2022-2023学年新高一上学期数学沪教版（2020）摸底测试练习卷【1】（Word含解析）

【学生版】
【沪教版2020】高中数学 新高一 摸底测试练习卷【1】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、计算的结果是
2、计算：．
3、某小组英语听力口语考试的分数依次为：25，29，27，25，22，30，26，这组数据的中位数是（　　）
4、如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为
5、式子在实数范围内有意义，则x的范围是 　．
6、电信网络诈骗是一种利用互联网实施的新型犯罪．2021年4月26日公安部推出了国家反诈中心，充分利用新技术努力为人民群众构筑道防诈反诈的“防火墙”．自该推出以来，截至6月底，全国注册用户已超过6500万，将数据6500万用科学记数法表示为
7、在数轴上有不同的两点、，其中点表示的数是，点表示的数是，如果，两点关于原点对称，那么的值是
8、定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是
9、对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则
10、六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，
则中间正六边形的面积 　　．
11、如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为 　.（用含n的代数式表示）
12、将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13、古希腊有一位著名的数学家因发现“”，而改写了整部数学史，也因此付出了生命的代价，他就是希帕索斯．下面对说法正确的是　　
A．是有理数 B．可以在数轴上找到唯一点与之对应
C．可以用两个整数的比表示 D．
14、为全面掌握小区居民新冠疫苗接种情况，社区工作人员设计了以下几种调查方案：
方案一：调查该小区每栋居民楼的10户家庭成员的疫苗接种情况；
方案二：随机调查该小区100位居民的疫苗接种情况；
方案三：对本小区所有居民的疫苗接种情况逐一调查统计．
在上述方案中，能较好且准确地得到该小区居民疫苗接种情况的是（　　）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．以上都不行
15、设是有理数，，则下面四个结论中正确的是　　
A．没有最小值 B．只有一个的值使取最小值
C．有有限个（不止一个）的值使取最小值 D．有无数多个的值使取最小值
16、在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17. （本题满分14分）
（1）已知非零实数，满足，求的值；
（2）已知，求的值；
18. （本题满分14分）
如图，已知点是线段的中点，且，
延长至点，使得b，以，为边作矩形，
连接并延长，交的延长线于点，连接，；
《几何原本》中利用该图解释了代数式
的几何意义，试求的值；
19. （本题满分14分）
如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，
以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，
顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，
求：⊙O的面积与阴影区域的面积的比值；
20. （本题满分16分）
阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔．，1550年年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉，1707年年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，．理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因为，所以．
解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：，，，．
（3）拓展运用：计算　　．
21. （本题满分18分）
定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”；
例如，点是函数的图像的“等值点”；
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图像记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图像记为W2．当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【教师版】
【沪教版2020】高中数学 新高一 摸底测试练习卷【1】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、计算的结果是
【提示】根据积的乘方和单项式乘单项式法则计算即可．
【答案】
【解答】．
【说明】本题考查积的乘方和单项式乘单项式，解题关键是熟知积的乘方和单项式乘单项式法则．
2、计算：．
【提示】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【答案】
【解答】．
【说明】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
3、某小组英语听力口语考试的分数依次为：25，29，27，25，22，30，26，这组数据的中位数是（　　）
【提示】根据中位数的意义求解即可．
【答案】26；
【解析】：将这7位同学的成绩从小到大排列为：22，25，25，26，27，29，30，处在中间位置的一个数是26分，因此中位数是26；
【说明】本题考查中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4、如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为
【提示】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【答案】；
【解析】：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为＝；
【说明】本题考查了概率的公式，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值．
5、式子在实数范围内有意义，则x的范围是 　．
【提示】先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可
【答案】　x≥1且x≠2
【解析】∵式子在实数范围内有意义，所以，解得x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
【说明】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
6、电信网络诈骗是一种利用互联网实施的新型犯罪．2021年4月26日公安部推出了国家反诈中心，充分利用新技术努力为人民群众构筑道防诈反诈的“防火墙”．自该推出以来，截至6月底，全国注册用户已超过6500万，将数据6500万用科学记数法表示为
【提示】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．
【答案】
【解析】6500万
【说明】此题考查科学记数法的表示方法．解决问题的关键是正确确定的值以及的值．
7、在数轴上有不同的两点、，其中点表示的数是，点表示的数是，如果，两点关于原点对称，那么的值是
【提示】利用，两点关于原点对称，得到关于的一元二次方程，解方程检验即可．
【答案】2
【解答】，两点关于原点对称，，解得或，、是不同的两点，
当时，，不符合题意，舍去；的值是2；故选：．
【说明】本题考查了数轴上关于原点对称的两点对应的数之间的关系，涉及到了相反数的概念和解一元二次方程等知识点，解决本题的关键是能正确列出方程并且正确求解，最后要检验结果是否符合题意．
8、定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是
【提示】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．
【答案】，且
【解答】，，整理可得，又关于的方程有两个实数根，，解得：且
【说明】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，理解一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
9、对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“相随数对”，记为．若是“相随数对”，则
【提示】根据是“相随数对”得出，再将原式化成，最后整体代入求值即可．
【答案】；
【解答】是“相随数对”，，，即，
，
【说明】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键；
10、六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，
则中间正六边形的面积 　　．
【提示】注意图形的对称性与图形的“分割与拼接”；
【答案】
【解析】∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，
∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，
∴HG＝AG＝1，
∴中间正六边形的面积＝6××12＝，答案：．
【说明】对于几何图形，抓住对称性可以简化计算；
11、如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为 　.（用含n的代数式表示）
【提示】注意阅读理解找规律
【答案】　2n（n+1）
【解析】∵第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4＝2×1×2，
第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12＝2×2×3，
第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24＝2×3×4，
，
按此规律，则第n个网格中所有线段的和为2n（n+1）；
答案：2n（n+1）；
【说明】本题主要考查了类比、归纳与高中数学归纳法关联；
12、将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为
【提示】理解题设，注意等价转化；先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可；
【答案】
【解析】数字可以化成：，，，；，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而
∴的位置记为故答案为：
【说明】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13、古希腊有一位著名的数学家因发现“”，而改写了整部数学史，也因此付出了生命的代价，他就是希帕索斯．下面对说法正确的是　　
A．是有理数 B．可以在数轴上找到唯一点与之对应
C．可以用两个整数的比表示 D．
【提示】根据无理数是无限不循环小数，它和有理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应相关概念即可解答；
【答案】B；
【解析】A．是无理数，故此选项不合题意；
B．实数和数轴上的点一一对应，可以在数轴上找到唯一点与之对应，故此选项符合题意；
C．不能用两个整数比表示，故此选项不合题意；
D．是无限不循环小数，，故此选项不合题意．故选：B；
【说明】本题解题的关键是理解掌握无理数的概念．
14、为全面掌握小区居民新冠疫苗接种情况，社区工作人员设计了以下几种调查方案：
方案一：调查该小区每栋居民楼的10户家庭成员的疫苗接种情况；
方案二：随机调查该小区100位居民的疫苗接种情况；
方案三：对本小区所有居民的疫苗接种情况逐一调查统计．
在上述方案中，能较好且准确地得到该小区居民疫苗接种情况的是（　　）
A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．以上都不行
【提示】根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案．
【答案】C；
【解析】因为全面掌握小区居民新冠疫苗接种情况，所以对本小区所有居民的疫苗接种情况逐一调查统计．
故选：C；
【说明】本题考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集代表性是解题关键．
15、设是有理数，，则下面四个结论中正确的是　　
A．没有最小值 B．只有一个的值使取最小值
C．有有限个（不止一个）的值使取最小值 D．有无数多个的值使取最小值
【提示】根据非负数的性质，分别讨论的取值范围，再判断的最值问题．
【答案】D；
【解析】由题意得：当时，；当时，；
当时，；故由上得当时，有最小值为2；故选：D．
【说明】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情况讨论．
16、在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【提示】注意等价转化；
【答案】C；
【解析】延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
答案：C．
；
【说明】解答本题的关键是：收集数学信息，用数学图形、符号进行表示与求解；
三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17. （本题满分14分）
（1）已知非零实数，满足，求的值；
（2）已知，求的值；
【提示】（1）由，得，整体代入到代数式中求值即可；
（2）由，得，代入原式整理、约分即可得；
【答案】（1）4；（2）13；
【解析】（1）由，得，则；
所以，原式
故答案为：4．
（2）由，得，
所以，原式，故答案为：13．
【说明】（1）本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到，把x﹣y看作整体，代入到代数式求值是解题的关键；（2）本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握整体代入思想的运算和分式加法法则．
18. （本题满分14分）
如图，已知点是线段的中点，且，
延长至点，使得b，以，为边作矩形，
连接并延长，交的延长线于点，连接，；
《几何原本》中利用该图解释了代数式
的几何意义，试求的值；
【提示】在直角三角形中，运用勾股定理分别计算出AG，CF，即可求出其比值．
【答案】；
【解析】∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且；∴AC＝a，CB＝a；
∴AD＝DBa；
∵BE＝b，BE垂直于FG；∴BGb；∴AG2＝AD2+DG2；
∴AG2＝（a）2+（ab）2＝2a2+2a2+2b2+4ab＝4a2+4ab+2b2；
∴CF2＝（a+b）2+a2＝2a2+2ab+b2；
∴AG2＝2CF2；∴AGCF；∴则的值为；
【说明】本题考查了线段平分线的性质及勾股定理的计算；
19. （本题满分14分）
如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F、C为圆心，
以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和D、B，
顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，得到六边形ABCDEF，
求：⊙O的面积与阴影区域的面积的比值；
【提示】注意对称性与用好图形的评价语分割；
【答案】
【解析】连接EB，AD，设⊙O的半径为r，⊙O的面积S＝πr2，
弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，
弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝S△EDO+S△ABO，
∵OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝r，∴△EDO、△AOB是正三角形，
∴阴影部分的面积＝×r×r×2＝r2，
∴⊙O的面积与阴影区域的面积的比值为，
答案：．
20. （本题满分16分）
阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔．，1550年年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉，1707年年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：，，，．理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因为，所以．
解决以下问题：
（1）将指数转化为对数式： ．
（2）仿照上面的材料，试证明：，，，．
（3）拓展运用：计算　　．
【提示】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；
（2）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；
（3）根据公式：和的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论．
【解析】（1）将指数转化为对数式：．
故答案为：；
（2）证明：设，，，，，
由对数的定义得，
又，
；
（3）．
故答案为：2；
【说明】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
21. （本题满分18分）
定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”；
例如，点是函数的图像的“等值点”；
（1）分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数，的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数的图像记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图像记为W2．当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【提示】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图像上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣2的图像上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解析】（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，
∴函数y＝x+2的图像上不存在“等值点”；
在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣x的图像上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；
（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，解得：x＝，
∴A（，），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，
解得：x＝b，∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为3，∴×|b|×|﹣b|＝3，
当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，解得b＝﹣2，
当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，
当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，解得：b＝4，
综上所述，b的值为﹣2或4；
（3）令x＝x2﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣2的图像上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图像上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），
W1：y＝x2﹣2（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣2，
整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，
∵W2的图像上不存在“等值点”，∴Δ＜0，
∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，∴m＜﹣，
②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），
③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图像上恰有1个“等值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m＜2．