高中数学人教A版（2019） 选择性必修一 第一章 第二节 空间向量基本定理

高中数学人教A版（2019） 选择性必修一 第一章 第二节 空间向量基本定理
一、单选题
1．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2021高二上·河北期中）若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（　　）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
5．（2021高二上·河东期中）在长方体 中，可以作为空间向量一个基底的是（　　）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
6．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020高二上·鱼台月考）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 = ，向量 ，则不能与 构成空间的一个基底的是（　　）
A． B．
C． D． 或
8．（2019高二上·西安月考）若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2018高二上·潮州期末）如图:在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
10．（2018高二上·嘉兴期末）如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则 等于（　　）
A． B．
C． D．
11．（2018高二上·嘉兴期末）在三棱锥 中， 是 的中点，且 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
12．若向量 、 、 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（2021高二上·广东期中）以下四个命题中错误的是（　　）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若 为空间向量的一组基底，则 构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，若 ，则 、 、 、 四点共面
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
三、填空题
14．（2018高二上·集宁月考）已知 是空间任一点， 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 ，则 　 　.
四、解答题
15．（2019高二上·佛山月考）平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 .
（1）求 的长；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，
∵ ，E为OA的中点，
， ，
所以 .
故选：A
【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.
2．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.
3．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
4．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为 ， ， ，所以 ， ， 共面，故错误；
B. 因为 = + ，所以 ， ， 共面，故错误；
C. 因为 ， ， 不共面，故正确；
D. 因为 ， ， 共面，故错误；
故答案为：C
【分析】 根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为 = ， = ，
故 ( )，所以 与向量 共面，
故 ， ， 不能构成空间的一个基底.
故答案为：C.
【分析】根据题意，寻找与 共面的向量即可.
8．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若 不构成一组基底，则有 ，所以向量 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此 能构成一组基底，
D：因为 ，所以向量 是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故答案为：C
【分析】利用共面向量的性质，结合空间向量的基底的性质，进行求解即可.
9．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
，
故答案为：A.
【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解．
10．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故选B。
【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
11．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
故答案为:C.
【分析】利用空间向量基本定理,将目标向量表示这三个不共面的向量即基底的形式.
12．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故A不符合题意；
B. ，但可能 ，即M、A、B、C可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底，故B不符合题意；D.∵ ，∴M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故D不符合题意；故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】因为空间任意不共面的三个向量可以作为基底，所以根据“若=x+y+z，且x+y+z=1，则M、A、B、C四点共面，此时、、共面”进行判断即可.
13．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中忽略三个基底要求不共面的限制，A不符合题意；
若 为空间向量的一组基底，则 、 、 互不共面，且 、 、 均为非零向量，假设 、 、 共面，可设 ，所以 ，该方程组无解，故 、 、 不共面，因此， 可构成空间向量的一组基底，B符合题意；
由于 ，∵ ，此时， 、 、 、 四点不共面，C不符合题意；
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，D不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据空间向量基本定理及其推论，对选项逐一判断即可得出答案。
14．【答案】-1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ，
∴ 2x 3y 4z ，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为：﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理，得到﹣2x﹣3y﹣4z＝1，即可求出的值.
15．【答案】（1）解：记 ＝a， ＝b， ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ ．
| |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× ＝6，
∴| |＝ ，即AC1的长为 ．
（2）解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，∴| |＝ ，| |＝ ，
· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）记 ＝a， ＝b， ＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出 ，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．
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一、单选题
1．（2022高二下·盐城月考）如图，在三棱锥 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 ，记 ， ， 分别为 ， ， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：在三棱锥O-ABC中，
∵ ，E为OA的中点，
， ，
所以 .
故选：A
【分析】根据空间向量的加、减、以及数乘运算进行求解.
2．（2022高二下·河南月考）如图，在四面体中，，，，点M、N分别在线段OA、BC上，且，，则等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D.
【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.
3．（2021高二上·朝阳期中）如图，四面体 - ， 是底面△ 的重心， ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】因为 ，
所以
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合向量的线性运算即可表示。
4．（2021高二上·河北期中）若 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（　　）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A： ，所以 ， ， 共面；
B： ，所以 ， ， 共面；
C： 不能用 ， 表示，所以 ， ， 不共面；
D： ， 共线，则 ， ， 共面．
故答案为：C
【分析】根据题意由空间向量共面定理，对选项逐一判断即可得出答案。
5．（2021高二上·河东期中）在长方体 中，可以作为空间向量一个基底的是（　　）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】如图所示：
A. 因为 ， ， ，所以 ， ， 共面，故错误；
B. 因为 = + ，所以 ， ， 共面，故错误；
C. 因为 ， ， 不共面，故正确；
D. 因为 ， ， 共面，故错误；
故答案为：C
【分析】 根据题意由空间向量基底的定义，对选项逐一判断即可得出答案。
6．若向量 、 、 的起点与终点 、 、 、 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ 是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中，因为 ，所以 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底；
B中， ，但可能 ，即 、 、 、 可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底；
D中，∵ ，∴ 、 、 、 共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，
故答案为：C．
【分析】由空间向量基底的定义：三个向量不共线对选项逐一判断即可得出答案。
7．（2020高二上·鱼台月考）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 = ，向量 ，则不能与 构成空间的一个基底的是（　　）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为 = ， = ，
故 ( )，所以 与向量 共面，
故 ， ， 不能构成空间的一个基底.
故答案为：C.
【分析】根据题意，寻找与 共面的向量即可.
8．（2019高二上·西安月考）若 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为 ，所以向量 是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若 不构成一组基底，则有 ，所以向量 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此 能构成一组基底，
D：因为 ，所以向量 是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故答案为：C
【分析】利用共面向量的性质，结合空间向量的基底的性质，进行求解即可.
9．（2018高二上·潮州期末）如图:在平行六面体 中， 为 的交点.若 ， ， ，则向量 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】由题意可得：
，
故答案为：A.
【分析】本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解．
10．（2018高二上·嘉兴期末）如图，在三棱锥 中 ，点D是棱AC的中点 ，若 ， ， ，则 等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法
【解析】【解答】 ，故选B。
【分析】利用向量的三角形法则，表示所求向量，化简求解即可．本题考查向量的三角形法则，空间向量与平面向量的转化，是基础题．
11．（2018高二上·嘉兴期末）在三棱锥 中， 是 的中点，且 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
故答案为:C.
【分析】利用空间向量基本定理,将目标向量表示这三个不共面的向量即基底的形式.
12．若向量 、 、 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 、 、 成为空间一组基底的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A.因为 ，所以M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故A不符合题意；
B. ，但可能 ，即M、A、B、C可能共面，所以向量 、 、 不一定能成为空间的一组基底，故B不符合题意；D.∵ ，∴M、A、B、C共面，所以向量 、 、 不能成为空间的一组基底，故D不符合题意；故C符合题意.
故答案为：C .
【分析】因为空间任意不共面的三个向量可以作为基底，所以根据“若=x+y+z，且x+y+z=1，则M、A、B、C四点共面，此时、、共面”进行判断即可.
二、多选题
13．（2021高二上·广东期中）以下四个命题中错误的是（　　）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若 为空间向量的一组基底，则 构成空间向量的另一组基底
C．对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，若 ，则 、 、 、 四点共面
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】A中忽略三个基底要求不共面的限制，A不符合题意；
若 为空间向量的一组基底，则 、 、 互不共面，且 、 、 均为非零向量，假设 、 、 共面，可设 ，所以 ，该方程组无解，故 、 、 不共面，因此， 可构成空间向量的一组基底，B符合题意；
由于 ，∵ ，此时， 、 、 、 四点不共面，C不符合题意；
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，D不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】 根据空间向量基本定理及其推论，对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
14．（2018高二上·集宁月考）已知 是空间任一点， 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】∵ 2x 3y 4z ，
∴ 2x 3y 4z ，
∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面
∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1
∴2x+3y+4z＝﹣1
故答案为：﹣1
【分析】根据空间向量的基本定理，得到﹣2x﹣3y﹣4z＝1，即可求出的值.
四、解答题
15．（2019高二上·佛山月考）平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 .
（1）求 的长；
（2）求异面直线 与 夹角的余弦值.
【答案】（1）解：记 ＝a， ＝b， ＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝ ．
| |2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2× ＝6，
∴| |＝ ，即AC1的长为 ．
（2）解： ＝b＋c－a， ＝a＋b，∴| |＝ ，| |＝ ，
· ＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ．
∴AC与BD1夹角的余弦值为 ．
【知识点】异面直线及其所成的角；空间向量基本定理
【解析】【分析】（1）记 ＝a， ＝b， ＝c，并将其作为一组基底，利用空间向量的基本定理表示出 ，然后利用向量的模长计算公式及数量积的运算律即可求解；（2）利用向量夹角求两条异面直线夹角，但注意向量夹角为锐角或直角时两者相等，当向量夹角为钝角时，两者互补．
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