2021-2022学年苏科版数学八年级上册1.3.5探索三角形全等的条件作图同步训练
一、单选题
1．（2021八上·南京期末）如图，用直尺和圆规作ΔABC和ΔDBC，则ΔABC≌ΔDBC，理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（2021八上·安庆期末）如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连结CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连结CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①CP//OB；②∠AOP = ∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
3．（2021八上·讷河期中）如图，用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
4．（2021八上·长兴月考）如图， 的面积是30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作 于点D，连接BD，则 的面积是（ ）
A．15cm2 B．14cm2 C．13cm2 D．12cm2
5．（2021八上·南阳月考）如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
6．（2021八上·怀柔期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；（5）过点Q作射线BˊN；（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
二、填空题
7．（2021八上·东阳期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝ cm.
8．（2021八上·乾安期中）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
9．（2021八上·微山月考）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为 度．
10．（2020八上·呼和浩特期末）如图， 的面积为 ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，过点 作 于点 ，连接 ，则 的面积是 ．
11．（2021八上·天津月考）如图，在 和 中， ， ， ， ，以点 为顶点作 ，两边分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则 的周长为 ．
12．（2020八上·昌平期末）如图， 中， ，点D在线段 上（不与点 重合）．
作法如下：
①连接 ，作 的垂直平分线分别交直线 于点 ，连接 ，则 ；
②过点D作 的平行线交 于点P，在线段 上截取 ，使 ，连接 ，则 ；
③过点D作 的平行线交 于点P，过点D作 的平行线交 于点Q，连接 ，则 ；
④过点D作 的平行线交 于点Q，在直线 上取一点P，连接 ，使 ，连接 ，则 ．以上说法一定成立的是 ．（填写正确的序号）
三、解答题
13．（2020八上·海林月考）如图，点 在同一直线上， ，过点 分别作 ， ， ．若 与 交于点G，试证明 平分 ；
14．（2021八上·鞍山期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点M是边AB上任意一点，连接CM，过点A，B分别作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F，若BF＝2.6cm，AE＝0.9cm，分别求出CF，EF的长.
15．（2020八上·赵县期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE。
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 。
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由。
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论。
16．（2020八上·石城期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 ， 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 在线段 上，如果 ，则 度；
（2）如图2，如果 ，求 的度数是多少？
（3）设 ， ．
①如图3，当点 在线段 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点 在直线 上移动，请直接写出 ， 之样的数量关系，不用证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；作图-角
【解析】【解答】解：由图可知：∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，BC=BC
∴ΔABC≌ΔDBC（ASA）
故答案为：B.
【分析】由作图痕迹可知∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，由于BC=BC，根据ASA可证ΔABC≌ΔDBC.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得，OC=OD，PC=PD，
又∵OP=OP，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，故②符合题意；
∵OC=OD，∠AOP = ∠BOP，
∴OQ⊥CD，即OP⊥CD，故③符合题意；
由△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，∠CPO = ∠DPO，
但∠CPO 不一定等于∠BOP，
∴CP不一定平行OB，故①不符合题意．
故答案为：B
【分析】利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：用尺规作图“过点C作CN∥OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，
其作图依据是，在△DOM和△NCE中，
，
∴△DOM≌△NCE（SSS），
∴∠DOM=∠NCE，
∴CN∥OA．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得NC=OD，EC=OM，MD=NE，即可利用“SSS”证明△DOM≌△NCE，即可得到∠DOM=∠NCE，可得CN//OA。
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意得AP平分∠BAC，
即∠CAD=∠EAD
延长CD交AB于点E
∵CD⊥AP
∴∠ADC=∠ADE=90°
∵AD=AD
∴△ADC≌△ADE(ASA)
∴CD=ED，
∴BD是△BEC的边CE上的中线
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠CAD=∠EAD，延长CD交AB于点E，由ASA证△ADC≌△ADE，利用全等三角形的性质可得到CD=DE，由此可推出，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得，然后求出△DAB的面积.
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等，
故可得出小举是在探究基本事实SAS
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判定方法SAS求解即可。
7．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵D为AC的中点
∴
∵CF∥AB
∴
在 和 中
∴ （AAS）
∴
∵AB＝15cm，CF＝10cm，
BE=AB-AE=AB-CF=15-10=5cm
故答案为：5.
【分析】由D为AC的中点可得 ，由CF∥AB可得 ，利用AAS可以证出△AED≌△CFD，根据全等三角形的对应边相等得出AE=CF，进而根据BE=AB-AE即可解决问题.
8．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
9．【答案】65
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AB=CD，BC=AD．
又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）．
∴∠ADC=∠B=65°．
故答案为：65．
【分析】根据作法可得出AB=CD，BC=AD．利用SSS得出△ABC≌△CDA，再根据全等三角形对应角相等作答即可。
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】如图，延长CD交AB于E，
由题意得AP平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD,
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADE，
∵AD=AD，
∴△ADC≌△ADE，
∴CD=DE，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
故答案为： ．
【分析】如图，延长CD交AB于E，由题意得AP平分∠CAB，证明△ADC≌△ADE，得到CD=DE，由此得到 ，推出 ，即可得到答案．
11．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中， ，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中， ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【分析】利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
12．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①如图，
∵PQ为AD的垂直平分线，
∴PA=PD，QA=QD，
∴ 在△APQ和△DPQ中，
，
∴△APQ≌△DPQ（SSS），①符合题意；
②如图，
∵PD∥AC，
∴∠DPQ=∠AQP，
∴在△APQ和△DQP 中，
，
∴△APQ≌△DQP（SAS），②符合题意 ；
③如图，
∵PD∥AC，
∴∠DPQ=∠AQP，
同理∠DQP=∠APQ，
∴在△APQ和△DQP 中，
∴△APQ≌△DQP（ASA），③符合题意 ；
④如图，
△APQ≌△DPQ不成立，④不符合题意；
故答案为①②③．
【分析】利用作图的方法和全等三角形的判定方法一一判断即可。
13．【答案】证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
∵在Rt△BFA和Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∴在△BFG和△DEG中，
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
∴BD平分EF．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】由AE=CF，可推出AF=CE，再由DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，推出Rt△BFA和Rt△DEC全等，根据全等三角形的性质，即可推出BF=DE，再证△BFG和△DEG全等，即可推出结论，
14．【答案】证明：∵AE⊥CM.BF⊥CM，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6（cm），
∴EF＝CE﹣CF＝1.7（cm）.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 根据垂直的定义得出∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，利用同角的余角相等可得∠CAE＝∠BCF， 根据AAS可证△ACE≌△CBF，从而求出AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6cm，利用EF＝CE﹣CF计算即得.
15．【答案】（1）90°
（2）解：①由(1)中可知=180”-α
∴αβ存在的数量关系为α+β=180°
证明方法同(1)中证明
②当点D在射线BC上时，如图1
同(1)的方法即可得出，△ABD≌△ACE (SAS)；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=180°-a，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，
同(1)的方法即可得出，△ABD≌△ACE (SAS)；
∴∠ABD= LACE，
∴β=∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠ABD-∠ACB=∠BAC=α，
∴α=β
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】（1）证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC； ．
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE (SAS)：
∴∠B=∠ACE
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90° ；
故答案为90°
【分析】（1）根据题意，证明得到△BAD≌△CAE，即可得到∠B=∠ACE，证明得到∠ACB=45°，即可得到答案；
（2）①根据（1）中的△BAD≌△CAE，根据三角形全等的性质，即可得到答案；
②同理根据△BAD≌△CAE，结合三角形全等的性质以及三角形外角的性质即可得到答案。
16．【答案】（1）90
（2）解：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
（3）解：①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，
连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，
即：∠BCE+∠BAC＝180°，
∴α+β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
【分析】（1）先求出∠ABC＝∠ACB＝45°，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，最后计算求解即可；
（2）先求出 △ABC为等边三角形， 再利用SAS证明 △ABD≌△ACE ，最后计算求解即可；
（3）①先求出 ∠BAD＝∠CAE ，再利用SAS证明 △ABD≌△ACE 求出 ∠B＝∠ACE ，最后利用内角和等于180°，进行求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用全等三角形的性质与判定和三角形的内角和等于180°，进行求解即可。
1 / 12021-2022学年苏科版数学八年级上册1.3.5探索三角形全等的条件作图同步训练
一、单选题
1．（2021八上·南京期末）如图，用直尺和圆规作ΔABC和ΔDBC，则ΔABC≌ΔDBC，理由是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；作图-角
【解析】【解答】解：由图可知：∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，BC=BC
∴ΔABC≌ΔDBC（ASA）
故答案为：B.
【分析】由作图痕迹可知∠ABC=∠BDC，∠ACB=∠DCB，由于BC=BC，根据ASA可证ΔABC≌ΔDBC.
2．（2021八上·安庆期末）如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连结CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连结CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论①CP//OB；②∠AOP = ∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．③
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意得，OC=OD，PC=PD，
又∵OP=OP，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，故②符合题意；
∵OC=OD，∠AOP = ∠BOP，
∴OQ⊥CD，即OP⊥CD，故③符合题意；
由△OCP≌△ODP，
∴∠AOP = ∠BOP，∠CPO = ∠DPO，
但∠CPO 不一定等于∠BOP，
∴CP不一定平行OB，故①不符合题意．
故答案为：B
【分析】利用全等三角形的判定与性质对每个结论一一判断即可。
3．（2021八上·讷河期中）如图，用尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：用尺规作图“过点C作CN∥OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，
其作图依据是，在△DOM和△NCE中，
，
∴△DOM≌△NCE（SSS），
∴∠DOM=∠NCE，
∴CN∥OA．
故答案为：B．
【分析】根据题意可得NC=OD，EC=OM，MD=NE，即可利用“SSS”证明△DOM≌△NCE，即可得到∠DOM=∠NCE，可得CN//OA。
4．（2021八上·长兴月考）如图， 的面积是30cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作 于点D，连接BD，则 的面积是（ ）
A．15cm2 B．14cm2 C．13cm2 D．12cm2
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意得AP平分∠BAC，
即∠CAD=∠EAD
延长CD交AB于点E
∵CD⊥AP
∴∠ADC=∠ADE=90°
∵AD=AD
∴△ADC≌△ADE(ASA)
∴CD=ED，
∴BD是△BEC的边CE上的中线
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠CAD=∠EAD，延长CD交AB于点E，由ASA证△ADC≌△ADE，利用全等三角形的性质可得到CD=DE，由此可推出，利用三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，可证得，然后求出△DAB的面积.
5．（2021八上·南阳月考）如图，在 中 ， ，D，E是BC上两点，且 ，过点A作 ，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF.给出下列结论：① ；② ；③若 ， ，则 ；④ .其中正确结论的字号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ， ，
，
，
，
即∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，
∴ ，
，
，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，故②正确；
若 ， ，
，
，故③正确；
，
，故④错误.
故答案为：A.
【分析】利用三角形的内角和定理可证得∠BAC=90°，易得∠BAD=∠CAF，再证明∠ACF=∠B，利用ASA可证得△ABD≌△ACF，可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AD=AF，BD=CF，再证明∠FAE=∠DAE，利用SAS证明△AED≌△AEF，利用全等三角形的性质可得DE=EF，可对②作出判断；利用已知条件可求出△ABD的面积与△AEC的面积之和，即可求出△ABC的面积，可对③作出判断；利用三角形两边之和大于第三边，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的序号.
6．（2021八上·怀柔期末）小举在探究全等三角形判定方法，已知如图，ABC，他通过尺规作图、裁剪、重合的操作，证实一种判定方法．以下是小举的操作过程：
第一步：尺规作图．
作法：（1）作射线M；（2）以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，D；（3）以点为圆心，BD长为半径画弧，交M于点P；（4）以点P为圆心，DE长为半径画弧，在M的上方交（3）中所画弧于点Q；（5）过点Q作射线BˊN；（6）以点为圆心，BC长为半径画弧，交M于点；（7）以点为圆心，BA长为半径画弧，交N于点；（8）连接．
第二步：把作出的剪下来，放到上．
第三步：观察发现和重合．
∴．
根据小举的操作过程可知，小举是在探究（ ）
A．基本事实SSS B．基本事实ASA C．基本事实SAS D．定理AAS
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：小举的操作过程第一步是作一个角等于已知角，夹这个角的两条边分别对应相等，
故可得出小举是在探究基本事实SAS
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判定方法SAS求解即可。
二、填空题
7．（2021八上·东阳期末）如图，在△ABC中，点E在AB上，D为AC的中点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.若AB＝15cm，CF＝10cm，则BE＝ cm.
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵D为AC的中点
∴
∵CF∥AB
∴
在 和 中
∴ （AAS）
∴
∵AB＝15cm，CF＝10cm，
BE=AB-AE=AB-CF=15-10=5cm
故答案为：5.
【分析】由D为AC的中点可得 ，由CF∥AB可得 ，利用AAS可以证出△AED≌△CFD，根据全等三角形的对应边相等得出AE=CF，进而根据BE=AB-AE即可解决问题.
8．（2021八上·乾安期中）如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①BE=CG；②DF=DH；③BH=CF；④AF=CH．其中正确的是 .
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：连接CD
∵D为等腰直角三角形ABC斜边AB上的中点
∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°
∵∠BDC=∠EDH=90°
∴∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH
∴∠BDE=∠CDH
∴△DBE≌△DCG
∴DE=DG，BE=CG，即①正确；
∵∠F+∠DEC=∠H+∠DEC=90°
∴∠F=∠H
∵∠FDG=∠HDE=90°
∴△DCH≌△DAF
∴FG=HE，DF=DH，即②正确
∴FG+GC=HE+BE
∴FC=BH，即③正确
∵BC=AC
∴BH-BC=CF-AC
即AF=CH，即④正确。
【分析】根据题意，由全等三角形的判定和性质，分别判断得到答案即可。
9．（2021八上·微山月考）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD、CD．若∠B=65°，则∠ADC的大小为 度．
【答案】65
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵以点A为圆心，以BC长为半径作弧；以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，
∴AB=CD，BC=AD．
又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS）．
∴∠ADC=∠B=65°．
故答案为：65．
【分析】根据作法可得出AB=CD，BC=AD．利用SSS得出△ABC≌△CDA，再根据全等三角形对应角相等作答即可。
10．（2020八上·呼和浩特期末）如图， 的面积为 ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，过点 作 于点 ，连接 ，则 的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】如图，延长CD交AB于E，
由题意得AP平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD,
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ADE，
∵AD=AD，
∴△ADC≌△ADE，
∴CD=DE，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
故答案为： ．
【分析】如图，延长CD交AB于E，由题意得AP平分∠CAB，证明△ADC≌△ADE，得到CD=DE，由此得到 ，推出 ，即可得到答案．
11．（2021八上·天津月考）如图，在 和 中， ， ， ， ，以点 为顶点作 ，两边分别交 ， 于点 ， ，连接 ，则 的周长为 ．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠DBC=∠DCB=20°，
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，
同理可得∠NCD=90°，
∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，
在△BDM和△CDE中， ，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，
∴∠MDE=∠BDC=140°，
∵∠MDN=70°，
∴∠EDN=70°=∠MDN，
在△MDN和△EDN中， ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN=CN+CE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；
故答案为：4．
【分析】利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
12．（2020八上·昌平期末）如图， 中， ，点D在线段 上（不与点 重合）．
作法如下：
①连接 ，作 的垂直平分线分别交直线 于点 ，连接 ，则 ；
②过点D作 的平行线交 于点P，在线段 上截取 ，使 ，连接 ，则 ；
③过点D作 的平行线交 于点P，过点D作 的平行线交 于点Q，连接 ，则 ；
④过点D作 的平行线交 于点Q，在直线 上取一点P，连接 ，使 ，连接 ，则 ．以上说法一定成立的是 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：①如图，
∵PQ为AD的垂直平分线，
∴PA=PD，QA=QD，
∴ 在△APQ和△DPQ中，
，
∴△APQ≌△DPQ（SSS），①符合题意；
②如图，
∵PD∥AC，
∴∠DPQ=∠AQP，
∴在△APQ和△DQP 中，
，
∴△APQ≌△DQP（SAS），②符合题意 ；
③如图，
∵PD∥AC，
∴∠DPQ=∠AQP，
同理∠DQP=∠APQ，
∴在△APQ和△DQP 中，
∴△APQ≌△DQP（ASA），③符合题意 ；
④如图，
△APQ≌△DPQ不成立，④不符合题意；
故答案为①②③．
【分析】利用作图的方法和全等三角形的判定方法一一判断即可。
三、解答题
13．（2020八上·海林月考）如图，点 在同一直线上， ，过点 分别作 ， ， ．若 与 交于点G，试证明 平分 ；
【答案】证明：∵AE=CF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
∵在Rt△BFA和Rt△DEC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△DEC（HL），
∴BF=DE，
∴在△BFG和△DEG中，
，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
∴BD平分EF．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】由AE=CF，可推出AF=CE，再由DE⊥AC，BF⊥AC，AB=CD，推出Rt△BFA和Rt△DEC全等，根据全等三角形的性质，即可推出BF=DE，再证△BFG和△DEG全等，即可推出结论，
14．（2021八上·鞍山期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点M是边AB上任意一点，连接CM，过点A，B分别作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F，若BF＝2.6cm，AE＝0.9cm，分别求出CF，EF的长.
【答案】证明：∵AE⊥CM.BF⊥CM，
∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6（cm），
∴EF＝CE﹣CF＝1.7（cm）.
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 根据垂直的定义得出∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，利用同角的余角相等可得∠CAE＝∠BCF， 根据AAS可证△ACE≌△CBF，从而求出AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6cm，利用EF＝CE﹣CF计算即得.
15．（2020八上·赵县期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE。
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 。
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由。
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论。
【答案】（1）90°
（2）解：①由(1)中可知=180”-α
∴αβ存在的数量关系为α+β=180°
证明方法同(1)中证明
②当点D在射线BC上时，如图1
同(1)的方法即可得出，△ABD≌△ACE (SAS)；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=180°-a，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，
同(1)的方法即可得出，△ABD≌△ACE (SAS)；
∴∠ABD= LACE，
∴β=∠BCE=∠ACE-∠ACB=∠ABD-∠ACB=∠BAC=α，
∴α=β
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】（1）证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC； ．
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE (SAS)：
∴∠B=∠ACE
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°-∠BAC=90° ；
故答案为90°
【分析】（1）根据题意，证明得到△BAD≌△CAE，即可得到∠B=∠ACE，证明得到∠ACB=45°，即可得到答案；
（2）①根据（1）中的△BAD≌△CAE，根据三角形全等的性质，即可得到答案；
②同理根据△BAD≌△CAE，结合三角形全等的性质以及三角形外角的性质即可得到答案。
16．（2020八上·石城期末）在 中， ，点 是直线 上一点（不与 ， 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
（1）如图1，当点 在线段 上，如果 ，则 度；
（2）如图2，如果 ，求 的度数是多少？
（3）设 ， ．
①如图3，当点 在线段 上移动，则 ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点 在直线 上移动，请直接写出 ， 之样的数量关系，不用证明．
【答案】（1）90
（2）解：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，
故答案为：120．
（3）解：①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∵∠ACE+∠ACB＝β，
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，
连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，
即：∠BCE+∠BAC＝180°，
∴α+β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
故答案为：90；
【分析】（1）先求出∠ABC＝∠ACB＝45°，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，最后计算求解即可；
（2）先求出 △ABC为等边三角形， 再利用SAS证明 △ABD≌△ACE ，最后计算求解即可；
（3）①先求出 ∠BAD＝∠CAE ，再利用SAS证明 △ABD≌△ACE 求出 ∠B＝∠ACE ，最后利用内角和等于180°，进行求解即可；
②分类讨论，结合图形，利用全等三角形的性质与判定和三角形的内角和等于180°，进行求解即可。
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