华师大版九年级上册23.3.3相似三角形的性质 课件(共23张PPT)
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级上册23.3.3相似三角形的性质 课件(共23张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-17 11:50:31 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
第 23章 图形的相似
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
3 相似三角形的性质
理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (难点)
学 习 目 标
1
2
理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点)
知识回顾
新课导入
1. 相似三角形的判定方法有哪几种？
（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似；
（2）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ；
（3）判定定理2：两角分别相等的两个三角形相似；
（4）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（5）判定定理4：三边成比例的两个三角形相似；
（6）直角三角形相似的判定方法：一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
高，
中线，
角平分线，
周长，
面积.
知识讲解
★ 相似三角形对应线段的比等于相似比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
∴
如果△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比等于相似比，那么它们对应角平分线、对应中线的比又是多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABE ∽△A' B' E' .
∴
解：如图， AE， A‘ E’分别为两个三角形的对应角的平分线，则∠BAE ＝ ∠B′ A′ E′ .
A
B
C
D
E
F
A'
B'
C'
D'
E'
F'
同理可得
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳：
相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
例1
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得EH＝3.2(cm).
即EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
（相似三角形对应角平分线的比等于相似比），
已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
典例示范
★ 相似三角形周长的比等于相似比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究
因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
已知△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的周长为 ．
例2
解析：在Rt△ABC中，斜边AB＝＝10，
∴△ABC的周长＝6＋8＋10＝24．
又∵∠C＝∠C′ ＝90°，∠A＝∠A ′，∴△ABC∽△A′B′C′．
∵两个相似三角形的周长比等于它们的相似比，
∴△A′B′C′的周长＝2×△ABC的周长＝48．
∴
答案：48
归纳：
由此我们可以得到：
相似三角形周长的比等于相似比.
★ 相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应面积的比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
例3
如图所示，正方形DEFM 内接于△ ABC，若＝ 1，＝ 4，求.
解：过点A 作AQ ⊥ BC 交BC 于点Q，交DE 于点P.
∵ 四边形DEFM 是正方形，
∴ DE ∥ BC，DE ＝ PQ，
∴ AP ⊥ DE，即AP 是△ ADE 的高.
∵ ＝ 4，∴ DE ＝ 2.
∵ ＝ 1，∴ AP·DE ＝ 1.
∴ AP ＝ 1，∴ AQ ＝ AP+PQ ＝ 3.
∵ DE ∥ BC，∴ △ ADE ∽△ ABC，
∴ ，∴ =,
∴ BC ＝ 6. ∴ ＝ BC·AQ ＝ 12 ×6×3 ＝ 9.
随堂训练
1.如图，在△ABC中，若DE ∥BC，＝12，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．10cm
C．11cm D．12cm
2.已知△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的周长为 ．
D
48
3.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为_________．
4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF= EH,则EH的长为________.
3
5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
6.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积.
（2）如图，HE与AD交于点P，由（1）知△AEH∽△ABC，
∴
∵AD是BC边上的高，∴四边形EFDP是矩形，∴PD＝EF.
∵EF＝FG＝GH＝EH， ∴AP＝AD－PD＝AD－EF＝AD－EH.
∴ .解得EH＝ ( cm）,∴
∴这个正方形的边长为cm，面积为.
解：（1）∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥FG， 即EH∥BC ∴△AEH∽△ABC；
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
课堂小结
教科书第72页练习题第1－3题．
布 置 作 业
第 23章 图形的相似
第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
3 相似三角形的性质
理解相似三角形面积的比等于相似比的平方，并运用其解决问题. (难点)
学 习 目 标
1
2
理解并掌握相似三角形中对应线段的比等于相似比，并运用其解决问题. (重点)
知识回顾
新课导入
1. 相似三角形的判定方法有哪几种？
（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角 形相似；
（2）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ；
（3）判定定理2：两角分别相等的两个三角形相似；
（4）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（5）判定定理4：三边成比例的两个三角形相似；
（6）直角三角形相似的判定方法：一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
高，
中线，
角平分线，
周长，
面积.
知识讲解
★ 相似三角形对应线段的比等于相似比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
∴
如果△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比等于相似比，那么它们对应角平分线、对应中线的比又是多少？
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
∴△ABE ∽△A' B' E' .
∴
解：如图， AE， A‘ E’分别为两个三角形的对应角的平分线，则∠BAE ＝ ∠B′ A′ E′ .
A
B
C
D
E
F
A'
B'
C'
D'
E'
F'
同理可得
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳：
相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
例1
解：∵ △ABC∽△DEF，
解得EH＝3.2(cm).
即EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
（相似三角形对应角平分线的比等于相似比），
已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
典例示范
★ 相似三角形周长的比等于相似比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应周长的比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究
因为 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
已知△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的周长为 ．
例2
解析：在Rt△ABC中，斜边AB＝＝10，
∴△ABC的周长＝6＋8＋10＝24．
又∵∠C＝∠C′ ＝90°，∠A＝∠A ′，∴△ABC∽△A′B′C′．
∵两个相似三角形的周长比等于它们的相似比，
∴△A′B′C′的周长＝2×△ABC的周长＝48．
∴
答案：48
归纳：
由此我们可以得到：
相似三角形周长的比等于相似比.
★ 相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应面积的比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
探究
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
例3
如图所示，正方形DEFM 内接于△ ABC，若＝ 1，＝ 4，求.
解：过点A 作AQ ⊥ BC 交BC 于点Q，交DE 于点P.
∵ 四边形DEFM 是正方形，
∴ DE ∥ BC，DE ＝ PQ，
∴ AP ⊥ DE，即AP 是△ ADE 的高.
∵ ＝ 4，∴ DE ＝ 2.
∵ ＝ 1，∴ AP·DE ＝ 1.
∴ AP ＝ 1，∴ AQ ＝ AP+PQ ＝ 3.
∵ DE ∥ BC，∴ △ ADE ∽△ ABC，
∴ ，∴ =,
∴ BC ＝ 6. ∴ ＝ BC·AQ ＝ 12 ×6×3 ＝ 9.
随堂训练
1.如图，在△ABC中，若DE ∥BC，＝12，DE＝4cm，则BC的长为（ ）
A．8cm B．10cm
C．11cm D．12cm
2.已知△ABC与△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，则△A′B′C′的周长为 ．
D
48
3.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，那么AB的长为_________．
4.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF= EH,则EH的长为________.
3
5. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
6.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上.已知BC＝40 cm，AD＝30 cm .
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积.
（2）如图，HE与AD交于点P，由（1）知△AEH∽△ABC，
∴
∵AD是BC边上的高，∴四边形EFDP是矩形，∴PD＝EF.
∵EF＝FG＝GH＝EH， ∴AP＝AD－PD＝AD－EF＝AD－EH.
∴ .解得EH＝ ( cm）,∴
∴这个正方形的边长为cm，面积为.
解：（1）∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥FG， 即EH∥BC ∴△AEH∽△ABC；
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
课堂小结
教科书第72页练习题第1－3题．
布 置 作 业