21.3.3 实际问题与一元二次方程之数字、几何动态问题 学案（含答案）

人教版九年级数学第二十一章
21.3实际问题与一元二次方程之数字、几何动态问题
知识链接
Hi，在开始挑战之前，先来热下身吧！
1．几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差 ．
2．三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x－1， ．
学习任务
（一）读教材，首战告捷
让我们一起来阅读教材，并做好色笔区分吧。
（二） 试身手， 初露锋芒
让我们来试试下面的问题和小练习吧。
复习：
两位数：a×10＋b；
三位数：a×100＋b×10＋c；
偶数：2n(n为整数)；
奇数：2n+1(或2n－1)（n为整数）．
练习1、若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，
且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 ．
练习2、元旦期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共
送贺卡132张，则这个小组共有（ ）
A．11人 B．12人 C．13人 D．14人
（三）攻难关，自学检测
让我们来挑战吧！你一定是最棒的！
一、选择题
1．一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起0.5米，开始做翻
滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒，并至少在离水面3.5
米处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为14米/秒，该运动员在空中
至多做翻滚动作（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出
发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续
前进．乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A
地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4
千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（ ）千米/时．
A．2，6 B．12，16 C．16，20 D．20，24
二、填空题
3．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．
4．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与
个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两
位数是 ．
三、解答题
5．（1）有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，
求这两位数．
（2）两个连续奇数的积是323，求这两个连续奇数．
6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P
从A向C运动，点Q同时从C向B运动，速度分别为1cm/s，2cm/s．
当其中一点到达终点时两点同时停止运动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于
△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
◆测一测，大显身手
1．若两个连续正整数的积为156，则这两个正整数为______．
2．如图所示，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，
动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．
问：(1)P、Q两点从出发开始到 秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2；
(2)P、Q两点从出发开始到 秒时，点P与点O间的距离是10cm．
3．有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
4．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
5．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2
参考答案
试身手， 初露锋芒
练习1、【答案】 x2－5x+6=0．
【提示】本题是结论开放的题（答案不唯一）．
练习2、【答案】B
【提示】设这个小组共x人，则x(x－1)＝132，x1＝－11（舍去），x2＝12．
攻难关，自学检测
1．【答案】D
【解析】从10.5米高处到入水过程的平均速度为7米/秒，所用时间为10.5÷7＝1．5秒，
速度每秒变化米/秒．设运动员从最高处到离水面3.5米时用时x秒，
那么这段距离的平均速度为x2＝1.5，x≈1.2，1.2÷0.2＝6，最多做6个翻滚动作．
2．【答案】C
【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时．
根据题意，得
解之，得x1=16，x2=－2．
经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去．
∴当x=16时，x+4=20．
3．【答案】－5和7
【解析】设两数中一个数为x，则另一个数为2－x．
根据题意得x2+(2－x)2＝74，解得x1＝－5，x2＝7．
当x＝－5时，另一个数为7；
当x＝7时，另一个数为－5，
所以这两个数为－5和7．
4．【答案】35或53
【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是(8－x)，由题意得
[10x+(8－x)]·[10(8－x)+x]＝1855．
化简得x2－8x+15＝0，
解之得：x1＝3，x2＝5．
经检验，x1＝3，x2＝5都符合题意．
答：原两位数是35或53．
5．解：(1)设十位数字为a，则个位数字为a+2．
依题意，得：11a+2=3×a×（a+2）
整理，得：3a2－5a－2=0
解之得：a1=2，a2=（不合题意，舍去） ．
答：这个两位数为24．
(2)设较小的奇数为：2n－1，则较大的奇数为：2n+1．
依题意，得：（2n－1）（2n+1）=323
整理，得：n2－81=0
解之得：n1= 9，n2=－9(不合题意，舍去)．
则2n－1=18－1=17，2n+1=18+1=19．
答：这两个连续奇数为17和19．
6．解：（1）设t秒钟之后△PCQ的面积为8cm2．
依题意，得：S△PCQ=PC·QC= (6－t)× 2t=8
整理，得：t2－6t+8=0
解之得：t1=2， t2=4．
答：P、Q同时出发2秒或4秒后，可使△PCQ的面积为8cm2．
（2）假设存在这样的时刻，
依题意，得：S△PCQ=PC·QC= (6－t)× 2t=S△ABC=×24=12
整理，得：t2－6t+12=0
∵△=（－6）2－4×12=36－48=－12＜0
∴方程无实数根．
即不存在这样的时间点使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．
测一测，大显身手　
1．【答案】12和13
2．【答案】（1）5秒；（2）秒或秒．
【解析】(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2，
则AP＝3x，PB＝16－3x，CQ＝2x，由梯形的面积公式得，
解得x＝5．
答：P、Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCO的面积为33cm2．
(2)设P、Q两点从出发开始到y秒时，点P、点Q间的距离为10cm．
过点Q作QH⊥AB，交AB于H，如答图3所示，
则AP＝3y，CQ＝2y，PH＝16－3y－2y，
根据勾股定理．得(16－3y－2y)2＝102－62，化简方程得(16－5y)2＝64，
解得，．
答：P、Q两点从出发开始到秒或秒时，点P、点Q间的距离是10cm．
3．【解析】解：设个位数字为x，则十位数字为14－x，两数字之积为x(14－x)，
两个数字颠倒后的数为10x+(14－x)．
根据题意，得10x+(14－x)－x(14－x)＝38．
整理，得x2－5x－24＝0，
∴ (x－8)(x+3)＝0，∴x1＝8，x2＝－3．
∵个位上的数字不可能是负数，∴x＝－3舍去．
当x＝8时，14－x＝6，∴原数为68．
答：这个两位数是68．
4．【答案】解：设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12－x)，依题意得x(12－x)＝32，
整理得x2－12x+32＝0
解得 x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12－x＝8；
当x＝8时12－x＝4．
所以这两个数是4和8．
5．【答案】解：(1)当蚂蚁在AO段时，设离开A点t s后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．
根据题意，得．
整理得：，
解得t1＝10，t2＝15．
(2)当蚂蚁爬完AO这段距离用了后，开始由O向B爬行，设从O点开始x s后组成的
三角形的面积是450 cm2，根据题意，得：，
整理得x2+25x－150＝0，解得x1＝5，x2＝－30(舍去)．
当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．
答：分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．