2022-2023学年新高一上学期数学沪教版（2020）摸底测试练习卷【4】（Word含解析）

【学生版】
【沪教版2020】高中数学 新高一 摸底测试练习卷【4】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、如图，点、表示的实数互为相反数，则点表示的实数是
2、计算：= ．
3、某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有 人
4、假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是
5、如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是 cm
6、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为
7、已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量=
8、《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
9、我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上；
其中正确的结论的序号是
10、在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天；
11、算式值的个位数字为
12、a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13、A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A．且． B．且． C．且 D．且．
14、某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
15、下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
16、下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17. （本题满分14分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18. （本题满分14分）
如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是多少？
19. （本题满分14分）
为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：
(1)该班的总人数为 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
(2)在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
20. （本题满分16分）
综合运用所学知识，解决以下问题：
（1）如图，是半圆O的直径，C为半圆弧上一个动点，，垂足为D，若．
①通过思考发现结论：______________；（直接用a，b简洁表示）
②利用①得到的结论，请结合图形说明：；
（2）小明从中获得启发，解决了一个问题：
已知：如图，矩形．
求作：正方形，使得正方形的面积与矩形的面积相等．（保留作图痕迹，简要写出作图步骤）
（3）如图，小林想利用一段长为的围墙围成面积为的矩形养鸡场，矩形的一边在上，且不超过，栅栏都与栅栏垂直，上有两扇宽的小门，则所需栅栏的最小长度______________m，此时______________m．
21. （本题满分18分）
如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【教师版】
【沪教版2020】高中数学 新高一 摸底测试练习卷【4】
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答；
2．解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1、如图，点、表示的实数互为相反数，则点表示的实数是
【提示】根据互为相反数的两个数的和为0即可求解．
【答案】2
【解析】因为数轴上两点A，B表示的数互为相反数，点A表示的数是-2，
所以点B表示的数是2，
【说明】此题考查了相反数的性质，数轴上两点间的距离，解题的关键是利用数形结合思想解答．
2、计算：= ．
【提示】先计算零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，再计算二次根式的乘法和加减法．
【答案】5-
【解析】解：=1+4-2×=5-．
【说明】此题考查了零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、锐角三角函数值的计算法则；
3、某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若信息技术小组有60人，则劳动实践小组有 人
【提示】根据信息技术的人数和所占的百分比可以计算出本次参加兴趣小组的总人数，然后根据劳动实践所占的百分比，即可计算出劳动实践小组的人数；
【答案】90
【解析】解：本次参加课外兴趣小组的人数为：60÷20%=300，
劳动实践小组有：300×30%=90（人）了；
【说明】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，求出本次参加兴趣小组的总人数．
4、假定按同一种方式掷两枚均匀硬币，如果第一枚出现正面朝上，第二枚出现反面朝上，就记为（正，反），如此类推，出现（正，正）的概率是
【提示】由列举法可得：掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（正，正）的情况有1种，然后利用概率公式求解即可求得答案；
【答案】
【解析】∵掷两枚硬币，所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，其中出现（正，正）的情况有1种，∴P（正，正）=；
【说明】此题考查了列举法求概率，解题的关键是知道概率=所求情况数与总情况数之比．
5、如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是 cm
【提示】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．
【答案】4；
【解析】∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，
∵B′C=2cm，∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．
【说明】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
6、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为
【提示】先根据垂径定理求出，再根据余弦的定义进行解答即可．
【答案】
【解析】∵AB是⊙O的直径，AB CD．∴，OC==13，
∴；
【说明】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
7、已知在平行四边形ABCD中，设，,那么用向量、表示向量=
【提示】由在平行四边形ABCD中，可得，即可得，又有，即可求得答案．
【答案】
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
故答案是：.
【说明】考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
8、《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【提示】根据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．
【答案】
【解析】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设
∴解得
故答案为：
【说明】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
9、我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上；
其中正确的结论的序号是
【提示】根据定义逐项分析判断即可．
【答案】①③④
【解析】解：，是完美方根数对；故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若是完美方根数对，则即解得或
是正整数则故③正确；
若是完美方根数对，则,即故④正确；
【说明】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键
10、在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了 天；
【提示】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．
【答案】516
【解析】解：绳结表示的数为故选B
【说明】本题考查了有理数的混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．
11、算式值的个位数字为
【提示】观察可知，这些加数的规律是后一个数是前一个数的2倍，所以可以乘2后相减抵消大部分的加数，于是可求出和，然后利用2的乘方的个位数字特征求解即可．
【答案】3
【解析】设m=，则
2m=，
∴2m-m=-
∴m=-=-1
∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256
…，
根据上述算式发现规律：
每四个数字为一组，个位数字分别为2、4、8、6循环，
∵2022÷4=505…2，
∴22022的个位数字是4．
∴-1的个位数字是3．
【说明】此题考查了了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律并求和．乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
12、a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝
【提示】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【答案】
【解析】∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a2019＝a3＝．
【说明】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13、A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A．且． B．且． C．且 D．且．
【提示】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
【答案】B
【解析】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．故选：B．
【说明】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
14、某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【提示】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可．
【答案】A
【解析】根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况，
∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为，故A正确．
故选：A．
【说明】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键．
15、下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【提示】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．
【答案】D
【解析】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．
【说明】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．
16、下列展开图中，是正方体展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【提示】根据正方体的表面展开图共有11种情况，A，D是“田”型，对折不能折成正方体，B是“凹”型，不能围成正方体，由此可进行选择．
【答案】C
【解析】解：根据正方体展开图特点可得C答案可以围成正方体， 故选：C．
【说明】此题考查了正方体的平面展开图．关键是掌握正方体展开图特点．
三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）
17. （本题满分14分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【提示】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
；
（2）
因为，，
所以，原式=；
【说明】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键；
18. （本题满分14分）
如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是多少？
【提示】过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，设DF=x m，CF=x m，求出x=10，
则BH=DF=+30，CF=m，DH=BF，再求出AH=，即可求解；
【答案】
【解析】
解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH=BF，BH=DF，
∵斜坡的斜面坡度i=1：，∴，
设DF=x m，CF=x m，∴CD=，∴x=10，
∴BH=DF=10m，CF=m，∴DH=BF=+30（m），
∵∠ADH=30°，∴AH=（m），∴AB=AH+BH=（m），
故答案为：．
【说明】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19. （本题满分14分）
为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：
(1)该班的总人数为 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
(2)在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【提示】（1）用参加声乐社团人数除以声乐社团人数占的百分比，即可计算出全班总人数，再用全班总人数乘以参加演讲社团人数占的百分比，即可求出参加演讲社团人数，然后补全条形统计图即可；
（2）用画树状图法求解即可；
【答案】（1）50，图见解析；（2）；
【解析】该班的总人数为：12÷24%=50（人），
参加演讲社团人数为：50×16%=8（人），
补全条形图为：
（2）
解：画树状图为：（用A表示参加美术社团、用B表示参加声乐社团，用C、C表示参加演讲社团）
共有12种等可能的结果数，其中所抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的结果数为4，
抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率=；
【说明】本题考查条形统计图，扇形统计图，用画树状图法或列表法求概率，从统计图中获取到有用的信息和掌握用画树状图法或列表法求概率是解题的关键；
20. （本题满分16分）
综合运用所学知识，解决以下问题：
（1）如图，是半圆O的直径，C为半圆弧上一个动点，，垂足为D，若．
①通过思考发现结论：______________；（直接用a，b简洁表示）
②利用①得到的结论，请结合图形说明：；
（2）小明从中获得启发，解决了一个问题：
已知：如图，矩形．
求作：正方形，使得正方形的面积与矩形的面积相等．（保留作图痕迹，简要写出作图步骤）
（3）如图，小林想利用一段长为的围墙围成面积为的矩形养鸡场，矩形的一边在上，且不超过，栅栏都与栅栏垂直，上有两扇宽的小门，则所需栅栏的最小长度______________m，此时______________m．
【提示】（1）①如图，连接AC、BC，利用AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点D，求证△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形对应边成比例即可求得；②连接OC，根据，即可求得结论；
（2）根据射影定理和（1）中的结论即可作出图形；
（3）设AB=xm，根据“围成面积为的矩形养鸡场”列出方程，整理可得：，
然后根据，即可求得最小长度L以及此时AB的长度；
【答案】（1）①，②见解析；（2）作图见解析；（3），
【解析】（1）①如图，连接AC、BC，
∵AB是半圆O的直径，∴，∴，
∵CD⊥AB，∴，∴，
∴△ACD∽△CBD，∴，即：，∴，
故答案是：ab；
②如图，连接OC，
由（1）得：，∴，
∵．∴AB=a+b，∴，
∵C为半圆弧上一个动点，，∴，
即：，∴；（4分）
（2）如图，
作法：①延长AB至点H，使BH=BC；
②以AH为直径，以AH的中点O为圆心，作半圆O；
③延长BC交半圆O于点E；
④以点B为圆心，以BE长为半径画弧交AB延长线于点G，以点G为圆心，以GB长为半径画弧交BE的垂线EF于点F；
则正方形就是所要求作的图形；（8分）
（3）设AB=xm，
由题意得：，
整理得：，
∵，∴，∴，
∴所需栅栏的最小长度，此时，，
解得：x=4，x=-4（舍去），
∴AB=4m．
故答案是：22，4．（14分）
【说明】本题主要考查了复杂作图、直径所对的圆周角是90°、相似三角形的判定与性质等，灵活应用前面所得到的结论求解是解题的关键.
21. （本题满分18分）
如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，其顶点为点D，连结AC．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【提示】
（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；
（2）先用待定系数法求直线AC解析式为，再过点F作于点G，证，得，设F点的坐标为，则G点的坐标为，所以，即可求出或，从而求得点F坐标；
（3）是平移得得点M的坐标为，则（2）知点与点关于对称轴对称，连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．在中，，则在中，，所以，所以为最小值，根据，所以，即可求出．
【答案】（1），顶点D的坐标为；（2）或；（3）
【解析】（1）∵抛物线经过点，，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：=-(x-1)2+4，
∴顶点D的坐标为；
（2）设直线AC的解析式为：，
把点，代入得：，，
∴直线AC解析式为：，
过点F作于点G，
∵以A、C、E、F四点为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴，AC=EF，
又∵，
∴
∴，
∴，
设F点的坐标为，
则G点的坐标为，
∴，
∴或，当时，，
∴，
当时，
∴，
∴或；
（3）由题意，得点M的坐标为，
由题意知：点与点关于对称轴对称，
连结，对称轴于点H，连结、，过点作于点N，交对称轴于点P，则，，．
在中，，则在中，
∴，
又∵
∴为最小值，
又∵，
∴，
∴求得的最小值为；
【说明】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键；