高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系A（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系A（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-15 17:39:33 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系A
未命名
一、单选题
1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则直线l与平面α（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
4．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
5．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
6．正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
二、多选题
7．（多选题）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（ ）
A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)
C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)
8．（多选）下列命题是真命题的有（ ）.
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
三、填空题
9．已知平面，写出平面的一个法向量______．
10．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
11．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.
12．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．
四、解答题
13．已知空间四边形中，，求证：.
14．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
15．如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．
求证：（1）；
（2）．
16．如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意得两平面的法向量平行，从而得到，进而求出结果.
【详解】由题意得：与平行，故，即，解得：.
故选：C
2．B
【解析】由即得解.
【详解】因为直线平面，
故直线l的方向向量与平面的法向量平行，
因为,
故选：B.
【点睛】本题主要考查线面垂直的向量表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．A
【分析】根据题意得出可判断.
【详解】，，即，，
故直线l与平面α垂直.
故选：A.
4．A
【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；
以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
5．A
【解析】可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，，的关系式，代入各选项的数据可得结果．
【详解】解：设平面内一点，则：
，
是平面的法向量，
，，
由得
把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．
故选：．
【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①③的正确性；画出平面截正方体所得的截面,由此判断②④的正确性.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，所以①错误.
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，所以到平面的距离为，
，所以到平面的距离为，所以③错误.
根据正方体的性质可知，四点共面，
，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
根据正方体的性质可知，由于平面，平面，
所以平面，所以②正确.
等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，④正确.
所以正确的为②④.
故选：C
7．ABC
【分析】由题可知，要使直线与平面平行，即求直线和平面的法向量垂直即可，结合向量垂直的数量积公式即可求解
【详解】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：
A中，；
B中，；
C中，；
D中，；
综上所述，选项A，B，C符合题意
故选：ABC.
【点睛】本题考查利用空间向量判断直线与平面的平行关系，属于基础题
8．AD
【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.
【详解】∵，，
∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
，，则，
则，∴或，故B错误；
∵，，∴与不共线，
∴不成立，故C错误；
∵点，，，
∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，
即，解得，故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
9．（答案不唯一）
【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【详解】设法向量为，
则有，
令得：，所以
故答案为：
10．-1
【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
11．-16
【分析】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．
【详解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，
解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．
故答案为：-16
12．
【分析】根据直线l的方向向量与平面α的法向量平行，从而可求出t的值.
【详解】因为直线l垂直于平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，
即，解得.
故答案为：.
13．证明见解析
【分析】利用向量垂直的运算法则证明线线垂直.
【详解】证明：设
则
于是可得
，即
14．证明见解析
【分析】先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出．
【详解】已知：直线，平面，，．
求证：．
证明：设直线的方向向量分别为，平面的一个法向量为，
因为，所以，由于，所以，即有，亦即．
因为，所以．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；
【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以
（2）由（1）可知，所以，所以
16．（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设棱长为，可得各点坐标，设所成角为，则利用可求得结果；（2）设存在点，满足题意；求得平面的法向量后，根据，得到，从而求得，进而得到结果.
【详解】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
设正方体棱长为
则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为
，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
（2）假设在棱上存在点，，使得平面
则，，
设平面的法向量
，令，则，
，解得：
棱上存在点，满足，使得平面
【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
2．已知平面的法向量为，若直线平面，则直线l的方向向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则直线l与平面α（ ）
A．垂直 B．平行
C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定
4．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
5．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点P中，在平面内的是（ ）
A． B．
C． D．
6．正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
二、多选题
7．（多选题）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则不可能使lα的是（ ）
A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)
C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)
8．（多选）下列命题是真命题的有（ ）.
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
三、填空题
9．已知平面，写出平面的一个法向量______．
10．若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是______.
11．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.
12．若直线l垂直于平面α，且l的方向向量为，α的法向量为，则实数t的值为______．
四、解答题
13．已知空间四边形中，，求证：.
14．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
15．如图，在正方体中，点E在BD上，且；点F在上，且．
求证：（1）；
（2）．
16．如图，在正方体中，分别是的中点．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意得两平面的法向量平行，从而得到，进而求出结果.
【详解】由题意得：与平行，故，即，解得：.
故选：C
2．B
【解析】由即得解.
【详解】因为直线平面，
故直线l的方向向量与平面的法向量平行，
因为,
故选：B.
【点睛】本题主要考查线面垂直的向量表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．A
【分析】根据题意得出可判断.
【详解】，，即，，
故直线l与平面α垂直.
故选：A.
4．A
【分析】根据空间的平行和垂直关系进行判定.
【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；
以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
5．A
【解析】可设出平面内内一点坐标，求出与平面平行的向量，利用数量积为0可得到，，的关系式，代入各选项的数据可得结果．
【详解】解：设平面内一点，则：
，
是平面的法向量，
，，
由得
把各选项的坐标数据代入上式验证可知适合．
故选：．
【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①③的正确性；画出平面截正方体所得的截面,由此判断②④的正确性.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，所以①错误.
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，所以到平面的距离为，
，所以到平面的距离为，所以③错误.
根据正方体的性质可知，四点共面，
，
所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
根据正方体的性质可知，由于平面，平面，
所以平面，所以②正确.
等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，④正确.
所以正确的为②④.
故选：C
7．ABC
【分析】由题可知，要使直线与平面平行，即求直线和平面的法向量垂直即可，结合向量垂直的数量积公式即可求解
【详解】若l∥α，则需，即，根据选择项验证可知：
A中，；
B中，；
C中，；
D中，；
综上所述，选项A，B，C符合题意
故选：ABC.
【点睛】本题考查利用空间向量判断直线与平面的平行关系，属于基础题
8．AD
【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.
【详解】∵，，
∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
，，则，
则，∴或，故B错误；
∵，，∴与不共线，
∴不成立，故C错误；
∵点，，，
∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，
即，解得，故D正确.
故选：AD
【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
9．（答案不唯一）
【分析】设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.
【详解】设法向量为，
则有，
令得：，所以
故答案为：
10．-1
【分析】利用法向量的定义和向量共线的定理即可.
【详解】直线的方向向量，平面的法向量，直线平面，
必有 ，即向量 与向量 共线，
，∴，解得；
故答案为：-1.
11．-16
【分析】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．
【详解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，
解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．
故答案为：-16
12．
【分析】根据直线l的方向向量与平面α的法向量平行，从而可求出t的值.
【详解】因为直线l垂直于平面α，所以直线l的方向向量与平面α的法向量平行，
即，解得.
故答案为：.
13．证明见解析
【分析】利用向量垂直的运算法则证明线线垂直.
【详解】证明：设
则
于是可得
，即
14．证明见解析
【分析】先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出．
【详解】已知：直线，平面，，．
求证：．
证明：设直线的方向向量分别为，平面的一个法向量为，
因为，所以，由于，所以，即有，亦即．
因为，所以．
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，表示出点的坐标，利用空间向量法证明线线垂直；
【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，因为，，所以，，所以，，所以，所以
（2）由（1）可知，所以，所以
16．（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析
【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设棱长为，可得各点坐标，设所成角为，则利用可求得结果；（2）设存在点，满足题意；求得平面的法向量后，根据，得到，从而求得，进而得到结果.
【详解】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
设正方体棱长为
则，，，，，，，
（1）设异面直线与所成角为
，
，即异面直线与所成角的余弦值为：
（2）假设在棱上存在点，，使得平面
则，，
设平面的法向量
，令，则，
，解得：
棱上存在点，满足，使得平面
【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间向量法求解立体几何中的角度和位置关系问题；处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程，求得未知量.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页