高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第一节空间向量及其运算（一）
一、单选题
1．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，
∵ ，E为OA的中点，
， ，
所以 .
故选：A
【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.
2．（2022高二下·广东月考）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故答案为：C
【分析】如图，延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，结合已知条件可得，即可确定P为重心，从而得到，即可求解。
3．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.
4．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
5．（2021高二上·河北期中）若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2021高二上·河东期中）在长方体 中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为 ， ， ，所以 ， ， 共面，故错误；
B. 因为 = + ，所以 ， ， 共面，故错误；
C. 因为 ， ， 不共面，故正确；
D. 因为 ， ， 共面，故错误；
故答案为：C
【分析】 根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
7．已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 =2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． +2 -2 B． =-2 +3
C． =2 -3 D． =2 -2
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】因为 =2 ，
又 ，
所以 ，
整理得 =2 -2 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由空间向量的加、减法运算法则整理即可得出答案。
8．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
9．在正方体 中，下列各式的运算结果为向量 的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，①错；
，②错；
，③对；
，④对．
故答案为：C．
【分析】结合正方体的几何性质以及向量的加减运算法则对选项逐一判断即可得出 ③④ 正确由此得出答案。
10．空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算法则计算出结果即可。
11．（2019高二上·西安月考）若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若 不构成一组基底，则有 ，所以向量 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此 能构成一组基底，
D：因为 ，所以向量 是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故答案为：C
【分析】利用共面向量的性质，结合空间向量的基底的性质，进行求解即可.
12．（2019高二上·海口月考）式子 化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
.
故答案为：B.
【分析】根据向量加法的运算律以及向量加法的三角形法则可得结果.
13．（2019高二上·辽阳期末）在三棱柱 中，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】依题意 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意利用向量的三角形法则得出，进而得出结果。
二、多选题
14．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量的加减法
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
【分析】根据题意由向量加法的线性运算法则对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
15．（2021高二上·茂名期中）下列关于空间向量的命题中，
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
上述命题中，正确的有 ．
【答案】①③④
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于①， 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则向量 ， 与空间任意向量都共面，则与必共线，即//，故①正确；
对于②， 若非零向量 ， ， 满足 ， ，当非零向量 ， ， 不共面时， 与可以不平行，故②不正确；
对于③，因为 ，所以，
所以，所以共面，所以 ， ， ， 四点共面，故③正确；
对于④，若向量 ， ，是空间一组基底，则向量 ， ， 不共面，则对任意实数x，y都有，即，
所以 ， ， 不共面，所以 ， ， 也是空间的一组基底．故④正确.
故答案为：①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.
16．如图，在直三棱柱 中，若 ，则 ．（用 表示）
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】在直三棱柱 中，若 ，
则
故答案为：
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
17．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
18．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若 BCD是正三角形，且E为其中心，则 的化简结果为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图，取BC的中点F，连结DF，则 ，
∴ .
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及向量加、减法的运算法则计算出结果即可。
19．已知正方体 中， ，若 ，则 ， ．
【答案】1；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解： ， ，所以 ， .
故答案为：1， .
【分析】根据题意由向量加法的运算法则以及正方体的几何性质代入数值计算出结果即可。
20．（2018高二上·海口期中）在正四面体O－ABC中， ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝ (用 表示)．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点， ，故答案为 .
【分析】利用D为BC的中点，E为AD的中点，可表示 ， ,从而可解出答案。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第一节空间向量及其运算（一）
一、单选题
1．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·广东月考）在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2021高二上·河北期中）若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
6．（2021高二上·河东期中）在长方体 中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
7．已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 =2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． +2 -2 B． =-2 +3
C． =2 -3 D． =2 -2
8．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．在正方体 中，下列各式的运算结果为向量 的是（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．空间任意四个点A、B、C、D，则 等于 ( ）
A． B． C． D．
11．（2019高二上·西安月考）若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019高二上·海口月考）式子 化简结果是（ ）
A． B． C． D．
13．（2019高二上·辽阳期末）在三棱柱 中，若 ， ， ，则
A． B． C． D．
二、多选题
14．已知正方体 ，则下列各式运算结果是 的为（ ）.
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2021高二上·茂名期中）下列关于空间向量的命题中，
①若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
②若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
③若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底．
上述命题中，正确的有 ．
16．如图，在直三棱柱 中，若 ，则 ．（用 表示）
17．已知 、 、 、 为空间中任意四点，化简 .
18．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD,若 BCD是正三角形，且E为其中心，则 的化简结果为 ．
19．已知正方体 中， ，若 ，则 ， ．
20．（2018高二上·海口期中）在正四面体O－ABC中， ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 ＝ (用 表示)．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，
∵ ，E为OA的中点，
， ，
所以 .
故选：A
【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，如图所示：
因为，，，
所以，
所以P是的重心，
所以，即，
所以，
整理得．
故答案为：C
【分析】如图，延长PB到，使得，延长PC到，使得，连接，，，结合已知条件可得，即可确定P为重心，从而得到，即可求解。
3．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
5．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为 ， ， ，所以 ， ， 共面，故错误；
B. 因为 = + ，所以 ， ， 共面，故错误；
C. 因为 ， ， 不共面，故正确；
D. 因为 ， ， 共面，故错误；
故答案为：C
【分析】 根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】因为 =2 ，
又 ，
所以 ，
整理得 =2 -2 .
故答案为：D.
【分析】根据题意由空间向量的加、减法运算法则整理即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，①错；
，②错；
，③对；
，④对．
故答案为：C．
【分析】结合正方体的几何性质以及向量的加减运算法则对选项逐一判断即可得出 ③④ 正确由此得出答案。
10．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ．
故答案为：C.
【分析】由向量的加法运算法则计算出结果即可。
11．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若 不构成一组基底，则有 ，所以向量 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此 能构成一组基底，
D：因为 ，所以向量 是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故答案为：C
【分析】利用共面向量的性质，结合空间向量的基底的性质，进行求解即可.
12．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
.
故答案为：B.
【分析】根据向量加法的运算律以及向量加法的三角形法则可得结果.
13．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】依题意 ，
故答案为：B.
【分析】根据题意利用向量的三角形法则得出，进而得出结果。
14．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量的加减法
【解析】【解答】A中， ；
B中， ；
C中， ；
D中， .
故答案为：ABC.
【分析】根据题意由向量加法的线性运算法则对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】①③④
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：对于①， 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则向量 ， 与空间任意向量都共面，则与必共线，即//，故①正确；
对于②， 若非零向量 ， ， 满足 ， ，当非零向量 ， ， 不共面时， 与可以不平行，故②不正确；
对于③，因为 ，所以，
所以，所以共面，所以 ， ， ， 四点共面，故③正确；
对于④，若向量 ， ，是空间一组基底，则向量 ， ， 不共面，则对任意实数x，y都有，即，
所以 ， ， 不共面，所以 ， ， 也是空间的一组基底．故④正确.
故答案为：①③④
【分析】根据空间向量基本定理可知，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此对四个命题逐个分析可得答案.
16．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】在直三棱柱 中，若 ，
则
故答案为：
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
17．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】由向量的加、减法运算法则计算出结果即可。
18．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图，取BC的中点F，连结DF，则 ，
∴ .
【分析】根据题意作出辅助线由中点的性质以及向量加、减法的运算法则计算出结果即可。
19．【答案】1；
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】解： ， ，所以 ， .
故答案为：1， .
【分析】根据题意由向量加法的运算法则以及正方体的几何性质代入数值计算出结果即可。
20．【答案】
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为在四面体 中， 为 的中点， 为 的中点， ，故答案为 .
【分析】利用D为BC的中点，E为AD的中点，可表示 ， ,从而可解出答案。
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