高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第三节空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．（2022高二下·汕尾期末）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】向量加减混合运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，，，即
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
2．（2022高二下·盐城月考）已知向量 ＝(2，－1，3)， ＝(x，2，－6)，若 ⊥ ，则实数x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：因为 ⊥ ，
所以·=2·x+(-1)·2+3·(-6)=0，
解得x=10.
故选：D
【分析】由向量垂直的坐标表示，列式求解.
3．（2022高二下·浙江月考）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为且，所以，则，解得；
故答案为：C
【分析】根据题意，由向量的坐标和两向量平行的坐标表示，可得，即可求解.
4．（2021高二上·慈溪期末）已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】由 ，可知 ，则有 ，解之得
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的性质直接求解，即可得答案。
5．（2021高二上·宝安期末）已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵，，，，，，且，
∴，解得．
故答案为：D．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
6．（2021高二上·东莞月考）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ ， 且
∴1×x+1×y+(-3)×1=0
则x+y=3
故答案为：D
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
7．（2021高二上·太原期中）已知 ， ，且 ，则实数 （ ）
A．-2 B．2 C．-8 D．8
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间直角坐标系；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
8．（2021高二上·湖州期中）已知向量 ，且 与 互相垂直，则k＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ ，且 与 互相垂直，
∴2k+(-1)×(-2)+3×1=0
∴
故答案为：C
【分析】根据空间向量垂直的充要条件求解即可.
9．（2021高二上·广东期中）设 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知条件结合数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
10．（2021高二上·丰台期中）已知向量 ， ，若 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题设，有 ， ，则 ，可得 .
故答案为：D
【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。
二、多选题
11．（2021高二上·大连期末）已知空间向量，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】向量，，
，则A符合题意，
，则B符合题意，
，则C不符合题意，
，则D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】由空间的坐标公式结合向量的加减运算和数量积的运算公式，整理化简计算出结果即可。
三、填空题
12．（2022高二下·福州期中）已知向量，，．若，则 ．
【答案】-11
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，，，
所以，
又因为，所以，解得，
故答案为：-11.
【分析】由空间向量的坐标公式，结合向量垂直的性质代入数值计算出结果即可。
13．（2021高二上·白云期末）已知空间向量，且，则 .
【答案】-2
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知可得，解得.
故答案为：-2.
【分析】由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．（2021高二上·番禺期末）已知向量，，若，则实数m的值是 .
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出m的取值即可。
15．（2021高二上·大连期末）已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则 .
【答案】0
【知识点】共面向量定理；直线的方向向量
【解析】【解答】，，
由已知，，即，解得
故答案为：0
【分析】首先由向量的坐标公式以及共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
16．（2022高二上·南山期末）已知 ，若 与 垂直，则 ．
【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∵与
∴
解得
故答案为：
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
17．（2021高二上·昌平期末）已知是直线的方向向量，是直线的方向向量．若直线，则 ．
【答案】-1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线的方向向量
【解析】【解答】由，则，
由，，
则，解得 ，
所以。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合直线方向向量的定义，再结合两直线平行推出两向量平行，再利用向量共线的坐标表示的 x，y的值，进而求出x+y的值。
18．（2021高二上·浙江期中）已知向量 ， ， ，则 .
【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知 ， ，
所以 ．
故答案为：2
【分析】根据题意由向量模的定义代入数值计算出x的取值，再由数量积的坐标公式计算出结果即可。
四、解答题
19．（2021高二上·东莞月考）已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
（1）求 ；
（2）若 与 互相垂直，求k．
【答案】（1）解：由题， ， ，
故 ．
（2）若 与 互相垂直，则 ，
∴ ，即 ，解得 ．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】(1)根据向量数量积计算公式即可求夹角的余弦；
(2)根据向量垂直，数量积为零即可求解.
20．（2021高二上·大连期中）已知
，
．
（1）若
，且
，求
；
（2）若
与
互相垂直，求实数
．
【答案】（1）， ， ， ，设 ，
，解得 ，故 或 .
（2），
，
与 互相垂直，即 ，
解得 或 .
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由空间向量和共线向量的坐标公式即可得出
，然后由向量摸的坐标公式代入数值计算出
，由此即可得出向量的坐标。
(2)根据题意由空间向量以及数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
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一、单选题
1．（2022高二下·汕尾期末）如图，平行六面体中，为的中点.若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·盐城月考）已知向量 ＝(2，－1，3)， ＝(x，2，－6)，若 ⊥ ，则实数x的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2022高二下·浙江月考）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2021高二上·慈溪期末）已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
5．（2021高二上·宝安期末）已知三维数组，，且，则实数（ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
6．（2021高二上·东莞月考）已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．9 B．6 C．5 D．3
7．（2021高二上·太原期中）已知 ， ，且 ，则实数 （ ）
A．-2 B．2 C．-8 D．8
8．（2021高二上·湖州期中）已知向量 ，且 与 互相垂直，则k＝（ ）
A． B． C． D．
9．（2021高二上·广东期中）设 ， ，且 ，则 等于（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
10．（2021高二上·丰台期中）已知向量 ， ，若 与 共线，则实数 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
二、多选题
11．（2021高二上·大连期末）已知空间向量，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2022高二下·福州期中）已知向量，，．若，则 ．
13．（2021高二上·白云期末）已知空间向量，且，则 .
14．（2021高二上·番禺期末）已知向量，，若，则实数m的值是 .
15．（2021高二上·大连期末）已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则 .
16．（2022高二上·南山期末）已知 ，若 与 垂直，则 ．
17．（2021高二上·昌平期末）已知是直线的方向向量，是直线的方向向量．若直线，则 ．
18．（2021高二上·浙江期中）已知向量 ， ， ，则 .
四、解答题
19．（2021高二上·东莞月考）已知空间三点 ， ， ，设 ， ．
（1）求 ；
（2）若 与 互相垂直，求k．
20．（2021高二上·大连期中）已知
，
．
（1）若
，且
，求
；
（2）若
与
互相垂直，求实数
．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】向量加减混合运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，，，即
故答案为：A.
【分析】根据题意由向量的加减运算性质，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
2．【答案】D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：因为 ⊥ ，
所以·=2·x+(-1)·2+3·(-6)=0，
解得x=10.
故选：D
【分析】由向量垂直的坐标表示，列式求解.
3．【答案】C
【知识点】共面向量定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为且，所以，则，解得；
故答案为：C
【分析】根据题意，由向量的坐标和两向量平行的坐标表示，可得，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量
【解析】【解答】由 ，可知 ，则有 ，解之得
故答案为：D
【分析】利用线面垂直的性质直接求解，即可得答案。
5．【答案】D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵，，，，，，且，
∴，解得．
故答案为：D．
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
6．【答案】D
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ ， 且
∴1×x+1×y+(-3)×1=0
则x+y=3
故答案为：D
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间直角坐标系；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ，所以存在实数 ，使得 ，
所以 ，解得 .
故答案为：C
【分析】由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
8．【答案】C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ ，且 与 互相垂直，
∴2k+(-1)×(-2)+3×1=0
∴
故答案为：C
【分析】根据空间向量垂直的充要条件求解即可.
9．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵ ，∴ ，∴ ，
故答案为：A.
【分析】由已知条件结合数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
10．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题设，有 ， ，则 ，可得 .
故答案为：D
【分析】由向量共线的性质定理，结合向量的坐标代入计算出x与的值，由此即可得出答案。
11．【答案】A,B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】向量，，
，则A符合题意，
，则B符合题意，
，则C不符合题意，
，则D不符合题意.
故答案为：AB
【分析】由空间的坐标公式结合向量的加减运算和数量积的运算公式，整理化简计算出结果即可。
12．【答案】-11
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，，，
所以，
又因为，所以，解得，
故答案为：-11.
【分析】由空间向量的坐标公式，结合向量垂直的性质代入数值计算出结果即可。
13．【答案】-2
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知可得，解得.
故答案为：-2.
【分析】由空间向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据题意由数量积的坐标公式，代入数值计算出m的取值即可。
15．【答案】0
【知识点】共面向量定理；直线的方向向量
【解析】【解答】，，
由已知，，即，解得
故答案为：0
【分析】首先由向量的坐标公式以及共线向量的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
16．【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∵与
∴
解得
故答案为：
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
17．【答案】-1
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；直线的方向向量
【解析】【解答】由，则，
由，，
则，解得 ，
所以。
故答案为：-1。
【分析】利用已知条件结合直线方向向量的定义，再结合两直线平行推出两向量平行，再利用向量共线的坐标表示的 x，y的值，进而求出x+y的值。
18．【答案】2
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由已知 ， ，
所以 ．
故答案为：2
【分析】根据题意由向量模的定义代入数值计算出x的取值，再由数量积的坐标公式计算出结果即可。
19．【答案】（1）解：由题， ， ，
故 ．
（2）若 与 互相垂直，则 ，
∴ ，即 ，解得 ．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【分析】(1)根据向量数量积计算公式即可求夹角的余弦；
(2)根据向量垂直，数量积为零即可求解.
20．【答案】（1）， ， ， ，设 ，
，解得 ，故 或 .
（2），
，
与 互相垂直，即 ，
解得 或 .
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【分析】(1)由空间向量和共线向量的坐标公式即可得出
，然后由向量摸的坐标公式代入数值计算出
，由此即可得出向量的坐标。
(2)根据题意由空间向量以及数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
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