22.2 二次函数与一元二次方程同步练习（含答案）

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22.2二次函数与一元二次方程人教版初中数学九年级上册同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
抛物线与坐标轴的交点个数为( )
A. B. C. D.
已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线与这个新图象有个公共点，则的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
抛物线的对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
如果二次函数的图象全部在轴的上方，那么下列判断中一定正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
已知抛物线是常数，，下列四个结论：
若抛物线经过点，则．
若，则方程一定有根．
抛物线与轴一定有两个不同的公共点．
点，在抛物线上，若，则当时，．
其中结论不正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
一元二次方程有一个根为，则二次函数的图象必过点( )
A. B. C. D.
已知二次函数的图象如图所示，下列结论：，，，，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如，都是“雁点”若抛物线上有且只有一个“雁点”，该抛物线与轴交于、两点点在点的左侧当时，则的度数为( )
A. B. C. D.
已知二次函数的与的部分对应值如下表
下列结论
该函数图象是抛物线，且开口向下；
该函数图象关于直线对称；
当时，函数值随的增大而增大；
方程有一个根大于．
其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，抛物线与轴交于点和，下列结论：
；当时，；
；．
其中正确结论的序号是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若函数的图像与轴有且只有一个公共点，则的值为 ．
如图，抛物线过点和，下列说法：；；；点，，在抛物线上，则一定有其中正确的有______填序号．
抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是______．
已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知函数为常数．
该函数的图象与轴公共点的个数是____．
A. 或
求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．
当时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
本小题分
设二次函数是常数，．
判断该二次函数的图象与轴的交点的个数，并说明理由
若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标．
本小题分
二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
写出方程的两个根
写出不等式的解集
写出随的增大而减小的自变量的取值范围
若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
本小题分
在平面直角坐标系中，已知，抛物线．
求抛物线与轴两交点间的距离；
当时，过点作直线平行于轴，与抛物线交于、两点点在点左侧，、横坐标分别为、，且，求抛物线的解析式．
本小题分
已知二次函数是常数．
若该二次函数的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围
若该二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
本小题分
可以用如下方法求方程的实数根的范围：利用函数的图象可知，当时，，当时，，所以方程有一个根在和之间．
参考上面的方法，求方程的另一个根在哪两个连续整数之间
若方程有一个根在和之间，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．
先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与坐标轴有个交点．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程也考查了二次函数的性质．
先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用点或点向右平移得到点得到的值．
【解答】
解：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
当点平移后的对应点为，则
当点平移后的对应点为，则，
即的值为或．

3.【答案】
【解析】解：如图所示，过点的直线与新图象有三个公共点，将直线向下平移到与抛物线有且只有一个交点时，此时与新图象也有三个公共点，
令，解得：或，即点坐标，
将一次函数与二次函数表达式联立得：，整理得：，
，解得：，
当一次函数过点时，将点坐标代入：得：，解得：，
综上，直线与这个新图象有个公共点，则的值为或；
故选：．
如图所示，过点作直线，将直线向下平移到与抛物线有且只有一个交点时，此时与新图象也有三个公共点，则一次函数在这两个位置时，两个图象有个交点，即可求解．
本题考查的是二次函数，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键．根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解．
【解答】
解：的对称轴为直线，
，
，
一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，
方程在的范围内有实数根，
当时，；
当时，；
函数在时有最小值；
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：当抛物线开口向上，且抛物线与轴无交点时，图象全部在轴上方，
，抛物线与轴交点在轴上方，即，
故选：．
由次函数的图象全部在轴的上方，可得抛物线开口向上，抛物线与轴交点位置，从而可判定，的符号．
本题考查抛物线与轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线过点，
抛物线过点，
抛物线的对称轴为直线．
，整理得，故正确；
，，
．
方程变为，
由题意易得，，
方程两边都除以得，，解方程得，，故正确；
由已知条件得，抛物线过点，则该点可能是顶点，也可能是抛物线与轴两个交点中的一个，
抛物线与轴不一定有两个交点．故不正确；
，
．
，
，
即．
，
，两点在对称轴左侧的抛物线上，
，
抛物线开口向上，
故正确．
综上所述，只有不正确．
故选：．
由可得，抛物线过点，再根据抛物线过点，求出其对称轴，根据对称轴得出、的关系，从而判断正确与否；根据，及得出，代入方程，解方程即可判断是否正确；抛物线与轴交于点，则这个点可能是抛物线的顶点，若是顶点，则与轴只有一个公共点，据此可以判断；根据及，可得抛物线的对称轴所在的直线，根据已知条件可得，两点都在对称轴的左侧，利用二次函数的增减性判断．
本题考查了二次函数的增减性，若抛物线开口向上下，在对称轴的左侧，随的增大而减小增大；在对称轴的右侧，随的增大而增大减小．
7.【答案】
【解析】解：当时，，
函数的对称轴为：，
顶点纵坐标为：，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数，
故选：．
根据当时，，确定，求出顶点坐标，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
8.【答案】
【解析】解：一元二次方程有一个根为，
，
，
当时，，
二次函数的图象必过点，
故选：．
一元二次方程有一个根为，可以求得、的关系，再观察二次函数，可以返现当时，该函数中和的关系可以与前面统一，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9.【答案】
【解析】解：图象开口向下，与轴交于正半轴，能得到：，，
，故正确；
对称轴，
，，
，
，故正确．
图象与轴有个不同的交点，依据根的判别式可知，故错误．
当时，，，故错误；
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10.【答案】
【解析】解：“雁点”的横坐标与纵坐标相等，
故“雁点”的函数表达式为，
抛物线上有且只有一个“雁点”，
则，
则，即，
则为，
解得或，
，
点的坐标为，
由，，
解得，
点的坐标为，
过点作轴于点，
则，
，
故的度数为．
故选：．
抛物线上有且只有一个“雁点”，则，则，即，然后求出点的坐标为、点的坐标为，即可求解．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的函数的性质，关键是对函数性质的应用．
11.【答案】
【解析】解：函数的对称轴为：，在对称轴右侧，随的增大而减小，故该函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意；
该函数图象关于直线对称，符合题意；
函数的对称轴为：，当时，函数值随的增大而增大，符合题意；
由表格可以看出，当时，，故方程有一个根大于，不符合题意；
故选：．
函数的对称轴为：，在对称轴右侧，随的增大而减小，即可求解；
该函数图象关于直线对称，即可求解；
函数的对称轴为：，当时，函数值随的增大而增大，即可求解；
由表格可以看出，当时，，故方程有一个根大于，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
12.【答案】
【解析】解：由图象可得，，
，错误．
抛物线开口向上，
时，，正确．
由图象可得时，，错误．
抛物线开口向上，
，
，
，
由图象可得时，，
，正确．
故选：．
由图象可得，的取值范围，从而判断，由图象可判断，由时可判断，由抛物线对称轴的位置可得与的关系，由时可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
13.【答案】或或
【解析】
【分析】
此题主要考查了抛物线与轴的交点，记住决定抛物线与轴的交点个数．时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．此题可以分两种情况进行解答，当时，直接利用抛物线与轴只有一个交点，进而解方程得出答案，当时，它是一次函数，与轴有且只有一个公共点，据此解答．
【解答】
解：当时，
要使二次函数的图象与轴有且只有一个交点，
则，
解得：，，
当时，函数变为，此时图象与轴有且只有一个交点．
故答案为或或．
14.【答案】
【解析】解：由图象可知，，，
，
，
故错误；
抛物线过点和，
，，
，
，
，
故正确；
，
，
，
，
故正确；
点，，
线段的中点坐标为，
由图象可知，
，
故正确．
故答案为：．
利用抛物线开口向上，得到，利用抛物线的对称轴在轴右侧得出，则可对进行判断；根据抛物线过点和，得出，，从而得出可判断；根据抛物线的顶点纵坐标可判断；点，，在抛物线上，先求出线段的中点坐标，由图象可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
15.【答案】，
【解析】解：，
，
抛物线经过点、，
或，
的解是或，
故答案为：，，
根据变形为，根据抛物线经过点、得到或，从而确定的解是或．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16.【答案】
【解析】解：把关于的一元二次方程的两根分别为，，转化为抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，
抛物线经过点，，，
抛物线开口向上，即，如图，
时，，即，解得；
时，，即，解得；
时，，即，解得；
实数的取值范围为．
故答案为．
把关于的一元二次方程的两根分别为，，转化为抛物线与轴的交点的横坐标分别为，，画出大致图象，由于时，，即；时，，即；时，，即，然后解不等式得到实数的取值范围．
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，把方程的两根转化为抛物线与轴交点的横坐标是解题的关键．
17.【答案】解：；
，
把代入得：，
则不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上；
设函数，
当时，有最小值为；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
当时，；当时，，
则当时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是．
【解析】
【分析】
此题考查了抛物线与轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；
将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
根据的范围确定出顶点纵坐标范围即可．
【解答】
解：函数为常数，
，
则该函数图象与轴的公共点的个数是或，
故选D；
见答案；
见答案．
18.【答案】解：令，则，
，
方程有两个不相等的实数根或两个相等的实数根，
该二次函数的图象与轴的交点的个数为或；
二次函数图象的对称轴是直线，
，
，
二次函数为，
令，则，解得，，
这个函数图象与轴交点的坐标为，．
【解析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，根的判别式，解答本题的关键是掌握利用二次函数与一元二次方程的关系解决二次函数图象与轴交点问题的思路与方法．
首先令，得到关于的一元二次方程，然后根据根的判别式的值的情况得出关于的方程的根的情况，即可得出该二次函数的图象与轴的交点的个数；
首先根据抛物线的对称轴公式得出，然后将二次函数的解析式化为，令，得到关于的方程，解这个方程求出的值，即可得出这个函数图象与轴交点的坐标．
19.【答案】解：，
．

．

【解析】见答案
20.【答案】解：令得：
，
，
为二次函数二次项系数，
，
，
，，
与轴交点坐标为和，
与轴两交点间的距离为；
直线过点且平行于轴，
直线的解析式为，
中令得：
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】令可得抛物线与轴两交点的坐标，从而可解答；
由题意可知和两点的纵坐标为，列方程可得与的关系，变形计算可得的值，从而可解答．
本题考查抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，关键是掌握令时可得抛物线与轴交点的横坐标．
21.【答案】解：二次函数的图象与轴有两个不同的交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得
二次函数的图象的对称轴为直线，
二次函数的图象与轴的其中一个交点坐标为，
该二次函数的图象与轴另一个交点坐标为，
一元二次方程的解为，．
【解析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程．
根据二次函数与一元二次方程的关系得出，即可求出的范围；
先求出对称轴，再根据二次函数的对称性，即可解答．
22.【答案】解：利用函数的图象可知，当时，，当时，，
所以方程的另一个根在和之间．
函数的图象的对称轴为直线，
由题意，得
解得．

【解析】见答案
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