高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第一节空间向量及其运算（二）
一、单选题
1．给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ， 满足 ，则 ；③若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
4．（2018高二上·万州月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018高二下·孝感期中）如图，在空间四边形 中，点 为 中点，点 在 上，且 ， 则 等于（ ）
A． B．
C． D．
6．（2018高二上·合肥期末）空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 =（ ）
A． B．
C． D．
7．（2018高二上·潮州期末）如图:在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2018高二上·嘉兴期末）如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018高二上·嘉兴期末）在三棱锥 中， 是 的中点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在底面 为平行四边形的四棱柱 中，M是AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若 ，，则 （ ）
A． B．
C． D．
12．已知空间四边形OABC， ，N分别是OA，BC的中点，且 ， ， =c，用a，b，c表示向量 为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．直三棱柱 中，若 ，则 ．
14．如图，在空间四边形 中， 和 为对角线， 为 的重心 是 上一点， 以 为基底，则 ．
三、解答题
15．如图所示， 、 分别是空间四边形 的边 、 的中点.试判断向量 与向量 、 是否共面.
16．（2019高二上·佛山月考）平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 .
（1）求 的长；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 与 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
【分析】由空间向量的性质结合单位性质、相等向量以及向量模的定义结合命题的真假对选项逐一判断即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
3．【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
∴α= ，β=﹣1，
故答案为：A．
【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减法的应用；平面向量的基本定理；向量在几何中的应用；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得
，
故答案为：D.
【分析】利用向量多边形与空间向量的加减法三角形法则即可得出．
6．【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
如图，连接 为 中点，在 中，可得 ，由 ，则 ，那么 ．
故答案为：B ．
【分析】由题意结合图形，直接利用向量加法的性质，求出，然后即可解答．本题考查空间向量的基本运算，考查计算能力．
7．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
，
故答案为：A.
【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解．
8．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故选B。
【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
9．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
故答案为:C.
【分析】利用空间向量基本定理,将目标向量表示这三个不共面的向量即基底的形式.
10．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据向量的加减法法则将用，，包表示即可求解.
11．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
．故C符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
12．【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，连接ON，AN，则 ， ，
所以 .
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+），=（+），=（+）=（+），而=.
13．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】直三棱柱 中，若
故答案为
【分析】结合直三棱柱的几何性质以及向量的加、减运算法则整理即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意，连接 则
．
.
故答案为 .
【分析】根据题意作出辅助线由向量加、减法运算法则计算出结果即可。
15．【答案】解：由题图可得 ，①； ，②.
， .
由①②得 ，即 ，
故向量 与向量 、 共面
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【分析】利用向量的加、减法运算法则以及向量共面的性质定理整理即可得出结果。
16．【答案】（1）解：记 ＝a， ＝b， ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ ．
| |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× ＝6，
∴| |＝ ，即AC1的长为 ．
（2）解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，∴| |＝ ，| |＝ ，
· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）记 ＝a， ＝b， ＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出 ，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．
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一、单选题
1．给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 ， 满足 ，则 ；③若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.
其中假命题的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】向量的模；零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，
则它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.
②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，
而且方向还要相同，但②中向量 与 的方向不一定相同.
③真命题.向量的相等具有传递性.
④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，
但方向不一定相同，以不一定相等.
⑤假命题.零向量的方向是任意的.
故答案为：D.
【分析】由空间向量的性质结合单位性质、相等向量以及向量模的定义结合命题的真假对选项逐一判断即可得出答案。
2．如图所示，在平行六面体 中， 与 的交点为M．设 ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由图可得 ，
所以 .
故答案为：A
【分析】由向量的加减运算法则计算出结果即可。
3．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2018高二上·万州月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】根据向量加法的多边形法则以及已知可得，
∴α= ，β=﹣1，
故答案为：A．
【分析】反复的运用向量加法，结合待定系数法，即可得出答案。
5．（2018高二下·孝感期中）如图，在空间四边形 中，点 为 中点，点 在 上，且 ， 则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则；向量加减法的应用；平面向量的基本定理；向量在几何中的应用；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得
，
故答案为：D.
【分析】利用向量多边形与空间向量的加减法三角形法则即可得出．
6．（2018高二上·合肥期末）空间四边形 中， ， ， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 =（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
如图，连接 为 中点，在 中，可得 ，由 ，则 ，那么 ．
故答案为：B ．
【分析】由题意结合图形，直接利用向量加法的性质，求出，然后即可解答．本题考查空间向量的基本运算，考查计算能力．
7．（2018高二上·潮州期末）如图:在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
，
故答案为：A.
【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解．
8．（2018高二上·嘉兴期末）如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故选B。
【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
9．（2018高二上·嘉兴期末）在三棱锥 中， 是 的中点，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
故答案为:C.
【分析】利用空间向量基本定理,将目标向量表示这三个不共面的向量即基底的形式.
10．如图，在底面 为平行四边形的四棱柱 中，M是AC与BD的交点，若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故A符合题意.
故答案为：A .
【分析】根据向量的加减法法则将用，，包表示即可求解.
11．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若 ，，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】
．故C符合题意．
故答案为：C .
【分析】根据向量的加减法法则即可求解.
12．已知空间四边形OABC， ，N分别是OA，BC的中点，且 ， ， =c，用a，b，c表示向量 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】如图所示，连接ON，AN，则 ， ，
所以 .
【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知：=（+），=（+），=（+）=（+），而=.
二、填空题
13．直三棱柱 中，若 ，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】直三棱柱 中，若
故答案为
【分析】结合直三棱柱的几何性质以及向量的加、减运算法则整理即可得出答案。
14．如图，在空间四边形 中， 和 为对角线， 为 的重心 是 上一点， 以 为基底，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意，连接 则
．
.
故答案为 .
【分析】根据题意作出辅助线由向量加、减法运算法则计算出结果即可。
三、解答题
15．如图所示， 、 分别是空间四边形 的边 、 的中点.试判断向量 与向量 、 是否共面.
【答案】解：由题图可得 ，①； ，②.
， .
由①②得 ，即 ，
故向量 与向量 、 共面
【知识点】空间向量的加减法；共面向量定理
【解析】【分析】利用向量的加、减法运算法则以及向量共面的性质定理整理即可得出结果。
16．（2019高二上·佛山月考）平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 .
（1）求 的长；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）解：记 ＝a， ＝b， ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ ．
| |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× ＝6，
∴| |＝ ，即AC1的长为 ．
（2）解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，∴| |＝ ，| |＝ ，
· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）记 ＝a， ＝b， ＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出 ，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．
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