22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质 学案（含答案）

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
知识链接
Hi，在开始挑战之前，先来热下身吧！
1．一般地，形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中
__ _是自变量，a，b，c分别是函数解析式的____项系数和___ _
项系数、___ 项．
2．将二次函数y＝－（x－1）2－3（x－1）化成y＝ax2＋bx＋c的形式为 ．
学习任务
（一）读教材，首战告捷
让我们一起来阅读教材，并做好色笔区分吧。
（二） 试身手， 初露锋芒
让我们来试试下面的问题和小练习吧。
探究：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质
练习1、当a＜0时，抛物线y=a（x－h）2的对称轴是 ，顶点是 ，
开口向下．当x＜h时，y 随x的增大而 ，
当x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
练习2、抛物线y=a（x－h）2 +k有如下特点：
（1）当 a＞0 时，开口 ；当 a＜0 时，开口向下．
（2）对称轴为直线 ．
（3）顶点坐标（h，k）．
如果 a＞0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而 ，
当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大；
如果 a＜0，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而增大，
当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
（三）攻难关，自学检测
让我们来挑战吧！你一定是最棒的！
1．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（3，0），则a+b+c
的值（　 ）
A．等于0　　　B．等于1　　 C． 等于－1 　　D．不能确定
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
（1）对称轴： ；（2） 顶点坐标： ．
3．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的
坐标为（，0），则点A的坐标是_______．
4．将二次函数一般式y=ax2+bx+c化成顶点式．
5．请写出抛物线y= 的开口方向、对称轴、顶点坐标、
最值和变化趋势．
6．已知抛物线：
（1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？
x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？
最值为多少？
◆测一测，大显身手
1．已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x …… 0 1 2 3 4 ……
y …… 4 1 0 1 4 ……
点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的
是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
2．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值
3．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __．
4．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
5．通过配方确定 y＝－2x2＋4x＋6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出其增减性．
参考答案
试身手， 初露锋芒
练习1、【答案】x = h；（h，0）；增大．
练习2、【答案】向上；x = h；减小．
攻难关，自学检测
1．【答案】A
【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（3，0），所以过点（1，0）代入解析式
得a+b+c=0．
2．【答案】（1）x=；（2）
3．【答案】，
【解析】由抛物线的对称性知，A、B两点关于直线x＝1对称，设点A的坐标是（x1，0）则有，所以，即点A的坐标是，．
4．解：y=ax2+bx+c=a（ ）
=a[]
=a（ ）2+
5．解：y=
∵a= ， b=－2 ，c=－1
（1）（因为a=＞0）开口：向上
（2）对称轴：x==
（3）顶点坐标：
∵=
∴顶点坐标：（2，－3）；
（4）（因为a=＞0，抛物线开口向上，所以图象有最低点，即函数有最小值）
当x=2时，y最小值=－3
（5）当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．
6．【解析】
解：（1）∵ ，b＝－3，∴，
把x＝－3代入解析式得，．
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是（－3，2）．
（2）由于抛物线的顶点坐标为A（－3，2），对称轴为x＝－3．
抛物线与x轴两交点为B（－5，0）和C（－1，0），与y轴的交点为，
取D关于对称轴的对称点，
用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．
从图象可以看出：
在对称轴左侧，即当x＜－3时，y随x的增大而增大；
在对称轴右侧，即当x＞－3时，y随x的增大而减小．
因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，
所以函数有最大值，当x＝－3时，．
测一测，大显身手　
1．【答案】B
【解析】由表可知1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1；3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故y1＜y2．
2．【答案】C
【解析】观察图象在0≤x≤3时的最低点为（1，－1），最高点为（3，3），故有最小值－1，有最大值3．
3．【答案】
【解析】
又因为函数图象经过，所以，代入即可求得．
4．【答案与解析】
解法1（配方法）：
．
∴顶点坐标为，对称轴为直线．
解法2（公式法）：∵ ，，，
∴ ，．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
解法3（代入法）：∵ ，，，
∴ ．
将代入解析式中得，．
∴ 顶点坐标为，对称轴为直线．
5．【答案与解析】
解：y＝－2x2＋4x＋6＝－2（x－1）2＋8．
∴抛物线开口向下，对称轴是直线 x＝1，顶点坐标为（1，8）．
当x<1 时，y 随 x 的增大而增大；当x>1 时，y 随 x 的增大而减小．