2022-2023学年苏科版数学九年级上册 第1章 一元二次方程 解答题专题训练 (word版含答案)

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名称 2022-2023学年苏科版数学九年级上册 第1章 一元二次方程 解答题专题训练 (word版含答案)
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资源类型 教案
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2022-08-17 17:45:27

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2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》解答题专题训练(附答案)
1.用适当的方法解下列一元二次方程:
(1)x2﹣2x﹣15=0;
(2)(x+4)2﹣5(x+4)=0.
2.解方程:
(1)x2+2x﹣2=0;
(2)(x﹣2)2=(2x﹣1)(2﹣x).
3.已知关于x的一元二次方程x2 2x+m 1=0.
(1)当m取何值时,这个方程有两个不相等的实数根?
(2)若x=1是这个方程的一个根,求m的值和另一根.
4.先阅读,后解题.
已知m2+2m+n2﹣6n+10=0,求m和n的值.
解:将左边分组配方:(m2+2m+1)+(n2﹣6n+9)=0.即(m+1)2+(n﹣3)2=0.
∵(m+1)2≥0,(n﹣3)2≥0,且和为0,
∴(m+1)2=0且(n﹣3)2=0,∴m=﹣1,n=3.
利用以上解法,解下列问题:
(1)已知:x2+4x+y2﹣2y+5=0,求x和y的值.
(2)已知a,b,c是△ABC的三边长,满足a2+b2=8a+6b﹣25且△ABC为直角三角形,求c.
5.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k﹣2=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根:
(2)若该方程的两个实数根x1,x2,满足x1﹣x2=﹣2k+3.求k的值.
6.已知a是方程x2﹣2020x+1=0的一个根.求:
(1)2a2﹣4040a﹣3的值;
(2)代数式a2﹣2019a+的值.
7.已知关于x的方程ax2+(3﹣2a)x+a﹣3=0.
(1)求证:无论a为何实数,方程总有实数根.
(2)如果方程有两个实数根x1,x2,当|x1﹣x2|=时,求出a的值.
8.已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2.且x12+x22=9,求m的值.
9.已知关于x的方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0
(1)求证:无论m为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根分别为x1,x2,且x1,x2分别是一个菱形的两条对角线长,已知菱形的面积为6,求m的值.
10.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有x1,x2两个实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1=1,求x2及m的值;
(3)是否存在实数m,满足m(x1﹣2)(x2﹣2)=﹣4?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
11.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有两个实数根;
(2)在直角三角形ABC中,∠C=90°,斜边c=2,两直角边的长a,b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4=0的两根,求m的值.
12.已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2(n﹣1)x+n2﹣2n=0的两个根,第三边BC的长是10.
(1)求证:无论n取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)当n为何值时;△ABC为等腰三角形?并求△ABC的周长.
(3)当n为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
13.已知关于x的方程kx2+(k+1)x+=0有实根.
(1)当k=4时,求解上述方程;
(2)求k的取值范围;
(3)是否存在实数k,使方程两根的倒数和为1?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
14.如图,利用一面墙(墙EF最长可利用28m),围成一个矩形花园ABCD,与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口(如图中MN所示,不用砌墙),现有砌60m长的墙的材料.
(1)当矩形的长BC为多少米时,矩形花园的面积为300m2;
(2)能否围成面积为480m2的矩形花园,为什么?
15.2020年,受新冠肺炎疫情影响.口罩紧缺,某网店以每袋8元(一袋十个)的成本价购进了一批口罩,二月份以一袋14元的价格销售了256袋,三、四月该口罩十分畅销,销售量持续走高,在售价不变的基础上,四月份的销售量达到400袋.
(1)求三、四这两个月销售量的月平均增长率;
(2)为回馈客户.该网店决定五月降价促销.经调查发现.在四月份销量的基础上,该口罩每袋降价1元,销售量就增加40袋,当口罩每袋降价多少元时,五月份可获利1920元?
16.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:售价在40元至60元范围内,这种台灯的售价每上涨1元,其销售量就将减少10个,设该商场决定把售价上涨x(0<x<20)元.
(1)售价上涨x元后,该商场平均每月可售出   个台灯(用含x的代数式表示);
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少元?这时应进台灯多少个?
17.疫情肆虐,万众一心.由于医疗物资极度匮乏,许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情.某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩,开工第一天生产300万个,第三天生产432万个,若每天生产口罩的个数增长的百分率相同,请解答下列问题:
(1)每天增长的百分率是多少?
(2)经调查发现,一条生产线最大产能是900万个/天,如果每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少30万个/天.现该厂要保证每天生产口罩3900万个,在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条生产线?
18.某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料300瓶,售出1瓶该款饮料的利润是1元.经调查发现,若该款饮料的批发价每降低0.1元,则每天可多售出100瓶.为了使每天获得的利润更多,该饮料批发商店决定降价x元.
(1)当x为多少时,该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元?
(2)该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达到600元吗?若能,请求出x的值,若不能,请说明理由.
19.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点同时出发,当点Q运动到点C时,P,Q两点同时停止运动.求:
(1)几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?
(2)几秒后,PQ的长度等于2cm?
(3)△PBQ的面积能否等于7cm2?说明理由.
20.“绿化校园,书香南岸”,去年三月份,南岸区某校购买了松树树苗和紫薇树苗共100株,其中松树树苗每株30元,紫薇树苗每株25元,此次购买两种树苗共计花费2700元.
(1)求此次购买的两种树苗各多少株?
(2)今年三月份,受市场影响商家降低了两种树苗的售价,且降价相同.经统计发现与去年三月份相比,两种树苗的售价每降低1元,松树树苗的销售量会增加2株,紫薇树苗的销售量会增加3株.若该校今年购进这两种树苗总计花费较去年增加了50元,求今年三月份两种树苗的售价.
参考答案
1.(1)∵x2﹣2x﹣15=0,
∴(x﹣5)(x+3)=0,
∴x﹣5=0或x+3=0,
∴x1=5,x2=﹣3;
(2)∵(x+4)2﹣5(x+4)=0,
∴(x+4)(x+4﹣5)=0,
∴x+4=0或x﹣1=0,
∴x1=﹣4,x2=1.
2.解:(1)x2+2x﹣2=0,
x2+2x=2,
(x+1)2=3,

,;
(2)(x﹣2)2=(2x﹣1)(2﹣x),
(x﹣2)2+(2x﹣1)(x﹣2)=0,
(x﹣2)(x﹣2+2x﹣1)=0,
(x﹣2)(3x﹣3)=0,
x﹣2=0或3x﹣3=0,
x1=2,x2=1.
3.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴b2﹣4ac=4﹣4m+4>0,
即m<2.
(2)当x=1时,1﹣2+m﹣1=0,
∴m=2,
∴x2 2x+1=0,
解得x1=x2=1.
即另一根是1.
4.解:(1)∵x2+4x+y2﹣2y+5=0,
∴(x2+4x+4)+(y2﹣2y+1)=0,即(x+2)2+(y﹣1)2=0,
∵(x+2)2≥0,(y﹣1)2≥0,且和为0,
∴(x+2)2=0且(y﹣1)2=0,
∴x=﹣2,y=1;
(2)∵a2+b2=8a+6b﹣25,
方程变形为(a﹣4)2+(b﹣3)2=0,
∵(a﹣4)2≥0,(b﹣3)2≥0,
∴a=4,b=3,
∵△ABC为直角三角形,
∴当a=4,b=3是直角边时,则;
当a=4是斜边,b=3是直角边时,则;
∴c=5或c=.
5.(1)证明:∵Δ=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(k﹣2)
=4k2+4k+1﹣4k+8
=4k2+9>0,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=k﹣2,
∵x1﹣x2=﹣2k+3,
∴(x1﹣x2)2=4k2﹣12k+9,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=4k2﹣12k+9,
∴(2k+1)2﹣4(k﹣2)=4k2﹣12k+9,
解得k=0.
6.解:(1)∵a是方程x2﹣2020x+1=0的一个根,
∴a2=2020a﹣1,
∴a2=2020a﹣1,
∴2a2﹣4040a﹣3
=2(2020a﹣1)﹣4040a﹣3
=4040a﹣2﹣4040a﹣3
=﹣5;
(2)原式=2020a﹣1﹣2019a+
=a+﹣1
=﹣1
=﹣1
=2020﹣1
=2019.
7.(1)证明:①当a=0时,方程为3x﹣3=0,是一元一次方程,有实数根;
②当a≠0时,方程是一元二次方程,
∵关于x的方程ax2+(3﹣2a)x+a﹣3=0中,Δ=(3﹣2a)2﹣4a(a﹣3)=9>0,
∴无论a为何实数,方程总有实数根.
(2)解:如果方程的两个实数根x1,x2,则x1+x2=,x1 x2=,
∵|x1﹣x2|=,
∴=,
解得a=±2.
故a的值是﹣2或2.
8.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0有实数根,
∴Δ≥0,即(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)≥0,
整理得:﹣4m+5≥0,
解得:m≤;
(2)∵该方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=1﹣2m,x1x2=m2﹣1,
∵x12+x22=9,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=9,即(1﹣2m)2﹣2(m2﹣1)=9,
整理得:m2﹣2m﹣3=0,即(m﹣3)(m+1)=0,
解得:m=3(舍去)或m=﹣1,
则m的值为﹣1.
9.(1)证明:∵Δ=[﹣(2m+1)]2﹣4m(m+1)=4m2+4m+1﹣4m2﹣4m=1>0,
∴Δ>0,
∴x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0总有两个不相等的实数根;
(2)∵方程x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0的两根分别为x1,x2,
∴x1 x2=m(m+1),
∵x1,x2分别是一个菱形的两条对角线长,已知菱形的面积为6,
∴x1 x2=6,
∴m(m+1)=6,
解得m=﹣4或m=3,
当m=﹣4时,x1=﹣3,x2=﹣4,不符合题意,舍去,
当m=3时,x1=3,x2=4符合题意,
∴m的值为3.
10.解:(1)∵方程有实数根,
∴Δ=16﹣4(m﹣1)≥0.
解得m≤5.
(2)依题意:x1+x2=4,x1 xx=m﹣1且x1=1
则:x2=3,m=4;
(3)∵m(x1﹣2)(x2﹣2)=﹣4,
11.(1)证明:∵a=1,b=﹣m,c=2m﹣4,
∴Δ=(﹣m)2﹣4(2m﹣4)
=m2﹣8m+16
=(m﹣4)2≥0,
则无论m为何值,方程总有两个实数根;
(2)解:∵两直角边的长a,b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4=0的两根,
∴a+b=m,ab=2m﹣4,
∵c=2,
∴根据勾股定理得:a2+b2=c2,即(a+b)2﹣2ab=20,
∴m2﹣2(2m﹣4)=20,即m2﹣4m﹣12=0,
解得:m=﹣2(舍去)或m=6,
则m的值为6.
12.(1)证明:∵Δ=[﹣2(n﹣1)]2﹣4(n2﹣2n)=4>0,
∴无论x取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)解:由(1)得,无论x取何值,此方程总有两个不相等的实数根,
∵第三边BC的长是10,
当△ABC为等腰三角形时,x=10为一元二次方程的一个根,
当x=10时,100﹣20(n﹣1)+n2﹣2n=0,
解得n=12或10,
①当n=12时,方程变为x2﹣22x+120=0,
设等腰三角形的底为m,
根据根与系数的关系,m+10=22,
∴m=12,
∴△ABC的周长为:10+10+12=32;
②当n=10时,方程变为x2﹣18x+80=0,
设等腰三角形的底为n,
根据根与系数的关系,10+n=18,
解得n=8,
∴△ABC的周长为10+10+8=28;
综上,当n=12时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为32;
当n=10时,△ABC是等腰三角形,此时△ABC的周长为28;
(3)解:∵AB,AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2(n﹣1)x+n2﹣2n=0的两个根,
∴AB+AC=2(n﹣1),AB AC=n2﹣2n,
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,且BC=10,
∴AB2+AC2=BC2,
即4(n﹣1)2﹣2(n2﹣2n)=100,
解得n=8或﹣6,
当n=8时,AB+AC=2×(8﹣1)=14,符合题意,
当n=﹣6时,AB+AC=2×(﹣6﹣1)=﹣14,不合题意,
综上,n=8时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
13.解:(1)k=4,方程化为:4x2+5x+1=0,
(4x+1)(x+1)=0,
4x+1=0或x+1=0,
所以x1=﹣,x2=﹣1;
(2)当k=0时,方程化为x=0,方程有实数解;
当k≠0时,根据题意得Δ=(k+1)2﹣4k×≥0,
解得k≥﹣且k≠0,
综上所述,k的取值范围为k≥﹣;
(3)不存在.
理由如下:
设方程的两根分别为a、b,
根据根与系数的关系得a+b=﹣,ab=,
∵+=1,
即=1,
∴a+b=ab,
∴﹣=,
解得k=﹣,
∵k≥﹣且k≠0,
∴不存在实数k,使方程两根的倒数和为1.
14.解:(1)设BC=xm,则AB= m,
依题意得:x =300,
整理得:x2﹣62x+600=0,
解得:x1=12,x2=50.
又∵墙EF最长可利用28m,
∴x=12.
答:当矩形的长BC为12m时,矩形花园的面积为300m2.
(2)不能围成面积为480m2的矩形花园,理由如下:
设BC=ym,则AB= m,
依题意得:y =480,
整理得:y2﹣62y+960=0,
解得:y1=30,y2=32.
又∵墙EF最长可利用28m,
∴y1=30,y2=32均不符合题意,舍去,
∴不能围成面积为480m2的矩形花园.
15.解:(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x,
依题意,得:256(1+x)2=400,
解得:x1=0.25=25%,x2=﹣2.25(不合题意,舍去).
答:三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%.
(2)设口罩每袋降价y元,则五月份的销售量为(400+40y)袋,
依题意,得:(14﹣y﹣8)(400+40y)=1920,
化简,得:y2+4y﹣12=0,
解得:y1=2,y2=﹣6(不合题意,舍去).
答:当口罩每袋降价2元时,五月份可获利1920元.
16.解:(1)售价上涨x元后,该商场平均每月可售出(600﹣10x)个台灯.
故答案为:(600﹣10x).
(2)依题意,得:(40﹣30+x)(600﹣10x)=10000,
整理,得:x2﹣50x+400=0,
解得:x1=10,x2=40(不合题意,舍去),
∴40+x=50,600﹣10x=500.
答:这种台灯的售价应定为50元,这时应进台灯500个.
17.解:(1)设每天增长的百分率是x,
依题意得:300(1+x)2=432,
解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:每天增长的百分率是20%.
(2)设应该增加y条生产线,则每条生产线的最大产能为(900﹣30y)万个/天,
依题意得:(900﹣30y)(1+y)=3900,
整理得:y2﹣29y+100=0,
解得:y1=4,y2=25.
又∵要节省投入,
∴y=4.
答:应该增加4条生产线.
18.解:(1)∵该饮料批发商店决定降价x元,
∴售出1瓶该款饮料的利润是(1﹣x)元,平均每天可售出300+×100=(300+1000x)瓶.
依题意得:(1﹣x)(300+1000x)=400,
整理得:10x2﹣7x+1=0,
解得:x1=0.2,x2=0.5.
答:当x为0.2或0.5时,该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400.
(2)该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元,理由如下:
依题意得:(1﹣x)(300+1000x)=600,
整理得:10x2﹣7x+3=0,
∵Δ=(﹣7)2﹣4×10×3=﹣71<0,
∴原方程没有实数根,
即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到600元.
19.解:7÷2=(s).
当运动时间为ts(0≤t≤)时,PB=(5﹣t)cm,BQ=2tcm.
(1)依题意得:×2t×(5﹣t)=4,
整理得:t2﹣5t+4=0,
解得:t1=1,t2=4(不合题意,舍去).
答:1秒后,△PBQ的面积等于4cm2.
(2)依题意得:(5﹣t)2+(2t)2=(2)2,
整理得:t2﹣2t﹣3=0,
解得:t1=3,t2=﹣1(不合题意,舍去).
答:3秒后,PQ的长度等于2cm.
(3)不能,理由如下:
依题意得:×2t×(5﹣t)=7,
整理得:t2﹣5t+7=0.
∵Δ=(﹣5)2﹣4×1×7=﹣3<0,
∴该方程没有实数根,
∴△PBQ的面积不能等于7cm2.
20.解:(1)设此次购买松树树苗x棵,紫薇树苗y棵,
依题意得:,
解得:.
答:此次购买松树树苗40棵,紫薇树苗60棵.
(2)设今年三月份松树树苗的售价为m元,则紫薇树苗的售价为25﹣(30﹣m)=(m﹣5)元,松树树苗的销售量为40+2(30﹣m)=(100﹣2m)棵,紫薇树苗的销售量为60+3(30﹣m)=(150﹣3m)棵,
依题意得:m(100﹣2m)+(m﹣5)(150﹣3m)=2700+50,
整理得:m2﹣53m+700=0,
解得:m1=25,m2=28.
当m=25时,m﹣5=25﹣5=20;
当m=28时,m﹣5=28﹣5=23.
答:今年三月份两种树苗的售价分别为25元、20元或28元、23元.