高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B（Word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-15 17:41:21 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题B
未命名
一、单选题
1．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是
A． B． C． D．
2．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，和所在平面垂直，且，，则（ ）
A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为
C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
三、填空题
9．已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．
10．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
11．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．
12．若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的序号是____.
（1）若⊥，则直线a∥平面α；
（2）若∥，则直线a⊥平面α；
（3）若，则直线a与平面α所成角的大小为；
（4）若，则平面α，β的夹角为.
四、解答题
13．如果分别是平面的一个法向量，设与所成角的大小为，写出与之间的关系.
14．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
15．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
16．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.
【详解】由于直线与平面的夹角为，
其中，
所以，
所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.
2．B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由题知，
所以直线与直线所成角的余弦值为
故选：B
3．A
【分析】取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
4．D
【分析】构造正方体，设正方体的棱长为1，,点在线段上移动.当在位置时，最大，利用向量的夹角公式即得解.
【详解】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示.
则，，且点在线段上移动.
当在位置时，最小，即最大，
则为最大值.
故选：D
5．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则,. 设
则 易知平面和平面的一个法向量分别为
.设平面的法向量为，
则 即
取，可得
所以 为平面的一个法向量.
由题意,平面与平面，平面所成的角相等，
所以.
或
在平面上，直线过点和的中点，
在平面上，直线只过点，即点，
取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，
由等面积法可得的最小值为.
故选：B.
【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
6．C
【解析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
7．ABC
【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.
【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，.
因为，所以，
即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确..
因为，
所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为，B正确..
设AD与平面BCD所成的角为，因为是平面BCD的一个法向量，
所以，所以，
即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确，D错.
故选：ABC.
8．AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
9．60°##
【分析】根据向量数量积求出与夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．
【详解】，
∵异面直线夹角范围是，
∴AB和CD所成角的大小为60°．
故答案为：60°．
10．
【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面、平面的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.
【详解】如图
设，
设平面的一个法向量为
令，，则
平面的法向量的一个法向量为
设平面与底面所成的锐二面角为
所以
当时，有最大，则有最小，所以
故答案为：
11．
【分析】由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.
【详解】如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接
则,又，且,所以平面
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形中，为中心，
由条件有，可得
在直角三角形中，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
12．(2)(3)(4)
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.
【详解】若⊥，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；
若∥，则也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以(2)是真命题；
直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.
故答案为：(2)(3)(4).
13．或或
【分析】分析两个平面所成角为钝二面角、锐二面角、直二面角三种情况.
【详解】当两个平面所成角为钝二面角，此时，当两个平面所成角为锐二面角，此时，当二面角的平面角为直角时，
14．（1）；（2）.
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取，，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点到直线的距离；
（2）易证平面，则点到平面的距离为直线到平面的距离，求出平面的一个法向量，再求出，根据点到面的距离公式，可得直线到平面的距离．
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合 平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
16．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）作交于，连接
又且 且
四边形为平行四边形
平面，平面 平面
（2）平面，平面
又，
则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，
，，
设平面的法向量
则，令，则，
设直线与平面所成角为
【点睛】关键点点睛：线面平行的判定，关键要利用三角形中位线，平行四边形寻求直线与直线的平行关系，利用线面平行的判定定理求解，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
未命名
一、单选题
1．若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关系式成立的是
A． B． C． D．
2．在棱长为2的正方体中，点在棱上，，点是棱的中点，点满足，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．如图，和所在平面垂直，且，，则（ ）
A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°
B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为
C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°
D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°
8．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．向量与的夹角是60°
D．直线与AC所成角的余弦值为
三、填空题
9．已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______．
10．如图，在棱长为4的正方体中，M是棱上的动点，N是棱的中点.当平面与底面所成的锐二面角最小时，___________.
11．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．
12．若直线a的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列命题为真命题的序号是____.
（1）若⊥，则直线a∥平面α；
（2）若∥，则直线a⊥平面α；
（3）若，则直线a与平面α所成角的大小为；
（4）若，则平面α，β的夹角为.
四、解答题
13．如果分别是平面的一个法向量，设与所成角的大小为，写出与之间的关系.
14．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离.
15．如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
16．如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且．
（1）若点F为上一点且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据线面角的正弦值的计算公式，判断出正确选项.
【详解】由于直线与平面的夹角为，
其中，
所以，
所以.
故选：D
【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的向量求法，属于基础题.
2．B
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：如图，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由题知，
所以直线与直线所成角的余弦值为
故选：B
3．A
【分析】取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
4．D
【分析】构造正方体，设正方体的棱长为1，,点在线段上移动.当在位置时，最大，利用向量的夹角公式即得解.
【详解】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示.
则，，且点在线段上移动.
当在位置时，最小，即最大，
则为最大值.
故选：D
5．B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则,. 设
则 易知平面和平面的一个法向量分别为
.设平面的法向量为，
则 即
取，可得
所以 为平面的一个法向量.
由题意,平面与平面，平面所成的角相等，
所以.
或
在平面上，直线过点和的中点，
在平面上，直线只过点，即点，
取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，
由等面积法可得的最小值为.
故选：B.
【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
6．C
【解析】画出四面体，建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.
【详解】四面体是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示
建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为
因为异面直线夹角的范围为，所以异面直线BM与CD夹角的余弦值为
故选：C
【点睛】本题主要考查了利用向量法求异面直线夹角的余弦值，属于中档题.
7．ABC
【分析】建立适当的空间直角坐标系，再求线线角和线面角即可.
【详解】以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，.
因为，所以，
即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确..
因为，
所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为，B正确..
设AD与平面BCD所成的角为，因为是平面BCD的一个法向量，
所以，所以，
即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确，D错.
故选：ABC.
8．AC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
9．60°##
【分析】根据向量数量积求出与夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围即可求出角．
【详解】，
∵异面直线夹角范围是，
∴AB和CD所成角的大小为60°．
故答案为：60°．
10．
【分析】建立空间直角坐标系，分别得到平面、平面的法向量，然后按照公式计算进行判断即可.
【详解】如图
设，
设平面的一个法向量为
令，，则
平面的法向量的一个法向量为
设平面与底面所成的锐二面角为
所以
当时，有最大，则有最小，所以
故答案为：
11．
【分析】由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.
【详解】如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接
则,又，且,所以平面
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形中，为中心，
由条件有，可得
在直角三角形中，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
12．(2)(3)(4)
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面，面面的关系即可得出结论.
【详解】若⊥，则直线a与平面α平行或在平面α内，所以(1)是假命题；
若∥，则也是平面α的法向量，所以直线a⊥平面α，所以(2)是真命题；
直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值，所以(3)是真命题；
两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90°的角相等，所以(4)是真命题.
故答案为：(2)(3)(4).
13．或或
【分析】分析两个平面所成角为钝二面角、锐二面角、直二面角三种情况.
【详解】当两个平面所成角为钝二面角，此时，当两个平面所成角为锐二面角，此时，当二面角的平面角为直角时，
14．（1）；（2）.
【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，取，，根据空间向量点到直线距离公式，可得点点到直线的距离；
（2）易证平面，则点到平面的距离为直线到平面的距离，求出平面的一个法向量，再求出，根据点到面的距离公式，可得直线到平面的距离．
【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，， .
（1）取，，则.
所以，点到直线的距离为.
（2）因为，所以，所以平面.
所以点到平面的距离为直线到平面的距离.
设平面的法向量为，则
所以
所以
取，则.所以，是平面的一个法向量.
又因为，所以点到平面的距离为.
即直线到平面的距离为.
15．（1）证明见解析；（2）.
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.
【详解】(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合 平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
16．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）作，根据比例关系可知，从而可证得四边形为平行四边形，进而得到，由线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）作交于，连接
又且 且
四边形为平行四边形
平面，平面 平面
（2）平面，平面
又，
则可以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，
，，
设平面的法向量
则，令，则，
设直线与平面所成角为
【点睛】关键点点睛：线面平行的判定，关键要利用三角形中位线，平行四边形寻求直线与直线的平行关系，利用线面平行的判定定理求解，属于中档题.
答案第1页，共2页
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