2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第9课 乘法公式——平方差公式
一、知识储备
1.计算并探索规律：
（1）； （2）
二、新课学习
知识点1：利用平方差公式计算
平方差公式：
两数和与这两数差的积等于_______________.
2.计算：
（1）； （2）
3.计算：
（1）； （2）.
4.计算：
（1）； （2）.
5.计算：
（1）； （2）
6.计算：
（1）； （2）.
7.计算：
（1）； （2）.
平方差公式的特点：“相同项”在前，“相反项”在后，结果“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
知识点2：利用平方差公式进行简便计算
8.计算：
（1）102×98（用简便方法计算）; （2）
9.计算：
（1）999×1001（用简便方法计算）； （2）.
10.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
11.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.计算：
（1）； （2）.
13.计算：
（1）； （2）.
14.化简求值：，其中，x=-1.
15.填空：
（1）已知，则a的值为_________.
（2）若则mn的值为_________.
16.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A. B.
C. D.
17.计算：.
2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第9课 乘法公式——平方差公式
1.解：（1）原式=2-3+3-9=2-9
（2）原式=a2-ab+ab-b2=a2-b2
2.解：（1）原式=2-22=2–4（2）原式=m2-12=m2-1
3.解：（1）原式=a2-42=a2-16（2）原式=2-52=2-25
4.解：（1）原式=（3）2-22=92-4
（2）原式=（3）2-(2y)2=92-4y2
5.解：（1）原式=（4）2-1=162-1
（2）原式=（4）2-(2y)2=162-4y2
6.解：（1）原式=(-m)2-n2=m2-n2
（2）原式=(m+2)(m-2)=m2-22=m2-4
7.解：（1）原式=()2-y2=2-y2
（2）原式=（2）2-y2=42-y
8.解：（1）原式=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996
（2）原式=(2-1)(2+1)=（2）2-12=4-1
9.解：（1）原式=(1000-1)(1000+1)=10002-12=1000000-1999999
（2）原式=(a2-b2)(a2+b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
10.（1）2-36（2）4-a2（3）2-4y2（4）4m2-25n2
11.D
12.解：（1）原式=-12=a2-1
（2）原式=(-a)2-(2b)2=a2-4b2
13.解：（1）原式=22-(y)2=4-2y2
（2）原式=(2-3y)(2+3y)=（2）2-(3y)2=42-9y2
14.解：原式=(2--12)-(3-32)=2--12-2+9=--3
当=-1时，原式=-(-1)-3=-2
15.（1）±3（2）±96
16.D
17.解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=216-12021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第10课 乘法公式——完全平方公式
一、知识储备
1.计算并探索规律：
（1）
二、新课学习
知识点1：利用完全平方公式计算
完全平方公式：（1）
口诀：首平方+尾平方，首尾乘积2倍放中央
请你根据右图解释公式
2.计算：
（1）
（2）
3.计算：
（1）
（2）
4.计算：
（1）； （2）.
5.计算：
（1） （2）.
6.计算：
（1） （2）
7.计算
（1） （2）
知识点2：多项式乘以多项式的综合计算
8.计算：
9.计算：
10.计算的结果是（ ）
A.a2－4a+4 B.a2－2a+4 C.a2－4 D.a2－4a－4
11.若，则a的值是（ ）
A.3 B.-3 C.6 D.-6
12.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
13.计算：
（1）
（2）
（3）
14.计算：
（1） （2）
15.运用完全平方公式进行简便运算:
（1）1022. （2）1972.
16.化简求值：，其中，x=-2.
17.如图，根据图形的面积关系可以验证的公式是（ ）
A. B.
C. D.
18.一个圆的半径长为r（r＞2）cm，减少2cm后，这个圆的面积减少了多少？
19.如图的三角形可解释（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
………………1
……………1 1
…………1 2 1
………1 3 3 1
其中
根据“杨辉三角”计算
2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第10课 乘法公式——完全平方公式
1.解：（1）原式=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（2）原式=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2
2.（1）2+6+9
（2）2-2··5+52-10+25
3.（1）2+2··122+2+1
（2）2-2··4+422-8+16
4.解：（1）原式=（3）2+2·3·5y+(5y)2=92+30y+25y2
（2）原式=（2）2-2·2·+()=42-2+
5.解：（1）原式=（4）2-2·4·3y+(3y)2=162-24y+9y2
（2）原式=(m)2+2·m·+()2=m2+m+
6.解：（1）原式=(-)2+2·(-)·5+52=2-10+25
（2）原式=(-2)2-2·(-2)·y+y2=42+4y+y2
7.解：（1）原式=(-)2-2·(-)-3+32=2+6+9
（2）原式=(-m)2+2·(-m)·3n+(3n)2=m2-6mn+9n2
8.解：原式=2+10+25-(2+-6)=2+10+25-2-+6=9+31
9.解：原式=42-y2-(42+4y+y2)=42-y-42-4y-y=-4y-2y2
10.A 11.D 12.D
13.（1）92+12+4
（2）m2n2-6mn+9
（3）2-2y+4y2
14.解：（1）原式=n2+8n+16-n2=8n+16
（2）原式=(-2a)2+2·(-2a)+12=4a2-4a+1
15.解：（1）原式=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
（2）原式=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
16.解：原式=(2+4+4)+(42-1)-(42+4)=2+4+4+42-1-42-4=2+3
当=-2时，原式=(-2)2+3=7
17.C
18.解：∵圆的半径长为r(r>2)cm，减少2cm后的半径变为(r-2)cm.
则半径减少后圆的面积为：(r-2)2=(r2-4r+4)=r2-4r+4
∵圆的面积减少了：
r2-(r2-4r+4)=(4r-4)(cm2).
19.解：原式=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b42021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第11课 乘法公式综合
一、知识储备.
1.平方差公式：
完全平方公式：（1）
（2）
2.计算：
（1）
（2）
（3）.
3.计算：
4.计算：
二、新课学习
知识点1：完全平方公式巧变形求代数式的值
完全平方公式的常见变形：
5.已知a+b=3,ab=2，求a2+b2的值.
6.已知a－b=2,ab=8，求a2+b2的值.
7.已知,a2+b2=7，求ab的值.
知识点2：两个乘法公式双重使用
8.计算：
9.计算：
10.若（2a+3b）（ ）=4a2－9b2，则括号内应填的代数式是（ ）
A.-2a－3b. B.2a+3b. C.2a－3b. D.3b－2a
11.若（x+m）2=x2－6x+n，则m,n的值分别为（ ）
A.3,9 B.3,-9 C.-3,9 D.-3,-9
12.计算：
13.计算：
14.已知正数x满足，则的值是（ ）
A.1 B.2 C.4 D.6
15.某正方形的边长为acm，若把这个正方形的边长减少3cm，则面积减少了______cm2.
16.已知,ab=2. （1）求a2+b2的值； （2）求的值.
17.一个底面是正方形的长方体，高为5cm，底面边长为4cm.如果它的高不变，底面正方形边长增加了acm，那么它的体积增加了多少cm2？
18.若x+y=3，且（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值.
19.如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=l0,ab=20.
（1）求两个正方形的面积之和；
（2）求阴影部分的面积.
2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第11课 乘法公式综合
1.a2-b2 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
2.（1）4a2+12a+9（2）4a2-9（3）2-y+y2
3.解：原式=9+6+1-(92-1)=92+6+1-92+1=6+2
4.解：原式=25-2+2(2-6+9)=25-2+22-12+18=2-12+43
5.解：a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5
6.解：a2+b2=(a-b)2+2ab=22+2×8=20
7.解：ab=[(a+b)2-(a2+b2)]÷2
把(a+b)2=15，a2+b2=7代入得ab=(15-7)÷2=4
8.解：原式=(+y)2-9=2+2y+y2-9
9.解：原式=(2+y)2-1=42+4y+y-1
10.C 11.C
12.解：原式=(ab+1+ab-1)(ab+1-ab+1)=2ab·2=4ab
13.解：原式=(a-b)2-9=a2-2ab+b2-9
14.B 15.(6a-9)
16.解：（1）(a+b)2=19
则a2+b2+2ab=19
将ab=2代人，得a2+b2+2×2=19则a2+b2=15
（2）(a-b)2=a2+b2-2ab=15-2×2=11
17.解：依题意：
5(a+4)2-5×42
=5(a2+8a+16)-5×16
=5(a2+8a+16-16)
=5(a2+8a)
=5a2+40a(cm3)
答：它的体积增加了(5a2+40a)cm3.
18.解：（1）∵+y=3，(+2)(y+2)=12，
∴y+2+2y+4=12，
∴y+2(+y)=8
∴y+2×3=8
∴y=2；
（2）∵+y=3，y=2
∴2+3y+y2=(+y)2+y=33+2=11.
19.解：（1）S和=S大正方形+S小正方形=a2+b2=(a+b)2-2ab=102-2×20=60
（2）S阴=S和-S△ABD–S△BFG=(a2+b2)-a2-(a+b)·b=a2+b2-a2-ab-b2
=a2-ab+b2=(a2+b2)-ab=×60-×20=202021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第12课 整式的除法（1）
一、知识储备
1.（1）am·an=_________； am÷an=_________；
（2）
2.计算：
（1）x5·x3=_________； （2）x5÷x3=_________；
（3）
二、新课学习
知识点1：单项式除以单项式
单项式乘以单项式 单项式除以单项式
举例 6x5·3x2=_________. 6x5÷3x2=_________.
法则 单项式相乘，两个单项式的系数、同底数幂分别相乘 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母、则连同它的指数一起作为商的一个因式.
3.计算：
（1）8x5÷2x3=_________；
（2）10x3÷（-5x2）=_________；
（3）2x2y÷6x2=_________；
4.计算：
（1）9m2÷3m2=_________；
（2）-3mn2÷6n=_________；
（3）.
5.计算：（2x2y）3÷4x4y3.
6.计算：x6y4÷（-3x3）2.
7.计算：（a+b）4÷（a+b）2.
8.计算：
知识点2：单项式除以单项式的应用
9.一个长方体的长为2ab，宽为 体积为5a3b4，则这个长方体的高是多少？
10.学校的操场旁有一片等腰三角形空地，它的面积是12a4b5cm2，底边长为3a3b2cm，这片等腰三角形空地底边上的高为多少？
11.计算（-4x3）÷（2x）的结果，正确的是（ ）
A.-2x2 B.2x2 C.-2x3 D.-8x4
12.计算：
（1）3a7÷a3=_________； （2）
13.计算：
（1）-14x4÷7x3=_________； （2）（-3x2y）÷（-9xy）=_________；
14.已知a3b6+a2b2=3，则a2b8的值为（ ）
A.6 B.9 C.12 D.81
15.计算：3m2n2÷（mn）2.
16.计算：
17.计算：（2x3y）3÷6x3y2.
18.计算：2x2y·（-3xy）÷（xy）2
19.某房间空气中每立方米含3×106的病菌，为了检验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了试验，发现1毫升杀菌剂可以杀死2×105个这种病菌，则要将长10米，宽8米，高3米的房间内的病菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少毫升？
20.益才学校新建了一栋科技楼，为了给该楼一间科技陈列室的顶棚装修，计划用宽为xm、长为30xm的塑料扣板吊顶.已知这间陈列室的长为5axm，宽为3axm，如果你是该校的采购人员，仅从面积考虑至少应购买多少块这样的塑料扣板？当a=4时，求出具体的扣板块数.
2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第12课 整式的除法（1）
1.（1）am+n am-n （2）amn （3）anbn
2.（1）8 （2）2 （3）15 （4）279
3.（1）42 （2）-2 （3）y
4.（1）3 （2）-mn （3）-18m3
5.解：原式=86y3÷44y3=(8÷4)·(6÷4)·y3÷y3=2·2·1=22
6.解：原式=6y4÷96=(1÷9)·(6÷6)·y4=y4
7.解：原式=(a+b)2=a2+2ab+b2
8.解：原式=12-(-3y2)=-362y2
9.解：5a3b4÷(2ab·ab2)=5a3b4+÷a2b3=5ab
∴这个长方体的高是5ab.
10.解：2×12a4b5÷3a3b3=24a4b5÷3a3b3=8ab2(cm)
∴这片等腰三角形空地底边上的高为8ab2cm
11.A
12.（1）3a4（2）6
13.（1）-2（2）
14.B
15.解：原式=3m3n2÷m2n2=3m
16.解：原式=y
17.解：原式=86y3÷63y2=3y
18.解：原式=-63y2÷(2y2)=-6
19.解：10×8×3×3×106÷(2×105)
=7.2×108÷(2×105)
=3.6×103(毫升)
答：需要3.6×103毫升杀菌剂.
20.解：根据题意得：
(5a·3a)÷(·30)=15a22÷302=a2，
则应该至少购买a2块这样的塑料扣板，
当a=4时，原式=8，即具体的扣板数为8块.2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第13课 整式的除法（2）
一、知识储备
1.计算：
（1）6a2÷（-3a）=_________.
（2）-3a2÷6a=_________.
2.计算：
（1）5x2÷4x2=_________.
（2）.
二、新课学习
知识点1：多项式除以单项式
多项式乘以单项式 多项式除以单项式
举例 （a+b）·m=_________. （ma+mb）÷m=__________.
法则 多项式与单项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 多项式除以单项式法则：先把这个多项式的_______分别除以单项式，再把所得的商相加.
3.计算：
（1）（6m2－9m）÷3m=_________.
（2）（4x2y+2xy2）÷2xy=_________.
（3）（12a2－6ab）÷（-3a）=_________.
（4）（4x3+6x2－2x）÷（-2x）=_________.
4.计算：
（1）（12a3+6a2）÷6a2=_________.
（2）（10x－25xy）÷（-5x）=_________.
（3）（12a3－6a2+3a）÷6a=_________.
（4）（x3y2－2xy2）÷（-xy）=_________.
5.计算：
6.计算：
知识点2：多项式除以单项式的应用
7.长方形的面积为4a2－6ab+2a，若它的一边长为2a，则它的周长为（ ）
A.4a－3b B.8a－6b. C.4a－3b+1 D.8a－6b+2
8.一个三角形的面积是3xy－4y，一边长是2y，则这条边上的高是（ ）
A.3x－4 B.-3x+4 C.6xy+4y D.-3x－8y
知识点3：整式的混合运算
9.计算：
10.计算：
11.的结果是（ ）
A.-3x+2y B.3x－2y C.-3x+2 D.-3x－2
12.小亮与小明在做游戏，两人各报一个整式，小明报的被除式是x3y－2xy2，商式必须是2xy，则小亮报的除式是_________.
13.计算：
（1）（5x3－3x2）÷（-x2）=_________.
（2）（24a3－12a2+3a）÷3a=_________.
14.若（8a2b－6ab2）÷M=-4a+3b，则单项式M为_________.
15.计算：（24x2y－12xy2+8xy）÷（-6xy）.
16.计算：
17.化简求值：，其中，x=8,y=2021.
18.化简求值：，其中，x=2,y=-3.
19.郑明同学在计算机上设计了一个计算程序：x→平方→+x→÷x→－x→答案，林军拿了几个数试了试，列出如下表格：
x -2 -1 1 2 2018
答案 1 1
（1）请将表格填写完整；
（2）试用一个算式表示这个程序；
（3）结合（1）（2），你发现了什么结论？
20.观察下列各式：
①（x2－1）÷（x－1）=x+1；
②（x3－1）÷（x－1）=x2+x+1；
③（x4－1）÷（x－1）=x3+x2+x+1；
④（x5－1）÷（x－1）=x4+x3+x2+x+1；
…
（1）若（xm－1）÷（x－1）=x2017+x2016+.+x+1，请写出m的值；
（2）写出（xn－1）÷（x－1）的结果（n≥2，且n为整数）;
（3）求值：①1+2+22+…+202017
2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第13课 整式的除法（2）
1.（1）-2a（2）-a
2.（1）（2）6b2
3.（1）2m-3（2）2+y（3）-4a+2b（4）-22-3+1
4.（1）2a+1（2）-2+5y
（3）2a2-a+（4）-2y+2y
5.解：原式=(83-42y+52)÷42=2-y+
6.解：原式=4a2-2a+6b2
7.D 8.A
9.解：原式=(+y+-y)(+y-+y)÷2y=2·2y÷2y=4y÷2y=2
10.解：原式=(2y2-4-22y+4)÷2y=-2y2÷2y=-y
11.A 12.2-y
13.（1）-5+3 （2）8a2-4a+1
14.-2ab
15.解：原式=-4+2y-
16.解：原式=3(+y)2=32+6y+3y2
17.解：原式=(2-2y+y2+4y-y2-8)÷2=(2+2y-8)÷2=+y-4
当=8，y=2009时，
原式=×8+2009-4=2009
18.解：原式=[42-y2-(42+4y+y2)]÷(-y)
=(42-y2-42-4y-y2)÷(-y)=(-2y2-4y)÷(-y)
=2y+4
当=2，y=-3时，
原式=2×(-3)+4×2=-6+8=2.
19.解：（1）表格中从左至右依次填入：1；1；1；1；1；
（2）这个程序可表示为(2+)÷-；
（3）∵当≠0时，(2+)÷-=1，
∴得出结论，无论取≠0时的任何一个值，这个程序的计算结果都是1.
20.解：（1）m=2017+1=2018
（2）(n-1)÷(-1)=n-1+n-2+…++1
（3）①原式=(22018-1)÷(2-1)=22018-1
②原式=[(-2)2018-1]÷(-2-1)==2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第14课整式的乘除单元复习
一、基础练习
知识点1：幂的运算
1.计算：
（1）a3 a2=_________； （2）a3÷a2=_________；
（3）
2.计算：
（1）2－3=_________； （2）.
（3）（π－1）°=_________； （4）a3÷a－2=_________；
3.下列运算结果为a6的是（ ）
A.a2+a3 B.a2 a3 C.（-a2）3 D.a8÷a2
4.计算（-xy3）2的结果是（ ）
A.x2y6 B.-x2y6 C.x2y9 D.-x2y9
知识点2：幂的运算的逆用
5.已知xm=6,xn=3，则：
（1）xm xn=_________；
（2）xm－n=_________；
6.（1）已知xm=5，则x2m=_________；
（2）已知3m=5,4m=2，则12m=_________；
知识点3：科学记数法
7.某桑蚕丝的直径约为0.000016米，将0.000016用科学记数法表示为（ ）
A.1.6×10－4 B.1.6×10－3 C.1.6×10－7 D.16×10－4
8.用小数表示下列数字：
（1）3.22×10－5=_________； （2）1.02×10－4=_________；
知识点4：整式的乘法
9.计算：
（1）3a （-2a）=_________； （2）
10.计算：
（1） （2）
11.计算：
（1） （2）
12.计算：
知识点5：整式的除法
13.计算：
（1）6a3÷3a=_________； （2）；
14.计算：
（1）（8x4+4x2）÷（-2x2）=_________； （2）
知识点6：整式的混合运算
15.化简：
16.化简求值，其中，x=-1,y=3.
17.已知，则代数式2x2+6x－5的值为_________；
18.若a+b=4,a2+b2=6，则ab等于（ ）
A.10 B.5 C.-10 D.-5
19.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为4a2,，则此直角三角形的面积是 _________.
20.已知，则的值为_________；
21.如图，从边长为a+3的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠、无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是_________；
（21题）（22题）
22.图中阴影部分的面积用含a、b的代数式表示为_________；当a=5,b=2时，阴影部分的面积为_________；
23.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌挡住了一个多项式，形式如下：
（1）求挡住的多项式；
（2）若求挡住的多项式的值.
24.已知A=2x,B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成B÷A，结果得，
求B+A.
25.已知2a－b=5，求的值
26.已知a+b=4.
（1）求代数式值；
（2）若代数式a2－2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a－b的值.
2021—2022学年北师大教版数学七年级下册第一章整式的乘除第14课整式的乘除单元复习
1.（1）a5（2）a（3）a6（4）27a3
2.（1）（2）-3（3）1（4）a5
3.D 4.A
5.（1）18（2）2
6.（1）25（2）10
7.B
8.（1）0.0000322（2）0.000102
9.（1）-6a2（2）-32y+y
10.（1）2+8+15（2）42-9
11.（1）2-9y2（2）2+6y+9y2
12.（1）42-12y+9y2（2）2-4y+4y2
13.（1）2a2（2）-8b
14.（1）-42-2（2）2+8y-4
15.解：原式=22--2+1-2-2-1=2-5
16.解：原式=(92-24y+16y2+12y-16y2)÷(-3)=(92-12y)÷(-3)=-3+4y
当=-1，y=3时，原式=3+12=15
17.-3 18.B 19.16a3+16a2b 20.7
21.a+6 22.2ab 20
23.解：（1）设多项式为A，则A=(32y-y2+y)÷(-y)=-6+2y-1
（2）∵=，y=，
∴原式=-6×+2×-1=-4+1-1=-4
24.解：由B÷A=2+，得B=A·(2+)=2(2+)=23+2
∴B+A=23+2+2
25.解：原式=(a2+b2+2ab-2b2-a2+2ab-b2)÷4b=(-2b2+4ab)÷4b=-b+a=(2a-b)
当2a-b=5时，原式=
26.解：（1）原式=ab+a+b+1-ab=a+b+1，
当a+b=4时，原式=4+1=5；
（2）∵a2-2ab+b2+2a+2b=(a-b)2+2(a+b)
∴(a-b)2+2×4=17
∴(a-b)2=9
则a-b=3或-3
