2023届高考数学一轮复习讲义之圆锥曲线技巧突破——蒙日圆

蒙日圆
2023高考一轮复习——圆锥曲线技巧突破
2022年8月12日
蒙日圆及其证明
1.0 蒙日
加斯帕尔·蒙日 （Gaspard Monge，1746～1818），法国数学家、化学家和物理学家。生于博恩的平民人家。少年时在家乡一所天主教开设的学校学习，后转学里昂，16岁毕业，留校任物理学教师。接着被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习。23岁时任该校教师。26岁时被巴黎科学院选为通讯研究员。29岁时任皇家军事工程学院“皇家数学和物理学教授”。34岁时当选为科学院的几何学副研究员。38岁时被任命为法国海军学员的主考官。46岁时任海军部长8个月。51岁时任法国著名的综合工科学校校长。72岁在巴黎逝世。
什么是蒙日圆？
在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。
椭圆的蒙日圆方程为：
双曲线的蒙日圆方程为：
定理1 曲线Γ：的两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程是圆：
蒙日圆的解析几何证明
证法一：
当两条相互垂直的切线有一条斜率不存在、另一条斜率为0时，可得点P的坐标为，或。
当两条相互垂直的切线的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标是，所以设椭圆Γ过点P的切线方程为：，A、B为椭圆的左右顶点
由，得
由Δ=0，得
因为kPA，kPB是这个关于k的方程的两个根，所以
由此，得
证法二：
当两条相互垂直的切线有一条斜率不存在、另一条斜率为0时，可得点P的坐标为，或。
当两条相互垂直的切线的斜率均存在且均不为0时，设点P的坐标是，所以可设两个切点分别是A，B
得直线AB：，切线PA：，切线PB：。所以：
，

因为点既在曲线Γ：又在直线AB：上，所以

所以

由此，可得
PA⊥PB
进而可得欲证成立。
蒙日圆的平面几何证明
先给出四个引理
引理1 椭圆的光学性质
预备性质 椭圆Γ：的左、右焦点分别是F1、F2，点P为椭圆上一点，则有：
（1）椭圆Γ在点P处的切线l平分焦点三角形△PF1F2的外角；
（2）过点P且垂直于切线l的直线PM交x轴于点M， PM平分∠F1PF2
证明：
引理1（切线PN为镜面，PM为法线）后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上。
引理2
引理2 过椭圆Γ（其中心是点O，长半轴长为a）的任一焦点F作椭圆Γ的任意切线l的垂线，设垂足是H，则。
证明：
引理3
引理3 平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和
证明：
引理4
引理4 设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则
证明：
证法三：
不妨设a>0，b>0.当a=b时，易证成立。下面只证明a>b的情形。
如图所示，设椭圆的中心是O，左、右焦点分别是F1、F2，焦距是2c，过点P的两条切线分别是PM，PN。
连接OP，作OG⊥PM，OH⊥PN，垂足分别是G、H，过点F1作F1 D⊥PM，垂足为D，由引理2得：
再做F1K⊥OG于K。记∠OF1K=θ，得：
由Rt△ODG，得：
又作F2E⊥PN，F2L⊥OH，垂足分别为E，L。在Rt△OEH中，同理可得:
（1）若PMPN，得矩形OGPH，所以
=
（2）若，得
由OG⊥PM，得
所以
同理，有，所以四边形OGPH是平行四边形,进而可得四边形OGPH是矩形，所以PM⊥PN。
由（1）、（2）得点P的轨迹方程是
练习巩固
1.（2014年高考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆C：的一个焦点为(，0)，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P 为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
2.给定椭圆C： ，称圆心在原点O，半径为的圆为椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为.
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
（2）若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
3.（海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知⊙O：x2+y2=1. 若直线y=kx+2上总存在点 ，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是 .
4.已知椭圆C：，点P为圆x2+y2=5上的一个动点，过点P的切线与椭圆C相切于A、B两点，与圆交于C、D两点，求证：AB∥CD
拓展 仿射变换
5.已知椭圆 ，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为3，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值。
6.如图，在平面直角坐标系xOy中已知椭圆C1：，椭圆C2： 与的长轴长之比为：1，离心率相同。
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设点P为椭圆C2上的一点。
①射线PO与椭圆C1依次交于点A、B，求证：为定值；
②过点P作两条斜率分别为k1、k2的直线l1、l2，且直线l1、l2与椭圆均有且只有一个公共点，求证： k1·k2为定值
7.在圆M：(r>0)上总存在点P，使得过点P能做椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围为( )
A.(3,7) B.[3,7] C.(1,9) D.[1,9]
拓展 第三定义与中点弦
平面内的动点到两定点A1（a，0）A2（－a，0）的斜率乘积，等于常数e2－1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于－1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。
结论：
（1）椭圆上A、B两点关于原点对称，P为A 、 B外的任意一点，则直线AP 、 BP的斜率kAP 、 kBP满足
（2）双曲线上A、B两点关于原点对称，P为A 、 B外的任意一点，则直线AP 、 BP的斜率kAP 、 kBP满足