2022-2023学年华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形 解答题专题训练（word、含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年华东师大版八年级数学上册第13章全等三角形 解答题专题训练（word、含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 514.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-17 17:51:34 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版八年级数学上册《第13章全等三角形》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．
2．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE与CD相交于点O，AB＝AC，AD＝AE．
求证：△BDC≌△CEB．
3．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，∠ABC＝45°，求证：
（1）∠DBH＝∠DAC；
（2）△BDH≌△ADC．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．
5．如图，已知∠MON，点A，B在边ON上，OA＝3，AB＝5，点C是射线OM上一个动点（不与点O重合），过点B作BD⊥AC，交直线AC于点D，延长BD至点E，使得DE＝BD，连接BC，EC，AE，OE．
（1）说明△ACE≌△ACB的理由；
（2）直接写出OE的取值范围．
6．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，连接AE、CE．
（1）AD与CE相等吗？为什么？
（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数．
7．如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝50°，求∠COE的度数．
8．如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）试说明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是AB，AC上的点．且EF∥BC，作EG平分∠AEF交AC于点G，在EF上取点D，使ED＝EA，连接DG并延长，交BA的延长线于点P，连接PF．
（1）试说明：PD⊥EF；
（2）若ED＝DF，求∠B的大小．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C两点向经过点A的直线EF作垂线，垂足为点E、F．
（1）BE与AF、CF与AE分别相等吗？说明理由．
（2）写出三条线段BE、CF、EF之间的数量关系并说明理由．
11．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
12．如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．
13．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在BC边上时，
①若∠BAC＝40°时，则∠DCE＝ °；
②若∠BAC＝80°时，则∠DCE＝ °；
③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当点D在BC的延长线上时，请判断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
14．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．
15．如图，已知AB＝AD，AM＝AN，BM＝DN．
（1）△ABM与△ADN全等吗？请说明理由；
（2）请说明AC＝AE．
16．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
17．如图，点C在线段AB上，△CDE是等腰三角形，CD＝CE，AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠CDE＝50°，∠BCE＝20°，求∠B的度数．
18．如图，已知△ABC，作射线AP∥BC，E、F分别为BC、AP上的点，且AF＝CE．连接EF交AC于点D，连接BD并延长，交AP于点M．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）求证：AM＝BC．
19．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
20．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
参考答案
1．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B，
∵DA平分∠BDE．
∴∠ADE＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
2．证明：∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BDC和△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
3．证明：（1）∵△ABC的两条高AD，BE相交于H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DBH+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBH＝∠DAC；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABC，
∴AD＝BD，
在△BDH和△ADC中
，
∴△BDH≌△ADC（ASA）．
4．（1）证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，
∵∠COD＝∠AOB，∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠OCD+∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC，
即∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD；
（2）∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
5．解：（1）解法一：
∵BD⊥AC，DE＝BD，
∴AC是BE的垂直平分线．
∴AE＝AB，CE＝CB，
在△ACE和和ACB中，
，
∴△ACE≌△ACB（SSS）．
解法二：
∵BD⊥AC，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°．
∵DE＝BD，CD＝CD，
∴△CDE≌△CDB（SAS）．
∴∠ECD＝∠BCD，CE＝CB．
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB（SAS）．
（2）由（1）知，AE＝AB，
在△OAE中，由三角形的三边关系可知，AE﹣OA≤OE＜AE+OA，
即2≤OE＜8．
6．解：（1）相等，理由如下：
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS）．
∴AD＝EC．
（2）∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∠BCD＝75°，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA＝75°，
又∵∠BDC＝∠ADE＝75°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠DAE＝30°，AD＝AE．
又∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝CE，
∴AE＝EC，
∴∠ACE＝∠DAE＝30°．
7．（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，
即AB＝DE，
∵∠C＝∠F＝90°，
∴△ABC和△DEF是直径三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴∠DEF＝40°，
∴∠COE＝∠ABC+∠BEF＝40°+40°＝80°．
8．（1）证明：∵DB是高，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°．
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM＝∠BDN，
在△ABM 和△DBN中，
，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，
∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，
∴MB⊥BN．
9．解：（1）∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG＝∠DEG，
在△AEG和△DEG中，
，
∴△AEG≌△DEG（SAS），
∴∠GAE＝∠GDE＝90°，
∴PD⊥EF；
（2）∵ED＝DF，PD⊥EF，
∴EG＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE，
∵∠AEG+∠GEF+∠GFE＝90°，
∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°．
10．解：（1）BE＝AF、CF＝AE，
理由如下：∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，
∴∠EBA＝∠CAF，
在△BEA和△AFC中，
，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴BE＝AF，CF＝AE；
（2）EF＝BE+CF，
理由如下：由（1）可知：BE＝AF，CF＝AE，
∴EF＝AE+AF＝BE+CF．
11．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴，
∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．
12．解：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝AB．
即DE的长就是A、B两点之间的距离．
13．解：（1）①当∠BAC＝40°时，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
∴∠DCE＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140；
②当∠BAC＝80°时，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
∴∠DCE＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100；
③∠BAC+∠DCE＝180°．理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
（2）当点D在BC的延长线上，∠BAC＝∠DCE，如图所示：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠2，
∵∠BAC+∠B+∠3＝180°，∠DCE+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAC＝∠DCE．
14．（1）证明：∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠B+∠A＝∠B+∠F，
∴∠A＝∠F，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△FBD中，
，
∴△ADE≌△FBD（ASA），
∴AE＝FD；
（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，
∴∠F＝30°，
∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，
∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．
15．（1）解：△ABM≌△ADN．
理由如下：
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SSS）；
（2）证明：∵△ABM≌△ADN，
∴∠B＝∠D，∠BAM＝∠DAN，
∴∠BAM+∠EAC＝∠DAN+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE．
16．（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．
17．（1）证明：在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SSS），
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BE；
（2）解：∵CD＝CE，∠CDE＝50°，
∴∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠DCE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BCE＝20°，
∴∠DCB＝∠DCE﹣∠BCE＝80°﹣20°＝60°，
由（1）知，△ACD≌△BEC，
∴∠ADC＝∠BCE＝20°，
∵∠DCB＝∠A+∠ADC，
∴∠A＝∠DCB﹣∠ADC＝60°﹣20°＝40°，
由（1）知，∠A＝∠B，
∴∠B＝40°．
18．证明：（1）∵AP∥BC，
∴∠AFD＝∠CED，∠FAD＝∠ECD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（ASA）；
（2）由（1）知，△ADF≌△CDE，∠FAD＝∠ECD，
∴AD＝CD，
在△ADM和△CDB中，
，
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴AM＝BC．
19．（1）解：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，
∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．
20．证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD，
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．
解答题专题训练（附答案）
1．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．
2．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE与CD相交于点O，AB＝AC，AD＝AE．
求证：△BDC≌△CEB．
3．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于H，∠ABC＝45°，求证：
（1）∠DBH＝∠DAC；
（2）△BDH≌△ADC．
4．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD．求证：
（1）AB∥CD；
（2）△ABC≌△BAD．
5．如图，已知∠MON，点A，B在边ON上，OA＝3，AB＝5，点C是射线OM上一个动点（不与点O重合），过点B作BD⊥AC，交直线AC于点D，延长BD至点E，使得DE＝BD，连接BC，EC，AE，OE．
（1）说明△ACE≌△ACB的理由；
（2）直接写出OE的取值范围．
6．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，连接AE、CE．
（1）AD与CE相等吗？为什么？
（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数．
7．如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝50°，求∠COE的度数．
8．如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，
N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）试说明：△ABE≌△DBC；
（2）探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
9．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是AB，AC上的点．且EF∥BC，作EG平分∠AEF交AC于点G，在EF上取点D，使ED＝EA，连接DG并延长，交BA的延长线于点P，连接PF．
（1）试说明：PD⊥EF；
（2）若ED＝DF，求∠B的大小．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C两点向经过点A的直线EF作垂线，垂足为点E、F．
（1）BE与AF、CF与AE分别相等吗？说明理由．
（2）写出三条线段BE、CF、EF之间的数量关系并说明理由．
11．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
12．如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理．
13．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点，连接AD，以AD为边向右作△ADE，使得AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在BC边上时，
①若∠BAC＝40°时，则∠DCE＝ °；
②若∠BAC＝80°时，则∠DCE＝ °；
③观察以上结果，猜想∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（2）当点D在BC的延长线上时，请判断∠BAC与∠DCE的数量关系，并说明理由．
14．如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，点F为BC延长线上一点，BF＝AD，∠ACF＝∠ADF．
（1）求证：AE＝FD；
（2）若∠FDB＝80°，∠B＝70°，求∠1的度数．
15．如图，已知AB＝AD，AM＝AN，BM＝DN．
（1）△ABM与△ADN全等吗？请说明理由；
（2）请说明AC＝AE．
16．如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）如果∠ABC＝65°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．
17．如图，点C在线段AB上，△CDE是等腰三角形，CD＝CE，AD＝BC，AC＝BE．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠CDE＝50°，∠BCE＝20°，求∠B的度数．
18．如图，已知△ABC，作射线AP∥BC，E、F分别为BC、AP上的点，且AF＝CE．连接EF交AC于点D，连接BD并延长，交AP于点M．
（1）求证：△ADF≌△CDE；
（2）求证：AM＝BC．
19．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
20．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．
（1）求证：AB＝BD；
（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．
参考答案
1．证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B，
∵DA平分∠BDE．
∴∠ADE＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
2．证明：∵AB＝AC，
∴∠DBC＝∠ECB，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BDC和△CEB中，
，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
3．证明：（1）∵△ABC的两条高AD，BE相交于H，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠DBH+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DBH＝∠DAC；
（2）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABC，
∴AD＝BD，
在△BDH和△ADC中
，
∴△BDH≌△ADC（ASA）．
4．（1）证明：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，
∵∠COD＝∠AOB，∠OAB+∠OBA+∠AOB＝180°，∠OCD+∠ODC+∠COD＝180°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC，
即∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD；
（2）∵OA＝OB，OC＝OD，
∴AC＝BD，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
5．解：（1）解法一：
∵BD⊥AC，DE＝BD，
∴AC是BE的垂直平分线．
∴AE＝AB，CE＝CB，
在△ACE和和ACB中，
，
∴△ACE≌△ACB（SSS）．
解法二：
∵BD⊥AC，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°．
∵DE＝BD，CD＝CD，
∴△CDE≌△CDB（SAS）．
∴∠ECD＝∠BCD，CE＝CB．
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACB（SAS）．
（2）由（1）知，AE＝AB，
在△OAE中，由三角形的三边关系可知，AE﹣OA≤OE＜AE+OA，
即2≤OE＜8．
6．解：（1）相等，理由如下：
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS）．
∴AD＝EC．
（2）∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∠BCD＝75°，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA＝75°，
又∵∠BDC＝∠ADE＝75°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠DAE＝30°，AD＝AE．
又∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝CE，
∴AE＝EC，
∴∠ACE＝∠DAE＝30°．
7．（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，
即AB＝DE，
∵∠C＝∠F＝90°，
∴△ABC和△DEF是直径三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴∠DEF＝40°，
∴∠COE＝∠ABC+∠BEF＝40°+40°＝80°．
8．（1）证明：∵DB是高，
∴∠ABE＝∠DBC＝90°．
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）解：BM＝BN，BM⊥BN，理由如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM＝∠BDN，
在△ABM 和△DBN中，
，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，
∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°，
∴MB⊥BN．
9．解：（1）∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG＝∠DEG，
在△AEG和△DEG中，
，
∴△AEG≌△DEG（SAS），
∴∠GAE＝∠GDE＝90°，
∴PD⊥EF；
（2）∵ED＝DF，PD⊥EF，
∴EG＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE，
∵∠AEG+∠GEF+∠GFE＝90°，
∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°．
10．解：（1）BE＝AF、CF＝AE，
理由如下：∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠ABE+∠EAB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EAB+∠CAF＝90°，
∴∠EBA＝∠CAF，
在△BEA和△AFC中，
，
∴△BEA≌△AFC（AAS），
∴BE＝AF，CF＝AE；
（2）EF＝BE+CF，
理由如下：由（1）可知：BE＝AF，CF＝AE，
∴EF＝AE+AF＝BE+CF．
11．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴，
∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．
12．解：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（AAS），
∴DE＝AB．
即DE的长就是A、B两点之间的距离．
13．解：（1）①当∠BAC＝40°时，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
∴∠DCE＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140；
②当∠BAC＝80°时，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
∴∠DCE＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100；
③∠BAC+∠DCE＝180°．理由如下：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠BAC+∠DCE＝∠BAC+∠BCA+∠ABC＝180°；
（2）当点D在BC的延长线上，∠BAC＝∠DCE，如图所示：
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠2，
∵∠BAC+∠B+∠3＝180°，∠DCE+∠2+∠3＝180°，
∴∠BAC＝∠DCE．
14．（1）证明：∵∠ACF＝∠ADF，
∴∠B+∠A＝∠B+∠F，
∴∠A＝∠F，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
在△ADE和△FBD中，
，
∴△ADE≌△FBD（ASA），
∴AE＝FD；
（2）解：∵∠FDB＝80°，∠B＝70°，
∴∠F＝30°，
∴∠ACF＝∠ADF＝∠B+∠F＝100°，
∴∠1＝∠F+∠ACF＝130°．
15．（1）解：△ABM≌△ADN．
理由如下：
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（SSS）；
（2）证明：∵△ABM≌△ADN，
∴∠B＝∠D，∠BAM＝∠DAN，
∴∠BAM+∠EAC＝∠DAN+∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（ASA），
∴AC＝AE．
16．（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠BAE＝∠ACD，
∵∠ABE＝∠CAD，AB＝AC，
∴△ABE≌△CAD（ASA）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
又∵∠ABE＝∠CAD＝25°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝50°+25°＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣75°＝105°．
17．（1）证明：在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（SSS），
∴∠A＝∠B，
∴AD∥BE；
（2）解：∵CD＝CE，∠CDE＝50°，
∴∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠DCE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠BCE＝20°，
∴∠DCB＝∠DCE﹣∠BCE＝80°﹣20°＝60°，
由（1）知，△ACD≌△BEC，
∴∠ADC＝∠BCE＝20°，
∵∠DCB＝∠A+∠ADC，
∴∠A＝∠DCB﹣∠ADC＝60°﹣20°＝40°，
由（1）知，∠A＝∠B，
∴∠B＝40°．
18．证明：（1）∵AP∥BC，
∴∠AFD＝∠CED，∠FAD＝∠ECD，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（ASA）；
（2）由（1）知，△ADF≌△CDE，∠FAD＝∠ECD，
∴AD＝CD，
在△ADM和△CDB中，
，
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴AM＝BC．
19．（1）解：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，
∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．
20．证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL），
∴AB＝BD，
（2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M，
∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG，
∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG，
∵∠ABF＝∠DBG＝45°
∴∠MBD＝∠GBD，
在△BMK和△BGK中，
，
∴△BMK≌△BGK（ASA），
∴BM＝BG，MK＝KG，
在△ABM和△DBG中，
，
∴△ABM≌△DBG（SAS），
∴AM＝DG，
∵AK＝AM+MK，
∴AK＝DG+KG．