三角形内角和定理
图片预览
文档简介
课件22张PPT。三角形内角和定理人教版与三角形有关的角内角三角形的内角和？验证：三角形的三个内角和是180°图1图2ABCABC从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?如果不用剪、拼的方法，
可不可以用推理论证的方法来说明
上面的结论成立？三角形三个内角的和等于1800条件:三角形的三个内角
结论:它们的和等于1800结合条件和结论你能画出图形，写出已知、求证吗?试一试
条件是什么?结论是什么?
已知：如图，在ABC中，三内角分别为ABC。
求证：21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)∴ ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法一F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法二CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法三三角形的内角和等于180°三角形的内角和定理：师生交流：(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60°， 40°， 90°（3）30°， 60°， 50°（1）3°， 150°， 27° （是 ）（ 不是）（ 不是）应用新知（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
则∠A = ∠ B= ∠ C= . （3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .102 °80 °60 °40 °60°211应用新知例1已知：在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上 的高， 求∠DBC的度数.分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求∠DBC的度数，只要求出∠C的度数即可.解：设∠A= x ，则∠C=∠ABC=2x. ∴x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理).解方程，得x=360.
∴ ∠C=2×360=720.在△BDC中，
∵∠BDC=900（已知），
∴∠DBC=1800-900-720（三角形内角和定理).
∴∠DBC=180.ABCD应用新知例2. 在△ABC中，已知∠A-∠C=250，∠B-∠A=100，求： ∠B的度数.分析：根据三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C=
1800，然后结合已知条件便可以求出.解：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=1800（三角形內角和定理）
联立∠A-∠C=250，∠B-∠A=100可得，
∠A=650，∠B=750，∠C=400
答：∠B的度数是750.
1、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:设∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根据题意得:练习解得：∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形2.如图：已知在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC
的延长线交于点F，∠B=450 ，∠F=300，∠CGF=700，
求∠A的度数.AEGFCB3. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.解:∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵ CD平分∠ACB如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.（1）∠DAC＝_____ ∠DAB＝______ ∠EBC＝_______ ∠CAB ＝ ______ A(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?50°80°40°北解：∵ AD∥BE
∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180° ∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB ＝ 180° － 80° ＝100° 在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC＝ 180°－30 °－60 °＝90°∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30 °＝100°﹣40°＝60°例题讲解2DCE北A50°∟B40 °北MN在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50°解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N12例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。∴∠1=180 °-90°-50° =40°∵ AD∥BE∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °∴ ∠BNC =90°同理得∠2 =50°∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2=180 °-40°-50° =90°例题讲解2B 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE∴ CF∥ BE∴∠2＝∠CBE ＝40 °∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °例题讲解2解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °巩固练习1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少?拓展与思考2.甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲乙450？45016米解:由题意知ABC∴BC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考再见
可不可以用推理论证的方法来说明
上面的结论成立？三角形三个内角的和等于1800条件:三角形的三个内角
结论:它们的和等于1800结合条件和结论你能画出图形，写出已知、求证吗?试一试
条件是什么?结论是什么?
已知：如图，在ABC中，三内角分别为ABC。
求证：21EDCBA三角形的内角和等于1800.延长BC到D，过C作CE∥BA，∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等)∴ ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法一F21ECBA三角形的内角和等于1800.过A作EF∥BC，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等) ∴∠C=∠1(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法二CBEA三角形的内角和等于1800.过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°证法三三角形的内角和等于180°三角形的内角和定理：师生交流：(口答)下列各组角是同一个三角形的内角吗?为什么?（2）60°， 40°， 90°（3）30°， 60°， 50°（1）3°， 150°， 27° （是 ）（ 不是）（ 不是）应用新知（1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °
则∠ C= .
（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4
则∠A = ∠ B= ∠ C= . （3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？
（4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
（5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
（6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 .102 °80 °60 °40 °60°211应用新知例1已知：在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上 的高， 求∠DBC的度数.分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求∠DBC的度数，只要求出∠C的度数即可.解：设∠A= x ，则∠C=∠ABC=2x. ∴x+ 2x+ 2x=180(三角形内角和定理).解方程，得x=360.
∴ ∠C=2×360=720.在△BDC中，
∵∠BDC=900（已知），
∴∠DBC=1800-900-720（三角形内角和定理).
∴∠DBC=180.ABCD应用新知例2. 在△ABC中，已知∠A-∠C=250，∠B-∠A=100，求： ∠B的度数.分析：根据三角形内角和定理可知： ∠A+∠B+∠C=
1800，然后结合已知条件便可以求出.解：在△ABC中，
∠A+∠B+∠C=1800（三角形內角和定理）
联立∠A-∠C=250，∠B-∠A=100可得，
∠A=650，∠B=750，∠C=400
答：∠B的度数是750.
1、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:设∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根据题意得:练习解得：∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形2.如图：已知在△ABC中，EF与AC交于点G，与BC
的延长线交于点F，∠B=450 ，∠F=300，∠CGF=700，
求∠A的度数.AEGFCB3. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,
∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数.解:∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵ CD平分∠ACB如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题.（1）∠DAC＝_____ ∠DAB＝______ ∠EBC＝_______ ∠CAB ＝ ______ A(2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少?50°80°40°北解：∵ AD∥BE
∴ ∠DAB﹢∠ABE＝180° ∴ ∠ABE ＝ 180°－∠DAB ＝ 180° － 80° ＝100° 在△ABC中,∠C ＝ 180° － ∠CAB － ∠ABC＝ 180°－30 °－60 °＝90°∴ ∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30 °＝100°﹣40°＝60°例题讲解2DCE北A50°∟B40 °北MN在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50°解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N12例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。∴∠1=180 °-90°-50° =40°∵ AD∥BE∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 °∴ ∠BNC =90°同理得∠2 =50°∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2=180 °-40°-50° =90°例题讲解2B 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, F∵ CF∥AD, 又AD ∥BE∴ CF∥ BE∴∠2＝∠CBE ＝40 °∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 °例题讲解2解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 °∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 °在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 °∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °巩固练习1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少?拓展与思考2.甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？甲乙450？45016米解:由题意知ABC∴BC=AB=16答:两楼的距离是16米.拓展与思考再见