高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题A（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题A（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-15 17:40:48 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题A
未命名
一、单选题
1．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．在四棱柱中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，，，是的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
4．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
8．关于正方体，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为
C．棱与平面所成角的正切值为
D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为
三、填空题
9．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______.
10．如图，已知正方形的边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
11．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.
12．如图，在棱长为1的正方体中，M在线段（含端点）上运动，下列结论正确的是______．
①；②平面；③三棱锥体积不变，为；④与所成角的范围为；⑤DM与平面所成角的正弦值的最大值为．
四、解答题
13．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
14．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：∥平面
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
15．在三棱锥中，，，.
（1）求证：；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
2．B
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．
故选：B
3．C
【分析】分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.
【详解】易得平面，所以，．
又，所以分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
因为底面是边长为4的菱形，，所以，，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，，则是平面的一个法向量．
设点到平面的距离为．因为是的中点，所以，，则，
所以点到平面的距离为．
故选：C.
4．B
【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
5．B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由题知，
所以直线与直线所成角的余弦值为
故选：B
6．D
【解析】取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.
【详解】
如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面⊥面，面面，所以BE⊥面ADC,
以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
,
平面ACD的一个法向量为
而，设为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角的平面角为θ，则θ为锐角，
所以.
故选：D
【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
7．AD
【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.
【详解】，故，A正确；
不是单位向量，且与不共线，B错误；
，C错误；
设，则，，
所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.
故选：AD
8．ABD
【分析】对于A：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B：结合图形可得交线为l即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．
【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
设平面的一个法向量，则有
令，则，即
∵，则，即
∴∥，则直线平面，A正确；
结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l即为直线
∴，则
∴l与所成角为，B正确；
∵，则
∴棱与平面所成角的正切值为，C不正确；
如图2，取棱的中点，连接
∵分别为的中点，则∥且
又∵∥且，则∥且
∴为平行四边形，则∥
∵分别为的中点，则∥且
∴为平行四边形，则∥
∴∥
同理可证：∥
∴经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形
∵，则其周长为，D正确；
故选：ABD．
9．
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，
所以，
故答案为：
10．
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.
【详解】长方形可得，
因为平面与平面互相垂直，平面平面，
平面，故平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，
故.
故答案为：
11．-16
【分析】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．
【详解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，
解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．
故答案为：-16
12．①②⑤
【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可
【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,,
所以，，，，，
对于①，因为，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以①正确，
对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为，所以平面∥平面，因为平面，所以平面，所以②正确，
对于③，由②可知平面，所以，所以③错误，
对于④，设，则，设（），则，得，所以（），则，
设与所成角为，则，当时，，因为，所以，所以④错误，
对于⑤，设平面的法向量为，则，
令，则，，设DM与平面所成角为，则
，
所以当时，取得最大值，所以⑤正确，
故答案为：①②⑤，
13．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；（2）根据题意结合二面角的定义可得，利用空间向量求线面夹角．
（1）取线段中点，连接，由图1可知，四边形是矩形，且是线段与的中点，且在图1中且，且．所以在图2中，且且四边形是平行四边形，则由于平面平面平面
（2）由图1，折起后在图2中仍有即为二面角的平面角．以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，且设则，设平面的一个法向量由，得，取则于是平面的一个法向量∴直线与平面所成角的正弦值为
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取中点，连接，，证明平面即可；
（2）首先证明平面，然后以射线，，为，，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.
【详解】（1）取中点，连接，，因为，，
所以，，又因为，所以平面，
即.
（2）由（1）得，平面，又因为平面，
所以平面平面，
易得，，所以，即，
又因为平面平面，所以平面，
如图所示，以射线，，为，，正半轴建系，
，，，，，
，，，
设为平面一个法向量，则有，取，
设为直线与平面所成角，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
16．（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合 平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．在正方体中O为面的中心，为面的中心.若E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的锐二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．在四棱柱中，平面，，底面是边长为4的菱形，且，，，是的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．3
4．已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知空间中三点，，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
8．关于正方体，下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．若平面与平面的交线为l，则l与所成角为
C．棱与平面所成角的正切值为
D．若正方体棱长为2，P，Q分别为棱的中点，则经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形的周长为
三、填空题
9．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为______.
10．如图，已知正方形的边长为，长方形中，，平面与平面互相垂直，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
11．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.
12．如图，在棱长为1的正方体中，M在线段（含端点）上运动，下列结论正确的是______．
①；②平面；③三棱锥体积不变，为；④与所成角的范围为；⑤DM与平面所成角的正弦值的最大值为．
四、解答题
13．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
14．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若是四边形对角线的交点，求证：∥平面
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
15．在三棱锥中，，，.
（1）求证：；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
设异面直线与所成角为，
则.
故选：B
2．B
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】，所以两平面所成的锐二面角的大小为45°．
故选：B
3．C
【分析】分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.
【详解】易得平面，所以，．
又，所以分别以为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
因为底面是边长为4的菱形，，所以，，
则，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，所以，
取，则，，则是平面的一个法向量．
设点到平面的距离为．因为是的中点，所以，，则，
所以点到平面的距离为．
故选：C.
4．B
【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，
故选：B
5．B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由题知，
所以直线与直线所成角的余弦值为
故选：B
6．D
【解析】取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.
【详解】
如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面⊥面，面面，所以BE⊥面ADC,
以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
,
平面ACD的一个法向量为
而，设为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角的平面角为θ，则θ为锐角，
所以.
故选：D
【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
7．AD
【分析】A选项，数量积为0，则两向量垂直；B选项，判断出不是单位向量，且与不共线；C选项，利用向量夹角坐标公式进行求解；D选项，利用数量积为0，证明出，从而得到结论.
【详解】，故，A正确；
不是单位向量，且与不共线，B错误；
，C错误；
设，则，，
所以，又，所以平面的一个法向量是，D正确.
故选：AD
8．ABD
【分析】对于A：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B：结合图形可得交线为l即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C：，利用空间向量处理线面夹角问题；对于D：通过平行分析可知经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．
【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则
设平面的一个法向量，则有
令，则，即
∵，则，即
∴∥，则直线平面，A正确；
结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l即为直线
∴，则
∴l与所成角为，B正确；
∵，则
∴棱与平面所成角的正切值为，C不正确；
如图2，取棱的中点，连接
∵分别为的中点，则∥且
又∵∥且，则∥且
∴为平行四边形，则∥
∵分别为的中点，则∥且
∴为平行四边形，则∥
∴∥
同理可证：∥
∴经过A，P，Q的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形
∵，则其周长为，D正确；
故选：ABD．
9．
【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设与的夹角为，直线与平面所成角为，
所以，
故答案为：
10．
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出，后可求异面直线所成角的余弦值.
【详解】长方形可得，
因为平面与平面互相垂直，平面平面，
平面，故平面，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，
故.
故答案为：
11．-16
【分析】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．
【详解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，
解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．
故答案为：-16
12．①②⑤
【分析】如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可
【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则,,
所以，，，，，
对于①，因为，所以，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，所以①正确，
对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为，所以平面∥平面，因为平面，所以平面，所以②正确，
对于③，由②可知平面，所以，所以③错误，
对于④，设，则，设（），则，得，所以（），则，
设与所成角为，则，当时，，因为，所以，所以④错误，
对于⑤，设平面的法向量为，则，
令，则，，设DM与平面所成角为，则
，
所以当时，取得最大值，所以⑤正确，
故答案为：①②⑤，
13．（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；
（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；（2）根据题意结合二面角的定义可得，利用空间向量求线面夹角．
（1）取线段中点，连接，由图1可知，四边形是矩形，且是线段与的中点，且在图1中且，且．所以在图2中，且且四边形是平行四边形，则由于平面平面平面
（2）由图1，折起后在图2中仍有即为二面角的平面角．以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，且设则，设平面的一个法向量由，得，取则于是平面的一个法向量∴直线与平面所成角的正弦值为
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取中点，连接，，证明平面即可；
（2）首先证明平面，然后以射线，，为，，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案.
【详解】（1）取中点，连接，，因为，，
所以，，又因为，所以平面，
即.
（2）由（1）得，平面，又因为平面，
所以平面平面，
易得，，所以，即，
又因为平面平面，所以平面，
如图所示，以射线，，为，，正半轴建系，
，，，，，
，，，
设为平面一个法向量，则有，取，
设为直线与平面所成角，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
16．（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合 平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页