高中数学人教A版（2019）选择性必修一 第一章 第四节 空间向量的应用（二）
一、单选题
1．（2022高一下·开封期末）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．该八面体的体积为
B．该八面体的外接球的表面积为16π
C．到平面的距离为
D．与所成角为
【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，连接交于点，连接，易得过点，且平面，又，
则，则该八面体的体积为，A不符合题意；
对于B，因为，则点即为该八面体的外接球的球心，
则外接球半径，则外接球的表面积为，B不符合题意；
对于C，取中点，连接，易得，，，
，平面，则平面，过作交延长线于，平面，
则，又，平面，故平面，，
则，即到平面的距离为，C不符合题意；
对于D，易得，则或其补角即为与所成角，又，则与所成角为，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合四棱锥的体积公式和求和法，进而得出该八面体的体积；再利用八面体与外接球的位置关系和球的表面积公式，进而得出该八面体的外接球的表面积；再结合线线垂直证出线面垂直和正弦函数的定义，进而得出点到平面的距离；利用已知条件易得，则或其补角即为与所成角，再利用，从而得出与所成角，进而找出结论正确的选项。
2．（2022高一下·河南期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因为，即，
因为，所以平面PAB，
又平面PAB，所以，
因为，，所以，
的面积，
设点A到平面PBC的距离为h，
则三棱锥的体积，
即，解得，
即点A到平面PBC的距离为.
故答案为：A.
【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAB，则有，再利用等体积法即可得出答案.
3．（2022高二下·南宁期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，所以，
易知，到平面的距离．
设点到平面的距离为，因为，，
所以．
由，得，解得．
故直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：D
【分析】由已知条件结合勾股定理计算出线线垂直，再由点到平面的距离公式结合三角形的面积公式，利用等体积法计算出d的取值，结合直线与平面所成角的定义由三角形中的几何计算关系，计算出结果即可。
二、多选题
4．（2022高一下·佛山期末）在正方体中，M是的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．当N为棱中点时，
B．当N为棱中点时，MN与平面所成角为30°
C．有且仅有三个点N，使得平面
D．有且仅有四个点N，使得MN与所成角为60°
【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】A选项：因为平面，平面，且，所以异面，A不符合题意；
B选项：如图建立空间直角坐标系，记，
则
所以，
设为平面的法向量，
则，取，得，
记MN与平面所成角为，则
因为，所以，B符合题意；
C选项：记CD中点为N，连接BN，，
由正方体性质易知，，平面，平面，
所以平面，同理平面
又，平面，平面
所以平面平面，
所以当点N为CD中点或与重合时满足题意，C不符合题意；
D选项：如图，易知与的夹角为，
所以当与之一平行时满足题意，即N为中点时满足题意，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】 根据异面直线判定定理可判断A；利用向量法求线面角可判断B；过点B作与平面AMD1平行平面，观察平面与正方体棱的交点个数可判断C；先判断哪些面对角线与B1C的夹角为60° ，然后过点M作这些面对角线的平行线，可找到满足题意的点N，可判断D.
5．（2022高二下·玉溪期末）已知正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为 D．点到直线的距离为
【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，连接，
由于，因此与所成角的大小等于与所成角的大小，在中，易知其三边都相等，故与所成的角为，从而与所成角的大小为，A不正确；
对于B，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，
同理可得，又，所以平面，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，易知是边长为的等边三角形，高点到直线的距离为，由等面积法有，解得，D不正确.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用线线垂直的判断方法、线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式、点到直线的距离公式和等面积法以及三角形的面积公式，进而找出正确的选项。
三、解答题
6．（2022高一下·恩施期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为菱形，，底面为直角梯形，为的中点.
（1）证明：.
（2）若多面体的体积为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：如图，连接.
四边形为菱形，.
平面平面，
平面平面，
平面.
平面平面.
平面
（2）解：如图，过作，交于点，
过作，交延长线于点，
连接，设，点到平面的距离为.
平面.
平面平面，
多面体的体积为，得.
平面平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离.
易证四边形为矩形，，
，
，
，
故点到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)连接CE，推导出CE⊥DF， BC⊥CD，从而BC⊥平面CDEF，进而BC⊥DF，DF⊥平面BCE，由此能证明BE⊥DF；
(2) 过作，交于点，过作，交延长线于点，连接，由多面体的体积为 ，求出AB = 1，由等体积法能求出点到平面的距离.
7．（2022高一下·武汉期末）如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，
（1）证明：平面平面；
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，则有，
而，即有都为正三角形，因此，，
四边形是菱形，，而，，平面，
因此，平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知，平面平面，平面平面，则点在底面圆内的射影在上，
因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，
即平面，有，，
，而，即有，
取的中点，连，于是得，则有是二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)连接OM，MN，证明ON⊥MB，再利用线面、面面垂直的判定能证明平面平面；
(2)确定点P在底面圆内的射影点位置，得出 是二面角的平面角， 然后解三角形能求出二面角的余弦值．
8．（2022高一下·东莞期末）如图，在圆柱中，是圆的直径，和分别是圆柱轴截面上的母线.
（1）证明：平面；
（2）若，，证明平面，并求点到平面的距离.
【答案】（1）证明：如图1，连接，，
图1
因为和是圆柱轴截面上的母线，
所以四边形是平行四边形，
所以且，
因为，分别经过圆心，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为是圆柱母线，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是中点，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
如图2，
图2
由等体积法可得，
设点D到平面的距离为，则
所以，
即点D到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)先证明 ， 由线面平行的判断定理证明 平面；
(2)由线面垂直的性质与判定定理可证明线面垂直，由等积法可求出点到平面的距离.
9．（2022高二下·绵阳期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)通过证明 ， ， 推出平面， 得到平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 求出 平面的一个法向量和平面的一个法向量 ，利用向量法求出二面角的余弦值.
10．（2022高二下·双鸭山期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为等腰梯形， ， ， 面ABCD， ，点F为线段SD中点
（1）求证： 面SAB；
（2）求异面直线FC与BD所成角的大小．
【答案】（1）证明：由 面ABCD建立如图所示的直角坐标系，
以A点为坐标原点，分别以AD，垂直于AD以及AS为方向建立y，x，z轴，如图所示：
由底面是等腰梯形以及
可知： ， ， ， ，
又由点F为线段SD中点，可知
∴ ， ，
设 为平面SAB的法向量，
故可知： ，解得
令 ，可知平面SAB的法向量一个法向量为：
∵
∴根据线面平行的向量法判断法则可知 面SAB
（2）解：由题意得：由（1）分析可知 ，
可知向量 ， 互相垂直，故异面直线FC与BD所成角的大小为90°
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面SAB的法向量，若与平面SAB的法向量的数量积为0，则可证明；
（2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式，即可求解.
11．（2022高二下·虹口期末）如图，在四棱柱中，底面为菱形，平面，且，．
（1）求点到平面的距离；
（2）①求二面角大小．
②求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）解：由已知条件知：底面四边形是以2为边长的菱形．
因菱形的对角线互相垂直平分，设，的中点分别为，，
则以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系．
由条件可得：相关点的坐标为，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，又，，
则由，得，取，得．
易知，则点到平面的距离为
（2）解：①设平面的一个法向量为，
又，，则由，
得，取，得．
故．
由于二面角为锐角，故其大小为．
②易知，设直线与面所成的角为，
则．
故直线与面所成角的大小为．
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用点到面距离可得；
（2）分别求得两个平面的法向量，求和计算二面角的大小即可；
（3）分别求得直线的方向向量和平面的法向量即可求得线面角.
12．（2022高二下·咸阳期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接BD交AC于F点，连接EF，
在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC，
∴平面AEC.
（2）解：由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．
则，，，
∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)连接BD交AC于F点，连接EF，根据中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，求出各点的坐标，易知为平面PAB的一个法向量，利用空间向量的坐标表示求出 ， ，结合空间向量的数量积的定义即可得出结果.
13．（2022高二下·阜阳期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且．
（1）若，证明：平面AMN．
（2）若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长．
【答案】（1）证明：连接BD，因为底面为正方形，
所以．
因为平面，平面，
所以．
又，平面，平面，
所以平面
因为平面，所以．
同理，．
在中，M，N分别为PB，PD的中点，所以．
因为，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
（2）解：如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，解得．
所以，
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据PA⊥BD，BD⊥AC，得到 平面 ，进而 ，又M为PB中点，得到AM⊥PC，进而 即可得证 平面
(2) 以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设，则，，，， 求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得t的值，进而求出PC的长．
14．（2022高二下·南宁期末）已知在正方体中，E，F，G分别是棱的中点．
（1）证明：与平面不平行；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设，则，
所以．设平面的法向量为，
则，令，得．因为，
所以与平面不平行．
（2）解：因为，所以，
设直线与平面所成的角为，则.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1)由已知条件捡垃圾空间直角坐标系，由此得出点以及向量的坐标，并代入到数量积的坐标公式由此计算出结果，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由(2)的结论结合数量积夹角的坐标公式，由线面角与向量夹角之间的关系，代入数值计算出线面角的大小
15．（2022高二下·舟山期末）在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接BD交AC于O，四边形为菱形，
所以，
平面平面，平面平面平面
所以平面，
因为平面，所以，
，故，
又平面，所以平面
（2）解：连接OM，则平面，则可以O为原点，建立空间直角坐标系如图
则
则，
设直线与平面所成角为，
记平面的法向量为，
，取
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)连接BD，由面面垂直的性质定理可证BD⊥平面PAC，从而知PA⊥BD，并由勾股定理证得PA⊥AB，再根据线面垂直的判定定理得证出 平面；
(2) 以O为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，利用向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.
16．（2022高二下·韶关期末）如图，四棱锥中，底面是梯形，，侧面，，，是线段的中点．
（1）求证：；
（2）若，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：因为侧面，平面，
所以．
又因为，是线段的中点，
所以．
因为，平面，所以平面．
而平面，所以．
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则有，，，，，设，
所以，，因为，
所以，解得或（舍去），
所以，所以，，，，
设为平面的法向量，
由，有，
取，所以．
设平面的法向量为，
由，有，
取，所以，
设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，
所以
故锐二面角的平面角的正弦弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知得AD⊥PE，PE⊥AB，从而 平面，由此能证明PE⊥CD；
(2) 以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法计算可得平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．
17．（2022高二下·天河期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．
（1）若的中点是M，求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示：
取PC的中点F，连接EM，DF，FM，
因为四边形为矩形，E是的中点，
所以，，
所以，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）解：由平面，，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以 ，
设平面PCE的一个法向量为 ，
则，即 ，
令 ，得，
易知平面PAB的一个法向量为 ，
则 ，
设平面与平面所成二面角为，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取PC的中点F，连接EM，DF，FM，再利用四边形为矩形，E是的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质得出四边形DEMF是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面PCD。
（2） 由平面，，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出平面与平面所成二面角的正弦值。
18．（2022高二下·番禺期末）如图，在三棱锥中，，平面，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角大小.
【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以.
因为，，
所以平面.
因为，，
所以，
故平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：方法一：因为，，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以，
所以.
所以平面与平面的夹角的大小为.
方法二：如图，过作，垂足为，连接.
由（1）中的垂直关系及条件，可计算得
，，
所以.
所以.
所以为二面角的平面角.
，
.
.
所以.
在中，由余弦定理可得
.
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为60°.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用 平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用，，所以，故平面，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 方法一：利用，，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的大小。
方法二：过作，垂足为，连接，由（1）中的垂直关系及条件，可计算得出AC和PA的长，再结合相等的关系和中点的性质得出DB的长，再利用两三角形全等的判断方法得出，所以为二面角的平面角，再利用余弦定理得出的值，再结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合正弦函数的定义得出EA的长，从而得出EC的长，在中，由余弦定理可得平面与平面的夹角的大小。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一 第一章 第四节 空间向量的应用（二）
一、单选题
1．（2022高一下·开封期末）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形为正方形，则下列结论正确的是（ ）
A．该八面体的体积为
B．该八面体的外接球的表面积为16π
C．到平面的距离为
D．与所成角为
2．（2022高一下·河南期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（ ）．
A． B． C．3 D．
3．（2022高二下·南宁期末）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2022高一下·佛山期末）在正方体中，M是的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．当N为棱中点时，
B．当N为棱中点时，MN与平面所成角为30°
C．有且仅有三个点N，使得平面
D．有且仅有四个点N，使得MN与所成角为60°
5．（2022高二下·玉溪期末）已知正方体的棱长为1，则（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为 D．点到直线的距离为
三、解答题
6．（2022高一下·恩施期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为菱形，，底面为直角梯形，为的中点.
（1）证明：.
（2）若多面体的体积为，求点到平面的距离.
7．（2022高一下·武汉期末）如图，是半球的直径，为球心，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且，
（1）证明：平面平面；
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求二面角的余弦值．
8．（2022高一下·东莞期末）如图，在圆柱中，是圆的直径，和分别是圆柱轴截面上的母线.
（1）证明：平面；
（2）若，，证明平面，并求点到平面的距离.
9．（2022高二下·绵阳期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.
10．（2022高二下·双鸭山期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为等腰梯形， ， ， 面ABCD， ，点F为线段SD中点
（1）求证： 面SAB；
（2）求异面直线FC与BD所成角的大小．
11．（2022高二下·虹口期末）如图，在四棱柱中，底面为菱形，平面，且，．
（1）求点到平面的距离；
（2）①求二面角大小．
②求直线与平面所成角的大小．
12．（2022高二下·咸阳期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，丄平面，且，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
13．（2022高二下·阜阳期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且．
（1）若，证明：平面AMN．
（2）若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长．
14．（2022高二下·南宁期末）已知在正方体中，E，F，G分别是棱的中点．
（1）证明：与平面不平行；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
15．（2022高二下·舟山期末）在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
16．（2022高二下·韶关期末）如图，四棱锥中，底面是梯形，，侧面，，，是线段的中点．
（1）求证：；
（2）若，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．
17．（2022高二下·天河期末）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，E是的中点．
（1）若的中点是M，求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值．
18．（2022高二下·番禺期末）如图，在三棱锥中，，平面，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角大小.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，连接交于点，连接，易得过点，且平面，又，
则，则该八面体的体积为，A不符合题意；
对于B，因为，则点即为该八面体的外接球的球心，
则外接球半径，则外接球的表面积为，B不符合题意；
对于C，取中点，连接，易得，，，
，平面，则平面，过作交延长线于，平面，
则，又，平面，故平面，，
则，即到平面的距离为，C不符合题意；
对于D，易得，则或其补角即为与所成角，又，则与所成角为，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合四棱锥的体积公式和求和法，进而得出该八面体的体积；再利用八面体与外接球的位置关系和球的表面积公式，进而得出该八面体的外接球的表面积；再结合线线垂直证出线面垂直和正弦函数的定义，进而得出点到平面的距离；利用已知条件易得，则或其补角即为与所成角，再利用，从而得出与所成角，进而找出结论正确的选项。
2．【答案】A
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为平面ABC，平面ABC，所以，
又因为，即，
因为，所以平面PAB，
又平面PAB，所以，
因为，，所以，
的面积，
设点A到平面PBC的距离为h，
则三棱锥的体积，
即，解得，
即点A到平面PBC的距离为.
故答案为：A.
【分析】根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAB，则有，再利用等体积法即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：因为，，所以，即，所以，
易知，到平面的距离．
设点到平面的距离为，因为，，
所以．
由，得，解得．
故直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：D
【分析】由已知条件结合勾股定理计算出线线垂直，再由点到平面的距离公式结合三角形的面积公式，利用等体积法计算出d的取值，结合直线与平面所成角的定义由三角形中的几何计算关系，计算出结果即可。
4．【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】A选项：因为平面，平面，且，所以异面，A不符合题意；
B选项：如图建立空间直角坐标系，记，
则
所以，
设为平面的法向量，
则，取，得，
记MN与平面所成角为，则
因为，所以，B符合题意；
C选项：记CD中点为N，连接BN，，
由正方体性质易知，，平面，平面，
所以平面，同理平面
又，平面，平面
所以平面平面，
所以当点N为CD中点或与重合时满足题意，C不符合题意；
D选项：如图，易知与的夹角为，
所以当与之一平行时满足题意，即N为中点时满足题意，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】 根据异面直线判定定理可判断A；利用向量法求线面角可判断B；过点B作与平面AMD1平行平面，观察平面与正方体棱的交点个数可判断C；先判断哪些面对角线与B1C的夹角为60° ，然后过点M作这些面对角线的平行线，可找到满足题意的点N，可判断D.
5．【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】对于A，连接，
由于，因此与所成角的大小等于与所成角的大小，在中，易知其三边都相等，故与所成的角为，从而与所成角的大小为，A不正确；
对于B，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，
同理可得，又，所以平面，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，易知是边长为的等边三角形，高点到直线的距离为，由等面积法有，解得，D不正确.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用线线垂直的判断方法、线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式、点到直线的距离公式和等面积法以及三角形的面积公式，进而找出正确的选项。
6．【答案】（1）证明：如图，连接.
四边形为菱形，.
平面平面，
平面平面，
平面.
平面平面.
平面
（2）解：如图，过作，交于点，
过作，交延长线于点，
连接，设，点到平面的距离为.
平面.
平面平面，
多面体的体积为，得.
平面平面，
即点到平面的距离等于点到平面的距离.
易证四边形为矩形，，
，
，
，
故点到平面的距离为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】(1)连接CE，推导出CE⊥DF， BC⊥CD，从而BC⊥平面CDEF，进而BC⊥DF，DF⊥平面BCE，由此能证明BE⊥DF；
(2) 过作，交于点，过作，交延长线于点，连接，由多面体的体积为 ，求出AB = 1，由等体积法能求出点到平面的距离.
7．【答案】（1）证明：连接OM，MN，如图，是半圆上的两个三等分点，则有，
而，即有都为正三角形，因此，，
四边形是菱形，，而，，平面，
因此，平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：由（1）知，平面平面，平面平面，则点在底面圆内的射影在上，
因点在底面圆内的射影在上，因此，点在底面圆内的射影是与的交点，
即平面，有，，
，而，即有，
取的中点，连，于是得，则有是二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以二面角的余弦值是.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)连接OM，MN，证明ON⊥MB，再利用线面、面面垂直的判定能证明平面平面；
(2)确定点P在底面圆内的射影点位置，得出 是二面角的平面角， 然后解三角形能求出二面角的余弦值．
8．【答案】（1）证明：如图1，连接，，
图1
因为和是圆柱轴截面上的母线，
所以四边形是平行四边形，
所以且，
因为，分别经过圆心，，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为是圆柱母线，所以平面，
因为平面，所以，
因为，是中点，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
如图2，
图2
由等体积法可得，
设点D到平面的距离为，则
所以，
即点D到平面的距离为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)先证明 ， 由线面平行的判断定理证明 平面；
(2)由线面垂直的性质与判定定理可证明线面垂直，由等积法可求出点到平面的距离.
9．【答案】（1）证明：因为，，则，
平面，平面，，
，、平面，平面，
平面，因此，平面平面.
（2）解：因为底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设，，其中，
易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
所以，为的中点，即，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)通过证明 ， ， 推出平面， 得到平面平面；
(2) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 求出 平面的一个法向量和平面的一个法向量 ，利用向量法求出二面角的余弦值.
10．【答案】（1）证明：由 面ABCD建立如图所示的直角坐标系，
以A点为坐标原点，分别以AD，垂直于AD以及AS为方向建立y，x，z轴，如图所示：
由底面是等腰梯形以及
可知： ， ， ， ，
又由点F为线段SD中点，可知
∴ ， ，
设 为平面SAB的法向量，
故可知： ，解得
令 ，可知平面SAB的法向量一个法向量为：
∵
∴根据线面平行的向量法判断法则可知 面SAB
（2）解：由题意得：由（1）分析可知 ，
可知向量 ， 互相垂直，故异面直线FC与BD所成角的大小为90°
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）建立直角坐标系，求出平面SAB的法向量，若与平面SAB的法向量的数量积为0，则可证明；
（2）求异面直线所成的角的大小可以根据数量积的计算公式，即可求解.
11．【答案】（1）解：由已知条件知：底面四边形是以2为边长的菱形．
因菱形的对角线互相垂直平分，设，的中点分别为，，
则以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系．
由条件可得：相关点的坐标为，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，又，，
则由，得，取，得．
易知，则点到平面的距离为
（2）解：①设平面的一个法向量为，
又，，则由，
得，取，得．
故．
由于二面角为锐角，故其大小为．
②易知，设直线与面所成的角为，
则．
故直线与面所成角的大小为．
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用点到面距离可得；
（2）分别求得两个平面的法向量，求和计算二面角的大小即可；
（3）分别求得直线的方向向量和平面的法向量即可求得线面角.
12．【答案】（1）证明：连接BD交AC于F点，连接EF，
在中，∵EF是中位线，∴．
又∵平面AEC，平面AEC，
∴平面AEC.
（2）解：由题意知，AC，AB，AP两两互相垂直，如图，
以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x，y，z轴的正半轴
建立空间直角坐标系A-xyz．
则，，，
∴，
易知平面PAB的一个法向量为，
设直线CE与平面PAB所成角为，
则．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)连接BD交AC于F点，连接EF，根据中位线的性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明；
(2)建立如图空间直角坐标系，求出各点的坐标，易知为平面PAB的一个法向量，利用空间向量的坐标表示求出 ， ，结合空间向量的数量积的定义即可得出结果.
13．【答案】（1）证明：连接BD，因为底面为正方形，
所以．
因为平面，平面，
所以．
又，平面，平面，
所以平面
因为平面，所以．
同理，．
在中，M，N分别为PB，PD的中点，所以．
因为，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
（2）解：如图，以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为．
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
所以，解得．
所以，
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据PA⊥BD，BD⊥AC，得到 平面 ，进而 ，又M为PB中点，得到AM⊥PC，进而 即可得证 平面
(2) 以为一组正交基底，建立空间直角坐标系，设，则，，，， 求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可得t的值，进而求出PC的长．
14．【答案】（1）证明：以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
设，则，
所以．设平面的法向量为，
则，令，得．因为，
所以与平面不平行．
（2）解：因为，所以，
设直线与平面所成的角为，则.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面平行的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】(1)由已知条件捡垃圾空间直角坐标系，由此得出点以及向量的坐标，并代入到数量积的坐标公式由此计算出结果，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由(2)的结论结合数量积夹角的坐标公式，由线面角与向量夹角之间的关系，代入数值计算出线面角的大小
15．【答案】（1）证明：连接BD交AC于O，四边形为菱形，
所以，
平面平面，平面平面平面
所以平面，
因为平面，所以，
，故，
又平面，所以平面
（2）解：连接OM，则平面，则可以O为原点，建立空间直角坐标系如图
则
则，
设直线与平面所成角为，
记平面的法向量为，
，取
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)连接BD，由面面垂直的性质定理可证BD⊥平面PAC，从而知PA⊥BD，并由勾股定理证得PA⊥AB，再根据线面垂直的判定定理得证出 平面；
(2) 以O为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量 ，利用向量法即可求出直线与平面所成角的正弦值.
16．【答案】（1）证明：因为侧面，平面，
所以．
又因为，是线段的中点，
所以．
因为，平面，所以平面．
而平面，所以．
（2）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则有，，，，，设，
所以，，因为，
所以，解得或（舍去），
所以，所以，，，，
设为平面的法向量，
由，有，
取，所以．
设平面的法向量为，
由，有，
取，所以，
设平面与平面所成二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，
所以
故锐二面角的平面角的正弦弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知得AD⊥PE，PE⊥AB，从而 平面，由此能证明PE⊥CD；
(2) 以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法计算可得平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．
17．【答案】（1）证明：如图所示：
取PC的中点F，连接EM，DF，FM，
因为四边形为矩形，E是的中点，
所以，，
所以，
所以四边形DEMF是平行四边形，
所以，又平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD.
（2）解：由平面，，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以 ，
设平面PCE的一个法向量为 ，
则，即 ，
令 ，得，
易知平面PAB的一个法向量为 ，
则 ，
设平面与平面所成二面角为，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取PC的中点F，连接EM，DF，FM，再利用四边形为矩形，E是的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质得出四边形DEMF是平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面PCD。
（2） 由平面，，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出平面与平面所成二面角的正弦值。
18．【答案】（1）证明：因为平面，平面，
所以.
因为，，
所以平面.
因为，，
所以，
故平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：方法一：因为，，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以，.
设是平面的法向量，
则，即，
令，则，，所以，
所以.
所以平面与平面的夹角的大小为.
方法二：如图，过作，垂足为，连接.
由（1）中的垂直关系及条件，可计算得
，，
所以.
所以.
所以为二面角的平面角.
，
.
.
所以.
在中，由余弦定理可得
.
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为60°.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用 平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用，，所以，故平面，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 方法一：利用，，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的大小。
方法二：过作，垂足为，连接，由（1）中的垂直关系及条件，可计算得出AC和PA的长，再结合相等的关系和中点的性质得出DB的长，再利用两三角形全等的判断方法得出，所以为二面角的平面角，再利用余弦定理得出的值，再结合同角三角函数基本关系式得出的值，再结合正弦函数的定义得出EA的长，从而得出EC的长，在中，由余弦定理可得平面与平面的夹角的大小。
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