2022-2023学年新高一上学期数学沪教版（2020）摸底测试练习卷【3】（Word含解析）

【学生版】
【沪教版2020】高中数学 新高一 摸底测试练习卷【3】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、计算：　　 ．
2、式子有意义的的取值范围是
3、设，，，则，，从小到大的顺序是
4、如图，数轴上，两点对应的数分别是和，对于以下四个式子：①；②；③：④，其中值为负数的是
5、如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝　 　．
6、图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是
7、随着某地公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站票，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用，新版站牌每一个站名上方都有一个相应的数字，将上下车站站名称对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参考票制规则计算票价，具体来说：
乘车路程计价区段
对应票价（元 2 3 4
另外，一卡通刷卡实行5折优惠，小明用一卡通乘车上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字
是22，那么小明乘车的费用是 元
8、某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 　　元．
9、小淇将展开后得到，小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为
10、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝ 　　.（用含n的式子表达）
11、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2；
以点C为圆心，CB长为半径画弧，
分别交AC，AB于点D，E，
则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
12、我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
①
①①
①②①
①③③①
①④⑥④①
①⑤⑩⑩⑤①
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13、当时，、、、之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
14、二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是　　
A． B． C． D．
15、为了了解三中九年级840名学生的体重情况，从中抽取100名学生的体重进行分析．在这项调查中，样本是指（　　）
A．840名学生
B．被抽取的100名学生
C．840名学生的体重
D．被抽取的100名学生的体重
16、如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值为时，输入值为3或9；
②当输入值为16时，输出值为；
③对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出；
④存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值．其中错误的是　　
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17. （本题满分14分）
（1）若分式的值是负整数，求：整数的值；
（2）设a＞b＞0，a2+b2﹣4ab＝0，求值：；
18. （本题满分14分）
如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，
将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC；
若点C的坐标为，求m的值；
19. （本题满分14分）
如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，
且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，
求图中阴影部分面积的最大值；
20. （本题满分16分）
如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，填空∠B＝　 　°，∠C＝　 　°；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
21. （本题满分18分）
观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　；
（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？
【教师版】
【沪教版2020】高中数学 新高一 摸底测试练习卷【3】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、计算：　　 ．
【提示】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．
【答案】
【解析】，故答案为：．
【说明】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
2、式子有意义的的取值范围是
【提示】根据分式有意义，二次根式有意义的条件进行判断即可；
【答案】x≥﹣1且x≠0；
【解析】由题意得，x+1≥0且x≠0，即x≥﹣1且x≠0，
【说明】本题考查二次根式、分式有意义的条件，掌握被开方数大于或等于0，分母不为0分别是二次根式和分式意义的条件是正确判断的前提；
3、设，，，则，，从小到大的顺序是
【提示】将c分母有理化再进行比较即可
【答案】　a＜c＜b　
【解析】由
又由；
又∵a2＝（）2＝7+2，c2＝（）2＝5+2，且，∴a2＜c2，
∴a＜c，∴a＜c＜b．故答案为a＜c＜b．
【说明】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．
4、如图，数轴上，两点对应的数分别是和，对于以下四个式子：①；②；③：④，其中值为负数的是
【提示】根据图示，可得，，据此逐项判断即可．
【答案】②④
【解析】根据图示，可得，，①；②；③；④．
故其中值为负数的是②④．
【说明】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出、的取值范围；
5、如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送12πcm，则n＝　 　．
【提示】数形结合地分析
【答案】120°
【解析】∵物品A被传送的距离等于转动了n°的弧长，∴＝12π，
解得：n＝120°，答案：120°．
【说明】熟悉弧长公式；
6、图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是
【提示】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【答案】（a﹣b）2
【解析】中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2
【说明】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
7、随着某地公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站票，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用，新版站牌每一个站名上方都有一个相应的数字，将上下车站站名称对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参考票制规则计算票价，具体来说：
乘车路程计价区段
对应票价（元 2 3 4
另外，一卡通刷卡实行5折优惠，小明用一卡通乘车上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字
是22，那么小明乘车的费用是 元
【提示】首先用下车时站名上对应的数字减去上车时站名上对应的数字，求出小明乘车的路程是多少，进而求出相应的票价是多少；然后用它乘以0.5，求出小明乘车的费用是多少元即可．
【答案】2
【解析】因为小明乘车的路程是：，所以小明乘车的费用是：（元；．
【说明】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，解答此题的关键是求出小明乘车的路程、相应的票价是多少；
8、某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 　　元．
【提示】注意阅读理解转化；
【答案】1264
【解析】设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，
则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
答案：1264．
9、小淇将展开后得到，小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为
【提示】根据完全平方公式展开求出，，根据平方差公式求值即可．
【答案】4043
【解答】解：展开后得到，，
展开后得到，，
．
【说明】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握，是解题的关键．
10、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为a1＝1，第二个图形表示的三角形数记为a2＝3，…，则第n个图形表示的三角形数an＝ 　　.（用含n的式子表达）
【答案】
【解析】第1个图形表示的三角形数为1，
第2个图形表示的三角形数为1+2＝3，
第3个图形表示的三角形数为1+2+3＝6，
第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4＝10，
....．
第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+......+（n﹣1）+n＝；
11、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2；
以点C为圆心，CB长为半径画弧，
分别交AC，AB于点D，E，
则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
【提示】注意图像的分割与拼接
【答案】
【解析】连接CE，
∵∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝60°，
∵CE＝CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，
∴S扇形CBE＝＝π
∵S△BCE＝BC2＝，
∴阴影部分的面积为π﹣．
答案：π﹣．
12、我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
①
①①
①②①
①③③①
①④⑥④①
①⑤⑩⑩⑤①
根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为
【提示】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数．
【答案】190
【解析】找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
第三项系数为，
【说明】此题考查了通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13、当时，、、、之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
【提示】利用特殊值法进行计算即可解答．
【答案】C
【解析】，当时，，，，，，
，故选：．
【说明】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握特殊值法进行计算是解题的关键．
14、二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是　　
A． B． C． D．
【提示】可得从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为，根据扇形的弧长公式计算即可求解．
【答案】A；
【解答】解：从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为，
地球绕太阳公转的路程是．故选：．
【说明】本题考查了列代数式，关键是熟练掌握扇形的弧长公式．
15、为了了解三中九年级840名学生的体重情况，从中抽取100名学生的体重进行分析．在这项调查中，样本是指（　　）
A．840名学生
B．被抽取的100名学生
C．840名学生的体重
D．被抽取的100名学生的体重
【提示】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【答案】D
【解答】样本是被抽取的100名学生的体重．故选：D．
【说明】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
16、如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值为时，输入值为3或9；
②当输入值为16时，输出值为；
③对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出；
④存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值．其中错误的是　　
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【提示】根据运算规则即可求解．
【答案】D
【解答】：①的值不唯一．或或81等，故①说法错误；②输入值为16时，，，即，故②说法正确；③对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出，如输入，故③说法错误；④当时，始终输不出值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：．
【说明】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17. （本题满分14分）
（1）若分式的值是负整数，求：整数的值；
（2）设a＞b＞0，a2+b2﹣4ab＝0，求值：；
【提示】（1）据分式的加法法则把原式变形，根据题意计算即可；
（2）原式利用完全平方公式变形，开方表示出a+b与b﹣a，代入原式计算即可求出值；
【解答】（1），由题意得，m﹣5＝﹣1，
解得：m＝4，故答案为：4．
（2）∵a＞b＞0，a2+b2﹣4ab＝0，∴（a﹣b）2＝2ab，（a+b）2＝6ab，
∴a﹣b，a+b（负值舍去），则，故答案为：
【说明】本题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. （本题满分14分）
如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，
将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC；
若点C的坐标为，求m的值；
【提示】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，
根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，
可得，，从而，
即可解得．
【答案】
【解析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE OA＝CD OA＝1，∴，
在Rt△BCD中，，
在Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，∴，
化简变形得：3m4 22m2 25＝0，解得：或（舍去），
∴，故C正确．故选：C．
【说明】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
19. （本题满分14分）
如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，
且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，
求图中阴影部分面积的最大值；
【答案】
【解析】连接OA、OB、OM，如图，
∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵AM＝BM＝AB＝，∴OM⊥AB，∴tan30°＝，
∴OM＝×＝1，∴OA＝2OM＝2，
∵点M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN∥AC，MN＝AC，∴△MBN∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴当△ABC的面积最大时，△MBN的面积最大，
∵C、O、M在一条直线时，△ABC的面积最大，
∴△ABC的面积最大值为：××（2+1）＝3，
∴△MBN的面积最大值为：，
∵S弓形＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣＝﹣，
∴此时，S阴影＝﹣+＝﹣，
答案：﹣．
20. （本题满分16分）
如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，填空∠B＝　 　°，∠C＝　 　°；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB、AC与点N、E，如图2
①求证：△ANE是等腰三角形；
②试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
【解析】（1）∵BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，
∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，
∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，∴∠DAC＝∠B，
∵∠DAC+∠ADC+∠C＝180°，∴2∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝2∠B＝72°，
答案：36；72；
（2）①在△ADB中，∵DB＝DA，∠B＝36°，
∴∠BAD＝36°，
在△ACD中，∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝72°，
∴∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠CAD＝36°，
∵MH⊥AD，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠AEN＝∠ANE＝54°，
即△ANE是等腰三角形；
②CD＝BN+CE．
证明：由①知AN＝AE，
又∵BA＝BC，DB＝AC，
∴BN＝AB﹣AN＝BC﹣AE，CE＝AE﹣AC＝AE﹣BD，
∴BN+CE＝BC﹣BD＝CD，
即CD＝BN+CE．
21. （本题满分18分）
观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　；
（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？
【分析】（1）仿照阅读材料中的等式写出第4个等式即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）利用得出的规律化简，计算即可求出值．
【答案】（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）5；
【解答】（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；
（2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（3）原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，
∴2的个位数2，4，8，6循环，
∵2020＝505×4，
∴22020的个位数为6，
则原式的个位数为5．
故答案为：（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1
【点评】此题考查了平方差公式，尾数特征，规律型：数字的变化类，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．