高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——章末检测B（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章——章末检测B
未命名
一、单选题
1．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
2．与向量平行的一个向量的坐标是(　　)
A． B．(-1,-3,2)
C． D．(,-3,-2)
3．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是 （ ）
A． B． C． D．
4．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（　　）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
7．如图，在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π
二、多选题
9．已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形的面积为 B．与的夹角为60°
C． D．
12．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是(　　)
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
三、填空题
13．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．
14．如图，在平行六面体中，，为的中点，则___________.
15．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
16．如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________．
四、解答题
17．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，M为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成的角的余弦值．
19．如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设，，，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量：
（1） ；
（2）
20．如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.
（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.
21．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点.
（1）求直线与平面的夹角余弦值；
（2）求点到平面的距离.
22．如图所示，在三棱柱中，，，四边形为菱形，，，D为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
2．C
【分析】根据向量共线定理判定即可．
【详解】对于A，由于，所以与向量不共线，故A不正确．
对于B，由题意得向量与向量不共线，故B不正确．
对于C，由于，所以与向量共线，故C正确．
对于D，由题意得向量(,3,2)与向量不共线，故D不正确．
故选C．
【点睛】判断两个向量是否共线的方法是判断两个向量之间是否满足，其中为常数，本题考查计算能力和变形能力，属于基础题．
3．D
【分析】由基底的定义求解即可
【详解】因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故A错误；
因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；
因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；
因为，，，为不共面向量，所以能构成基底，故D正确；
故选：D
4．C
【分析】由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.
【详解】解：因为三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使得，
即，
，解得，
所以.
故选：C.
5．B
【解析】选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
6．C
【分析】建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
7．A
【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.
【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
设(x，y，z)，,，
则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键.
8．A
【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.
【详解】设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.
9．AC
【分析】根据共线向量的坐标表示逐一代入验证即可.
【详解】对A，存在实数，使，且，正确；
对B，不存在实数，使，错误；
对C，存在实数，使，且，正确；
对D，，不是单位向量，错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查模的坐标表示，是基础题.
10．BC
【分析】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析，分别求出定点到各选项的直线的距离，判断是否小于或等于4，即可得出答案.
【详解】所给直线上的点到定点距离能否取，可通过求各直线上的点到点的最小距离，即点到直线的距离来分析．
A．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”；B．因为，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；
C．因为，直线上存在一点，使之到点距离等于，是“切割型直线”；D．因为，故直线上不存在点到距离等于，不是“切割型直线”．
故选：BC.
11．ACD
【分析】结合正方体图形，分别对四个选项进行判断即可.
【详解】如图
由面得，所以四边形的面积为，故A正确；
∵是等边三角形，∴，又∵，∴异面直线与所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误；
由向量加法的运算法则可以得到，∵，∴，故C正确；
向量运算可得，∵在正方体中，面，∴，∴，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题主要考查用向量的知识和方法研究正方体中线位置关系以及夹角和面积，属于中档题.
12．AB
【分析】根据正方体ABCD﹣A1B1C1D1的特征，利用空间向量的线性运算以及数量积公式即可求解.
【详解】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：
由向量的加法得到：，
∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，
又∵A1BD1C，
∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，
但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；
∵AB⊥AA1，∴，
故0，故D错误．
故选：AB．
13．0
【分析】计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.
【详解】因为，
，
.
所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直．
故答案为：0.
14．6
【分析】根据，结合向量间的夹角已知，模长已知，两边同时平方，从而求得.
【详解】设因为
所以
解得
故答案为：6
15．
【分析】根据题意得到面，，从而求得最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值.
【详解】解：因为，，
可得平面，，
当最短时，面，且，
所以为的中心，为的中点，如图所示，
又因为正四面体的棱长为，，
所以，
因为平面，所以，
因为，
所以
.
故答案为：.
16．
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，，所以，，
因为，所以，
，
因为，所以令，代入上式得：
其中，
所以，
因此的最小值为，
故答案为：
【点睛】方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）利用向量加法的三角形法则即可求解.
（2）由，利用向量加法的三角形法则即可求解.
（3）利用向量减法的运算法则即可求解.
（4）利用向量加法、减法的运算法则即可求解.
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出 ，利用数量积即可证明.
（2）求出两平面PAM与平面PDC的法向量，则法向量夹角余弦得二面角的余弦．
【详解】解：（1）依题意，棱DA，DC，DP两两互相垂直.
以点D为原点，依次以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，
如图，建立空间直角坐标系.
则，，，.
可得，.
所以，
所以
（2）由（1）得到，，
因此可得，.
设平面的一个法向量为，则由
得
令，解得.
同理，可求平面PDC的一个法向量.
所以，平面PAM与平面PDC所成的锐二面角满足：
.
即平面PAM与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用空间向量的线性运算，，再转化为表示即可；
（2）由，，再转化为表示即可
【详解】（1）因为P是C1D1的中点，
所以
（2）因为M是AA1的中点，
所以
又
20．（1）证明见解析；（2）与平面所成角的正弦值为.
【分析】（1）、取的中点，连接，证明结合，先证明平面，得到，再证明，然后证明平面；
（2）、以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及，利用向量法求线面角.
【详解】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，
又平面，所以平面，又平面，所以，
因为∥，所以，又平面，所以平面；
（2）以为坐标原点, 所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，
则，所以，
设平面的法向量为，则，取，则，
设与平面所成角为，则.与平面所成角的正弦值为.
21．（1）；（2）.
【分析】由于底面是矩形，平面，所以可得两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可
【详解】因为平面，平面，平面，
所以,
因为四边形为矩形，所以，
所以两两垂直，所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，
因为，，是中点，
所以，,
所以，
设平面的法向量为，则
，令，则，
（1），设直线与平面的夹角为，
则，
因为
所以，
（2）因为，面的法向量为，
所以点到平面的距离为
22．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明，，则平面即得证；
（2）取中点为E，连结，，证明平面，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，
由，则有，，
又，
所以，
则可知，
又有，平面，所以平面；
（2）取中点为E，连结，，
由，则有，
又易知，
则有，所以，
又可知，，平面，则平面，
如图，以E为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
有，，，，，
由，则有平面，
所以，
又，，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，
可取，
记二面角为，
则.
故二面角的余弦值为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页