2022-2023学年苏科版九年级数学上册第2章对称图形——圆　解答题专题训练（word、含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形——圆》解答题专题训练（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，＝，点D是的中点，连结OC，AD，交于点E，连结BE，BD．
（1）求∠EBA的度数．
（2）求证：AE＝BD．
（3）若DE＝1，求⊙O的面积．
2．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝2，求阴影部分图形的面积．
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AO＝CE＝4，CF＝1，求BF的长．
4．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E，连接BD．
（1）判断∠ABD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
（2）若∠EDB＝40°，OB＝4，求的长．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，OE⊥AB于点H，连接CE，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠COE＝2∠DCE；
（2）若AB＝8，EH＝2，求BD的长．
6．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝45°，AD是⊙O的直径，过点B作AD的平行线，交AC的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，∠CAB＝30°，则的长为 　 　．（结果保留π）
7．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；
（2）若OB＝GB＝2，求GF的长．
8．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，延长DC交切线AF于点F，交AB于点E，若AC＝CE．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若EF＝5，AD＝4，求点O到AD的距离．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．
10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
12．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
13．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
任务：
（1）请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝4，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，请直接写出△BDC的周长．
14．如图1，AB是⊙O的直径，点F是⊙O上的一点，连接AF，过点O作OC∥AF交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线，交FA的延长线于点D，CE⊥AB于E，连接AC．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如图2，在图1的条件下，若点F为半圆的中点，连接CF交AB于点M，求∠AMC的度数．
15．如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
16．如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上．
（1）若∠ABC＝30°，如图1．
①求∠ACB的度数．
②若AD＝DE，求∠EAB的度数．
（2）若，如图2．求BC的长．
17．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED＝EG；
（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．
18．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
19．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作⊙O的切线与BC的延长线交于F．
（1）如图1，求证：四边形DBFP为矩形；
（2）如图2，连接DF交AC于E，连接PE，判断PE与AC的位置关系，并证明你的结论．
参考答案
1．解：（1）连接AC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°
∴∠CAB＝45°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；
（2）由（1）知，OC垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴BD＝sin45°BE，
∴BE＝BD，
∴AE＝BD；
（3）∵DE＝1
∴BD＝DE＝1，
∴AE＝BE＝，
∴AD＝+1，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，
∴（）2+1＝4OA2，
∴OA2＝，
∴圆的面积为πOA2＝．
2．（1）解：结论：BE＝EM．
理由：∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为：BE＝EM；
（2）证明：连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）解：连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝2，
又∵BE＝EM，
∴BE＝2，
∵在Rt△AEM中，EM＝2，AM＝2，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝2，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝2
又∵S扇形OCN＝＝π，S△OCN＝ CN×CN＝×2××2＝2，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝π﹣2．
3．（1）证明：连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵DF与半⊙O相切于点D，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝180°﹣∠ODF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；
（2）解：连接OF，
∵∠C＝90°，OC＝OE+CE＝8，CF＝1，
∴OF2＝OC2+CF2＝82+12＝65，
在Rt△ODF中，OD＝AO＝4，
∴DF＝＝＝＝7，
∴DF＝BF＝7，
∴BF的长为7．
4．解：（1）∠ABD＝∠CDE．
证明：连接OD，如图，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠ODB＝∠CDE，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ABD＝∠CDE；
（2）∵∠EDB＝40°，∠ODE＝90°，
∴∠ODB＝90°﹣∠EDB＝90°﹣40°＝50°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠BOD＝80°，
∵OB＝4，
∴的长＝＝．
5．（1）证明：连接AE，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
即∠ACE+∠DCE＝90°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠DCE，
∵∠COE＝2∠CAE，
∴∠COE＝2∠DCE；
（2）解：∵OE⊥AB，
∴AH＝BH＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OH＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOH中，42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5，
∴AC＝2r＝10，
∵∠CAB＝∠DAC，∠ABC＝∠ACD，
∴AC：AB＝AD：AC，即10：8＝AD：10，
解得AD＝，
∴BD＝AD﹣AB＝﹣8＝．
6．（1）证明：连接OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵AD∥BP，
∴∠AOB＝∠OBP＝90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，OA＝BO，AB＝2，
∴OA＝OB＝＝，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴的长＝＝，
故答案为：．
7．解：（1）FG是⊙O的切线；
理由：连接OC，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，
∴∠OAC＝∠FAC，∠F＝∠AEC＝90°，
∴∠OCA＝∠FAC，
∴OC∥AF，
∴∠OCG＝∠F＝90°，
∴OC⊥FG，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线FC与⊙O相切；
（2）∵OB＝GB＝OC＝2，∠OCG＝90°，
∴OC＝OG，
∴∠G＝30°，AG＝6，
∵∠F＝90°，
∴FG＝AG＝3．
8．（1）证明：连接BC，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠B＝90°，
∵AF与⊙O相切于点A，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AEC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠F，
∴AF＝AD；
（2）解：连接BD，过点O作OH⊥AB，垂足为H，
∴AH＝DH，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH＝BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△AFE中，FE＝5，AF＝AD＝4，
∴AE＝＝＝3，
∵∠F+∠AEF＝90°，∠FAC+∠CAE＝90°，∠AEF＝∠CAE，
∴∠F＝∠FAC，
∴CF＝AC，
∵AC＝CE，
∴AC＝CF＝CE＝EF＝2.5，
∵∠CAE＝∠CDB，∠CEA＝∠BED，
∴∠BED＝∠CDB，
∴BE＝BD，
设BE＝BD＝x，
∴AB＝AE+BE＝3+x，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∴16+x2＝（3+x）2，
∴x＝，
∴BD＝，
∴OH＝BD＝，
∴点O到AD的距离为．
9．解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2，
∴BD＝2×＝4；
（2）∵BE＝5，
∴CE＝3，
∵BC＝DC，
∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．
10．（1）证明：连接OA，
∵AE是⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴OA∥CE，
∴∠E＝180°﹣∠OAE＝90°，
∴AE⊥DE；
（2）解：过点O作OF⊥DC，垂足为F，
∴∠OFD＝90°，
∵∠OAE＝∠E＝90°，
∴四边形OAEF是矩形，
∴OA＝EF＝5，AE＝OF，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3，
∴DE＝EF﹣DF＝5﹣3＝2，
∴OF＝＝＝4，
∵AE＝OF＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴AD的长为2．
11．证明：（1）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠A；
（2）如图，连接OC，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
12．（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠E+∠BOE＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D+∠DCB＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOE＝∠OCB，
∴∠D＝∠E；
（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，
∴OF＝EF＝3，
∴OE＝6，
∴BO＝OE，
∵∠OBE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠BOG＝60°，
∵OE∥BC，∠DBC＝90°，
∴∠OGB＝90°，
∴OG＝，BG＝，
∴S△BOG＝OG BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，
∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．
13．解：（1）∵
∴∠A＝∠C，
∵M是的中点，
∴MA＝MC，
在△MBA≌△MCG中，
，
∴△MBA≌△MCG（SAS），
∴MB＝MG，
∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴CG+GD＝AB+BD，
即CD＝AB+BD；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴，
由阿基米德折弦定理，可得BE＝ED+DC，
∵∠ABD＝45°，AB＝4，∠AEB＝90°，
∴BE＝AB＝2，
故△BDC的周长为：BC+BD+CD＝BC+BE+ED+DC＝BC+2BE＝4+4．
14．（1）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCA+∠OCA＝90°．
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC．
∴∠OAC+∠DCA＝90°．
∵CE⊥AB，
∴∠OAC+∠ECA＝90°．
∴∠DCA＝∠ECA．
∵OC∥AF，OC⊥CD，
∴CD⊥AF，
∴∠D＝90°．
在△DAC和△EAC中，
，
∴△DAC≌△EAC（AAS）．
∴AD＝AE；
（2）解：连接OF，如图，
∵F为半圆的中点，
∴∠AOF＝∠BOF＝90°，
∴OF⊥AB．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA＝45°．
∴∠DAE＝135°．
由（1）知：△DAC≌△EAC，
∴∠CAD＝∠CAE＝67.5°．
∴∠DCA＝∠ECA＝22.5°．
∵∠ACE+∠FCE＝∠ACF＝∠AOF＝45°，
∴∠ECF＝22.5°．
∵CE⊥AB，
∴∠AMC＝90°﹣∠ECM＝67.5°．
15．证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
16．解：（1）①∵∠ABC＝30°，
∴∠AED＝∠ABD＝30°，
由折叠可知：∠ACB＝∠AED＝30°；
②∵AD＝DE．
∴∠DAE＝∠DEA，
∴∠DEA＝∠DBA＝DAE＝30°，
由折叠可知：∠DAE＝∠DAC＝30°，
∵∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝120°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠EAD＝60°，
∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝120°﹣60°＝60°；
（2）∵，
∴+＝+，
∴AE＝BD，
由折叠的性质可知：∠AED＝∠ACD，AE＝AC＝4，
∵∠ABD＝∠AED，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴AB＝AC，
∴AE＝AB＝BD＝4，
∴BC＝CD+DB＝2+4＝6．
17．（1）证明：如图：连接BD，
∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，
∴∠CFG＝∠GEB，
∵∠CGF＝∠BGE，
∴∠C＝∠GBE，
∴∠C＝∠DBE，
∴∠GBE＝∠DBE，
∵AB⊥CD于E，
∴∠GEB＝∠DEB，
在△GBE和△DBE中，
，
∴△BGE≌△BDE（ASA），
∴ED＝EG．
（2）解：如图：
连接OA，设OA＝r，则DG＝r+1，
由（1）可知ED＝EG，
∴OE＝，
∵AB⊥CD于E，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，
∴在Rt△OAE中，根据勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，
即（）2+42＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
18．解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠OBD＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
19．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：
∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
20．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠B＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODB＝90°，
∵PF与⊙O相切于点P，
∴∠OPF＝90°，
∴四边形DBFP是矩形；
（2）PE⊥AC，
证明：连接AP，PC，
∵四边形DBFP是矩形，
∴∠PFC＝90°，PF∥BD，PF＝DB，PD∥BF，
∴∠OPC＝∠PCF，∠PDF＝∠DFB，
∵OD⊥AB，
∴AD＝DB，
∴AD＝PF，
∴四边形ADFP是平行四边形，
∴AP∥DF，
∴∠PAE＝∠FEC，∠APD＝∠PDF，
∴∠APD＝∠DFB，
∵OA＝OP，
∴∠PAE＝∠APD，
∴∠DFB＝∠FEC，
∴CE＝CF，
∵OP＝OC，
∴∠OPC＝∠OCP，
∴∠OCP＝∠PCF，
∵CP＝CP，
∴△CEP≌△CFP（SAS），
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴PE⊥AC．