率，n为期数），该公式可用特例归纳法得到：第l期到期时本利和为a+ar=a(1+r)；第2期到期时本利和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2；第3期到期时本利和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3；…；第n期到期时本利和为a(1+r)n―1+a(1+r)n―1r=a(1+r)n．
举一反三：
【变式1】 某乡镇现在人均粮食占有量为360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%．设x年后年人均粮食占有量为y千克，求出函数y关于x的解析式．
【答案】
【解析】设该乡镇人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，经过x年后，该乡镇粮食总产量为 360M(1+4%)x，人口数量为M(1+1.2%)x，则经过x年后，人均占有粮食千克．
即所求函数解析式为．【巩固练习】
1．函数的定义域（ ）.
A． B．
C． D．
2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
3．在定义域上的单调性为（ ）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个开区间上为增函数
4．当时，函数y=tan |x|的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．不是对称图形
5．下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．大小关系不确定
6．函数（且x≠0）的值域是（ ）
A．[―1，] B．（―∞，－1]∪[1，+∞） C．（－∞，1] D．[－1，+∞）
7．已知函数y=tan（x+）的图象过点，则可以是（ ）
A． B． C． D．
8．下列函数中同时满足：①在上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数的是（ ）
A．y=tan x B．y=cos x C． D．y=|sin x|
9．函数的最小正周期是________。
10．已知，那么所有可能的值是 。
11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ．
12. 函数y=tan(2x+)的单调递增区间是__________．
13. 比较下列各数大小：
（1）tan2与tan9；
（2）tan1与cot4.
14．求函数y=－2tan（3x+）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性.
15．若的最小值是－6，求实数a的值。
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】要使函数有意义，须，解之得。
2．【答案】B
【解析】正切型函数的最小正周期为。
3．【答案】C
【解析】由图象可知C正确。
4．【答案】C
【解析】 y=tan|x|为偶函数，故图象关于y轴对称。
5．【答案】B
【解析】，，又
所以，故B成立。
6．【答案】B
【解析】当时，，∴
7．【答案】C
【解析】 当时，，（k∈Z），（k∈Z）；k=0时，。
8．【答案】A
【解析】对于来说，题中三条均满足。
9．【答案】3π
【解析】这里，。
10．【答案】
11. 【答案】3
【解析】因为，解得，结合图象知有3个交点。
12. 【答案】
【解析】因为，解得：，单调增区间是 。
13．【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
（1）tan9=tan（－2π+9），
因为<2<－2π+9<π，
而y=tanx在（，π）内是增函数，
所以tan2即tan2（2）cot4=tan（－4）=tan（－4），
0<－4<1<，
而y=tanx在（0，）内是增函数，
所以tan（－4）即cot414．【解析】由3x+≠kπ+，得x≠（k∈Z），
∴所求的函数定义域为{x|x≠（k∈Z）}，值域为R，周期为，
它既不是奇函数，也不是偶函数.
kπ－≤3x+≤kπ+（k∈Z），
∴≤x≤（k∈Z）.
在区间［，］（k∈Z）上是单调减函数.
15．【解析】设t=tan x。
因为，所以t∈[－1，1]。
则原函数化为，
对称轴：。
①若，则当时，，所以a2=24（舍）；
②若，则a＜―2，则二次函数在[―1，1]上递增，所以，所以a=―7；
③若，即a＞2，则二次函数在[―1，1]递减，
所以ymin=1―a=―6，所以a=7。
综上所述，a=―7或a=7。幂函数及图象变换
编稿：丁会敏　　　审稿：王静伟
【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题．
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：的图象变换，
（1）平移变换
y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移
y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移
（2）对称变换
y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称
y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称
y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称
y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称
（3）翻折变换：
y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分
关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象
关于x轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知是幂函数，求、的值．
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．
由题意得解得
即为所求．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式1】已知幂函数的图象过点，则= ．
【答案】
【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．
【答案】⑥④③②⑦①⑤
【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象．
由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．
由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．
最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．
【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
举一反三：
【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为： ．
【答案】
【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（ ）
A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且
C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且
【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．
类型三、幂函数的性质
例3．有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：
（1）是奇函数；（2）是内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？
【答案】21；3
【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题．
由幂函数的性质知，在内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合、、，而幂函数小于零的构成集合，依题意得=15，=12, =18.又，,,所以,则=15+18-12=21，即共有幂函数21个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）．
【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质．
例4.比较下列各组数的大小.
(1) 与； (2)与，（3）和.
【答案】(1)>；(2)<；(3)< <．
【解析】(1) 由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴ .即.
（3），
【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例5. 讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况．
【解析】（1）当即或时，为常数函数；
（2）当，即或 时，此时函数为常数函数；
（3）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小；
（4）当即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（5）当即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（6）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小．
【总结升华】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论．
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:
(1) (2) (3) (4)
分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使， 即， 解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用
高清课程：幂函数及图象变换 例3
例6. 求出函数的单调区间，并比较与的大小．
【答案】在上是增函数，在上是减函数
【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．
在上找出点关于直线的对称点．
由，
．
【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内．
例7. 设m∈N*，已知函数在(0,+∞)上是增函数．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，或
解得：或
再由m∈N* ，，即．
（2）任取且，则
= …（*）
当，即时，
由于，，得（*）<0，即
故在上单调递增．
当，即时，得（*）>0，即
故在上单调递增．
综上，在上，．
举一反三：
【变式1】已知幂函数
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．
【答案】（1）定义域，单调递增；（2）．
【解析】解决此题的突破口就在于挖掘出隐含条件：为偶数．
（1），与中必定有一个为偶数，
为偶数，函数的定义域为，并且函数在其定义域上为增函数．
（2）函数经过点，，即，，即．
．
由，得解得．
故的值为1，满足条件的实数的取值范围为．
类型六：基本初等函数图象变换
例8．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).
【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可．
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得．
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称．
举一反三：
高清课程：幂函数及图象变换 例4（1）
【变式1】作出的图象．
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象．
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成．
第一步：作的图象甲．
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙．
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙．
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁．
向上平移2个单位
向左平移1个单位
PAGE【巩固练习】
1．函数y=1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是下列图象中的（ ）
2．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．方程的解的个数是( )
A. B. C. D.
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
5.在内，使成立的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．设函数，x∈R，对于以下三个结论：
①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，．
根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知k＜―4，则函数y=cos2x+k (cos x―1)的最小值是（ ）
A．1 B．―1 C．2k+1 D．―2k+1
8．若函数y=2cos x（0≤x≤2π）的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．2π D．4π
9．函数（a≠0）的定义域为________，值域为________．
10．函数的定义域是_________．
11．已知，且，则=________．
12．方程的根的个数为________．
13．作函数的图象．
14．若，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】先由y=sin x，x∈[0，2π]的图象，作出y=－sin x，x∈[0，2π]的图象，再画出y=1－sin x，x∈[0，π2]的图象．
2．【答案】A
【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数．
3．【答案】C
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个.
4．【答案】D
5. 【答案】C
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，观察：刚刚开始即时，；到了中间即时，；最后阶段即时，.
6．【答案】C
【解析】作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误．
7．【答案】A
【解析】 y=cos2x+k (cos x―1)=2cos2x+kcos x―(k+1)．令t=cos x（t∈[―1，1]），则y=2t2+kt―(k+1)，对称轴．∵k＜－4，∴，∴函数y=2t2+kt―(k+1)在[―1，1]内为单递减函数．当t=1，即cos x=1时，函数有最小值1．故选A．
8．【答案】D
【解析】 由右图可知，图S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1=S2，S3=S4，因此函数y=2cos x的图象与直线y=2所围成的图形面积可以等积地转化为求矩形OABC的面积．
∵|OA|=2，|OC|=2π，∴S矩形=2×2π=4π，故选D．
9．【答案】 R [－1，1]
【解析】由x∈R，知，反过来，．
10．【答案】（0，3]
【解析】由不等式求出．
11．【答案】
【解析】由，可得，∴．
12． 【答案】7
【解析】转化为求函数图象与y=sin x图象的交点个数，借助图形的直观性求解．如答图8，当x≥4π时，，当0＜x＜4π时，，从而x＞0时有3个交点．由对称性知x＜0时，有3个交点，加上x=0，一共有7个交点．
13．【解析】
由对称性易知，只需作出的图象，把轴下方的图象翻折到轴上方即可，其图象如下图所示：
14．【解析】由，，，，，，，，易知的周期T=8，所以．故
．同角三角函数基本关系
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: ，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。
【要点梳理】
要点一：同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：
(2)商数关系：
(3)倒数关系：，，
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)是的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形
1．平方关系式的变形：
，
2．商数关系式的变形
。
【典型例题】
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值
例1．若，且是第三象限角，求cos，tan的值。
【思路点拨】由求，可利用公式，同时要注意角所在的象限。
【答案】
【解析】 ∵，是第三象限，
∴，
。
【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限讨论。
举一反三：
【变式1】已知，求cos，tan的值。
【解析】因为，所以是第三或第四象限角。
由sin2+cos2=1得
。
当是第三象限角时，cos＜0，于是，
从而；
当是第四象限角时，cos＞0，于是，
从而。
类型二：利用同角关系求值
【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】
例2．已知：求：
（1）的值；（2）的值；
（3）的值；（4）及的值
【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
【答案】（1）（2）（3）0（4）或
【解析】（1）由已知
（2）
（3）
（4）由，解得或
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。
举一反三：
【变式1】已知，求下列各式的值：
（1）tan+cot；（2）sin3－cos3。
【解析】 由两边平方得。
（1）。
（2）
。
【高清课堂：同角三角函数关系公式 385948 例2】
例3．已知：，求：
（1）；
（2）；
（3）。
【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
=
==
【总结升华】已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tan=m的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2+b sincos+c cos2的值，注意将分母的1化为1=sin2+cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。
举一反三：
【变式1】已知，求下列各式的值.
(1)
(2)
【解析】
类型三：利用同角关系化简三角函数式
例4．化简：
（1）；
（2）若，化简。
【思路点拨】把根号下面的式子化成完全平方式，开方去掉根号。
【解析】 （1）原式
。
（2）∵，∴sin＜0，
∴原式
∵sin＜0，
∴原式。
【总结升华】解答此题目常用的方法有：
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。
（2）对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2+cos2=1，以降低函数次数，达到化简的目的。
举一反三：
【变式1】化简
（1）；
（2）；
【答案】（1）－1（2）
【解析】（1）原式=
（2）原式=
类型四：利用同角关系证明三角恒等式
例5．求证：（1）；
（2）。
【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之与式子的另一边相同。
【证明】（1）左边
=右边，
∴原等式成立。
（2）左边
=右边，
∴原等式成立。
【总结升华】（1）在三角式的化简中，常常“化切为弦”，以减少函数种类。
（2）三角恒等式的证明方法灵活多变，因题而异，要细心观察两边的差异，灵活运用所学知识，本题也可从右到左证明。
举一反三：
【变式】求证：.
【解析】证法一：由题意知，所以.
∴左边=右边.
∴原式成立.
证法二：由题意知，所以.
又∵，
∴.
证法三：由题意知，所以.
，
∴.指数与指数幂的运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质
(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；
(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；
(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.
2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；
3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；
4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质．
【要点梳理】
要点一、整数指数幂的概念及运算性质
1．整数指数幂的概念
2．运算法则
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
要点二、根式的概念和运算法则
1．n次方根的定义：
若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.
n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；
n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.
2．两个等式
（1）当且时，；
（2）
要点诠释：
①要注意上述等式在形式上的联系与区别；
②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
要点三、分数指数幂的概念和运算法则
为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：
要点四、有理数指数幂的运算
1．有理数指数幂的运算性质
(1)
(2)
(3)
当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.
要点诠释：
(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；
(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；
(3)幂指数不能随便约分.如.
2.指数幂的一般运算步骤
有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算.
【典型例题】
类型一、根式
例1.计算：（1）；
（2）.
【答案】
【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.
（1）
=+-
=
=||+||-||
=+-（）
=2
（2）
=
=
=
【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以.
举一反三：
【变式1】化简：（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）。
类型二、指数运算、化简、求值
例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。
（1）
（2）；
（3）；
（4）解法一：从里向外化为分数指数幂
==
=
=
=
解法二：从外向里化为分数指数幂。
=
==
=
=
【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。
举一反三：
■高清课程：指数与指数运算 例1
【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简
（1）；
【答案】（1）；（2）。
【变式2】把下列根式化成分数指数幂：
（1）；（2）；（3）；（4）。
【答案】；；；
【解析】（1）=；
（2）；
（3）；
（4）=
=。
例3.计算：
(1)；
(2)
(3)。
【答案】3；0；2
【解析】(1)原式=；
(2)原式=；
(3)原式=-5+6+4--(3-)=2；
【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂.
举一反三：
【变式1】计算下列各式：
(1)；　　(2).
【答案】(1)112 （2）
【解析】(1)原式=；
(2)原式.
例4.化简下列各式.
(1) ；　　(2)；　　(3).
【答案】；；0.09
【解析】(1)即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；(2)对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；(3)具体数字的运算，学会如何简化运算.
(1)
(2)
(3)
举一反三：
【变式1】化简
【答案】
【解析】应注意到之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解，
原式
.
【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.
【变式2】化简下列式子：
(1) (2) (3)
【答案】；；
【解析】(1)原式
(2)
∴由平方根的定义得：
(3)
.
■高清课程：指数与指数运算 例4
例5．已知，求的值。
【答案】
【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。
，，
，
=
=
【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。
举一反三：
【变式1】(1)已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.
(2)已知x+y=12， xy=9，且x【答案】；
【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3
(2)
又∵ x+y=12， xy=9， ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.
又 ∵ x【总结升华】(1)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式.
(2)一般不采用分别把x， y， 2x的值求出来代入求值的方法，应先将原式进行分母有理化，并用乘法公式变形，把2x+2-x，x+y及xy整体代入后再求值.
例6．已知，求的值
【答案】
【解析】先把化成，然后利用“整体代换”的方法去求值.
由，所以
=任意角和弧度制
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.
3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】
知识点一：任意角的概念
1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
要点诠释：
角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.
2.终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
要点诠释：
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
3．常用的象限角
角的终边所在位置 角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
知识点二：弧度制
1．弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)
3．弧长公式：(是圆心角的弧度数)，
扇形面积公式：.
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.
【典型例题】
类型一：角的概念的理解
例1．下列结论：
①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一角限；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。
其中正确的结论为________。
【思路点拨】比较锐角和第一象限角的关系，比较负角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论．
【答案】②
【解析】 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确。
②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确。
③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确。
④480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以④不正确。
⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确。
【总结升华】正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可。
举一反三：
【变式1】（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？
（2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数是多少？
【答案】（1）1110°（2）－1200° －100°
【解析】（1）终边按逆时针方向旋转三周，转过的角为360°×3=1080°，再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1110°。
（2）时针、分针都是顺时针方向旋转，故所转过的角度数为负值。3小时20分，分针转了周，故转过的角度数为－360°×=－1200°，时针转了周，故转过的角度数为－360°×=－100°。
类型二：终边相同的角的集合
例2．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。
【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案．
【答案】（1）―50°（2）670°
【解析】 （1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。
（2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。
【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。
举一反三：
【变式1】已知=－1910°。
（1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。
（2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。
【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470°
【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°，
∴－1910°=－6×360°+250°，
相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。
（2）令=250°+k·360°（k∈Z），
取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角；
250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。
类型三：角所在象限的研究
例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。
【思路点拨】因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°，把上式两边都乘以2、、，然后对进行讨论，就可得 ，，的终边所在的位置。
【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第三象限或第四象限的角
【解析】
因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。
（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。
（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。
（3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第三象限或第四象限的角。
【总结升华】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以n，根据k的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意。
举一反三：
【变式1】（1）已知是第三象限角，求是第几象限角；
（2）已知是第二象限角，求是第几象限角。
【答案】（1）第二或第四象限角（2）第一、第三或第四象限角
【解析】（1）由下图（左）可知是第二或第四象限角。
（2）由下图（右）可知是第一、第三或第四象限角。
类型四：弧度制与角度制的互化
例4．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成即可，注意。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）如下图①，以OB为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
（2）如上图②，以OB为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即，
而rad，∴所求集合为。
【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混用。
例5．（1）填空：①18°=______rad；②67°30′=______rad；③=______°；④2 rad=______°。
（2）已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________。
【答案】 （1）；；－405；114.6
（2），
【解析】（1）①18°=rad×18=rad；
②67°30′=67.5°=rad×67.5=rad；
③；
④。
（2）设两个角的弧度数分别为x，y，因为，
所以有，解得。
即所求两角的弧度数分别为，。
【点评 】 （1）进行角度与弧度换算时，要抓住关系：πrad=180°；
（2）度数×=弧度数，弧度数×=度数。
举一反三：
【变式1】下列转化结果错误的是（ ）
A．67°30′化成弧度是 B．化成度是―600°
C．―150°化成弧度是 D．化成度是15°
【答案】C
【变式2】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合：
(1) 与终边相同的角
(2) 终边在y轴正半轴上的角的集合
(3) 终边在y轴负半轴上的角的集合
(4) 终边在y轴上的角的集合
【答案】
（1），
（2），
（3），
（4），
类型五：扇形的弧长、面积与圆心角问题
【高清：任意角和弧度制 385946例6】
例6．已知弧长50cm的弧所对圆心角为200度，求这条弧所在的圆的半径（精确到1cm）。
【思路点拨】用弧长公式(是圆心角的弧度数)去求解。
【答案】15
【解析】
，
（cm）
【总结升华】弧度制下扇形的弧长公式、面积公式均得到简化，解决这类问题通常采用弧度制。
举一反三：
【变式1】一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数。
【答案】2 rad。
【解析】 由已知得。
所以（rad）。简单的三角恒等变换(基础)
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．
【要点梳理】
要点一：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
要点二：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
　【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：
【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中与之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明．
【证明】
方法一：
方法二：
【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】
．
例2．求证：（1）
(2)
【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令即可得证．
【证明】
（1） ①
又 ②
①+②得
结论得证．
（2） ①
又 ②
①+②得
令，则
结论得证．
【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．
举一反三：
【变式1】求证：
【证明】，
上面两式相加得：
令，则
结论得证．
【变式2】求证：．
【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x，2x凑成，的形式，注意到，，于是
【证明】右边
左边．
∴等式成立．
【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．
类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知，试化简．
【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式，于是利用此公式先化简．
【解析】原式，
∵，∴，∴，，
从而，，
∴原式．
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos2，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到，则，，设，则x＜0，则，又，故，从而．
举一反三：
【变式1】化简．
【解析】∵，∴cos＞0，则由二倍角公式得，
∴原式，又，∴，
从而．
即原式=．
类型三：利用公式进行三角函数式的求值
例4．已知，，求的值．
【解析】原式=
=
=
=
=
由得
【总结升华】求解三角函数式的值时，一般先化简所给三角函数式，寻求它与条件的联系，以便迅速找出解题思路．
举一反三：
【变式1】已知sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，且x，y为锐角，则sin(x＋y)的值是(　　)
A．1 B．－1
C. D.
【答案】A
【解析】∵sinx－siny＝－，cosx－cosy＝，两式相加得：sinx＋cosx＝siny＋cosy，
∴sin2x＝sin2y.又∵x、y均为锐角，
∴2x＝π－2y，∴x＋y＝，∴sin(x＋y)＝1.
【变式2】若，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
【答案】
【解析】∵，∴tanα＝2.
又tan(α－β)＝2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝－tan[(α－β)＋α]
＝
=
类型四：三角恒等变换的综合应用
例5．求函数；的值域
【思路点拨】设，则，然后把转化为关于的二次函数，利用配方法求的最值．
【解析】 设
又，，
又，
则
=
当时，
当时，
【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件．
举一反三：
【变式1】已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
【解析】（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，所以，所以．
因此，即的取值范围为．
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898正弦函数、余弦函数的性质
编稿：丁会敏 审稿：
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)。
【要点梳理】
要点 一：周期函数的定义
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
要点诠释：
1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数 正弦函数y＝sinx 余弦函数y=cosx
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期 最小正周期
单调区间k∈Z 增区间减区间 增区间减区间
最值点k∈Z 最大值点最小值点 最大值点最小值点
对称中心k∈Z
对称轴k∈Z
要点诠释：
（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域。
要点 三：正弦型函数和余弦型函数的性质。
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间。
（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性。对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数。
要点诠释：
判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。
（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为。
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为。同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出。
要点诠释：
若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心。
【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1．求函数的定义域；
【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得。
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示。
∴定义域为。
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围。
举一反三：
【变式1】求函数的定义域.
【解析】由(k∈Z).
又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.
故所求定义域为.
【变式2】已知的定义域为［0，1)，求的定义域.
【思路点拨】求函数的定义域：要使0≤cosx＜1，这里的cosx以它的值充当角.
【解析】0≤cosx＜1，且.
∴所求函数的定义域为.
例2．求下列函数的值域：
（1）y=|sin x|+sin x；
（2），；
（3）。
【解析】 （1）∵，
又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。
（2）∵，∴。
∴。∴，
∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。
（3）∵，
当cos x=－1时，，
∴函数的值域为。
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质。
举一反三：
【变式1】求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域。
【答案】
【解析】，
令t=sin x，因为，所以t∈[0，1]，
，t∈[0，1]，所以。
类型二：正弦函数、余弦函数的单调性
例3．求下列函数的单调递增区间：
（1）；（2）。
【思路点拨】（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。
【解析】（1）.
故由2kπ-≤-≤2kπ+.
3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间；
由2kπ+≤-≤2kπ+.
3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间.
∴递减区间为［3kπ-，3kπ+］，
递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z).
（2）由sin x＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）。
∵，∴函数的递增区间即为u=sin x的递减区间，
∴（k∈Z）。
故函数的递增区间为（k∈Z）。
【总结升华】（1）求函数的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。
（2）求单调区间应在定义域内求解。
举一反三：
【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间：
【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］，
减区间为［kπ-，kπ+］.
【变式2】三个数，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）。
（3）。
【解析】（1）∵x∈R，，
∴，
∴函数为偶函数。
（2）由1+sin x≠0，即sin x≠－1，∴（k∈Z），
∴原函数的定义域不关于原点对称，
∴既不是奇函数也不是偶函数。
（3）函数定义域为R。
，
∴函数为奇函数。
【总结升华】判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间。如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。
举一反三：
【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：
①对任意的，都是非奇非偶函数；
②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使是奇函数；
④对任意的，都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.
【思路点拨】
当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.
当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.
当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，
当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
类型四：正弦函数、余弦函数的对称性
【高清课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】
例5．指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为。
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）。
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）。
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）。
举一反三：
【变式1】若的图象关于直线对称，则a=________。
【答案】
【变式2】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称
B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称
D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
【答案】 D
【解析】 由题意知的图象关于对称，∴。
∴a=－b，。
∴。
∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称，故选D。
类型五：正弦函数、余弦函数的周期
例6．求下列函数的周期。
（1）；（2）。
【思路点拨】 对于（1），可直接利用公式；对于（2），应借助函数的周期及函数图象得到周期。
【答案】（1）（2）
【解析】 （1）∵ω=3，∴。
（2）∵函数的周期为π，而函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的周期为。
【总结升华】求函数周期的方法大致有三种：（1）函数或（A＞0，≠0，x∈R）的周期皆用公式：求解；（2）含绝对值符号的三角函数的周期可依据其图象得到，如函数的周期为，而函数的周期为π，与函数的周期相同；（3）利用周期函数的定义求函数周期。
举一反三：
【变式1】已知函数，使f (x)的周期在内，求正整数k .
【答案】
【解析】 ，
解得，所以
所以的取值为
类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用
例7．已知是定义在实数集上的函数，且对任意x都有。
（1）求证：是周期函数；
（2）若，试求的值。
【思路点拨】证明函数的周期性，一般都是用定义证明，即，就是周期。
【答案】（1）略（2）
【解析】 （1）证明：由已知，∴。
∴。
∴，即。
∴是以8为周期的函数。
（2）∵。
由，
∴。
【总结升华】（1）证明函数是周期函数：一可利用定义（x为定义域内任意值都成立），则常数T（T≠0）为的周期；二可利用函数的图象判断出函数的周期。
（2）周期函数的函数值是当自变量满足x1=nT+x2（n∈Z，T为周期），则。
举一反三：
【变式1】已知函数=，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.
【解析】由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，
所以的定义域为{x|x∈R且x≠，k∈Z}，
因为的定义域关于原点对称，
且==.
所以是偶函数.
又当x≠(k∈Z)时，
=.
所以的值域为{y|-1≤y<或1．若| |=4，||=6，与的夹角为45°，则·=（ ）
A．12 B． C． D．－12
2．已知⊥，||=2，||=3且向量3+2与k－互相垂直，则k的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．若=(1，1)，=2，，则=( )
A. B.5 C.1 D.
4．若=（2，3），=（―4，7），则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．设=（1，―2），=（―3，4），=（3，2），则（+2）·=（ ）
A．（―15，12） B．0 C．―3 D．―11
6．若=（，2），=（―3，5），且与的夹角是钝角，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
8.△ABC中，点O为BC的中点，过点O作直线分别交直线AB、AC于不同两点M、N，若，则m+n=(　　)
A.2 B.1 C.4 D.
9.设均为非零向量，则下面结论：
①； ②；
③； ④.
正确的是_________.
10．已知＜，＞=30°，||=2，，则向量和向量的数量积·=____。
11．已知，均为单位向量，＜，＞=60°，那么|+3|= .
12.已知与，要使最小，则实数的值为___________。
13. 已知平面向量=（1，x），=（2x+3，―x）（x∈R）。
（1）若⊥，求x的值；
（2）若∥，求|―|。
14.已知
(1)求与的夹角
(2)求 和
(3)若作三角形ABC，求的面积.
15.已知，且存在实数k和t，使得且，试求的最小值.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 。
2．【答案】B
【解析】 (3+2)·(k―)=3k||2―2||2+2k·―3·=3k·4－2×9=0，∴。
3. 【答案】A
4．【答案】C
【解析】在方向上的投影为，故选C。
5．【答案】C
【解析】 +2=（―5，6），∴（+2）·=―15+12=―3。
6．【答案】A
【解析】·=―3+10＜0，∴。
7．【答案】B
【解析】， ，所以
8．【答案】A
9．①，③
10．【答案】3
【解析】由题意知。
11. 【答案】
12. 【答案】
【解析】，当时即可
13．【解析】（1）若⊥，则·=（1，x）·（2x+3，―x）=1·（2x+3）+x（―x）=0。整理得―2x―3=0，解得x=―1或x=3。
（2）若∥，则有1·（―x）―x（2x+3）=0，即x（2x+4）=0。解得x=0或x=―2。当x=0时，=（1，0），=（3，0），所以；当x=―2时 ，=（1，―2），=（―1，2），所以。
14．【解析】① 解得： ，又
②
15．【解析】由题意可得 ，，
，故有
由 知：，
即
可得，故
即当t=-2时，有最小值为【巩固练习】
1．如果、是平面内所有向量的一组基底，那么（ ）
A．若实数1、2使1+2=0，则1=2=0
B．空间任一向量可以表示为=1+2，这里1、2是实数
C．对实数1、2，1+2不一定在平面内
D．对平面中的任一向量，使=1+2的实数1、2有无数对
2．已知向量=（1，2），=（x，1）且+2与2―平行，则x等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．若三点共线，则有（ ）
A． B． C． D．
4．已知基底、，实数满足，则的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝，＝，则＝ (　　)
A.＋ B. ＋ C. ＋ D. ＋
6．若，，，则等于（ ）
A．+ B．+ C．+(1+) D．
7．已知向量＝(6,4)，＝(0,2)，＝＋λ，若点C在函数y＝sinx的图像上，则实数λ的值为 (　　)
A.　　 B. C．－ D．－
8．如图，点P在∠AOB的对顶角区域MON内，且满足：，则实数对（x，y）可以是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，＝，＝，＝3，M为BC的中点，则＝________(用、表示)．
10．已知a＞0，若平面内三点A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a=________。
11．已知向量 ，在基底下，若，则实数 ，
=
12．已知=―+3，=4+2，=―3+12，若用与表示，则应有=________。
13．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，AD=4，BC=6，AB=2，设与同向的单位向量为a0，与同向的单位向量为，以，为基底表示下列向量：，，，，。
14．已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（―2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（―1，―2），求平行四边形的各个顶点的坐标。
15．已知O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及
求：(1)t为何值时，P在X轴上？P在y轴上？P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 平面内任一向量都可写面与的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量1+2一定在平面内；而对平面中的任一向量，实数1、2是唯一的。
2．【答案】C
【解析】 +2=（1+2x，4），2―=（2―x，3），∴.
3. 【答案】C
【解析】
4．【答案】A
5．【答案】B
【解析】如图所示，＝＋＝a＋
＝＋(－)
＝＋.
6．【答案】D
【解析】 ∵，，
又，∴，
∴。
7．【答案】D
【解析】，∴点C(6,4＋2λ)，∵点C在y＝sinx上．
∴4＋2λ＝sin×6＝1，∴λ＝－.
8．【答案】 C
【解析】在题图中，作PF∥ON交OM于点F，PE∥OM交ON于点E，得平行四边形OEPF，则，易知，与反向，与反向，所以在中，应有x＜0，y＜0。
9．【答案】
【解析】由，得=，，所以
=
10．【答案】
【解析】A、B、C三点共线，共线，，，
∴a3+a=2(a2+a) a(a2+1)=2a(a+1)，
∴a2―2a―1=0，∴（a＞0）。
11．【答案】
【解析】因为，则 ，所以
12．【答案】
【解析】设，则
，故。
∴，解得，故。
13．【解析】因为，且与同向的单位向量为a0，所以，同理。
则。
又，且，所以，，
。
注意到AD∥BC，所以OA∶OC=AD∶BC=2∶3，
所以。
14．【解析】设其余三个顶点的坐标分别为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3），
因为M是AB的中点，所以，，
解得x1=8，y1=―1，
设MN的中点O＇（x0，y0），则，，而O＇既是AC的中点，又是BD的中点，
所以，，
即，，
解得x2=4，y2=―3，
同理解得x3=―6，y3=―1，
所以B（8，―1），C（4，―3），D（―6，―1）。
15．【解析】(1) ，若P在x轴上，则2+3t=0，；
若P在y轴上，只需1+3t=0，；
若P在第二象限，则.
(2)因为若OABP为平行四边形，则
无解，所以四边形OABP不能成为平行四边形.【巩固练习】
1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（　　 ）
A．α一定是锐角 　　　　　　　　　B．0≤α＜2π
C．α一定是正角 　　　　　　　　　D．α是使公式有意义的任意角
2．已知，，则下列不等式关系中必定成立的是（ ）
A．sin＜0，cos＞0 B．sin＞0，cos＜0
C．sin＞0，cos＞0 D．sin＜0，cos＜0
3．的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．若，则cos的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在直角坐标系，若与的终边关于y轴对称，则下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．sin·cos·tan的值是（ ）
A．－ B． C．－ D．
8．等于（ ）
A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2） D．sin2+cos2
9．tan2010°的值为 ．
10．已知，且是第四象限的角，则的值是 ．
11．sin315°―cos135°+2sin570°的值是________。
12．已知，则，则________。
13. 若，求tan的值。
14．已知，
求的值。
15．在△ABC中，若，，求△ABC的三个内角。
【答案与解析】
1．【答案】D
2．【答案】B
【解析】，∴，，∴。
3．【答案】C
【解析】
4．【答案】B
【解析】
5．【答案】D
【解析】，∴，。
6．【答案】C
【解析】（k∈Z），∴，对于C，成立。
7．【答案】C
【解析】原式===
8．【答案】A
【解析】原式=
9．【答案】
【解析】
10．【答案】
【解析】因为，又，且是第四象限的角，则
11．【答案】―1
【解析】原式=sin(360°―45°)―cos(180°―45°)+2sin(360°+210°)=―sin45°+cos45°+2sin210°=―2sin30°=―1。
12．【答案】
【解析】由，∴，，∴。
13．【解析】原式，
所以，则，所以。
14．【解析】由，
得，
所以，
故
。
15．【解析】由已知得，，两式平方相加得2cos2A=1，∴，若，则，此时A、B均为钝角，不符合题意。
∴，∴，
∴，，。幂函数及图象变换
编稿：丁会敏　　　审稿：王静伟
【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题。
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.
要点诠释：
幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.
要点二、幂函数的图象及性质
1.作出下列函数的图象：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．
要点诠释：
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；
(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2.作幂函数图象的步骤如下:
(1)先作出第一象限内的图象；
(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成；
若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性
如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；
如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.
3.幂函数解析式的确定
(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．
(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．
(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即．
4.幂函数值大小的比较
(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．
(3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．
如：的图象变换，
（1）平移变换
y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（）、右（）平移
y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（）、下（）平移
（2）对称变换
y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称
y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称
y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称
y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称
（3）翻折变换：
y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分
关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象
关于x轴对称
要点诠释：
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。
（2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知是幂函数，求、的值．
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．
由题意得解得
即为所求．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式一】判断下列函数有哪些是幂函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
答案：（4）、（5）是幂函数．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．
【答案】⑥④③②⑦①⑤
【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象．
由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．
由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．
最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．
【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
举一反三：
【变式1】已知幂函数的图象如图所示，则（ ）
A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且
C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且
【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．
【变式2】函数的图象是（ ）
【答案】B
【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断．
取，则，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．
类型三、幂函数的性质
例3.比较下列各组数的大小.
(1)与； (2)与.
【答案】（1）；（2）。
【解析】(1)由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴ .即.
【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例4. 讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况。
【解析】（1）当即或时，为常数函数；
（2）当，即或 时，此时函数为常数函数；
（3）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小；
（4）当即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（5）当即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（6）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小。
【总结升华】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论。
举一反三：
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:
(1) (2) (3) (4)
分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使， 即， 解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用
例5. 求出函数的单调区间，并比较与的大小。
【答案】在上是增函数，在上是减函数
【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数。
在上找出点关于直线的对称点。
由，
。
【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型。解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题。当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内。
举一反三：
【变式1】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性．
【答案】，奇函数，在上单调递增
【解析】（1）是正偶数，
是正奇数．
函数的定义域为．
（2）是正奇数，
，且定义域关于原点对称．
是上的奇函数．
（3），且是正奇数，
函数在上单调递增．
类型六、基本初等函数图象变换
例6．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).
【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可。
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得。
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称。
举一反三：
高清课程：幂函数及图象变换 例4（1）
【变式1】作出的图象。
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象。
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成。
第一步：作的图象甲。
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙。
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙。
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁。
向上平移2个单位
向左平移1个单位
PAGE【巩固练习】
1．下列说法中正确的有（ ）．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量与向量平行，则、方向相同或相反；③若向量、满足，且与同向，则；④若=，则，的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
3．若且，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
4．若是任一非零向量，是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．
A．＞ B．∥ C．＞0 D．
5．如图，点D是正六边形ABCDEF的中心，则以A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2个 B．3个 C．6个 D．7个
6．正多边形有n条边，它们对应的向量依次为，，…，，则这n个向量（ ）．
A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等
7．下列说法中，正确的是（ ）．
A．若＞，则＞ B．若=，则=
C．若=，则∥ D．若≠，则与不是共线向量
8．下列命题正确的是(　　)
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，，则__________．
10．已知四边形ABCD中，，且，则四边形ABCD的形状是________．
11．若某人从点出发向东走3至点，从点向北走至点C，则点C相对于点的位置向量为 。
12．一艘船以5的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．如图所示，已知□ABCD，□AOBE，□ACFB，□ACGD，□ACDH，点O是 ABCD的对角线交点，且＝，＝，＝.
(1)写出图中与相等的向量；
(2)写出图中与相等的向量；
(3)写出图中与相等的向量．
14．若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：．
15．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行l 000应km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】 ①错误．把共线向量与平面几何中的共线“混淆”．
②错误．忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定．
③错误．把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小．
④错误．由=，只能说明、的长度相等，确定不了方向．
⑤错误．不清楚零向量的概念．规定零向量与任一向量平行．故选A．
2．【答案】D
【解析】 所有的向量的终点均在半径为1的圆上．
3．【答案】C
【解析】　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵，∴四边形为菱形．
4．【答案】C
【解析】 非零向量模长一定大于零．
5．【答案】D
【解析】 共线向量有：，，，，，，7个．
6．【答案】D
【解析】 由于正多边形的n条边都相等．
7．【答案】C
【解析】 向量不能比大小，故A错；模相等但方向不同的向量不相等，故B错；不相等的向量可以共线．故D错．
8．【答案】D
【解析】　当时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
在 ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，∴，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
9．【答案】
【解析】 ，∴．
10．【答案】等腰梯形
【解析】 由可知AB∥DC且，又．前者可知为梯形，后者知腰相等．
11．【答案】“东偏北60°，6km”或“北偏东30°，6km”
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】　(1)在□OAEB中，＝＝；在□ABCD中，＝＝，所以＝＝.
(2)在□ABCD中，＝＝；在□AOBE中，＝＝，所以＝＝.
(3)在□ABCD中，＝＝；在□ACGD中，＝＝，所以＝＝.
14．【解析】如图所示，连接AC，在△DAC中，
∵N、M分别是AD、CD的中点，
∴，且与的方向相同．同理可得且与的方向相同，故有，且与的方向相同，∴．
15．【解析】如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形．
∴AC=2000 km．
又∵∠ACD=45°，．
∴△ACD为等腰直角三角形，即km，∠CAD=45°．
答：丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km．【巩固练习】
1.在下列各组角中，终边不相同的一组是( )
A.与 B.与 C.与 D.与
2.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A. B. C. D.
3．函数是上的偶函数，则的值是（ ）
A． B． C. D.
4．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）
A． B．
C. D.
5．若点在第一象限,则在内的取值范围是（ ）
A． B.
C. D.
6．若则（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
8．在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．计算：=
10．若函数的最小正周期满足,则自然数的值为 .
11．函数的定义域为___________________．
12．若在区间上的最大值是，则=________．
13．化简：
14．已知，求的值．
15．已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求在上的取值范围．
【答案与解析】
1. 【答案】C
2. 【答案】A
【解析】作出图形得
3. 【答案】C
【解析】当时，，而是偶函数
4. 【答案】C
【解析】
5. 【答案】B
【解析】
6. 【答案】D
【解析】
7. 【答案】D
【解析】
8. 【答案】C
【解析】由的图象知，它是非周期函数
9. 【答案】
10. 【答案】
【解析】
11. 【答案】
12. 【答案】
【解析】
13．【解析】原式
14．【解析】
15．【解析】（1）函数的最小正周期为，
（2）
当，即时，
当，即时，
所以．集合与函数综合
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.集合
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（3）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（4）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.函数
(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.
(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；集合具体函数了解奇偶性的含义；
（5）能运用函数的图象理解和研究函数的性质.
【知识网络】
【要点梳理】
一、集合
1．集合含义与表示
（1）某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．其中每个对象叫做元素．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性．
（2）集合常用的表示方法有：列举法、描述法、图示法．它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法．
2．集合间的关系
（1）若集合中A的任何元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记为“AB”或“BA”．
（2）若AB，且B中至少存在一个元素不是A的元素，则A是B的真子集，记为“AB”或“BA”．
（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”．判断集合相等还可以用下面两种方法：且A=B；．
要点诠释：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集．
3．集合的基本运算
（1）由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的并集，记作“A∪B”．用数学语言表示为A∪B={x|x∈A，且x∈B}．
（2）由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，叫A与B的交集，记作“A∩B”．用数学语言表示为A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
（3）若已知全集U，A是U的子集，则由所有U中不属于A的元素构成的集合称为集合A在U中的补集．记作“”．用数学语言表示为．
要点诠释：
；．
二、函数及其表示
1．两个函数相等的条件
用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
三、函数的性质
1．函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．
（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
2．函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．
【典型例题】
类型一：集合的关系及运算
例1．已知全集U=R，集合M={x|－2≤x－1≤2}和N={x|x=2k－1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
【答案】B
【解析】 ∵阴影部分为M∩N={x|－2≤x－1≤2}∩{x|x=2k―1，k=1，2，…}={x|―1≤x≤3}∩{x|x=2k－1，k=1，2，…}={1，3}，∴阴影部分所示的集合的元素区有2个，故选B项．
【总结升华】具体集合（给出或可以求得元素的集合）的交、并、补运算，以及集合间关系的判定、子集的个数问题是每年高考重点考查的对象，因而也是高考命题的热点．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492例4】
【变式1】设全集为，，，
求及．
【答案】=；=.
例2．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；②若，则≤l≤1；③，则．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，对于②，则，对于③若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【答案】D
【解析】 若m=1，则x=x2，可得x=1或x=0（舍去），则S={1}，因此命题①正确；若，当时，，故，当时，，则，可得或（舍去），故，∴，因此命题②正确；若，则，得，因此命题③正确．
类型二：映射
例3．设集合，f是A到B的映射，并满足．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
于是，解得或，
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
由②可得y=x―b，代入①得x2―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b2―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b2－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B中元素满足b2=4a时，它在A中有且只有一个原象．
【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
【解析】 由已知可得M=N，故，a、b是方程x2－4x+2=0的两根，故a+b=4．
类型三：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例4．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】 定义在R上的偶函数f (x)，对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题知，为偶函数，故，又知x∈[0，+∞）时，为减函数，且3＞2＞1，∴，即．故选A．
例5．设偶函数满足，则（ ）
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
【答案】 B
【解析】 当x＜0时，－x＞0，
∴，
又是偶函数，
∴，
∴，
∴，
或．
解得x＞4或x＜0，故选B．
例6．设函数的定义域为，若所有点 构成一个正方形区域，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x的不等式ax2+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x1，x2]（x1＜x2），且，，的最大值是．依题意，当s∈[x1，x2]的取值一定时，取遍中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x1，x2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有，．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使有意义，则，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
例7．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又．
而，∴4≤y2≤8．
又y＞0，∴．∴，m=2．
∴．故选C项．
举一反三：
【变式1】（1）函数（x∈R）的值域是________．
【答案】[0，1）
【解析】（1）注意到x2≥0，故可以先解出x2，再利用函数的有界性求出函数值域．由，得，∴，解之得0≤y＜1．故填[0，1）．
例8．设函数．
（1）画出函数的图象；
（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．
【解析】 （1）由于，则函数的图象如图所示．
（2）由函数与函数y=ax的图象可知，当且仅当或a＜―2时，函数与函数y=ax的图象有交点．故不等式的解集非空时，a的取值范围为．
举一反三：
【变式1】 直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 如图，作出y=x2－|x|+a的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足，解得．
例9. 已知函数（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．
【思路点拨】（1）对进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可。（2）由题意知，任取2≤x1＜x2，则有恒成立，即可得的取值范围。
【解析】 （1）当a=0时，，对任意x∈（－∞，0）∪（0，+∞），，∴为偶函数．
当a≠0时，（a≠0，x≠0），
取x=±1，得，
∴，，
∴函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设2≤x1＜x2，
，要使函数在x∈[2，+∞）上为增函数，必须恒成立．
∵x1－x2＜0，x1 x2＞4，即a＜x1 x2 (x1+ x2)恒成立．
又∵x1+ x2＞4，∴x1x2(x1+ x2)＞16．
∴a的取值范围是（－∞，16]．
解法二：当a=0时，，显然在[2，+∞）上为增函数．
当a＜0时，反比例函数在[2，+∞）上为增函数，
∴在[2，+∞）上为增函数．
当a＞0时，同解法一．
【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】
【变式1】已知函数，且f（1）=1．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【解析】（1），，定义域为：．
（2）在（0，+∞）上任取，则
=
所以函数在上单调递增．【巩固练习】
1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有( )
A．函数先增后减
B．函数先减后增
C．函数是上的增函数
D．函数是上的减函数
2．在区间上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
3．函数的一个单调递减区间可以是（ ）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．函数的值域为( )
A． B．
C． D．
6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7．函数的单调区间是____________________.
8．函数的值域是____________.
9．若函数在上是减函数，是增函数，则 .
10．已知一次函数在上是在增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是 .
11．已知函数是上的减函数，且的最小值为正数，则的解析式可以为 .（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形）
12．设，判断函数的单调性，并写出单调区间.
13．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.
14．已知函数.
① 当时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
【答案与解析】
1. 【答案】C.
【解析】由知，当时，，当时，，所以在上单调递增，故选C.
2. 【答案】B.
【解析】,故选B．
3. 【答案】C.
【解析】函数，图象开口向下，对称轴是，故选C.
4. 【答案】D.
【解析】 函数的对称轴是，依题意，，解得．
5. 【答案】B.
【解析】 ，是的减函数，当
6. 【答案】A.
【解析】 由于，且函数图象的对称轴为所以函数在上单调递减.因为，从而.
7．【答案】
【解析】 函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到的，故把的单调区间向右平移1个单位即可．
8. 【答案】
【解析】 是的增函数，当时，.
9. 【答案】-4
【解析】依题意函数的对称轴是，所以.
10. 【答案】
【解析】 依题意 ，解得.
11. 【答案】答案不唯一，如等.
12．【答案】
【解析】当时，此函数为上的增函数；
当时，函数（即为）为常数函数，不具有单调性；
当时，此函数为上的减函数．
13．【解析】，则，
14．【解析】对称轴
∴
(2)对称轴当或时，在上单调
∴或.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(基础)
【学习目标】
1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.
【要点梳理】
要点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
(3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
；
(4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证；
(5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反.
要点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角；
(2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
(4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则.
(5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同.
要点三：两角和与差的正切函数
利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角关系式推导.
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：；
(2)公式的变形：
(3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.
(4)公式对分配律不成立，即.
要点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．
2．重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：
；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．
要点五：辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
【典型例题】
类型一：两角和与差的三角函数公式的正用
例1．已知，，，是第三象限角，求、、的值．
【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的余弦、正弦公式求值．
【解析】 由，得
，
又由，为第三象限角得
，
∴
．
=
=
=
=
【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦或余弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的余弦公式中，求出和角或差角的余弦．
举一反三：
【变式1】已知，是第二象限角，求、、和的值．
【解析】由，是第二象限角，得
所以=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
例2．（1）求的值；
（2）已知求的值．
【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角之间有关系．（2）．
【解析】
（1）
=
(2),
又
=
=
【总结升华】此类题目重在考察所给已知角与所求角之间的运算关系，主要是指看两角之间的和、差、倍的关系，如，等，找到它们的关系可以简化运算，同时在求三角函数值时应关注函数值的符号．
举一反三：
【高清课堂：两角和与差的三角公式401863 例6 】
【变式1】已知与均为锐角，，，求
【解析】由
由
故
类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用
例3．计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形．
【解析】 （1）
=
=
= =.
（2）．
（3）∵
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17tan28)=1 tan17tan28
　∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式的变形应予以灵活运用．
举一反三：
【变式1】求下列各式的值：
（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；
（2）sin xsin(x+y)+cos xcos(x+y)．
（3）
【解析】（1）原式=cos(15°―105°)=cos(―90°)=0；
（2）原式=cos[x―(x+y)]=cos(―y)=cosy．
（3）原式=
【高清课堂：两角和与差的三角公式401863 例3 】
【变式2】求值：
【解析】原式==
类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例4．在非直角△ABC中，
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）若2B=A+C，且，求△ABC的三内角的大小．
【思路点拨】注意三角形内角和这一隐含条件的运用．
【解析】 （1）证明：∵A+B+C=180°，∴tan（A+B）=－tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tan(A+B)·(1―tanAtanB)+tanC=―tanC(1―tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC．
（2）∵2B=A+C，A+B+C=180°，∴B=60°，∴A+C=120°，
，
又∵，
∴，或，∴，或．
【总结升华】本题主要考查两角和正切公式的应用．三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经何种形式联系起来（如本题中A+B+C=π）；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
举一反三：
【变式1】在△ABC中，，，求cosC．
【证明】∵，∴且．
∵，∴．
又，若，则与A+B+C=π矛盾，
∴．因此，且．
从而
．
类型四：辅助角公式的应用
例5．将下列各式化成的形式．
（1）sin x+cos x；
（2）；
（3）．
【思路点拨】形如sin x+cos x、sin x-cos x，等，化成一个角的三角函数的方法：一般是逆用和差角公式，引入辅助角来处理．处理过程如下．
【解析】 （1）
．
（2）
．
（3）
．
【总结升华】 运用哪个辅助角是可以选择的，如，也可以化为：
．
举一反三：
【变式1】求函数的最值、周期
．
∴，，周期T=2π．
【变式2】已知函数
（1）求取最大值时相应的的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.
【解析】
（1）当，即时，取得最大值
为所求
（2）
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898对数及对数运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；
2.了解常用对数与自然对数的意义；
3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；
4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
要点诠释：
对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR.
2.对数具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即；
(2)1的对数为0，即；
(3)底的对数等于1，即.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.
由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
推广：
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
loga.
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有:
(1)
令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:.
(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有
即， 即，即
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:
.
【典型例题】
类型一、对数的概念
例1.求下列各式中的取值范围：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）且
【解析】（1）由题意，，即为所求．
（2）由题意
即．
（3）由题意
解得且．
【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．
举一反三：
【变式1】函数的定义域为 ．
【答案】
类型二、指数式与对数式互化及其应用
例2.将下列指数式与对数式互化：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.
举一反三：
【变式1】求下列各式中x的值：
(1) (2) (3)lg1000=x (4)
【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
(1)；
(2)；
(3)10x=1000=103，于是x=3；
(4)由.
高清课程：对数及对数运算 例1
【变式2】计算：并比较．
【解析】
．
类型三、利用对数恒等式化简求值
例3．求值：
【答案】35
【解析】.
【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.
举一反三：
【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)
【答案】
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
.
类型四、积、商、幂的对数
高清课程：对数及对数运算例3
例4. 表示下列各式
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）=．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式1】求值
(1) 　　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
【解析】(1)
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
类型五、换底公式的运用
例5.已知，求．
【答案】
【解析】
解法一：，，
于是．
解法二：，，
于是
解法三：，，
．
解法四：，
又．
令，则，
即
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用．
举一反三：
【变式1】求值：(1)；(2)；(3).
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】(1)
；
(2)；
(3)法一：
法二：.
类型六、对数运算法则的应用
例6.求值
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13
【解析】(1)原式=
(2) 原式=
=
(3)原式=
(4)原式
举一反三：
【变式1】计算下列各式的值
（1）；（2）．
【答案】（1）3；（2）1．
【解析】（1）原式==2=2+1=3；
（2）原式=+=
=．
【变式2】求值：
【答案】2
【解析】
另解：设 =m (m>0).∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ lg2=lgm， ∴ 2=m，即.正弦函数、余弦函数的图象
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；
2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象。
【要点梳理】
要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。
2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象。
3．五点法
先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
要点诠释：
（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。
（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象。
（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到。
要点二：正弦曲线、余弦曲线
（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。
（2）图象
要点诠释：
（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数。
要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。
【典型例题】
类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象
例1．用五点法作出下列函数的图象。
（1），；
（2），。
【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）。（2）取上五个关键的点。
【解析】 （1）找出五点，列表如下：
x 0
0 1 0 －1 0
y=2－u 2 1 2 3 2
描点作图（如下图）。
（2）找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u 1 0 －1 0 1
描点作图（如下图）。
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的。
举一反三：
【变式1】用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y=－sin x（0≤x≤2π）；（2）y=1+cos x（0≤x≤2π）
【解析】
（1）列表：
x 0
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点作图，如图（1）：
（2）列表：
x 0
cos x 1 0 －1 0 1
1+cos x 2 1 0 1 2
描点作图，如图（2）。
类型二：利用图象变换作出函数的图象
例2．（1）作函数的图象；
（2）作函数的图象。
【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象。
（2）函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，因此作出函数的图象后，要把x=kπ（k∈Z）对应的点去掉。
【解析】 （1）将化为，其图象如下图。
（2）当，即x≠kπ（k∈Z）时，有，即（x≠kπ，k∈Z）。其图象如下图。
【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。
举一反三：
【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：。
【解析】 先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图。
类型三：利用函数图象解简单的三角不等式
例3．画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出：
（1）时x的集合；
（2）时x的集合。
【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。
【解析】
（1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。
（2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为
或
。
【总结升华】利用三角函数的图象或三角函数线，都可解简单的不等式，但需注意解的完整性，此外数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化为形象直观的图象，平时解题时要灵活运用。
举一反三：
【变式1】已知，解不等式。
【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是。
类型四：三角函数图象的应用
例4．（1）方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）若，则与3的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．与的取值有关
【思路点拨】（1）作出的函数图象，观察图象交点个数。（2）作出与的函数图象，利用数形结合可得。
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1） 作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点。如下图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解。
（2）作图（如下图），观察函数，在内的图象可知与的大小关系与的取值有关。
举一反三：
高清课堂：正、余弦函数的图象 394835 例3
【变式1】下列各式中正确的为( )
A. B.
C. D.
【答案】D【巩固练习】
1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
2．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（ ）
A．―2 B． C．―1 D．
3．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C． 菱形 D．等腰梯形
4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状状，已知，成60°角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6 B．2 C． D．
5．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，20km/h B．北偏西，20km/h
C．北偏东，20km/h D．北偏东，20km/h
6．已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C． 等腰非等边三角形 D．等边三角形
7．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．垂心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
8.已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|-t|≥|-|，则( )
A.⊥ B.⊥(-) 　　 C.⊥(-) 　　D.(＋)⊥(-)
9．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=________，y=________。
10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：
①；②；
③；④
其中正确的序号是________。（写出所有正确的序号）
11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h。
12．夹角为的两个力和作用于同一点，且，则和的合力的大小为
，与的夹角为 。
13．已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）。试求：
（1）力F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力对质点所做的功。
14．如图，边长为2的正方形OABC的顶点O在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF。
（1）求证：CD⊥EF；
（2）当OD=OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程。
15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量，又点
(1)若且，求向量；
(2)若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求.
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】由向量的三角形法则得：，，，上面三式相加得：。
2．【答案】D
【解析】 ∵·=0，且，，均为单位向量，、、
∴，||=1。
∴(―)·(―)= ·―(+)·+2。
设+与的夹角为，
则。
故(―)·(―)的最小值为。
3. 【答案】B
4．【答案】D
【解析】，∴，∴。
5．【答案】A
6. 【答案】D
【解析】设, ,则| |+| |=1。
由已知（+）
，
B=C
又由已知·=
| |·| |，，又
，为等边三角形。
7．【答案】C
【解析】 如图，∵，∴。
依向量加法的平行四边形法则，知，故N为重心。
∵，∴，
同理，，∴点P为△ABC的垂心。
由，知O为△ABC的外心。
8. 【答案】C
【解析】已知向量≠，||=1，对任意t∈R，恒有|-t|≥|-|
即 |-t|2≥|-|2 ∴
即
9．【答案】
【解析】 作DF⊥AB交AB的延长线于点F，设AB=AC=1，则，
∵∠DEB=60°，∴，
又∠DBF=180°―45°―90°=45°，
∴，
故，。
10．【答案】①②④
【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；
对于③，；
对于④，且，设，，
。即，。
11．【答案】
【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴
12．【答案】
13．【解析】（1），从而W1=F1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W2=F2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3。
（2）W=（F1+F2）·s=F1·s+F2·s=W1+W2=―102。
14．（1）【证明】根据题意，，
设，则，，，
，
因为，
所以，因此CD⊥EF。
（2）解：当OD=OC时，即，
∴，，即，
所以可设直线方程为，
又直线经过点C（0，2）。
所以直线的方程为。
15．【解析】
又，得.
或
与向量共线，
，当时，取最大值为
由，得，此时
.【巩固练习】
1．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
3．已知函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A.是周期函数为的奇函数 B. 是周期为2的偶函数
C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数
4．已知函数的图象关于直线对称，则可能是（ ）
A. B. C. D.
5．函数在区间上的简图是（ ） ．
6．设是定义域为，最小正周期为的函数，若
则等于（ ）
A. B. C. D.
7．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.设0A.sin(sinx)C.sin(tanx)9．函数的定义域为，则函数的定义域为__________________.
10．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________．
11．函数的定义域为________________．
12．如图所示，一个半径为3m的圆形水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟绕圆心O逆时针旋转3圈．若点P从如图位置开始旋转（OP平行于水面），那么5s后点P到水面的距离为 m，试进一步写出点P到水面的距离与时间满足的函数关系式 ．
13．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）
14．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b (ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示：
(1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
15．是否存在角，其中，，使得等式
同时成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
16．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】
2. 【答案】C
【解析】 在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个.
3．【答案】B
4. 【答案】C
【解析】对称轴经过最高点或最低点，
5．【答案】A
6. 【答案】B
【解析】
7．【答案】 B
【解析】令，则，对称轴，
是函数的递增区间，当时；
8. 【答案】A
【解析】当09. 【答案】
【解析】
10. 【答案】
【解析】令则是函数的关于
原点对称的递增区间中范围最大的，即，
则
11．【答案】
【解析】
12. 【答案】
【解析】每秒点P转过的角度为；秒后，P转过的角度为．
以水轮中心为原点，以水平方向为轴建立坐标系，所以水轮上任意一点P，其中为从水平位置逆时针转过的角度，即P，所以P到水面的距离．
13．【解析】由已知得
（1）=
（2）原式=
=
=
=．
14．【解析】　(1)由图象可知，函数的最大值M=3，
最小值m=-1，则A=
又，
∴，∴f(x)=2sin(2x+φ)+1，
将x=，y=3代入上式，得，
∴，k∈Z，
即φ=+2kπ，k∈Z，∴φ=，
∴f(x)=2sin+1.
(2)由2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，
∴f(x)=2sin+1的对称轴方程为
kπ，k∈Z.
15．【解析】假设满足题设要求的存在，则满足
（1）2+（2）2，得
即，
，或
（1）当时，由（2）得，
，
（2）当时，由（2）得，，但不适合（1）式，故舍去．
综上可知，存在使两个等式同时成立．
16．【解析】由，得因为，所以．
又的图象关于点对称，所以，即，
结合，可得，
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是减函数；
当时，，在上不是单调函数；
所以，综上得或．巩固练习
一、选择题
1．下列四个集合中，是空集的是( )
A． B．
C． D．
2．集合可化简为（ ）
A． B． C． D．
3．集合 用描述法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5． 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．设为实数，．记集合．若||、分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、填空题
7．用符号“”或“”填空
(1)-3______， ______， ______；
(2)(是个无理数).
8. 方程组用列举法表示为 .
9．设，则集合中所有元素之积为 .
10．由所确定的实数集合是 .
11．用描述法表示的集合可化简为 .
12．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.
三、解答题
13．已知集合，试用列举法表示集合.
14．分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）大于且小于6的整数所组成的集合；
（2）方程的实数根所组成的集合.
15．已知集合={x|，}.
（1）若中只有一个元素，实数的取值范围.
（2）若中至少有一个元素，实数的取值范围.
（3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围.
16．设集合.
求证：（1）一切奇数属于集合；
（2）偶数不属于；
（3）属于的两个整数，其乘积仍属于.
答案与解析：
一、选择题
1.D 选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.
2. B 解方程得，因为，故选B.
3. C 集合A表示所有的正奇数，故C正确.
4.D 元素的互异性.
5. D ，故选D.
6．D 当时，且；当时，且；当时且（比如）时，且 ，故只有D不可能.
二、填空题
7. .
8. 加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.
9. ，，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为.
10. 对分类讨论可得.
11. ，，.
12．6 若，因为1不是孤立元，所以.设另一元素为，假设，此时，，且，不合题意，故.据此分析满足条件的集合为，共有6个.
三、解答题
13.解：由题意可知是的正约数，当；当；
当；当；而，∴，即 .
14.解：（1）
（2） .
15. 解：（1）若时，则，解得，此时.
若时，则
或时，中只有一个元素.
（2）①中只有一个元素时，同上或.
②中有两个元素时，，解得且.综上.
（3）①时，原方程为，得符合题意；
②时，方程为一元二次方程，依题意，解得.
综上，实数的取值范围是或.
16．证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，.由的任意性知，一切奇数属于.
（2）首先我们证明如下命题：
设：，则与具有相同的奇偶性.
以下用反证法证明.
假设，则存在，使得.若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾.
综上所述，形如的偶数不属于.
（3）设，则存在，使得.
=
=，
又因为，均为整数，
.
PAGE平面向量的线性运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量.
2．能结合图形进行向量的计算．
3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算．
4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算．
5．掌握向量共线的条件．
【要点梳理】
要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
已知向量，在平面内任取一点A，作，再作向量，则向量叫做与的和，记作，即．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2．向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线向量，作，则三点不共线，以为邻边作平行四边形，则对角线．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量，我们规定．
要点诠释：
两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1.向量求和的多边形法则的概念
已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
特别地，当与重合，即一个图形为封闭图形时，有
2．向量加法的运算律
（1）交换律：；
（2）结合律：
要点三：向量的三角形不等式
由向量的三角形法则，可以得到
(1)当不共线时，；
(2)当同向且共线时，同向，则；
(3) 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，．
要点四：向量的减法
1．向量的减法
（1）如果，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量．
（2）向量加上的相反向量，叫做与的差，即．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
要点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
（2）对于相反向量有；若，互为相反向量，则．
（3）两个向量的差仍是一个向量．
2．向量减法的作图方法
（1）已知向量，，作，则=,即向量等于终点向量（）减去起点向量（）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出．作，则，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
要点五：数乘向量
1.向量数乘的定义
实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
(1)；
(2)①当时，的方向与的方向相同；
②当时.的方向与的方向相反；
③当时，.
2．向量数乘的几何意义
由实数与向量积的定义知，实数与向量的积的几何意义是：可以由同向或反向伸缩得到．当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上伸长为原来的倍得到；当时，表示向量的有向线段在原方向（）或反方向（）上缩短为原来的倍得到；当时，=；当时，=-，与互为相反向量；当时，=．实数与向量的积得几何意义也是求作向量的作法．
3.向量数乘的运算律
设为实数
结合律：；
分配律：，
要点六：向量共线的条件
1．向量共线的条件
（1）当向量时，与任一向量共线．
（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线．
反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，．
2．向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．
3．向量共线的性质定理
若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．
要点诠释：
（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况；
（2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使；
（3）有且只有一个实数，使．
（4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
【典型例题】
类型一：向量的加法运算
例1．如图所示，已知三个向量、、，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量++．
【解析】 利用三角形法则作++，如图1所示，作，以A为起点，作，再以B为起点，作，则．
利用平行四边形法则作++，如图2所示，作，，，以、为邻边作平行四边形OADB，则，再以、为邻边作平行四边形ODEC，则．
【总结升华】题中，要求作三个向量的和，首先求作两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后求这个向量与另一个向量的和，方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则．
举一反三：
【变式1】已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：．
【证明】如图所示，在四边形CDEF中，，
所以．
在四边形ABFE中，，所以．
所以．
因为E、F分别是AD、BC的中点，所以，．所以．
【总结升华】本题主要应用了封闭图形中所有向量依次相加之和为零向量的知识．
类型二：向量的减法运算
例2．（1）在平面内任画两个非零向量、，求作－；
（2）如图，已知不共线的两个非零向量、，求作向量―，―．
【解析】 （1）①当、共线时，若、同向，如下图甲．任取一点A，作，，则．
若、反向，如上图乙．任取一点，作，，则．
②当、不共线时，如下图（左）．在平面内任取一点O，作，，则．
．
（2）作，，则，，如图（右）．
【总结升华】（1）题中，需要根据不同的情况分别求解．紧扣向量减法的定义是解决问题的关键．
（2）题中，求两个向量的加法、减法要注意三角形法则和平行四形法测的应用，求两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行，也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则两向量的差就是连接两向量的终点，且指向被减向量的终点．
举一反三：
【变式1】为正六边形的中心，设,，则等于（ ）．
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【答案】Ｂ
【高清课堂：向量的线性运算 395568 例2】
【变式2】化简
【解析】原式=．
类型三：与向量的模有关的问题
例3．（1）已知、、的模分别为1、2、3，求|++|的最大值；
（2）如图所示，已知矩形ABCD中，，设，，，试求|++|的大小．
【思路点拨】（1）利用向量的三角形不等式求解；（2）构造平行四边形求向量模的长度．
【解析】（1）∵|++|≤||+||+||=1+2+3=6，
∴|++|的最大值为6．
（2）过点D作AC的平行线，交BC的延长线于E，如图所示．
∵DE∥AC，AD∥BE，∴四边形ADEC为平行四边形，
∴，，
于是，
∴．
【总结升华】 求若干个向量的和的模（或最值）问题通常按下列方法进行：寻找或构造平行四边形——借助已知长度的向量表示待求模的向量来求模（或利用向量的和的模的性质）．
举一反三：
【变式1】已知非零向量，满足，，且|－|=4，求|+|的值．
【解析】 如图，，，则．
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则．
由于．
故，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等有，即|+|=4．
类型四：向量的数乘运算
例4． 计算下列各式：
（1）4(+)―3(―)；
（2）3(―2+)―(2+―3)；
（3）．
【解析】 （1）原式=4―3+4+3=+7．
（2）原式=3―6+3―2―+3=―7+6．
（3）原式
．
【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，＞0时，与同向；＜0时，与反向；=0时，=0；故与一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．
举一反三：
【变式1】计算：
（1）6(3―2)+9(―2+)；
（2）；
（3）6(―+)―4(―2+)―2(―2+)．
【解析】 （1）原式=18―12―18+9=―3．
（2）
．
（3）原式=6―6+6―4+8―4+4―2
=(6―4+4)+(8―6)+(6―4―2)
=6+2．
例5.如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示
【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.
【解析】在中
【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.
举一反三：
【高清课堂：向量的线性运算 395568 例6】
【变式1】如图，已知三边中点为，求证：.
【解析】
=
==
=
=
【变式2】如图，四边形OADB是以向量，为邻边的平行四边形，又，，试用向量、表示，，．
【解析】 ∵，
∴，
∵，
∴，
．
类型五：共线向量与三点共线问题
例6.设两非零向量和不共线，
(1)如果求证三点共线.
(2)试确定实数，使和共线.
【思路点拨】 要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.
【解析】(1)证明
　　共线，又有公共点，
　　∴三点共线.
(2)解 ∵ 和 共线，
　　∴存在，使，
　　则由于 和不共线，
　　只能有 则.
【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即共线存在使(正用与逆用)
举一反三：
【变式1】两个非零向量，不共线．
（1）若，，，求证：A、B、D三点共线．
（2）求实数k，使k+与2+k共线．
【解析】证明三点共线，一般转化为证明有共同起点的两个向量共线，可用向量的共线定理进行讨论．
（1）证明：因为，所以与共线，又因为它们有公共起点A，所以A、B、D三点共线．
（2）解：因为k+与2+k共线，所以存在实数使k+=(2+k)，即(k―2)+(1―k)=0．所以，解得或，所以．
【总结升华】若与不共线，则向量1+1与向量2+2共线需要满足条件：（其中2≠0，2≠0）．
类型六：向量的综合应用
例7．已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内一点，若，证明O是△ABC的重心．
【思路点拨】 要证明O是△ABC的重心，即证O是△ABC各边中线的交点，可联系重心的性质证之．
【证明】 ∵，
∴，即是与方向相反且长度相等的向量．
如图所示，以OB、OC为相邻两边作OBDC，则，
∴．
在OBDC中，设BC与OD相交于E，则，，
∴AE是△ABC的BC边上的中线，且．
根据平面几何知识，知O是△ABC的重心．
【总结升华】若且直线AB与直线CD不重合，则AB∥CD．
若且直线AB与直线CD不重合，则以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
举一反三：
【变式1】如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，
求证：．
证明：取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如图．
∵E是AD的中点，∴．
∵F是BC的中点，∴，
又∵，
∴．
∴．
【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．
例8． 2009年8月份，南方遭遇暴雨袭击，在某小镇的一次营救中，小汽艇在静水中的速度是12 km / h，水流的速度是6 km / h．如果小汽艇向着垂直河岸的方向行驶，则小汽艇在河水中的实际运动速度是多大？方向怎样？此时，必须到河正对岸去营救一人，要使小汽艇沿垂直方向到达对岸，船头方向该怎样？
【解析】如图（1）所示，为汽艇在静水中的速度，为水流速度，由平行四边形法则可知，小汽艇在实际速度为，在Rt△ADC中，，，，∠CAD≈63°43′．即小汽艇在河水中的速度大小约为13.4 km / h，方向与水流速度的夹角约为63°43′．
如图（2）所示，欲使小汽艇垂直河岸方向到达对岸码头，设小汽艇实际速度为，则．在Rt△ABC中，，，从而∠BAC=30°，∠BAE=60°，即小汽艇应沿与河岸成60°角的方向逆水行驶，才能沿垂直河岸方向到达对岸．
【总结升华】用向量加法解决简单的实际问题其步骤为：先用向量表示相关物理量（如速度等），再进行向量运算，然后归结到实际问题去解决．
举一反三：
【变式1】在湘江的某渡口处，江水以12.5 km / h的速度向北流去，渡船的速度是25 km / h，现渡船要垂直地渡过湘江，问：其航向应该怎样确定？
【解析】设表示水流速度，表示船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度，现以AB为一边，以AC为对角线作ABCD，则AD就是船的速度（如图）．
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，，，
所以∠CAD=30°．故其航向应该调整为东偏南30°．
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6集合的基本关系及运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例1. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.
A. B. C. = D.以上都不对
【答案】B
【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.
综上知，，应选.
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
举一反三：
【变式1】若集合，则（ ）.
A. B. C. = D.
【答案】C
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；
集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；
集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；
集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．
举一反三：
【变式1】 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．
【变式2】 设集合，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】集合M表示函数的定义域，有；
集合N表示函数的值域，有，故选A.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】
【变式3】 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】
例4．已知若M=N，则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二、集合的运算
例5. 设集合，，，求.
【答案】,
【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.
集合表示3的倍数所组成的集合；
集合表示除以3余1的整数所组成的集合；
集合表示除以3余2的整数所组成的集合；
集合表示除以6余1的整数所组成的集合；
,.
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于( )
A. B. R C. {-1，9} D. [-1，9]
【答案】D
【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.
例6. 设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )
A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} 　D. {1，3}
【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】D
【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0举一反三：
【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；
（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；
（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.
【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.
【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.
（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R.
（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：
①a-3=-3a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1}A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；
②2a-1=-3a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.
【高清课堂：集合的运算 377474 例5】
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝
例7.已知全集，求CuA.
【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.
【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.
【解析】
当时，方程无实数解.
此时.CuA=
当时，二次方程的两个根，必须属于.
因为，所以只可能有下述情形：
当时，，此时 CuA=；
当时，，此时 CuA=.
综上所述，当时，CuA=；
当时，CuA=；
当时，CuA=.
【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三、集合运算综合应用
例8．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.
【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．
【解析】
(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；
(2)画数轴同理可得：a≥-2；
(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.
【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴
故选C．
例9. 设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（1）2．
【解析】首先化简集合，得.
（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】,.
①当时，此时方程无解，由，解得或.
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得.
综上，实数的取值范围是或.
【变式2】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】 CuA=，.
CuA，，即.实数的取值范围是.
PAGE两角差的余弦公式(基础)
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.
2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。
【要点梳理】
要点一：两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则
由向量数量积的概念，有
，结合向量数量积的坐标表示，有
所以= （*）
（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下：
由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。
①若，则。
②若，则，且
由以上的讨论可知，对于任意的，都有：
=
2．公式的记忆
右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角。
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。
要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用
1．逆用
=
要点诠释：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
。
2．角变换后使用
。
3．移项运用
4．特殊化使用
5．以代
即
【典型例题】
类型一：利用差角的余弦公式进行证明
例1．求证：
（1）
（2）
【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开。（2）利用及两角和的余弦公式可证得。
【证明】（1）=
=
（2）
=
=
=
=
举一反三：
【变式1】
证明：
=
=
=
=
=
类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式
例2．化简：
【答案】 0
【解析】
原式
。
【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。
举一反三：
【变式1】化简：。
【答案】
【解析】
原式=
=
=
=
=
类型三：利用差角的余弦公式求值
例3．求值：
（1）
（2）
（3）cos(－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；
【思路点拨】（1）利用求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把－35°和25°+看作一个整体，利用两角差的余弦公式。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）
=
=
（2）原式
（3）原式。
【总结升华】两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（3）中的（）可视为一个整体。分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。
举一反三：
【变式1】求值：cos15°cos105°+sin15°sin105°
【解析】原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0
【变式2】求值：
【解析】原式=
=
=
=
=
例4．已知
【思路点拨】若展开，又由，从而可得出关于的方程求解.
经观察：，故又可直接由代入求解.
【答案】
【解析】由
由
故
【总结升华】 仔细分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构”。
举一反三：
【变式1】已知，，求。
【答案】
【解析】 ∵，，∴，
则。
【总结升华】依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求解，是一种常见的题型。
【变式2】已知，，。求。
【答案】
【解析】 由题意得，。
∴，
，
∴
。
联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（） 邮政编码：102413
电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用
例1．化简下列各式：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】 （1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：
【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：
方法一：适用，不断地使用二倍角的正弦公式．
方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．
【答案】
【解析】方法一：
．
∴
方法二：原式
．
【总结升华】本题是二倍角公式应用的经典试题．方法一和方法二通过观察角度间的关系，发现其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得问题出现连用二倍角的正弦公式的形式．在此过程中还应该看到化简以后的分子分母中的角是互余（补）的关系，从而使最终的结果为实数．利用上述思想，我们还可以把问题推广到一般的情形：一般地，若，则．
举一反三：
【变式1】求值：sin10°cos40°sin70°．
【解析】原式
．
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例3．化简下列各式：
(1)
【思路点拨】（1）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，再进行化简．（2）观察式子分析，利用二倍角公式把倍角展开成单角，利用平方差公式进行化简．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)
(2)
【总结升华】①余弦的二倍角公式的变形形式：．经常起到消除式子中1的作用．②由于，可进行无理式的化简和运算．
例4．化简：．
【解析】 原式
．
【总结升华】 三角函数的化简要从减少角的种类、函数的种类入手．通过切化弦、弦化切、异化同、高次降幂等手段，使函数式的结构化为最简形式．
举一反三：
【变式1】（1）的化简结果是 ．
（2）已知，且α∈( ，π)，则 的值为 ．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）原式=
=
=
=
（2）因为，且α∈( ，π)，所以，原式=．
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．求值：
（1）已知，求．
（2）已知，求．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
=
=
（2）=
=
=
【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．
举一反三：
【变式1】 已知，且，求，，的值．
【答案】
【解析】由，得，
即，∴
由，得，
∴．
即．
整理得．
解得或（舍去）．
∴．
∴．
【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．
【变式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值．
【解析】 （1），解得．
（2）
．
【总结升华】 第（1）问中利用了方程的思想求tan的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解．
类型五：二倍角公式的综合应用
例6．已知，求：
（1）f (x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；
（2）f (x)的单调区间．
【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．
【答案】（1） （2）单增区间 单减区间
【解析】
（1）原式=
=
=
则当即时，
（2）f (x)的单调递增区间为：，则
f (x)的单调递减区间为：，则
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．
例7． 已知向量，，求函数．
（1）求的最大值及相应的x值；
（2）若，求的值．
【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．
【答案】（1） （2）
【解析】 （1）因为，，
所以．
因此，当，即时，取得最大值．
（2）由及得，两边平方得，即．因此，．
举一反三：
【变式1】已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求函数在上的最小值.
【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）
所以函数的最小正周期为.
由，，则.
函数单调递减区间是，.
(Ⅱ)由，得.
则当，即时，取得最小值.
【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
（2）由（1）知，
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．
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1.下面四个命题中可能成立的一个是（　）
A. B.sinα=0且cosα=－1
C.tanα=1且cosα=－1 D.α在第二象限时，tanα=
2．若，，则m的值为（ ）
A．0 B．8 C．0或8 D．3＜m＜9
3．若，则使成立的的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
4．若，且是第二象限角，则tan的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．若tan=2，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
6．已知sinαcosα = ,则cosα－sinα的值等于（ ）
A．± B．± C． D．－
7．若，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．－2
8．若是方程的两根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若，则 ； ．
10．化简：________．
11．化简：sin6+cos6+3sin2+cos2=________．
12．若，tan＞0，则cos=________．
13．已知，∈（0，π），求的值．
14．已知，求和的值.
15．sin、cos是方程8x2+6mx+2m+1=0的两根，且为第三象限角，若存在满足题意的m，求出m的值；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1.【答案】B
【解析】由sin2α+cos2α=1 可得A不正确．根据tanα=1，可得 sinα=cosα=或
，故C不正确．由tanα=，故D不正确，所以只有B正确．
2．【答案】C
【解析】 sin2+cos2=14m2－32m=0，∴m=0或m=8．
3. 【答案】D
【解析】
4． 【答案】A
【解析】∵，且为第二象限角，∴，∴．
5．【答案】B
【解析】原式分子、分母同除以cos得，将tan=2代入得．
6．【答案】B
7．【答案】A
【解析】设，，
∴．
8．【答案】B
9．【答案】；(在一象限时取正号，在三象限时取负号)．
10．【答案】sin
【解析】原式．
11．【答案】1
【解析】令sin2=m，cos2=n，则m+n=1．原式=m3+n3+3mn=(m+n)(m2+n2―mn)+3mn=(m+n)2―3mn+3mn=1．
12．【答案】
【解析】由已知得是第三象限角，所以．
13．【解析】因为，两边平方，得，所以
，
又，sincos＜0，所以sin＞0，cos＜0，所以．
与已知联立可得，，所以，故．
14．【解析】设，则
15．【解析】若存在，则，所以，
故9m2―8m―2=0，所以m=2或．
又是第三象限角，所以，所以m=2．平面向量的数量积
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
【要点梳理】
要点一： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.
要点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为.
要点二：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即．
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当当时，由于，所以．
要点三：平面向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
1.
2.
3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
4.
5.
要点四：向量数量积的运算律
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
要点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；
2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
要点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
要点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题．
由向量，数量积可知，若它们的夹角为，则，
利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量数量积的概念
例1．已知、、是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（ ）
①·=±||·||∥；②、反向·=－||·||；③⊥|+|=|－|；④||=|||·|=|·|．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】（1）∵·=|| |b|cos，∴由·=±|| ||及、为非零向量可得cos=±1，∴=0或π，∴∥，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．
（2）若、反向，则、的夹角为π，∴·=|| ||cosπ=―|| ||且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．
（3）当⊥时，将向量、的起点确定在同一点，则以向量、为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|+|=|―|．反过来，若|+|=|―|，则以、为邻边的四边形为矩形，∴⊥，故叙述③是正确的．
（4）当||=||，但与的夹角和与的夹角不等时，就有|·|≠|·|，反过来的由|·|=|·|也推不出||=||．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的．
【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．
举一反三：
【变式1】如果·=·，且≠0，那么（ ）
A．= B．= C．⊥ D．、在方向上的投影相等
【答案】D
类型二：平面向量数量积的运算
例2．已知||=4，||=5，当（1）∥，（2）⊥，（3）与的夹角为30°时，分别求与的数量积．
【思路点拨】 已知向量||与||，求·，只需确定其夹角．
【解析】
（1）当∥时，有=0°和=180°两种可能．
若与同向，则=0°，·=|| |b|cos0°=4×5×1=20；
若与反向，则=180°，·=|| ||cos180°=4×5×(―1)=―20．
（2）当⊥时，=90°，·=|| ||cos90°=0．
（3）当与的夹角为30°时，·=|| ||cos30°=4×5×．
【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，与之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连接，也不能省略．
（2）求平面向量数量积的步骤是：①求与的夹角，∈[0°，180°]．②分别求||和||．③求它们的数量积，即·=|| ||·cos．
举一反三：
【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·.
【答案】35
【解析】
（+）·==35
例3．（1）若||=4，·=6，求在方向上的投影；
（2）已知||=6，为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出在方向上的正投影，并画图说明．
【答案】（1）（2）略
【解析】 （1）∵·=|| ||cos=6，又||=4，
∴4||cos=6，∴．
（2）在方向上的投影为||·cos．
如上图所示，当=60°时，在方向上的正投影的数量为||·cos60°=3；
当=90°时，在方向上的投影的数量为||·cos90°=0；
当=120°时，在方向上的正投影的数量为||·cos120°=－3．
【总结升华】 要注意在方向上的投影与在方向上的投影不是不同的．
类型三：平面向量模的问题
例4．已知||=||=4，向量与的夹角为，求|+|，|―|．
【解析】因为2=||2=16，2=||2=16，
，
所以．
同事可求．
【总结升华】关系式2=||2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化．因此欲求|+|，可求(+)·(+)，并将此式展开．由已知||=||=4，得·=·=16，·也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值．
举一反三：
【高清课堂：平面向量的数量积395485 例4】
【变式1】已知，求．
【答案】
【解析】
，
同理，
【变式2】已知向量满足，且的夹角为60°，求.
【答案】
【解析】 ，且的夹角为60°
；
【总结升华】要根据实际问题选取恰当的公式．
类型四：向量垂直（或夹角）问题
例5．已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.
【思路点拨】利用求出两个向量的夹角．
【解析】法一：将两边平方得
，
则， 故的夹角为30°.
法二： 数形结合法
如图，构成一个等边三角形，向量
是向量与向量夹角的角平分线，所以向量与向量
所成的夹角为30°．
【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
举一反三：
【变式1】已知向量,满足（―）(2+)= ―4,且||=2，| |=4，求〈,〉．
【答案】120°
【解析】
原式=，
=
〈,〉=120°
例6．已知、都是非零向量，且+3与7―5垂直，―4与7―2垂直．求与的夹角．
【思路点拨】由题意知，， =0，解得||=||．
【解析】∵+3与7―5垂直，
∴(+3)·(7－5)=0．
∵―4与7―2垂直，
∴(―4)·(7―2)=0．
于是有
由①－②得 2·=2． ③
将③代入①得 2=2，
∴||=||．
∴．
∵0°≤≤180°，∴=60°．
【总结升华】 正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2·=2，不能得出2=，同样由2=2，也不能得出=或=－．
举一反三：
【变式1】已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向+与向量k－垂直，则k=________．
【答案】
【变式2】设非零向量，满足，求证：
【证明】
类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算
例7．已知向量与同向，=（1，2），·=10．
（1）求向量的坐标；
（2）若=（2，－1）．求（·）·．
【解析】 （1）∵与同向，又=（1，2），
∴设=，则=（，2）．
又∵·=10，∴1·+2·2=10，解得=2＞0．
∵=2符合与同向的条件，∴=（2，4）．
（2）∵·=1×2+2×(－1)=0，∴（·）·=0．
【总结升华】（1）注意本题由与共线且同向的设法及验证；
（2）通过本题可以看出（·）·=0，（·）·=10×（2，―1）=（20，―10），显然（·）·≠（·）·，即向量运算结合律一般不成立．
举一反三：
【变式1】已知向量和，若·=·，试求模为的向量的坐标．
【解析】 设=（x，y），则，，
由·=·及，得，解得 或 ．
所以或．
【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解．
例8．已知三个点A（2，1），B（3，2），D（―1，4）．
（1）求证：AB⊥AD；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．
【思路点拨】（1）先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明．（2）利用向量相等求出C点的坐标，利用求出两条对角线的夹角．
【答案】（1）略（2）
【解析】（1）∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
∴，．
又∵，
∴，即AB⊥AD．
（2）∵，四边形ABCD为矩形，∴．
设C点坐标为（x，y），
则由，，
得，即．∴C点坐标为（0，5）．
从而，，且，．
，
设与的夹角为，则，
∴求得矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为．
【总结升华】在求两向量夹角的余弦值时，要注意根据题意选取向量的方向．本题若利用，求出cos＜0不符合要求，当遇到这种情况时，要根据三角公式进行变换．
举一反三：
【变式1】已知=（1，1），=（0，―2）当k为何值时，
（1）k―与+共线；
（2）k―与+的夹角为120°．
【解析】∵=（1，1），=（0，―2），k―=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）．
+=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）．
（1）∵k－与+共线，∴k+2―(―k)=0．∴k=－1．
（2）∵，，
(k―)·(+)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而k―与+的夹角为120°，
∴，
即．
化简，整理得k2+2k―2=0，解之得．
PAGE平面向量的基本定理及坐标表示
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解平面向量的基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
【要点梳理】
要点一：平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
这说明如果且，那么.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
要点诠释：
平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
2．如何使用平面向量基本定理
平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不供线的向量的线性组合．
（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．
（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、 ，平面上的任何一个向量都可以用、 唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、 的代数运算．
要点二：向量的夹角
已知两个非零向量a与b，在平面上任取一点O，作a，b，则叫做a与b的夹角，记为〈a，b〉．当向量a与b不共线时，a与b的夹角；当向量a与b共线时，若同向，则；若反向，则，综上可知向量a与b的夹角．
当向量a与b的夹角是，就说a与b垂直，记作ab．
要点诠释：
（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．
（2）向量ab是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．
要点三：平面向量的坐标表示
1．正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
要点诠释：
如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．
2．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
要点诠释：
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
要点四：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运 算 坐标语言
加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)
实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y)
2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．
要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示
1．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.
要点诠释：
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
2.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，
若则A，B，C三点共线.
【典型例题】
类型一：平面向量基本定理
【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】
例1．如图，在中，，是中点，线段与交于点，试用基底表示：
（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）
=
=
=
=
（2）=
（3）在中，取
同理：
是的中点
==
【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．
举一反三：
【变式1】△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求.
【思路点拨】选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式.再根据相同基底的系数对应相等得实数方程组求解.
【解析】设
又
…①
又
而
………………②
比较①②，由平面向量基本定理得：
解得：或（舍） ，把代入得：
.
例2．如图，在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，试以a，b为基底表示．
【思路点拨】直接利用、表示比较困难，可以先设，再根据三点共线的知识寻找出的两个方程，联立方程组，解之即得．
【解析】设（m，n∈R），则．
，
∵A、M、D三点共线，，
∴，即m+2n=1． ①
而，，
∵C、M、B三点共线，，
∴，即4m+n=1． ②
由，解得，∴．
【总结升华】 （1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；（2）用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
举一反三：
【变式1】如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设，，试用基底a，b表示向量．
【解析】易得，，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足
．
由C、E、M三点共线知存在实数n，
满足．
所以．
即，解得，即．
类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题
例3．设、、是三个有共同起点的不共线向量，求证：它们的终点A、B、P共线，当且仅当存在实数m、n使m+n=1且．
【思路点拨】本题包含两个问题：（1）A、B、P共线m+n=1，且成立；（2）上述条件成立A、B、P三点共线．
【证明】（1）由三点共线m、n满足的条件．
若A、B、P三点共线，则与共线，由向量共线的条件知存在实数使，即，∴．
令，n=，则且m+n=1．
（2）由m、n满足m+n=1A、B、P三点共线．
若且m+n=1，则．
则，即．
∴与共线，∴A、B、P三点共线．
由（1）（2）可知，原命题是成立的．
【总结升华】 本例题的结论在做选择题和填空题时，可作为定理使用，这也是证明三点共线的方法之一．
举一反三：
【变式1】设e1，e2是平面内的一组基底，如果，，，求证：A，C，D三点共线．
【解析】 因为，所以与共线．
类型三：平面向量的坐标运算
例4．已知，且求M、N及的坐标.
【思路点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.
【解析】
设，则
同理可求，因此
【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.
举一反三：
【变式1】 已知点以及求点C，D的坐标和的坐标.
【解析】设点C、D的坐标分别为，
由题意得
因为，
所以有和，解得和
所以点C、D的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而
类型四：平面向量平行的坐标表示
例5. 平面内给定三个向量
(1)若求实数k；
(2)设满足且求.
【思路点拨】(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；(2)由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出.
【解析】
(1)
(2)
又且
【总结升华】
(1)与平行有关的问题，一般可以考虑运用向量平行的充要条件，用待定系数法求解；
(2)向量共线定理的坐标表示提供了代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.
举一反三：
【变式1】向量，，，当k为何值时，A、B、C三点共线？
【解析】 ，
．
∵A、B、C三点共线，∴，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．
整理，得k2―9k―22=0．解得k1=―2或k2=11．
∴当k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【总结升华】以上方法是用了A、B、C三点共线即公共点的两个向量，共线，本题还可以利用A、B、C三点共线或，即得k=―2或11时，A、B、C三点共线．
【变式2】已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4）．若为实数，（a+b）∥c，则=（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】
例6．如图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标．
【解析】方法一：由O、P、B三点共线，可设，
则．
，
由与共线得(4－4)×6－4×(－2)=0，解得，
所以．所以P点坐标为（3，3）．
方法二：设P（x，y），则，
因为，且与共线，所以，即x=y．
又，，且与共线，则得(x－4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P点坐标为（3，3）．
【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．
（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等．
举一反三：
【变式1】如图，已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），求AC与BD的交点P的坐标．
【解析】设．
∵，
∵．
又，而与共线，
∴4(10―11)+8(4+1)=0，
解之，得．设点P的坐标为（xP，yP），
∴，
∴，即．
故点P的坐标为（6，4）．
【总结升华】利用向量的坐标运算求线段交点坐标的一般方法：
（1）设线段AC、BD交于点P（x，y），并以AC、BD为对角线作四边形ABCD；
（2）在四边形中寻找向量的相等或共线关系；
（3）利用向量的坐标表示这些关系，将问题转化为方程（组）问题；
（4）解这个方程（组），可得到问题的答案．
G
PAGE
7集合的基本关系及运算
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．
2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：
要点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作．
要点二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
要点诠释：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
要点诠释：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
4.集合基本运算的一些结论：
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一：集合间的关系
例1. 请判断①0{0} ；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，正确的有哪些？
【答案】②③④⑧
【解析】①错误，因为0是集合中的元素，应是；②③中都是元素与集合的关系，正确；④⑧正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而④中的为非空集合；⑤⑥⑦错误，是没有任何元素的集合．
【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.
举一反三：
【变式1】用适当的符号填空：
(1) {x||x|≤1} {x|x2≤1}；
(2){y|y=2x2} {y|y=3x2-1}；
(3){x||x|>1} {x|x>1}；
(4){(x，y)|-2≤x≤2} {(x，y)|-1【答案】 (1)= (2) (3) (4)
【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.
例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.
【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.
【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.
举一反三：
【变式1】已知，则这样的集合有 个.
【答案】7个
【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）
A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个
【答案】C
【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.
【变式3】已知集合A={1，3，a}， B={a2}，并且B是A的真子集，求实数a的取值.
【答案】 a=-1， a=或a=0
【解析】∵， ∴a2A，
则有：
（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，∴a=-1；
（2）a2=3a=
（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0
综上：a=-1， a=或a=0.
注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.
【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例2】
例3. 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )
A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=
【答案】B
【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.
例4．已知若M=N，则= ．
A．－200 B．200 C．－100 D．0
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．
【答案】D
【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由0{0，|x|，y}可知
若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.
若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0
若，则x=y，M，N可写为
M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}
由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|
∴|x|=0或|x|=1
若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立
若|x|=1即x=±1
当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1
当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1
=-2+2-2+2+…+2=0
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．
举一反三：
【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )
【答案】2
【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：
∴当b=1时，a=-1，
当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)
∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.
类型二：集合的运算
例5. （1）已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2+2x+8，xR}，则M∩N等于( )．
A. B. R C. {-1，9} D. {y|-1≤y≤9}
（2）设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )．
A. {1，2，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} 　D. {1，3}
【思路点拨】（1）先把集合M、N进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算．（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．
【答案】（1）D （2）D
【解析】（1）集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.
（2）由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0举一反三：
【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B.
【答案】{， ，-4}
【解析】∵A∩B={}，
∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：
(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
联立方程(1)(2)得到：
∴方程(1)为2x2+7x-4=0，
∴方程的解为：x1=， x2=-4， ∴ ，
由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，
∴B={， }，则A∪B={， ，-4}.
【高清课堂：集合的运算377474 例5】
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.
【答案】 ｛2，3，6，18｝
【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1
当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}
∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝
当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}
这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.
综上A∪B=｛2，3，6，18｝．
【高清课堂：集合的运算 377474 例6】
例6. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.
【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}
【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}
由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.
由集合的图示可得
A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.
类型三：集合运算综合应用
例7．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.
（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；
（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；
（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.
【答案】（1）a<4 （2）a≥-2 （3）-2≤a<4
【解析】
(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；
(2)画数轴同理可得：a≥-2；
(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.
【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.
举一反三：
【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
【答案】C
【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴
故选C．
例8. 设集合.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【思路点拨】明确、的含义，根据的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.
【答案】（1）或；（2）．
【解析】 首先化简集合，得.
（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.
①若时，，解得.
②若,代入得.
当时，符合题意；
当时，也符合题意.
③若，代入得，解得或.
当时，已讨论，符合题意；
当时，，不符合题意.
由①②③，得或.
（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.
【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.
举一反三：
【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.
【答案】或
【解析】,.
①当时，此时方程无解，由，解得或.
②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，
，且，解得.
综上，实数的取值范围是或.
PAGE【巩固练习】
1．若,则（ ）.
A． B．
C． D．
2．函数的定义域为（ ）.
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
3．函数的周期为（ ）.
A． B． C． D．
4．下列函数不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．直线y=3与函数y=tanωx（ω＞0）的图象相交，则相邻两交点的距离是（ ）
A．π B． C． D．
6.函数y=2tan（3x－）的一个对称中心是( )
A.（，0） B.（，0） C.（－，0） D.（－，0）
7．已知，，，，则a、b、c、d的大小顺序为（ ）
A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．d＜a＜c＜b D．a＜c＜b＜d
8．函数的单调区间为（ ）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
9．当x在区间[0，2π]内时，使不等式成立的x的集合是________．
10．函数的最大值为________．
11.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数的图象恰好经过各格点，则称该函数为阶格点函数．下列函数中是一阶格点函数的是 ．
① ② ③ ④
12．关于x的函数有以下说法：
（1）对任意的，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在，使是奇函数；
（4）对任意的，都不是偶函数．
其中不正确的说法的序号是________，因为当=________，该说法不成立．
13．已知，满足，求的值．
14．已知关于实数x的不等式，的解集分别为M，N，且M∩N=，则这样的存在吗？若存在，求出的取值范围．
15．已知函数，且对于定义域内任何实数x，都有，试比较与的大小．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由图象可知C正确．
2．【答案】A
【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知A正确．
3．【答案】C
【解析】正切型函数的周期即指最小正周期，．
4．【答案】D
【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
，，又
所以，故D成立．
5．【答案】C
【解析】直线y=3与y=tanωx图象的相邻交点的距离为y=tanωx的最小正周期，∵，故选C．
6．【答案】C
【解析】因为正切型函数的对称中心为，所以，解得：，当时，对称中心为．
7．【答案】C
【解析】∵，不妨取，于是，，，．
又∵，从而．
∴d＜a＜c＜b．
8．【答案】D
【解析】先作出的图象，再将x轴下方的图象对称对x轴上方，即可得到的图象，如图．由图可知，的单调递增区间是，k∈Z；单调递减区间是，k∈Z．对比选项可得D符合要求．
9．【答案】
【解析】 在同一坐标系中作出y=tan x和的图象，求其交点横坐标，并观察图象便得．
10．【答案】2
【解析】∵，∴当tan x=－1时，有最大值2．
11．【答案】①③
【解析】以函数为例，最好先从纵坐标开始考虑，可能成为格点的点的横坐标为，其中，只有当时，为整数，所以，此函数为一阶格点函数，其他函数可用同样方法分析．
12．【答案】（1） π（或kπ，k∈Z）
【解析】 对于（1），显然当，k∈Z时，，此时函数为奇函数，故（1）错；（3）正确．
（2）也正确，因为定义在R上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那么这个函数恒为零，显然对于任意的，都不可能恒为零，从而不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（4）是正确的，不存在这样的，使是偶函数．
因此本题不正确的说法的序号是（1），因为当（或kπ，k∈Z）时，该说法不成立．
13．【解析】∵，∴．
∴，∴，
∴，
∴
．
14．【解析】设存在．
由，
得2tan≤x≤tan2+1，
∴M={x|2tan≤x≤tan2+1}．
由x2－3(tan+1)x+2(3tan+1)≤0，
当时，2≤x≤3tan+1．
当时，3tan+1≤x≤2．
∵M∩N=，当，3tan+1＞2tan，∴tan2+1＜2．
解得， ①
当时，∵2tan＜2，
∴tan2+1＜3tan+1，∴0＜tan＜3，
∴． ②
由①②知0＜tan＜1，
∴的取值范围是（k∈Z）．
15．【解析】∵，∴．
两式相加，得，即，
∴，
上式对定义域内任何实数x都成立，故是周期T=6的周期函数．
∵，
∴．
．
∵，
∴．【巩固练习】
1．下列函数与有相同图象的一个函数是( )
A． B．
C． D．
2．函数与的图象关于下列那种图形对称( )
A．轴 B．轴 C．直线 D．原点中心对称
3．设函数f(x)＝则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数在上递减，那么在上( )
A．递增且无最大值 B．递减且无最小值
C．递增且有最大值 D．递减且有最小值
5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度；
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度；
6．函数的定义域为（ ）；
A． B．
C． D．
7．当0A．(0，) B．(，1) C．(1，) D．(，2)
8．函数的反函数是（ ）
A． B．
C． D．
9．不等式的解集为 .
10．已知函数，对任意都有,则、 、的大小顺序是 ．
11．函数的定义域是 ；值域是 .
12．判断函数的奇偶性 .
13．已知函数,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性、单调性.
14.(1)求函数的定义域；
(2)求函数的值域.
15．已知，求函数的值域.
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】 ，对应法则不同；
；.
2. 【答案】D
【解析】由得，即关于原点对称.
3. 【答案】D
【解析】不等式等价于或，解不等式组，可得或，即，故选D.
4. 【答案】A
【解析】令，是的递减区间，即，是的递增区间，即递增且无最大值.
5. 【答案】C
【解析】=，只需将的图象上所有点向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度，即可得要求的图象．
6. 【答案】D
【解析】.
故选D.
7. 【答案】B
【解析】，，又当时， ，所以，即，所以综上得：的取值范围为.
8. 【答案】D
【解析】由，解得即，故所求反函数为，故选D．
9. 【答案】
【解析】依题意得，，，即，解得.
10. 【答案】
【解析】因为，所以函数的对称轴为，又函数的开口向上，所以有离对称轴越远，函数值越大，所以
11. 【答案】
【解析】　；.
12. 【答案】奇函数
【解析】
　　　　　　　　
13．【解析】且，且，即定义域为；
为奇函数；
在上为减函数.
14．【答案】（1）（2）
【解析】(1)，即定义域为；
(2)令，则，，即值域为.
15．【答案】
【解析】，令则，，即时，取得最大值12；当，即时，取得最小值-24，即的最大值为12，最小值为-24，所以函数的值域为．
PAGE
4二倍角的正弦、余弦和正切公式(提高)
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：；
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
要点二：二倍角公式的逆用及变形
1．公式的逆用
；．
．
．
2．公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.
【典型例题】
类型一：利用二倍角公式的简单应用
例1.求下列各式的值：
（1）；；（3）．
【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
（3）．
【总结升华】 解答本类题型重要的是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等，抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起至关重要的作用，而且抓住了公式的特征，有利于在解题时观察分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．
举一反三：
【变式1】求值：（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=．
类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值
例2. 求sin6°·sin42°·sin66°·sin78°的值．
【思路点拨】解这类题型有两种方法：方法一：将原式中角度成二倍角的正弦形式全部转化为余弦形式，利用进行化简．方法二：把原式作为A式，然后把A式中正弦形式全部化为余弦形式，把这个式子作为B式，再两式相乘．
【答案】
【解析】
方法一：原式
【总结升华】一般地，对于，可以通过乘以sinα后连结使用二倍角公式化简，这样便可以生产“连锁反应”．
方法二：设所求为A，即A=sin6°·sin42°·sin66°·sin78°
设B=cos6°·cos42°·cos66°·cos78°
则
=
【总结升华】在不能观察到所求角的互余角的倍数关系以前．通过设B来构造可以利用二倍角公式的“对偶”式，算出乘积再约去B．从而得到原式的值．这也是处理类似问题的一种常见方法．
举一反三：
【变式1】
【解析】
例3．求值：．
【思路点拨】化正切为正弦、余弦，便于探索解题思路．
【答案】
【解析】 原式
．
【总结升华】逆用二倍角余弦公式和和角的正弦公式，使得问题简单化．
举一反三：
【变式1】求值：
【解析】原式=
=
=
=4
【变式2】求值：
【解析】原式=
=
=
=
=1
类型三：利用二倍角公式化简三角函数式
例4．化简：．
【思路点拨】观察式子的结构，把倍角展开成单角，然后再进行化简．
【答案】
【解析】 方法一：原式
．
方法二：原式
．
方法三：原式
方法四：原式
．
【总结升华】 在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法．
举一反三：
【变式1】化简下列各式：
(1)（2）
【答案】（1）（2）
【解析】(1)
(2) 原式=
=
=
=
=
【变式2】化简：．
【答案】1
【解析】原式
．
类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用
例5．已知，且，求的值．
【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．
【答案】
【解析】 原式
．
∵，∴．
∵，∴．
∴，
∴．
又∵，
∴．
【总结升华】要注意本题中的角“2x”与“”的变换方法，即．
举一反三：
【变式1】求值：
（1）已知，求．
（2）已知，求．
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）
=
=
=
（2）=
=
=
【变式2】 已知：tanθ=2，求的值．
【答案】
解法一：
=（转化成了齐次式）
=
解法二： ∵tan=2,
∴sin=2k，cos=k
原式
又∵sin2+cos2=1即（2k）2+k2=1
∴
例6．已知，，且、都是锐角，求．
【答案】
【解析】 由，得，即．
由，得．
．
∵0°＜＜90°，0°＜＜90°，∴0°＜＜270°．
在0°与270°之间只有90°的余弦值为0，故．
【总结升华】给值求角题的求解一般按如下两个步骤进行（这两个步骤缺一不可）：①根据题设条件，求角的某一三角函数值；②讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．
类型五：二倍角公式的综合应用
例7．已知函数（x∈R，ω＞0）的最小正周期是．
（1）求ω的值；
（2）求函数的最大值，并且求使取得最大值的x的集合．
【思路点拨】用降幂公式把“”降幂，然后用辅助角公式化成的形式．
【答案】（1）2（2）
【解析】 （1）
．
因为函数的最小正周期是，可得，所以=2．
（2）由（1）知，．当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时x的集合为．
【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．
举一反三：
【变式1】已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）2
【解析】（Ⅰ）因为，所以.
所以函数的定义域为
（Ⅱ）因为，所以
当时，即时，的最大值为；
当时，即时，的最小值为.
例8．已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
【思路点拨】　首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2
【解析】　（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，
又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.
（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos，
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B
＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.
【总结升华】　本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.
举一反三：
【变式1】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数（x∈R）的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意，得，
，．
由A为锐角得，．
（2）由（1）知，
所以．因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]．
因此，当时，有最大值，当sin x=－1时，有最小值－3，所以所求函数的值域是．
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电话：010-58425255/6/7 传真：010-89313898【巩固练习】
1．下列结论错误的是（ ）
A．正弦函数与函数是同一函数
B．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数
C．直线是正弦函数图象的一条对称轴
D．点是余弦函数图象的一个对称中心
2.函数是上的偶函数，则的值是( )
A. B. C. D.
3.函数的图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
4．函数（x∈R）的最小值等于（ ）
A．―3 B．―2 C．―1 D．
5．定义在R上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为π，且当时，则（ ）
A． B． C． D．
6． 的值域是( )
A. B. C. D.
7．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）.
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
8．函数的图象是下图中的（ ）
9．设定义在R上的函数满足，若f（1）=2，则f（2011）=________ ．
10．若f（x）具有性质：①为偶函数；②对于任意x∈R，都有；③．则的解析式可以是________（写出一个即可）．
11.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________.
12．设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________.
函数的图象为C，以下结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
13．已知函数
(1)求的单调递增区间；(2)若，求f(x)的最大值和最小值.
14．已知函数．
（1）求的定义域、值域；
（2）判断的奇偶性．
15． ，，若该函数是单调函数，求实数a的最大值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数并不只有正弦函数．
2. 【答案】C
【解析】为偶函数，使用诱导公式.
3. 【答案】C
【解析】(法一：数形结合；法二：特殊值代入检验).
4．【答案】C
【解析】 ，
∵x∈R，∴ymin=－1．
5．【答案】D
【解析】．
6．【答案】D
【解析】.
7．【答案】A
8．【答案】A
【解析】当时，cos x递增，也递增；当时，cos x递减，也递减，又为偶函数．
9．【答案】
【解析】由，∴是以4为周期的周期函数，．
10．【答案】
【解析】根据性质①②可知，关于直线x=0和都对称，而余弦函数中相邻的两对轴之间的距离为半个周期，于是可令周期为，令是函数的最小值，于是可以写出满足条件的一个解析式为，当然答案不止一个．
11. 【答案】
【解析】令则是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即，
则
12．【答案】①②③
【解析】 ④y=3sin2x的图象向右平移个单位得的图象，非图象C．向右平移个单位长度可得图象C．
13．【解析】(1)单增区间为
(2).
14．【解析】（1）由已知，又有－1≤sin x≤1，故－1＜sin x＜1．
故的定义域为．
又，因为－1＜sin x＜1，所以，，，．故的值域为（－∞，+∞）．
（2）函数的定义域关于原点对称，且sin(―x)=―sin x．
故，故是奇函数．
15．【解析】由，得（k∈Z）．
∴函数的单调递增区间是（k∈Z）．
同理函数的单调减区间是（k∈Z）．
令，即，又k∈Z，∴k不存在．
令，得k=1．
∴，
这表明在上是减函数，
∴a的最大值为．【巩固练习】
1．以下对正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是（ ）
A．在x∈[2kπ，2kπ+2π]（k∈Z）上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y=1与直线y=－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
2．用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
3．函数在区间的简图是（ ）
4．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内（ ）
A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
7．设函数，x∈R，对于以下三个结论：
①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，．
根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知k＜―4，则函数y=cos2x+k (cos x―1)的最小值是（ ）
A．1 B．―1 C．2k+1 D．―2k+1
9．函数y=cos x的图象可以通过将y=sin x的图象________而得到．
10．下列函数图象相同的序号是________．
①y=cos x与y=cos (π+x)；
②与；
③y=sin x与y=sin (－x)；
④y=sin (2π+x)与y=sin x．
11．方程x2=cos x的实根个数有________个．
12．方程的解的个数是________．
13．利用“五点法”作出的图象．
14．作函数的图象．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由三角函数y=sin x的图象知，它不关于x轴对称．
2．【答案】B
【解析】 2x分别取0，，π，，2π．
3．【答案】A
4．【答案】A
【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数．
5．【答案】C
【解析】求解方程|x|=cos x在（－∞，+∞）内根的个数问题，可转化为求解函数和在（－∞，+∞）内的交点个数问题．和的图象如图所示，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】 作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误．
8．【答案】A
【解析】 y=cos2x+k (cos x―1)=2cos2x+kcos x―(k+1)．令t=cos x（t∈[―1，1]），则y=2t2+kt―(k+1)，对称轴．∵k＜－4，∴，∴函数y=2t2+kt―(k+1)在[―1，1]内为单递减函数．当t=1，即cos x=1时，函数有最小值1．故选A．
9．【答案】向左平移个单位长度
【解析】因为，故
．
10．【答案】④
【解析】根据诱导公式，只有sin (2π+x)=sin x成立．
11．【答案】2
【解析】在同一坐标系中作y=x2与y=cos x的图象，观察到在y轴左右两侧各有一个交点．
12．【答案】7
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计个.
13．【解析】列表如下：
x
0
0 1 0 －1 0
描点连线，如下图，便得到的图象．
14．【解析】
由对称性易知，只需作出的图象，把轴下方的图象翻折到轴上方即可，其图象如下图所示：对数函数及其性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数与对数函数互为反函数．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为．
2．判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：
（1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量．
要点诠释：
（1）只有形如y=logax(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．
（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．
要点二、对数函数的图象与性质
a＞0 0＜a＜1
图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增函数 在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y＜0，当x≥1时，y≥0 当0＜x＜1时，y＞0，当x≥1时，y≤0
要点诠释：
关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，logaN>0；当a，N异侧时，logaN<0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当0要点四、反函数
1．反函数的定义
设分别为函数的定义域和值域，如果由函数所解得的也是一个函数（即对任意的一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作，在中，是自变量，是的函数，习惯上改写成（）的形式．函数（）与函数（）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为．
由定义可以看出，函数的定义域A正好是它的反函数的值域；函数的值域B正好是它的反函数的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．
（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例1. 求下列函数的定义域：
(1)； (2).
【答案】（1）；（2）．
【解析】由对数函数的定义知：，，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为，即，所以函数；
(2)因为，即，所以函数.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于的定义域时，应首先保证．
举一反三：
【变式1】求下列函数的定义域.
(1) y= (2) （且）.
【答案】（1）(1，)(，2)；（2）略
【解析】(1)因为， 所以，
所以函数的定义域为(1，)(，2).
（2）因为 ， 所以.
①当时，定义域为；
②当时，
(i)若，则函数定义域为(，+∞)；
(ii)若，且，则函数定义域为(-∞，)；
(iii)若，则当时，函数定义域为；当时，此时不能构成函数，否则定义域为.
【变式2】函数的定义域为[-1，2]，求的定义域.
【答案】[，16].
【答案】由，可得的定义域为[，4]，再由得的定义域为[，16].
类型二、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.
例2. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)；
(2)；
(3)与；
(4) 与．
(5)（）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。
【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，；
解法2：由函数在R+上是单调增函数，且3.6<8.9，所以；
(2)与第(1)小题类似，在R+上是单调减函数，且1.9<3.5，所以；
(3)函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象上方，这里，．
(4)
(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当时，在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，
当时，y=logax在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，
解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令，则，令，则
当时，在R上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b1当时，在R上是减函数，且4.2<4.8
所以，b1>b2，即.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【高清课堂：对数函数 369070 例3】
例3．比较其中01的大小.
【答案】
【解析】由01，得，
，
，即
【总结升华】若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小，中间变量常常用“0”和“1”．用“0”和“1”把所给的数先分两组，然后组内再比较大小．
举一反三：
【变式1】已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得
又∵为单调递增函数，
∴
故选C.
【高清课堂：对数函数369070 例2】
【变式2】比较的大小．
【答案】
【解析】
例4．求函数的值域和单调区间.
【思路点拨】先解不等式，保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求解．
【答案】[-1，+∞；增区间为；减区间为．
【解析】设，则.∵ y=为减函数，且，
∴ ，即函数的值域为[-1，+∞.再由：函数的定义域为，即.
∴ 在上递增而在上递减，而y=为减函数.
∴ 函数的增区间为，减区间为.
【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即型；另一类是内函数为对数函数，即型．对于型的函数的单调性，有以下结论：函数的单调性与函数的单调性，当时相同，当时相反．
研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”．
研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则．
举一反三：
【变式1】求函数的值域和单调区间．
【答案】；减区间为，增区间为．
【解析】设，则，∵ y=t为增函数，
的值域为．
再由：的定义域为
在上是递增而在上递减，而y=t为增函数
∴ 函数y=的减区间为，增区间为.
【变式2】求函数的单调区间
【答案】减区间是：和
【解析】①若则递增，且递减，而，即，
在上递减．
② 若，则递减，且递增，而，即，
在上递减．
综上所述，函数的单调递减区间是：和．
类型三、函数的奇偶性
例5. 判断下列函数的奇偶性.
(1) (2).
【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。（2）求，如果，则函数是偶函数，如果，则函数是奇函数。
【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又
所以函数是奇函数；
【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)【解析】由
所以函数的定义域为R关于原点对称
又
即f(-x)=-f(x)；所以函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.
类型四、反函数
例6．求出下列函数的反函数
（1）；（2）。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对数函数，它的底数为，所以它的反函数是指数函数；
（2）指数函数的反函数是对数函数．
【总结升华】
反函数的定义域都由原函数的值域来确定的，特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义域．
举一反三：
【高清课堂：对数函数369070 例5】
【变式1】 若函数是函数且a≠1)的反函数，且，则（ ）
(A) (B) (C) (D)2
【答案】 A
【解析】解法1：函数是函数且a≠1)的反函数
，又
，，
故选A．
解法2：函数是函数且a≠1)的反函数，且
点（1，2）在函数的图象上，
故选A．
类型五、利用函数图象解不等式
例7．若不等式，当时恒成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】画出函数的图象与函数的图象，然后借助图象去求借。
【答案】
【答案】要使不等式在时恒成立，即函数的图在内恒在函数图象的上方，而图象过点．由右图可知，，显然这里0＜a＜1，∴函数递减．又，∴，即．∴所求的a的取值范围为．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数与，则=的实数解等价于两个函数与的图象的交点的横坐标；而的的解等价于函数的图象在的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式的问题．
举一反三：
【变式1】 当x∈（1，2）时，不等式恒成立，求a的取值范围．
【答案】1＜a≤2
【答案】设，，要使当x∈（1，2）时，不等式恒成立，只需在（1，2）上的图象在的下方即可．当0＜a＜1时，由图象知显然不成立．当a＞1时，如图2-2-5所示，要使在（1，2）上，的图象在的下方，
只需，
即，，∴1＜a≤2．
类型六、对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；
（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）的定义域为，求实数的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.的定义域为R，即关于的不等式的解集为R，这是不等式中的常规问题.
的值域为R与恒为正值是不等价的，因为这里要求取遍一切实数，即要求取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使能取遍一切正数的条件是.
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
（1）的定义域为R，
恒成立，，．
（2）的值域为R，
取遍一切正数，，．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式的解集为，记作图形，如图所示，只需过点，，即满足，且即可，解得．
【总结升华】如果函数的定义域为某个区间D，则函数在这个区间D的任何子集内部都有意义；如果函数在区间E上有意义，而的定义域为D，则必有．
举一反三：
【变式1】 已知函数.
(1)若函数的定义域为R，求实数的取值范围；(2)若函数的值域为R，求实数的取值范围.
【答案】（1）a>1；（2）0≤a≤1．
【解析】(1) 的定义域为R，即：关于x的不等式的解集为R，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；
当a≠0时，有 a>1.∴ a的取值范围为a>1.
(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数 a=0或0≤a≤1，
∴ a的取值范围为0≤a≤1.
例9．已知函数（常数）．
（1）求的定义域；
（2）在函数的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于轴；
（3）当，满足什么关系时，在上恒取正值．
【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的真数为正，再利用指数运算性质求出定义域．（2）中证明是否存在要由单调性来确定，若单调递增或递减，就不存在两点两线平行于轴．
【答案】（1）（2）不存在（3）
【解析】
（1）由，得，由，得，故，即函数的定义域为．
（2）设，
故
即，
在上为增函数．
假设函数的图象上存在不同的两点，，使直线AB平行于轴，即，这与是增函数矛盾．
故函数的图象上不存在不同的两点，使过这两点的直线平行于轴．
（3）由（2）知在上是增函数
在上也是增函数
当时，
只需，即
当时，在上恒取正值．
【总结升华】此题综合性较强，综合考查对数函数性质和指数函数性质的关系，提问方式灵活．灵活掌握转化的思想，基础知识扎实是解决此类问题的关键．
举一反三：
【变式1】已知，是否存在实数、，使同时满足下列两个条件：①在上是减函数，上是增函数；②的最小值是1．若存在，求出、的值，若不存在，说明理由．
【答案】
【解析】设存在满足条件的、
在上是减函数，上是增函数，
当时，最小，从而
设，则，
恒成立，
即恒成立，
又因此恒成立，从而．
设，则恒成立，化简得
恒成立，
又所以恒成立，故．
综上，．的图象与性质
编稿：丁会敏 审稿：王静伟
【学习目标】
1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；
2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
要点二：函数中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.
要点三：由得图象通过变换得到的图象
1.振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02.周期变换：
函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换：
函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).
要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0【典型例题】
类型一：三角函数的图象
例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图.
【解析】
法一：(五点法)：
列表
x
x+ 0
sin(x+) 0 1 0 -1 0
描点画图：
法二：(图象变换)
函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.
【解析】(五点法)由，得，列表：
x
2x+ 0
3sin(2x+) 0 3 0 -3 0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.
举一反三：
【变式1】已知函数．
（1）作出函数的简图；
（2）指出其振幅、周期、初相、值域．
【解析】（1）
列表：
x
0
y 0 2 0 －2 0
描点画图，如下图所示：
把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．
（2）振幅为2，周期为4π，初相是，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．
【变式2】如何由函数y=sin x的图象得到函数的图象？
【解析】 解法一：
．
解法二：
．
【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．
类型二：三角函数的解析式
【高清课堂：正弦型函数的图象与性质 370634 例3】
例3．已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式．
【解析】
由题
又是函数的最大值点，是函数的最小值点
，
又函数最高点为（2，2），即
【总结升华】求函数的解析式，值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点（x0，0），与正弦曲线上（0，0）点对应，即，选取k值，确定符合条件的k值．
举一反三：
【变式1】已知函数（A＞0，ω＞0，）的图象的一个最高点为，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．
【解析】由已知条件知，又，
∴T=16，，∴．
∵图象过点（6，0），∴，
∴（k∈Z），
又，∴令k=1可得，
∴．
【变式2】如下图为正弦函数的一个周期的图象，写出函数的解析式．
【解析】由题图知，A=2，T=7―(―1)=8，
，∴
将点（―1，0）代入，得．
∴，∴．
类型三：函数的性质的综合运用
例4．已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为.
(1)求的解析式；
(2)当时，求的值域．
【思路点拨】先由图象上的一个最低点A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定的值，最后由点在图象上求得的值，进而得到函数的解析式；先由的范围，求得的范围，再求得的值域．
【解析】（1）由最低点为，得
由轴上相邻两个交点之间的距离为，得，即
所以
由点在图象上，得，即，
故=，所以
又，所以
故的解析式为．
（2）因为，所以
当=，即时，取得最大值为2；
当=，即时，取得最大值为-1．
【总结升华】利用三角函数图象与轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，去求解参数的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等，在求函数值域时，由定义域转化成的范围，即把看作一个整体．
举一反三：
【变式1】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间．
【解析】（1）依题意得：，周期,
,故，又图象过点，
，解得：，即
．
（2）由
得：
故函数的递增区间为：．
【变式2】设函数（A≠0，ω＞0，）的图象关于直线对称，它的周期是π，则（ ）
A．的图象过点 B．在上是减函数
C．的一个对称中心是 D．的最大值是A
【答案】 C
【解析】 ∵周期T=π，∴，又ω＞0，∴ω=2．
又∵的图象关于直线对称，∴．
∴，∴．∴图象过．
又当时，，则，
∴是的一个对称中心．
【总结升华】 与研究其他函数的性质一样，研究函数（A≠0，ω＞0，）的性质时，往往先画出其图象，并注意各性质之间的关系．
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