高中数学人教A版（2019）选择性必修一 第一章 第四节 空间向量的应用（一）
一、单选题
1．（2022高二下·茂名期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022高一下·常德期末）如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点A到平面的距离为
B．平面与底面ABC的交线平行于
C．三棱柱的外接球的表面积为16π
D．二面角的大小为
三、解答题
3．（2022高一下·湖北期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在四面体中，平面，平面平面.
（1）求证：四面体为“鳖臑”；
（2）若，，当二面角的平面角为时，求的长度.
4．（2022高一下·武汉期末）如图所示，四棱锥的底面 是边长为1的菱形，，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，．
（I）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小．
5．（2022高一下·驻马店期末）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．
（1）证明：面POD；
（2）若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．
6．（2022高一下·湖北月考）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，.
（1）求证：BC平面AEF；
（2）求点P到平面AEF的距离.
7．（2022高一下·汕尾期末）在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
8．（2022高二下·广州期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
9．（2022高二下·台州期末）如图所示，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，，底面为上一点，且.
（1）求PO的长；
（2）求二面角的余弦值.
10．（2022高二下·潮州期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
11．（2022高二下·清远期末）如图，在三棱锥中，平面，点分别是的中点，且.
（1）证明：平面.
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
12．（2022高二下·甘孜期末）如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
（1）若为的中点， 证明：平面；
（2）若，，若二面角的大小为，试求的值.
13．（2022高一下·鹤岗期末）如图，在正三棱柱 中，D为AB的中点， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点A到平面 的距离．
14．（2022高二下·昆明期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点.
（1）证明：；
（2）若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小.
15．（2022高二下·玉溪期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
16．（2022高二下·乐山期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，平面平面.
（1）判断与的位置关系并给予证明；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.
17．（2022高二下·达州期末）如图在四棱锥中，，，，，点F，Q分别为CD，PB的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）若，平面ABCD，AP与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值.
18．（2022高二下·安康期末）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：A
【分析】利用空间向量求点到平面的距离，即可求出答案.
2．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】对A，因为直三棱柱，故，又，故，又，平面，故平面，又平面，故，又，故正方形，故，又，平面，故平面.所以点A到平面的距离为，A符合题意；
对B，易得平面，平面，根据线面平行的性质有，平面与底面ABC的交线平行于，B符合题意；
对C，根据题意可得，因为，所以三棱柱的外接球的直径为，其表面积，C不符合题意；
对D，因为平面，故二面角的平面角即，因为，故，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】对A，根据线面垂直的性质与判定可得平面，进而求得点A到平面的距离；对B，根据线面平行的性质判定即可；对C，根据外接球的性质求得外接球的直径进而求得表面积即可；对D，根据线面垂直的判定可得二面角的平面角即，再求解即可；
3．【答案】（1）证明：∵平面，平面，
∴，，，∴和为直角三角形
过点A作，垂足为
∵平面平面，而平面平面，且平面
∴平面
∵平面，∴
又，∴平面
∴，，即和为直角三角形
∴四面体为“鳖臑”
（2）解：过点G作，垂足为H，连接
由（1）知平面，∴
而，
∴平面，∴
∴为二面角的平面角，∴
∵，设
则，
在中
即，得
∴的长度为2.
【知识点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由题意分别证得，、 和为直角三角形即可证明.
（2） 过点G作，垂足为H，连接 ，证得为二面角的平面角，设 ，在中，解方程求出即可得出答案.
4．【答案】解：解法一（I）如图所示， 连结
由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以而 因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB， 平面PAB， 所以
又所以 是二面角的平面角．
在中， ．
故二面角的大小为 60°
解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是：
（I）因为平面PAB的一个法向量是 所以和 共线.
从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（II）易知设 是平面PBE的一个法向量，
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是，．
故二面角的大小为 60°
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)连接BD，证明BE⊥CD，推出BE⊥AB，证明PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BE，然后证明平面PBE⊥平面PAB；
(2)说明 是二面角的平面角 ，在 中，求解二面角的大小 .
5．【答案】（1）证明：由条件、为等边三角形，为的中点，
则，，，
由余弦定理得
从而在中，，
得为直角三角形，且，
又面面，面面，且，面，
则由面面垂直的性质定理可得面
由面，
因此由，，，面，即面POD.
（2）解：存在AC上的点F，使得面
点E为PB中点，取的中点，可得，再在面内作交于点，该点即为满足题意的点（如图）．
下面证明面面
由于，面，面，则面，
，面，面，则面，
面，面，，
则由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD
又由于，从而可得，，，
由（1）可知，面，则面，即为面与面间的距离，也即到面的距离．
综上：存在上的点，使得面，，
到面的距离为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）证明，，由线面垂直的判定定理即可得到证明；
（2） 取的中点，可得，再在面内作交于点 ，由面面平行的判定定理证明面面 ，即可得到面POD，由比例可得FC的长，且EF到面POD的距离即为面与面 间的距离，即可得到答案.
6．【答案】（1）证明：因为E，F分别是线段PB，PC的中点，所以，
又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF
（2）解：因为PA垂直于O所在的平面，所以，
因为C是圆周上不同于A，B的一点， 所以，
又平面PAC， 所以平面PAC，
又，所以平面PAC， 所以，
，所以，，
，，
又因为， F是线段PC的中点，所以，
所以，
设点P到平面AEF的距离为.
所以，
，
又，所以点P到平面AEF的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用中位线，得到线线平行，即可证明；
（2）利用等体积法，即可求点面距离.
7．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
分别是的中点，
，
，，
即四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；
（2）解：设点到平面的距离为，
平面，，
，，
又，平面，
，且，
，即，
解得.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接交于点，连接，利用分别是的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用，得出，即四边形是平行四边形，，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 平面。
（2） 设点到平面的距离为，再利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用勾股定理得出，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用，且和，再结合三棱锥的体积公式，进而得出点到平面的距离。
8．【答案】（1）证明：连接．
因为平面平面，平面平面，，所以平面，
因为面，所以，
因为四边形是边长为2的菱形，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：思路一：如图，设的中点为，
在菱形中，，所以，所以．
又平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
思路二：如图，将四棱锥补全为三棱柱，
平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角．
设，的中点，，连接，，，
由（1）得平面，则，
平面平面，
又平面平面，
且，平面，
所以面，，
又，所以，
因为，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，，所以，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，从而得证出结论。
(2) 根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值．
9．【答案】（1）解：如图，连接，，，连接，
是菱形，所以，又底面，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，，
，，
由，，得，
，即，
设， ，
则，，
，，即，解得，（舍去），
．
（2）解：由（1）知，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图得为锐角，
则，
二面角的余弦值为．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接 ，，，连接，依题意可得， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出.
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
10．【答案】（1）证明：连接，
、分别为、的中点，
是三角形的中位线，即；
又平面，平面，
所以平面
（2）解：以D为坐标原点， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
故 ，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
故 ，
由图可知平面和平面的夹角为锐角，故其余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面和平面的夹角的余弦值。
11．【答案】（1）证明：由平面，平面，则.
又，点为的中点，所以.
由为的中点，则，即，
所以，即，又，面，
所以平面.
（2）解：由（1）得：，以点为坐标原点，以为轴，轴的正方向，以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为，所以，
故，，，，
设平面的法向量为，则，令，故.
设平面的法向量为，则，令，故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，利用平行的传递性即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值 。
12．【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为四边形为矩形，为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：由题设平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
平面，平面，，
所以，，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由题可得，
因为，解得，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，利用四边形为矩形，所以为的中点，
再利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小，再利用已知条件，进而得出 的值。
13．【答案】（1）证明：在正三棱柱 中， 平面ABC，又因为 平面ABC，所以 ．
在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以 ，又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面
（2）解：由（1）可知， 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
在正三角形ABC中， ，在正三棱柱 中， 平面ABC，
因为 平面ABC，所以 ，所以 ，因为 ，
所以点A到平面ACD的距离 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 在正三棱柱 中， 平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
（2） 由（1）可知， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，在正三角形ABC中， ，在正三棱柱 中， 平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，所以 ，再利用 结合三棱锥的体积公式，进而得出点A到平面ACD的距离。
14．【答案】（1）证明：如图，在中，因为，，由正弦定理得：
，故，又因为，所以，
则，即.
又因为平面ABC，所以，
又，所以平面PAC，又因为平面PAC，
所以
（2）解：因为平面ABC，，所以CA，CB，CP两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，
设平面BCM的一个法向量为
由 ，即 ，可取，
可取为平面PBC的一个法向量，
所以，
所以平面PBC与平面BCM所成角的大小为；
综上，平面PBC与平面BCM所成角的大小为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；正弦定理
【解析】【分析】（1） 在中，利用，，和正弦定理得出的值，再利用，进而得出的值，再结合三角形内角和为180度的性质，进而得出的值，即，再利用平面ABC和线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面PAC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2）利用 平面ABC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以CA，CB，CP两两垂直，建立空间直角坐标系，设，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出平面PBC与平面BCM所成角的大小。
15．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
在△中，，且，
又，，
所以，且.
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点为，连接，则.
又平面平面，则平面.
建立如图空间直角坐标系.由已知得
，，，，.
所以，，.
设是平面的法向量，则
即，令，则
设直线与平面所成的角为.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接，，在△中，，且，
再利用，，再结合平行的传递性和相等的传递性，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 取的中点为，连接，再结合等腰三角形三线合一，则，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，则平面，从而建立空间直角坐标系，再结合已知条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
16．【答案】（1）解：
证明：底面为正方形，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面
（2）解：取的中点，的中点，连接、，
依题意，侧面底面，侧面底面，
侧面，所以底面，又是正方形，所以，
建立如图所示空间直角坐标系：则，，
设平面的法向量为，，，
所以，令，故，，
所以，
侧面底面，侧面底面平面
平面，
平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面平行性质定理可判断出 与的位置 ；
（2） 建立空间直角坐标系 ，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出平面与平面所成二面角的余弦值.
17．【答案】（1）证明：取AB的中点H，连接QH，HF.
∵在中，Q，H分别为BP，BA的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
∵在梯形ABCD中，H，F分别为AB，DC的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
又∵，平面QHF，平面QHF，
∴平面平面PAD.
又∵平面QHF，∴平面PAD
（2）解：由题知，EP，EA，EC互相垂直，分别以直线EC，EA，EP为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面PAF的法向量为，
则，即，不妨取，
得平面PAF的一个法向量为，
由题知平面EAP，∴平面PAE的一个法向量为，
因，所以所求二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AB的中点H，连接QH，HF，在中，Q，H分别为BP，BA的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面PAD，在梯形ABCD中，H，F分别为AB，DC的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面PAD，再结合线面平行证出面面平行，所以平面平面PAD，再结合面面平行的性质对立，进而证出线面平行，从而证出平面PAD。
（2） 由题知，EP，EA，EC互相垂直，分别以直线EC，EA，EP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的余弦值。
18．【答案】解：(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)推导出 ，AB⊥AD，由此能证明 平面；
(2) 以为轴建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一 第一章 第四节 空间向量的应用（一）
一、单选题
1．（2022高二下·茂名期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】依题意，，而为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：A
【分析】利用空间向量求点到平面的距离，即可求出答案.
二、多选题
2．（2022高一下·常德期末）如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．点A到平面的距离为
B．平面与底面ABC的交线平行于
C．三棱柱的外接球的表面积为16π
D．二面角的大小为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】对A，因为直三棱柱，故，又，故，又，平面，故平面，又平面，故，又，故正方形，故，又，平面，故平面.所以点A到平面的距离为，A符合题意；
对B，易得平面，平面，根据线面平行的性质有，平面与底面ABC的交线平行于，B符合题意；
对C，根据题意可得，因为，所以三棱柱的外接球的直径为，其表面积，C不符合题意；
对D，因为平面，故二面角的平面角即，因为，故，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】对A，根据线面垂直的性质与判定可得平面，进而求得点A到平面的距离；对B，根据线面平行的性质判定即可；对C，根据外接球的性质求得外接球的直径进而求得表面积即可；对D，根据线面垂直的判定可得二面角的平面角即，再求解即可；
三、解答题
3．（2022高一下·湖北期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在四面体中，平面，平面平面.
（1）求证：四面体为“鳖臑”；
（2）若，，当二面角的平面角为时，求的长度.
【答案】（1）证明：∵平面，平面，
∴，，，∴和为直角三角形
过点A作，垂足为
∵平面平面，而平面平面，且平面
∴平面
∵平面，∴
又，∴平面
∴，，即和为直角三角形
∴四面体为“鳖臑”
（2）解：过点G作，垂足为H，连接
由（1）知平面，∴
而，
∴平面，∴
∴为二面角的平面角，∴
∵，设
则，
在中
即，得
∴的长度为2.
【知识点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由题意分别证得，、 和为直角三角形即可证明.
（2） 过点G作，垂足为H，连接 ，证得为二面角的平面角，设 ，在中，解方程求出即可得出答案.
4．（2022高一下·武汉期末）如图所示，四棱锥的底面 是边长为1的菱形，，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，．
（I）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小．
【答案】解：解法一（I）如图所示， 连结
由是菱形且知，
是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以
又 所以
又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，
所以而 因此 平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB， 平面PAB， 所以
又所以 是二面角的平面角．
在中， ．
故二面角的大小为 60°
解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是：
（I）因为平面PAB的一个法向量是 所以和 共线.
从而平面PAB. 又因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.
（II）易知设 是平面PBE的一个法向量，
则由得 所以
故可取而平面ABE的一个法向量是
于是，．
故二面角的大小为 60°
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)连接BD，证明BE⊥CD，推出BE⊥AB，证明PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BE，然后证明平面PBE⊥平面PAB；
(2)说明 是二面角的平面角 ，在 中，求解二面角的大小 .
5．（2022高一下·驻马店期末）如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．
（1）证明：面POD；
（2）若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：由条件、为等边三角形，为的中点，
则，，，
由余弦定理得
从而在中，，
得为直角三角形，且，
又面面，面面，且，面，
则由面面垂直的性质定理可得面
由面，
因此由，，，面，即面POD.
（2）解：存在AC上的点F，使得面
点E为PB中点，取的中点，可得，再在面内作交于点，该点即为满足题意的点（如图）．
下面证明面面
由于，面，面，则面，
，面，面，则面，
面，面，，
则由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD
又由于，从而可得，，，
由（1）可知，面，则面，即为面与面间的距离，也即到面的距离．
综上：存在上的点，使得面，，
到面的距离为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）证明，，由线面垂直的判定定理即可得到证明；
（2） 取的中点，可得，再在面内作交于点 ，由面面平行的判定定理证明面面 ，即可得到面POD，由比例可得FC的长，且EF到面POD的距离即为面与面 间的距离，即可得到答案.
6．（2022高一下·湖北月考）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点，.
（1）求证：BC平面AEF；
（2）求点P到平面AEF的距离.
【答案】（1）证明：因为E，F分别是线段PB，PC的中点，所以，
又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF
（2）解：因为PA垂直于O所在的平面，所以，
因为C是圆周上不同于A，B的一点， 所以，
又平面PAC， 所以平面PAC，
又，所以平面PAC， 所以，
，所以，，
，，
又因为， F是线段PC的中点，所以，
所以，
设点P到平面AEF的距离为.
所以，
，
又，所以点P到平面AEF的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）利用中位线，得到线线平行，即可证明；
（2）利用等体积法，即可求点面距离.
7．（2022高一下·汕尾期末）在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
分别是的中点，
，
，，
即四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面；
（2）解：设点到平面的距离为，
平面，，
，，
又，平面，
，且，
，即，
解得.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 连接交于点，连接，利用分别是的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用，得出，即四边形是平行四边形，，再利用线线平行证出线面平行，从而证出 平面。
（2） 设点到平面的距离为，再利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用勾股定理得出，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用，且和，再结合三棱锥的体积公式，进而得出点到平面的距离。
8．（2022高二下·广州期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，，．
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接．
因为平面平面，平面平面，，所以平面，
因为面，所以，
因为四边形是边长为2的菱形，所以，
因为，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：思路一：如图，设的中点为，
在菱形中，，所以，所以．
又平面，所以，，两两互相垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
思路二：如图，将四棱锥补全为三棱柱，
平面与平面的夹角即为平面与平面的夹角．
设，的中点，，连接，，，
由（1）得平面，则，
平面平面，
又平面平面，
且，平面，
所以面，，
又，所以，
因为，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，，，所以，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，从而得证出结论。
(2) 根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值．
9．（2022高二下·台州期末）如图所示，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，，底面为上一点，且.
（1）求PO的长；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）解：如图，连接，，，连接，
是菱形，所以，又底面，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，，
，，
由，，得，
，即，
设， ，
则，，
，，即，解得，（舍去），
．
（2）解：由（1）知，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图得为锐角，
则，
二面角的余弦值为．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接 ，，，连接，依题意可得， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出.
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
10．（2022高二下·潮州期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，
、分别为、的中点，
是三角形的中位线，即；
又平面，平面，
所以平面
（2）解：以D为坐标原点， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
故 ，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
设平面的法向量为，则 ，
即 ，令 ，则 ，即，
故 ，
由图可知平面和平面的夹角为锐角，故其余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面和平面的夹角的余弦值。
11．（2022高二下·清远期末）如图，在三棱锥中，平面，点分别是的中点，且.
（1）证明：平面.
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：由平面，平面，则.
又，点为的中点，所以.
由为的中点，则，即，
所以，即，又，面，
所以平面.
（2）解：由（1）得：，以点为坐标原点，以为轴，轴的正方向，以为轴的正方向建立空间直角坐标系.
因为，所以，
故，，，，
设平面的法向量为，则，令，故.
设平面的法向量为，则，令，故，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件作出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，利用平行的传递性即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面夹角的余弦值 。
12．（2022高二下·甘孜期末）如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面， 点在线段上.
（1）若为的中点， 证明：平面；
（2）若，，若二面角的大小为，试求的值.
【答案】（1）证明：连接交于，连接，
因为四边形为矩形，为的中点，
又因为为的中点，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）解：由题设平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
平面，平面，，
所以，，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
易知平面的一个法向量为，
由题可得，
因为，解得，此时.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接交于，连接，利用四边形为矩形，所以为的中点，
再利用为的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，则，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 由题设平面，四边形为矩形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的大小，再利用已知条件，进而得出 的值。
13．（2022高一下·鹤岗期末）如图，在正三棱柱 中，D为AB的中点， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点A到平面 的距离．
【答案】（1）证明：在正三棱柱 中， 平面ABC，又因为 平面ABC，所以 ．
在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以 ，又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面
（2）解：由（1）可知， 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
在正三角形ABC中， ，在正三棱柱 中， 平面ABC，
因为 平面ABC，所以 ，所以 ，因为 ，
所以点A到平面ACD的距离 ．
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1） 在正三棱柱 中， 平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，所以 平面 ，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平面 。
（2） 由（1）可知， 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，在正三角形ABC中， ，在正三棱柱 中， 平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，所以 ，再利用 结合三棱锥的体积公式，进而得出点A到平面ACD的距离。
14．（2022高二下·昆明期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，M是PA的中点.
（1）证明：；
（2）若，求平面PBC与平面BCM所成角的大小.
【答案】（1）证明：如图，在中，因为，，由正弦定理得：
，故，又因为，所以，
则，即.
又因为平面ABC，所以，
又，所以平面PAC，又因为平面PAC，
所以
（2）解：因为平面ABC，，所以CA，CB，CP两两垂直，
如图，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以，，
设平面BCM的一个法向量为
由 ，即 ，可取，
可取为平面PBC的一个法向量，
所以，
所以平面PBC与平面BCM所成角的大小为；
综上，平面PBC与平面BCM所成角的大小为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角；正弦定理
【解析】【分析】（1） 在中，利用，，和正弦定理得出的值，再利用，进而得出的值，再结合三角形内角和为180度的性质，进而得出的值，即，再利用平面ABC和线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面PAC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2）利用 平面ABC结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以CA，CB，CP两两垂直，建立空间直角坐标系，设，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出平面PBC与平面BCM所成角的大小。
15．（2022高二下·玉溪期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若是边长为的等边三角形，，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，，
在△中，，且，
又，，
所以，且.
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：取的中点为，连接，则.
又平面平面，则平面.
建立如图空间直角坐标系.由已知得
，，，，.
所以，，.
设是平面的法向量，则
即，令，则
设直线与平面所成的角为.
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接，，在△中，，且，
再利用，，再结合平行的传递性和相等的传递性，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 取的中点为，连接，再结合等腰三角形三线合一，则，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，则平面，从而建立空间直角坐标系，再结合已知条件求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
16．（2022高二下·乐山期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，平面平面.
（1）判断与的位置关系并给予证明；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）解：
证明：底面为正方形，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面
（2）解：取的中点，的中点，连接、，
依题意，侧面底面，侧面底面，
侧面，所以底面，又是正方形，所以，
建立如图所示空间直角坐标系：则，，
设平面的法向量为，，，
所以，令，故，，
所以，
侧面底面，侧面底面平面
平面，
平面的法向量为，
设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，
所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面平行性质定理可判断出 与的位置 ；
（2） 建立空间直角坐标系 ，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法可求出平面与平面所成二面角的余弦值.
17．（2022高二下·达州期末）如图在四棱锥中，，，，，点F，Q分别为CD，PB的中点.
（1）证明：平面PAD；
（2）若，平面ABCD，AP与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：取AB的中点H，连接QH，HF.
∵在中，Q，H分别为BP，BA的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
∵在梯形ABCD中，H，F分别为AB，DC的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.
又∵，平面QHF，平面QHF，
∴平面平面PAD.
又∵平面QHF，∴平面PAD
（2）解：由题知，EP，EA，EC互相垂直，分别以直线EC，EA，EP为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面PAF的法向量为，
则，即，不妨取，
得平面PAF的一个法向量为，
由题知平面EAP，∴平面PAE的一个法向量为，
因，所以所求二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AB的中点H，连接QH，HF，在中，Q，H分别为BP，BA的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面PAD，在梯形ABCD中，H，F分别为AB，DC的中点，再利用中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面PAD，再结合线面平行证出面面平行，所以平面平面PAD，再结合面面平行的性质对立，进而证出线面平行，从而证出平面PAD。
（2） 由题知，EP，EA，EC互相垂直，分别以直线EC，EA，EP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系， 进而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出二面角的余弦值。
18．（2022高二下·安康期末）如图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】解：(Ⅰ) 平面，平面，故.
，，故，故.
，故平面.
(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
设平面的法向量，则，即，
取得到，，设直线与平面所成角为
故
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)推导出 ，AB⊥AD，由此能证明 平面；
(2) 以为轴建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值.
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