2022-2023学年苏科版数学九年级上册 第1章 一元二次方程 解答题专题训练 （word版含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》解答题专题训练（附答案）
1．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2﹣2x﹣15＝0；
（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0．
2．解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x）．
3．已知关于x的一元二次方程x2 2x+m 1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
4．先阅读，后解题．
已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．
解：将左边分组配方：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．
∵（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0，且和为0，
∴（m+1）2＝0且（n﹣3）2＝0，∴m＝﹣1，n＝3．
利用以上解法，解下列问题：
（1）已知：x2+4x+y2﹣2y+5＝0，求x和y的值．
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝8a+6b﹣25且△ABC为直角三角形，求c．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．
6．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+的值．
7．已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2．且x12+x22＝9，求m的值．
9．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0
（1）求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别为x1，x2，且x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有x1，x2两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1＝1，求x2及m的值；
（3）是否存在实数m，满足m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
11．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，斜边c＝2，两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根，求m的值．
12．已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，第三边BC的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时；△ABC为等腰三角形？并求△ABC的周长．
（3）当n为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
13．已知关于x的方程kx2+（k+1）x+＝0有实根．
（1）当k＝4时，求解上述方程；
（2）求k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28m），围成一个矩形花园ABCD，与墙平行的一边BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙），现有砌60m长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300m2；
（2）能否围成面积为480m2的矩形花园，为什么？
15．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户．该网店决定五月降价促销．经调查发现．在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
16．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元．
（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　 　个台灯（用含x的代数式表示）；
（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
17．疫情肆虐，万众一心．由于医疗物资极度匮乏，许多工厂都积极宣布生产医疗物资以应对疫情．某工厂及时引进了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经调查发现，一条生产线最大产能是900万个/天，如果每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少30万个/天．现该厂要保证每天生产口罩3900万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
18．某饮料批发商店平均每天可售出某款饮料300瓶，售出1瓶该款饮料的利润是1元．经调查发现，若该款饮料的批发价每降低0.1元，则每天可多售出100瓶．为了使每天获得的利润更多，该饮料批发商店决定降价x元．
（1）当x为多少时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400元？
（2）该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润能达到600元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由．
19．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒后，PQ的长度等于2cm？
（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
20．“绿化校园，书香南岸”，去年三月份，南岸区某校购买了松树树苗和紫薇树苗共100株，其中松树树苗每株30元，紫薇树苗每株25元，此次购买两种树苗共计花费2700元．
（1）求此次购买的两种树苗各多少株？
（2）今年三月份，受市场影响商家降低了两种树苗的售价，且降价相同．经统计发现与去年三月份相比，两种树苗的售价每降低1元，松树树苗的销售量会增加2株，紫薇树苗的销售量会增加3株．若该校今年购进这两种树苗总计花费较去年增加了50元，求今年三月份两种树苗的售价．
参考答案
1．（1）∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x﹣5＝0或x+3＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣3；
（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
2．解：（1）x2+2x﹣2＝0，
x2+2x＝2，
（x+1）2＝3，
，
，；
（2）（x﹣2）2＝（2x﹣1）（2﹣x），
（x﹣2）2+（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2+2x﹣1）＝0，
（x﹣2）（3x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝1．
3．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，
即m＜2．
（2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0，
∴m＝2，
∴x2 2x+1＝0，
解得x1＝x2＝1．
即另一根是1．
4．解：（1）∵x2+4x+y2﹣2y+5＝0，
∴（x2+4x+4）+（y2﹣2y+1）＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝0，
∵（x+2）2≥0，（y﹣1）2≥0，且和为0，
∴（x+2）2＝0且（y﹣1）2＝0，
∴x＝﹣2，y＝1；
（2）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，
方程变形为（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，
∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝4，b＝3，
∵△ABC为直角三角形，
∴当a＝4，b＝3是直角边时，则；
当a＝4是斜边，b＝3是直角边时，则；
∴c＝5或c＝．
5．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k+8
＝4k2+9＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，
∵x1﹣x2＝﹣2k+3，
∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，
∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，
解得k＝0．
6．解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2＝2020a﹣1，
∴a2＝2020a﹣1，
∴2a2﹣4040a﹣3
＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3
＝4040a﹣2﹣4040a﹣3
＝﹣5；
（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+
＝a+﹣1
＝﹣1
＝﹣1
＝2020﹣1
＝2019．
7．（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，Δ＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，
∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
8．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得：﹣4m+5≥0，
解得：m≤；
（2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1，
∵x12+x22＝9，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝9，即（1﹣2m）2﹣2（m2﹣1）＝9，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，即（m﹣3）（m+1）＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣1，
则m的值为﹣1．
9．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m+1）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
∴Δ＞0，
∴x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1 x2＝m（m+1），
∵x1，x2分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，
∴x1 x2＝6，
∴m（m+1）＝6，
解得m＝﹣4或m＝3，
当m＝﹣4时，x1＝﹣3，x2＝﹣4，不符合题意，舍去，
当m＝3时，x1＝3，x2＝4符合题意，
∴m的值为3．
10．解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣1）≥0．
解得m≤5．
（2）依题意：x1+x2＝4，x1 xx＝m﹣1且x1＝1
则：x2＝3，m＝4；
（3）∵m（x1﹣2）（x2﹣2）＝﹣4，
11．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
则无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵两直角边的长a，b恰好是方程x2﹣mx+2m﹣4＝0的两根，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣4，
∵c＝2，
∴根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝20，
∴m2﹣2（2m﹣4）＝20，即m2﹣4m﹣12＝0，
解得：m＝﹣2（舍去）或m＝6，
则m的值为6．
12．（1）证明：∵Δ＝[﹣2（n﹣1）]2﹣4（n2﹣2n）＝4＞0，
∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
∵第三边BC的长是10，
当△ABC为等腰三角形时，x＝10为一元二次方程的一个根，
当x＝10时，100﹣20（n﹣1）+n2﹣2n＝0，
解得n＝12或10，
①当n＝12时，方程变为x2﹣22x+120＝0，
设等腰三角形的底为m，
根据根与系数的关系，m+10＝22，
∴m＝12，
∴△ABC的周长为：10+10+12＝32；
②当n＝10时，方程变为x2﹣18x+80＝0，
设等腰三角形的底为n，
根据根与系数的关系，10+n＝18，
解得n＝8，
∴△ABC的周长为10+10+8＝28；
综上，当n＝12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32；
当n＝10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28；
（3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣2（n﹣1）x+n2﹣2n＝0的两个根，
∴AB+AC＝2（n﹣1），AB AC＝n2﹣2n，
∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
即4（n﹣1）2﹣2（n2﹣2n）＝100，
解得n＝8或﹣6，
当n＝8时，AB+AC＝2×（8﹣1）＝14，符合题意，
当n＝﹣6时，AB+AC＝2×（﹣6﹣1）＝﹣14，不合题意，
综上，n＝8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
13．解：（1）k＝4，方程化为：4x2+5x+1＝0，
（4x+1）（x+1）＝0，
4x+1＝0或x+1＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣1；
（2）当k＝0时，方程化为x＝0，方程有实数解；
当k≠0时，根据题意得Δ＝（k+1）2﹣4k×≥0，
解得k≥﹣且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≥﹣；
（3）不存在．
理由如下：
设方程的两根分别为a、b，
根据根与系数的关系得a+b＝﹣，ab＝，
∵+＝1，
即＝1，
∴a+b＝ab，
∴﹣＝，
解得k＝﹣，
∵k≥﹣且k≠0，
∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1．
14．解：（1）设BC＝xm，则AB＝ m，
依题意得：x ＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12m时，矩形花园的面积为300m2．
（2）不能围成面积为480m2的矩形花园，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝ m，
依题意得：y ＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墙EF最长可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合题意，舍去，
∴不能围成面积为480m2的矩形花园．
15．解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）设口罩每袋降价y元，则五月份的销售量为（400+40y）袋，
依题意，得：（14﹣y﹣8）（400+40y）＝1920，
化简，得：y2+4y﹣12＝0，
解得：y1＝2，y2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
16．解：（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯．
故答案为：（600﹣10x）．
（2）依题意，得：（40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
整理，得：x2﹣50x+400＝0，
解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去），
∴40+x＝50，600﹣10x＝500．
答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个．
17．解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为（900﹣30y）万个/天，
依题意得：（900﹣30y）（1+y）＝3900，
整理得：y2﹣29y+100＝0，
解得：y1＝4，y2＝25．
又∵要节省投入，
∴y＝4．
答：应该增加4条生产线．
18．解：（1）∵该饮料批发商店决定降价x元，
∴售出1瓶该款饮料的利润是（1﹣x）元，平均每天可售出300+×100＝（300+1000x）瓶．
依题意得：（1﹣x）（300+1000x）＝400，
整理得：10x2﹣7x+1＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.5．
答：当x为0.2或0.5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为400．
（2）该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到600元，理由如下：
依题意得：（1﹣x）（300+1000x）＝600，
整理得：10x2﹣7x+3＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×10×3＝﹣71＜0，
∴原方程没有实数根，
即该饮料批发商每天卖出该款饮料的利润不能达到600元．
19．解：7÷2＝（s）．
当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝（2）2，
整理得：t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t1＝3，t2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：3秒后，PQ的长度等于2cm．
（3）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5﹣t）＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．
20．解：（1）设此次购买松树树苗x棵，紫薇树苗y棵，
依题意得：，
解得：．
答：此次购买松树树苗40棵，紫薇树苗60棵．
（2）设今年三月份松树树苗的售价为m元，则紫薇树苗的售价为25﹣（30﹣m）＝（m﹣5）元，松树树苗的销售量为40+2（30﹣m）＝（100﹣2m）棵，紫薇树苗的销售量为60+3（30﹣m）＝（150﹣3m）棵，
依题意得：m（100﹣2m）+（m﹣5）（150﹣3m）＝2700+50，
整理得：m2﹣53m+700＝0，
解得：m1＝25，m2＝28．
当m＝25时，m﹣5＝25﹣5＝20；
当m＝28时，m﹣5＝28﹣5＝23．
答：今年三月份两种树苗的售价分别为25元、20元或28元、23元．