2022-2023学年北师大版九年级数学上册 1.3 正方形的性质与判定形 同步练习题 （word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定形》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）
A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°
B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BC
C．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC
3．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（　　）
A．4 B．5 C．10 D．5
4．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　）
A．2.4 B．3.4 C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
10．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为　 　．
12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为 　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为 　 　．
14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　．
三．解答题
16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．
（1）求证：矩形DEFM是正方形；
（2）求CE+CM的值．
17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G．
（1）求证：四边形OGCF是正方形．
（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．
18．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．
（1）求证：DE＝BF；
（2）若AH平分∠FAE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．
19．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．
求证：（1）BG＝DE；
（2）CM＝AF．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）
21．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．
（3）当∠ABC＝　 　°时，四边形OCED是正方形．
参考答案
一．选择题
1．解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项A不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项D符合题意．
故选：D．
2．解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°，不符合题意；
B、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；
C、当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD，符合题意；
D、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；
故选：C．
3．解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，
∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，
∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，
∴BG＝GE＝BE＝1，
∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，
∴AE＝＝＝，
∵AE⊥EF，
∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，
又∠AGE＝∠EHF＝90°，
∴△AGE≌△EHF（AAS），
∴AE＝EF＝，
∴△AEF的面积为AE EF＝××＝5，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴∠BAE＝∠BCE＝20°，
∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，
＝180°﹣90°﹣20°
＝70°，
∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，
∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，
∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，
∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，
故选：B．
6．解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，
故选：A．
7．解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
在△DCE和△DGE中，
，
∴△DCE≌△DGE（SAS），
∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，
∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，
在Rt△DAF和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），
∴AF＝GF＝1，
∵EG＝EC，
∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
BE2+BF2＝EF2，
∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，
解得EG＝2.4，
∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．
∴EF的长为3.4．
故选：B．
8．解：延长EP交AD于Q，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，
∵PF⊥CD，
∴∠DPF＝45°，
∴DF＝PF，
∵PE⊥BC，
∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，
∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，
∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，
∴DF＝QP，
∴CE＝QP，
在△AQP和△FCE中，
，
∴△AQP≌△FCE（SAS），
∴AP＝EF，
若AP＝5，则EF＝5，故①正确；
若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，
∵△AQP≌△FCE，
∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠EFC＝∠BDC，
∴EF∥BD，故②正确；
当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
∵AB＝AD＝4，
∴BD＝，
∴AP＝BD＝，
∵EF＝AP，
∴EF的最小值为，故③错误，
故选：A．
9．解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'＝，
故选：A．
10．解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：
∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，
∵点N、M分别是AD、FC的中点，
∴AN＝ND＝3，
∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．
在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．
故选：C．
二．填空题
11．解：延长AF交BC于点K，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CBE+∠ABF＝90°，
∴AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠CBE＝∠BAF，
又∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），
∴BF＝FH＝3，
作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，
∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，
∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，
∴BQ＝BF＝CE＝3，
∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，
∴∠BPQ＝∠ECG，
∴△BPQ≌△CEG，
∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．
故答案为：9
12．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝×（3﹣2）＝，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝，
∴MH＝3﹣＝，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故答案为：．
13．解：如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴AE+BF＝AF+BF，
作点A关于DC的对称点H，连接FH，BH，
∴AF＝FH＝AE，
∴AE+BF＝FH+BF，
∴点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，
∴BH＝＝＝5，
故答案为：5．
14．解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵点A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
15．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝，
∴FG＝＝2，
∴MN＝1，
故答案为：1．
三．解答题
16．解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD．
∵EG⊥CD，EH⊥BC，
∴EG＝EH，
∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EGCH是矩形，
∴∠GEH＝90°．
∵四边形DEFM是矩形，
∴∠DEF＝90°．
∴∠DEG＝∠FEH．
∵∠EGD＝∠EHF＝90°，
∴△EGD≌△EHF（ASA），
∴ED＝EF．
∴矩形DEFM是正方形；
（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．
∴∠ADE＝∠CDM．
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM．
∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．
17．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，
∴OG＝OH＝OF，
又四边形OGCF是矩形，
∴四边形OGCF是正方形；
（2）解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∵AC＝4，
∴AB＝2AC＝2×4＝8，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝＝4，
在Rt△AOH和Rt△AOF中，
，
∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），
∴AH＝AF，
设正方形OGCF的边长为x，
则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，
∴4﹣x+4﹣x＝8，
∴x＝2﹣2，
即正方形OGCF的边长为2﹣2．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，
∵EA⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴∠FAB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，
∴∠FAB＝∠DAE，
在△BAF和△DAE中，
，
∴△BAF≌△DAE（ASA），
∴DE＝BF；
（2）解：DE+BH＝HE，
理由如下：
由（1）知△BAF≌△DAE，
∴AF＝AE，
∵AH平分∠FAE，
∴∠FAH＝∠EAH，
在△FAH与△EAH中，
，
∴△FAH≌△EAH（SAS），
∴FH＝EH，
∴DE+BH＝HE．
19．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，
∴BC＝CD，CG＝CE，
在Rt△BGC和Rt△DEC中，
∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），
∴BG＝DE，
（2）连接AC，FC，
∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，
∴△ACF为直角三角形，
又∵M是AF的中点，
∴CM＝AF．
20．（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
即DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，∠ABO＝ABC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵AB＝2，
∴AO＝AB＝1，OB＝AB＝，
∵OD＝OB＝，OC＝OA＝1，
∴矩形OCED周长＝2（OD+OC）＝2+2；
（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，
∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵四边形OCED是矩形，
∴四边形OCED是正方形，
故答案为：90．