2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线
第1课 相交线与平行线
一、新课学习
知识点1：相交线与平行线
在同一平面内，两直线的位置关系有_________和_________两种.
（1）相交线：只有一个公共点的两条直线.
（2）平行线：在同一平面内，不相交的两条直线.
1.在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（ ）
A.平行 B.垂直 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直
知识点2：对顶角的定义及性质
（1）定义：有公共顶点，一角的两边与另－角的两边互为反向延长线，如图中的∠1和∠2.
（2）性质：对顶角_________.
2.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
3.如图，a,b相交于点O.
（1）图中有___________对对顶角，分别是___________；
（2）若∠1=50°，则∠2=_________°，∠3=_________°，∠4=_________°.
（3题）（4题）
4.如图，AB与CD相交于点O，若∠1+∠2=140°，则∠3=_________°,∠4=_________°.
知识点3：补角，余角的定义及性质
定义 举例 求法
补角 如果两个角的和_____°，则这两个角互补； 80°的角和_____°的角互补； ∠a的补角=_____
余角 如果两个角的和____°,则这两个角互余； 80°的角和______°的角互余； ∠a的余角=_____
5.填空：
（1）∠1=50°，则∠1的余角为_________°，
（2）∠2=65°，则∠2的补角为_________°.
6.如图，OC⊥AB于点O，则∠AOD的余角是________°，∠AOD的补角是________°.
补角的性质：同角或等角的补角_________.
几何语言： ∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°
∴_________.
余角的性质：同角或等角的余角_________.
几何语言：∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90
∴_________.
7.如图，点A、O、B在同一直线上，∠AOC=∠BOC=90°,∠1=∠2.
（1）∠3和∠4有什么关系？为什么？
（2）∠AOE和∠BOD有什么关系？为什么？
（3）∠1的余角是_________. ∠2的补角是_________.
（7题）（8题）
8.如图，点A.O.B在同一线上，且∠DOE=90°,∠1=∠2.
（1）∠3和∠4有什么关系？为什么？
（2）∠1的补角为_________. ∠1的余角为_________.
9.已知，∠α=35°，则∠α的余角的度数是（ ）
A.55° B.65° C.145° D.155°
10.如果一个角的补角是120，那么这个角是（ ）
A.150° B.90° C.60° D.30°
11.图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是_________.
12.下列说法正确的是（ ）
A.在同一个平面内，不相交的两条线段是平行线；
B.在同一个平面内，两条线段不相交就重合；
C.在同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线；
D.不相交的两条直线是平行线.
13.如图，直线AB,CD,EF相交于点O，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A.90° B.150° C.180° D.210°
14.因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理依据是（ ）
A.同角的余角相等 B.等角的余角相等
C.同角的补角相等 D.等角的补角相等
15.如图，∠1与∠2不是互余关系的是（ ）
16.如图，已知点A,O,B在同一条直线上，且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°则∠AOE的余角有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.如图，a,b相交于点O,∠2=2∠1，求∠3的度数.
18.如图，∠AOB=∠COD=90°.
（1）若∠1:∠2=2:7，求∠1,∠2的度数；
（2）试说明∠1和∠2的关系.
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线
第1课 相交线与平行线
1.C 2.B
3.（1）2 ∠1和∠3， ∠2和∠4
（2）130 50 130
4.110 110
5.（1）40（2）115
6.∠COD ∠BOD
7.解：（1）∠3=∠4.理由：等角的余角相等
（2）∠AOE=∠BOD.理由：等角的补角相等
（3）∠3、∠4 ∠AOE、∠BOD
8.解：（1）∠3=∠4.理由：等角的余角相等
（2）∠BOE ∠3、∠4
9.A 10.C 11.对顶角相等
12.C 13.C 14.C 15.C 16.B
17.解：∵O是直线a上的点
∴∠1+∠2=180°
又：∠2=2∠1
∴2∠1+∠1=180°
∴∠1=60°
：∠1与∠3是对顶角
∴∠3=∠1=60°
18.解：∵∠1+∠2+∠A0B+∠COD=360°，
∠AOB=∠COD=90°
∴∠1+∠2=180°
又∵∠1：∠2=2：7
∴∠1=×180°=40°，
∠2=×180°=140°
（2）由（1）知∠1+∠2=180°∴∠1与∠2互补.2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第2课垂线的定义及性质
一、新课学习
知识点1：垂线的定义
定义 图例 性质
垂线 直线AB与CD相交于点O若∠AOC=90°，则这两直线互相垂直，记作AB⊥CD，点O叫做垂足 两直线垂直，则它们的夹角为90°
几何语言 ∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD ∵AB⊥CD. ∴∠AOC=∠BOC=∠AOD=BOD=______.
1.如图，OA⊥OB,∠1=70°，则∠2的度数为_______.
2.如图，平面内三条直线交于点O,∠1=30°,∠2=60°，直线AB与直线CD的关系是（ ）
A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上均有可能
3.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠BOD=20°，求∠COE的度数.
4.如图，AB⊥CD，垂足为点B,EF平分∠ABD，求∠CBF的度数.
知识点2：垂线的画法
5.如图，过点P作AB的垂线.
6.如图，过点P作AB的垂线.
小结：（1）画垂线的步骤：①贴，②过，③画，④标；
（2）在同一平面内，过一点有且只有______条直线与已知直线垂直.
知识点3：点到直线的距离
7.如图，下列选项中最短的线段是（ ）
A.PA B.PB C.PC D.PD
（1）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称_______.
（2）点到直线的距离：指直线外一点到这条直线的________的长度，如左图中的PB.
8.如图，运动会上，小明以直线AC为起跳线，两脚落在点P处，甲乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA=5.5米，PB=5.1米，PC=5.3米，则小明的真实成绩为______米.
9.如图，∠C=90°，垂足为C,BC=4cm,AC=3cm,AB=5cm,那么点
A到BC的距离为_______，点B到AC的距离为______,A、B两点之间的距离为______.
10.如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水梁的长度最短.这样做依据的几何学原理是（ ）
A.两点之间线段最短 B.点到直线的距离
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
11.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（ ）
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
12.如图，三条直线相交于点O，若CO⊥AB,∠1=56°，则∠2等于（ ）
A.30° B.34° C.45° D.56°
13.下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是（ ）
14.如图，PA⊥l,PA=5，点Q是直线l上的一动点，则PQ的长度不可能是（ ）
A.9 B.7 C.4 D.6
15.如图，修一条路依次连接A,B两村庄与公路MN，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由.
16.如图，直线AB,CD相交于点O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM，若∠AOM=35°,
求∠CON的度数.
17.如图，O为直线AB上一点，,OC是∠AOD的平分线.
（1）求∠AOC的度数；
（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由.
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第2课垂线的定义及性质
1.20°2.B
3.解：直线AB，CD相交于点O
∴∠AOC与∠BOD互为对顶角
∴∠AOC=∠BOD=20°
∵OE⊥AB
∴∠A0C+∠COE=90°
∴∠COE=90°-∠A0C=90°-20°=70°
4.解：∵AB⊥CD于点B
∴∠ABC=∠ABD=90°
∵EF平分∠ABD
∴∠EBD=∠ABD=45°
∵CD与EF相交于点B
∴∠CBF=∠EBD=45°
5.解：如图：
6.解：如图：
7.B 8.5.1
9.3cm 4cm 5cm
10.D 11.A 12.B 13.C 14.C
15.解：如图，连接AB，作BC⊥MN，垂足为C，线段AB和BC就是符合题意的线路图.因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段最短，所以AB+BC最短.
16.解：∵OM平分∠AOC，∠AOM=35°
∴∠COM=∠AOM=35°
∴ON⊥OM
∴∠MON=90°，即COM+∠CON=90°
∴∠CON=90°-∠COM=90°-35°=55°
17.解：（1）设∠AOC=
由∠AOC=∠BOC，得∠BOC=3∠AOC=3
∵О是直线AC上的点.
∴∠AOC+∠BOC=180°，即+3=180°
∴=45，即∠AOC=45°
（2）OD⊥AB.理由如下：
∵OC平分∠AOD，∠AOC=45°
∴∠DOC=∠AOC=45°
∴∠AOD=45°+45°=90°
∴OD⊥AB2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第3课用“同位角”判定平行
一、新课学习
知识点1：同位角的定义
如图，∠1和∠2分别位于直线a,b的同一方，直线c的同一侧，像这样位置的角简称为同位角.
请找出图中其他三对同位角（自行标角）:①_______；②_______；③_______；
1.找出图中所有的同位角.（技巧：同位角形成“F”形）
2.如图，已知直线a,b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ ）
A.∠2. B.∠3 C.∠4. D.∠5
3.下列各图中∠1和∠2不是同位角的是（ ）
知识点2：同位角相等，两直线平行
三根木条相交成∠1,∠2，固定木条b,c，转动木条a.
发现：若∠1≠∠2, 若∠1=∠2
则a与b________. 则a与b________，记作________.
判定（1）：同位角相等，两直线________.
几何语言： ∵________. ∴a∥b
4.如图，∠1=70°，当∠2=________°时，m∥n.
5.如图，∠1=70°,∠2=70°.直线AB与CD平行吗？为什么？
6.如图，∠1=70°,∠2=110°.直线AB与CD平行吗？为什么？
知识点3：平行的传递性
7.如图，过点P作b∥a，过点Q作c∥a.
结论：
（1）过直线外一点有且只有_____条直线与这条直线平行；
（2）平行于同一直线的两直线__________.
几何语言：∵b∥a，c∥a，∴__________.
二、过关检测
8.如图，木工师傅利用直尺在木板上画出两条线段，则线段AB____CD.
9.如图，下面四个选项中，是∠B的同位角的是（ ）
A.∠1 B.∠2 C.∠3 D.∠4
10.如图，PC∥AB.,QC∥AB，则点P,C,Q在一条直线上，理由是___________________.
11.如图，若∠1=∠2，则下列结论正确的是（ ）
A.AD∥BC B.AB∥CD C.AD∥EF D.EF∥BC
12.如图，∠1=∠2.求证：a∥b.
13.如图，EF⊥CD于点E,∠1=65°,∠2=25°.求证：AB∥CD.
14.如图，已知直线a,b,c,d,e，且∠1=∠2,∠3=∠4，则a与c平行吗？为什么？
解：a与c平行
理由：因为∠1=∠2（______）， 所以a∥b（_________________）.
因为∠3=∠4（_______）， 所以b∥c（_________）. 所以a∥c（_________）.
15.将一副三角尺拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F，试判断CF与AB是否平行，并说明理由。
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第3课用“同位角”判定平行
1.解：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8
2.D 3.D 4.70
5.解：AB//CD.理由如下：
∵∠2与∠3是对顶角
∴∠2=∠3(对顶角相等)
∵∠2=70°(已知)
∴∠3=70°(等量代换)
又∠1=70°(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
6.解：AB//CD.理由如下：
∵∠2与∠3构成平角
∴∠2+∠3=180°(平角定义)
又∵∠2=110°(已知)
∴∠3=70°(等式性质)
∵∠1=70°(已知).
∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
7.解：如图：
8.// 9.D
10.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
11.C
12.证明：∵∠2与∠3是对顶角
∴∠2=∠3(对顶角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴a//b(同位角相等，两直线平行)
13.证明：∵EF⊥CD(已知)
∴∠FED=90°(垂直定义)
即∠2+∠3=90°(角的构成)
∵∠2=25°(已知)
∴∠3=65°(等式性质)
又∠1=65°(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴AB//CD(同位相等，两直线平行)
14.已知 同位角相等，两直线平行 已知 同位角相等，两直线平行
平行于同一直线的两直线平行
15.解：CF与AB平行.理由如下：
∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2=∠DCE，
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴CF//AB.2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第4课 用“内错角、同旁内角”判定平行
一、知识储备
1.如图，∠1的同位角是_________.
（1题）（2题）
2.如图，∠1=65°，当∠2=____°时，a∥b.
知识点1：内错角、同旁内角的定义
图形 名称 定义 举例 形状
内错角 位于直线a,b的内部，被截线c错开的两个角 ∠1和______ ∠2和______ “Z”字形
同旁内角 位于直线a,b的内部，在截线c同旁的两个角 ∠1和______ ∠3和______ “U”字形
3.如图，直线a,b被c所截，则∠1与∠2是（ ）
A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.邻补角
4.如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A.∠2 B.∠3 C,∠4 D.∠5
知识点2：用“内错角、同旁内角”判定平行
判定（2） 图形 判定（3）
文字描述 内错角__，两直线平行 同旁内角______，两直线平行
几何语言 ∵___________ ∴a∥b ∵___________ ∴a∥b
5.如图，∠1=40°，当∠2=_____°时,a∥b.
6.如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,使其拐角∠ABC=150°,∠BCD=30°，则AB与CD的位置关系是_________.
7.如图，直线a,b被c所截，∠1=110°,∠2=70°，证明：a∥b.
8.如图，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,AD与BC平行吗？请说明理由.
9.如图，已知直线a,b被直线c所截，则∠1和∠2是一对（ ）
A.对顶角 B.同位角 C.内错角 D.同旁内角
10.如图，∠B=60°，当∠1=______时，DE∥BC.
11.观察右图并填空：
（1）∠1与________是同位角；（2）∠5与________是同旁内角；（3）∠2与________是内错角.
12下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（ ）
13.如图，已知CB平分∠ACD，且∠1=∠2，试说明：AB∥CD.
14.如图，如果∠1+∠2=180°，那么AB与CD平行吗？为什么？
15.如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形.图中有多少组平行线？说明理由.
16.如图，若∠1=∠2,∠3+∠4=180°，则直线a与c平行吗？为什么？
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第4课 用“内错角、同旁内角”判定平行
1.∠5 2.65 3.B 4.D 5.40 6.AB//CD
7.证明：如图：
∵∠2+∠3=180°
又∵∠2=70°
∴∠3=110°
∵∠1=110°
∴∠1=∠3
∴a//b
8.解：AD//BC.理由如下：
∵AB⊥AC(已知)
∴∠BAC=90°(垂直定义)
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°(三角形内角和为180°)
∴60°+90°+∠ACB=180°(等量代换)
∴∠ACB=30°(等式性质)
又∠1=30°(已知)
∴∠1=∠ACB(等量代换)
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)
9.D 10.120°
11.（1）∠4（2）∠3（3）∠1 12.B
13.证明：CB平分∠ACD(已知)
∴∠1=∠BCD(平分定义)
又∠1=∠2(已知)
∴∠2=∠BCD(等量代换)
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)
14.解：AB//CD.理由如下：
∵C、F、D在同一直线上
∴∠EFC+∠2=180°(平角的定义)
∴∠1+∠2=180°(已知)
∴∠1=∠EFC(同角的补角相等)
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
15.解：AB//CE，AC//DE，AE//BD.理由如下：
∵∠ABC=∠ECD，
∴AB//CE(同位角相等，两直线平行)
∵∠ACB=∠EDC
∴AC//DE(同位角相等，两直线平行)
∵∠CAE=∠ACB
∴AE//BC(内错角相等，两直线平行)
∵∠AEC=∠ECD
∴AE//CD(内错角相等，两直线平行)
∴AE//BD
16.解：a//c.理由如下：
∵∠1=∠2(已知)
∴a//b(内错角相等，两直线平行)
∴∠3+∠4=180°(已知)
∴b//c(同旁内角互补，两直线平行)
∴a//c(平行于同一直线的两直线平行)2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第5课 平行线的判定综合
一、新课学行判定（1） 平行判定（2） 平行判定（3）
______相等，两直线平行 ______相等，两直线平行 同旁内角_______两直线平行
图例
几何语言 ∵_________ ∴___________ ∵___________ ∴____________ ∵__________ ∴___________
1.下列图形中不能得到a∥b的是（ ）
2.下列图形中能得到a∥b的是（ ）
3.如图，下列选项中，哪个不可以得到l1∥l2（ ）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠3=∠5 D.∠3+∠4=180°
4.如图，下列推理错误的是（ ）
A.∵∠1=∠2,∴c∥d B.∵∠3=∠4,∴c∥d
C.∵∠1=∠3，∴a∥b D.∵∠1=∠4,∴a∥b
5.如图，∠1=∠3=60°,∠2=120°，可以判断哪些直线平行？说明理由.
6.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.
7.如图：
（1）:∵∠1=∠2,∴_______∥_______理由是__________.
（2）:∵∠2=∠M,∴_______∥_______理由是__________.
（3）:∵∠2+∠3=180°,∴_______∥_______理由是__________.
8.观察图形，完成下列推理：
（1）:∵∠1=∠C,∴_______∥_______理由是__________.
（2）.∠2=∠BED,∴_______∥_______理由是__________.
（3）:∠A+∠AED=180,∴_______∥_______理由是__________.
9.如图，DE是过点A的直线，要使DE∥BC，应有（ ）
A.∠2=∠3 B.∠C=∠3 C.∠C=∠1 D.∠B=∠C
10.如图，下列条件中：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5；则一定能判定AB∥CD的条件有_______（填写正确的序号）.
11.如图，∠DAB+∠CDA=180°,∠ABC=∠1，直线AB与CD平行吗？直线AD与BC呢？
为什么？
12.如图，若PE平分∠BEF,PF平分∠DFE,∠1=35°,∠2=55°，则AB与CD平行吗？为什么？
13.如图，∵∠1=∠B,∴_______∥_______理由是__________.
∵∠1=∠2,∴_______∥_______理由是__________.
∵∠2+∠3=180°,∴_______∥_______理由是__________.
14.如图，已知AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2.试判断BE与CF的关系，并说明你的理由.
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第5课 平行线的判定综合
1.D 2.C 3.C 4.C
5.解：AB//CD，AE//CF.理由如下：如图，
∵∠2=120°，∠3=60°(已知)
∴∠2+∠3=180°
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)
∵∠2+∠4=180°
∴∠4=180°-∠2=60°
又∵∠1=60°(已知)
∴∠1=∠4(等量代换)
∴AE//CF(同位角相等，两直线平行)
6.解：AC//OB，OA//BC.理由如下：
∵∠1=50°，∠2=50°(已知)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴AC//OB(同位角相等，两直线平行)
∵∠2=50°，∠3=130°(已知)
∴∠2+∠3=180°(等式性质)
∴OA//BC(同旁内角互补，两直线平行)
7. （1）BF DE 内错角相等，两直线平行
（2）AM BF 同位角相等，两直线平行
（3）AC DM 同旁内角互补，两直线平行
8. （1）DE AC 同位角相等，两直线平行
（2）AB DF 内错角相等，两直线平行
（3）AF DE 同旁内角互补，两直线平行
9.C 10.①③④
11.解：AB//CD，AD//BC.理由如下：
∵∠DAB+∠CDA=180°
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)
∵∠ABC=∠1，
∴AD//BC(同位角相等，两直线平行).
12.解：AB//CD.理由如下：
∵PE平分∠BEF(已知)
∴∠BEF=2∠1=2×35°=70°(角平分线定义)
∵PF平分∠DFE(已知)
∴∠DFE=2∠2=2×55°=110°(角平分线定义)
∴∠BEF+∠DFE=70°+110°=180°(等式性质)
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)
13.DE BC 同位角相等，两直线平行
AB EF 内错角相等，两直线平行
DE BC 同旁内角互补，两直线平行
14.解：BE//CF.理由如下：
∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)
∴∠ABC=∠BCD=90°(垂直定义)
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠ABC-∠1=∠BCD-∠2(等式性质)
即∠EBC=∠FCB
∴BE//CF(内错角相等，两直线平行)2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第6课 平行线的性质
平行判定（1） 平行判定（2） 平行判定（3）
两直线平行，同位角___ 两直线平行，内错角_____ 两直线平行，同旁内角_____
图例
几何语言 ∵_______ ∴________ ∵___________ ∴____________ ∵__________ ∴___________
1.如图，直线a∥b,c⊥a，则c与b相交形成的∠1的度数为（ ）
A.45° B.60° C.90° D.120°
2.如图，若m∥n,∠1=105°，则∠2=______.
3.如图，a∥b,∠1=120°，求∠2的度数.
4.如图，a∥b,∠1=35°，求∠2的度数.
5.如图，AB∥CD,∠a=45°,∠D=∠C，依次求出∠D,∠C,∠B的度数.
6.如图，AE∥CD,∠1=37°,∠D=54°，求∠2和∠BAE的度数，
7.如图，已知直线a∥b，直线c∥d,∠l=107°，求∠2,∠3的度数.
8.如图，AC∥ED,AB∥FD,∠A=64°，求∠EDF的度数.
9.如图，用一吸管吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=______.
10.如图，若AB∥CD，则下列结论一定成立的是（ ）
A.∠1=∠2 B.AD∥BC C.∠B=∠D D.∠3=∠4
11.如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A.100° B.110° C.120° D.130°
12.如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°,∠2=50°，
则∠ABC=______.
13.如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°,EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数.
14.如图，∠B=∠C,AE∥BC.求证：AE平分∠CAD.
15.如图，在四边形ABCD中，点M,N分别在AB,BC上，将△BMN沿MN翻折.得△FMN，若MF∥AD,FN∥DC，则∠B=______°.
16.如图，直线l1∥l2.∠1=20°，则∠2+∠3=________.
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第6课 平行线的性质
1.C 2.75°
3.解：如图：
∵∠1和∠3是对顶角
∴∠3=∠1=120°
∵a//b
∴∠2+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠2=180°-∠3=180°-120°=60°
4.解：如图：
∵∠1和∠3是对顶角
∴∠3=∠1=35°
∵a//b
∴∠2=∠3=35°(两直线平行，同位角相等)
5.解：∵AB//CD，∠α=45°
∴∠D=∠α=45°
又∵∠D=∠C
∴∠C=45°
∵DC//AB
∴∠C+∠B=180°
∴∠B=180°-∠C=180°-45°=135°
6.解：∵AE//CD(已知)
∴∠2=∠1=37°(两直线平行，内错角相等)
∠BAE=∠D=54°(两直线平行，同位角相等)
7.解：∵a//b(已知)
∴∠2=∠1(两直线平行，内错角相等)
∵∠1=107°
∴∠2=107°
∵c//d
∴∠1+∠3=180°(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠1=180°-107°=73°
8.解：∵AC//ED
∴∠EDF=∠CFD
∵AB//FD
∴∠CFD=∠A
∴∠EDF=∠A=64°
9.74° 10.D 11.D 12.120°
13.解：∵E是CD上的一点
∴∠AEC+∠AED=180°
∴∠AEC=42°
∴∠AED=138°
∵EF平分∠AED
∴∠DEF=∠AED=×138°=69°
∵AB//CD
∴∠AFE=∠DEF=69°
14.证明：∵AE//BC(已知)
∴∠DAE=∠B(两直线平行，同位角相等)
∠EAC=∠C(两直线平行，内错角相等)
又∵∠B=∠C
∴∠DAE=∠EAC(等量代换)
∴AE平分∠CAD
15.95 16.200°2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第7课 平行线的性质与判定综合
一、知识储备
平行线的性质 图例 平行线的判定
两直线平行， 同位角___ ∵a∥b ∴∠1=∠2 同位角___， 两直线平行 ∵a∥b ∴∠1=∠2
两直线平行， 内错角_____ ∵_______ ∴_______ 内错角_____， 两直线平行 ∵_______ ∴_______
两直线平行， 同旁内角____ ∵_______ ∴_______ 同旁内角____， 两直线平行 ∵_______ ∴_______
1.如图，AB∥CD,∠1=60°，则∠2=____°.
2.如图，DE∥BC,∠C=40°，则∠DEC=____°.
3.如图，∠1=75,∠2=60,∠3=75°，求∠4的度数.
4.如图，已知∠1=60°,∠B=60°,∠C=40°，求∠DEC的度数.
5.如图，已知C是BE上一点，∠1=∠E,∠B=∠D.试证明AB∥CD.
6.如图，已知∠A=∠1,∠C=∠F.求证：BC∥EF.
7.如图，直线a,b被直线c,d所截，若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°，则∠4的度数是（ ）
A.80° B.85° C.95° D.100°
8.如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（ ）
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠2=∠4
9.如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时，∠1=∠2,∠3=∠4，反射光线BC与EF也平行吗？说明理由.
10.如图，已知AD∥EF,∠1=∠2,∠BAC=70°，求∠AGD的度数.请补充完整下面的解答过程
解：∵AD∥EF（已知）， ∴∠2=__________.（ ）
∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=__________.（ ）
∴DC∥AB（ ） ∴∠_______+∠BAC=180°（ ）
∵∠BAC=70°, ∴∠AGD=_______°.
11.如图，点B在AC上，点E在DF上，AF分别与BD、CE相交于点G、H，且∠1=∠2,∠C=∠D，试说明∠A=∠F.
12.林湾乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东65°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村，水渠从C村沿什么方向修建，可以保持与AB的方向一致？
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第7课 平行线的性质与判定综合
1.60 2.140
3.解：∵∠1=75，∠3=75°
∴∠1=∠3
∴AB//CD
∴∠4=∠2
又∵∠2=60°
∴∠4=60°
4.解：∵∠1=60°，∠B=60°
∴∠1=∠B
∴DE//BC
∴∠DEC+∠C=180°
又∵∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°=140°
5.证明：∵∠1=∠E(已知)
∴AD//BE(内错角相等，两直线平行)
∴∠2=∠D(两直线平行，内错角相等)
又∵∠B=∠D，
∴∠2=∠B(等量代换)
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
6.证明：∠A=∠1(已知)
∴AC//DF(同位角相等，两直线平行)
∴∠C=∠BCD(两直线平行，同位角相等)
又∵∠C=∠F(已知)
∴∠BGD=∠F(等量代换)
∴BC//EF(同位角相等，两直线平行)
7.B 8.D
9.解：BC//EF.理由如下：
∵AB//DE，
∴∠1=∠3
又∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2=∠4，
∴BC//EF
10.∠3 两直线平行，同位角相等 ∠3
等量代换 内错角相等，两直线平行 DGA
两直线平行，同旁内角互补 110
11.证明：∵AF与CE相交于点h
∴∠2=∠3(对顶角相等)：∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴DB//EC(同位角相等，两直线平行)
∴∠4+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)
又∠C=∠D(已知)
∴∠4+∠D=180°(等量代换)
∴DF//AC(同旁内角互补，两直线平行)
∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等)
12.解：由题可得∠1=65°
当EC保持与AB的方向一致，则EC//BD可得：
∠NCE=∠CBD=25°+65°=90°
故∠2=65°
即从C村沿北偏东65°方向建设，可保持与AB的方向一致.2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第8课用尺规作角
一、新课学习
知识点1：尺规作图的定义
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图.其中直尺的功能是画直线、射线或线段，圆规的功能是画弧.
1.尺规作图是指（ ）
A.用直尺规范作图
B.用刻度尺和圆规作图
C.用没有刻度的直尺和圆规作图
D.用圆规作图
2.下列作图属于尺规作图的是（ ）
A.画线段MN=3cm
B.用量角器画出∠AOB的平分线
C.用三角尺作过点A垂直直线l的直线
D.已知∠a，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使：∠AOB=∠a
知识点2：用尺规作一个角等于已知角
3.如图，已知∠AOB，利用尺规作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB.
4.如图，已知∠a，求作∠β，使∠β=∠a.
5.如图，过点M作直线AB的平行线，则由作图痕迹可知，作图根据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.无法看出作图根据
6.如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，作图根据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角相等，两直线平行
D.同旁内角互补，两直线平行
7.用尺规完成下面作图：
如图，已知∠a,∠β，求作一个角，使它等于∠a与∠β的和.
8.如图，已知∠AOB，利用尺规作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=2∠AOB.
9.如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹MN是（ ）
A.以点B为圆心，OD为半径的弧
B.以点B为圆心，OC为半径的弧
C.以点E为圆心，OD为半径的弧
D.以点E为圆心，DC为半径的弧
10.如图，在△ABC中，AB＞AC,D为BA延长线上一点，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A.∠DAE=∠B B.∠EAC=∠C C.AE∥BC D.∠DAE=∠EAC
11.如图，已知∠AOB，求作∠CBO，使∠CBO=∠AOB，交OA于点C.
12.用尺规完成下列作图：
如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外作一个角，使它等于∠ABC.
13.如图，在∠A中，B是AC边上一点
（1）以B为顶点，BC为一边，利用尺规作图作∠EBC，使∠EBC=∠A；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，EB与AD平行吗？说明理由.
14.如图，已知∠a,∠β（∠β＞∠a），求作一个角，使它等于∠β与∠a的差.
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第8课用尺规作角
1.C 2.D
3.解：作法：①作射线O'A'
②以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于C，OB于D
③以O'为圆心，以OC为半径作弧，交O'A'于C'
④以点C'为圆心，以CD长为半径作弧
4.解：如图：
5.A 6.B
7.解：如图，∠AOD为所求作的角，即∠AOD=∠α+∠β
8.解：如图，∠A'O'B'即为所求作的2∠AOB.
9.D 10.D
11.解：如图，∠CBO即为所求作.
12.解：如图，∠BAD即为所求作.
13.解：（1）如图，∠EBC即为所求作.
（2）由图可知，EB与AD不一定平行
14.解：作法：①作∠AOC=∠β
②以OA为一边，在∠AOC同侧作∠AOB=∠α
如图，∠BOC即为所求作的角.2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第9课 相交线与平行线单元复习
一、基础练习
1.用剪刀剪东西时，剪刀张开的角度如图所示，若∠1=25°，则∠2=______.
2.已知∠A与∠B互补，若∠A=50°，则∠B的度数是（ ）
A.40° B.50° C.130° D.140°
3.如图，点O在直线AB.上，OC⊥OD,∠1=50°，则∠2=______°.
4.如图，表示点A到直线BD的距离的是线段______的长.
5.如图，如果∠1=40°,∠2=100°，那么∠3的对顶角等于_____度，∠3的同位角等于____
度，∠3的内错角等于_____度，∠3的同旁内角等于_____度.
6.如图，a∥b，若∠1=50°，则∠2=_____°，∠3==_____°,∠4==_____°.
7.如图：
（1）若∠1=∠D，则根据_______________________可得到______∥_______；
（2）若∠A+∠D=180°，则根据_________________可得到______∥_______；
8.如图，把一块45°的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2=______.
9.如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=80°,∠BOE=40°，求：
（1）∠DOE的度数； （2）若OF平分∠AOD，求证：0E⊥OF.
10.如图，∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？
11.如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个长方形的对边上，若∠1=25°，则∠2=_______.
12.如图，点A、O、B在同一直线上，OC平分∠AOE,OD平分∠BOE，则∠AOC的余角是_________.∠AOC的补角是__________.
13.如图，AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于F,∠CFE=∠E.求证：AD∥BC.
14.如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，使所修路段CE∥AB，此时∠ECB为多少度？试说明理由.
15.如图，直线BC,DE交于点O,OA,OF为射线，AO⊥OB,OF平分∠COE,∠COF+∠BOD=51°，求∠AOD的度数.
16.如图，∠1=∠C,∠2=∠4,FG⊥BC于点G.AD与BC是否互相垂直？试判断并说明理由.
2021—2022学年北师大数学七年级下册第二章相交线与平行线第9课 相交线与平行线单元复习
1.25° 2.C 3.40 4.AB
5.40 80 80 100
6.50 130 50
7.（1）内错角相等，两直线平行 AD BC
（2）同旁内角互补，两直线平行 AB CD
8.55°
9.（1）解：AB，CD相交于点O
∴∠BOD=∠AOC=80°
∵∠BOE+∠DOE=2BOD=80°
∴∠DOE=80°-∠BOE=80-40°=40°
（2）证明：∵∠AOC+2AOD=180°
∴∠A0D=180°-∠A0C=180°-80°=100°
∵OF平分工A0D
∴∠DOF=∠A0D=×100°=50°
∴∠EOF=∠DOE+∠DOF=40°+50°=90°
∴OE⊥OF
10.解：BC//DE，AB//CD.理由如下：
如图，
∵∠1与∠3是对顶角
∴∠3=∠1=47°
∵∠2=133°
∴∠2+∠3=133°+47°=180°
∴AB//CD，
∵∠2+∠4=180°，∠2=133°
∴∠4=47°∠D=47°
∴∠4=∠D
∴BC//DE
11.115°
12.∠DOE，∠BOD ∠BOC
13.证明：∵AB//CD(已知)
∴∠1=∠CFE(两直线平行，同位角相等)
∴∠CFE=∠E(已知)
∴∠1=∠E(等量代换)
∵AE平分∠BAD(已知)
∵∠1=∠2
∴∠E=∠2(等量代换)
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)
14.解：∠ECB=90°.理由如下：
如图，∠GAB=67°，∠FBC=23°
∵AG//BF
∴∠GAB+∠FBA=180°
又∵∠GAB=67°
∴∠FBA=113°
∴∠CBA=∠FBA-∠FBC=113°-23°=90°
∵CE//AB，
∴∠ECB=∠CBA=90°
15.解：直线BC、DE相交于点О
∴∠BOD=∠COE
∵OF平分∠COE
∴∠COF=∠COE
∴∠COF=∠BOD
∵∠COF+∠BOD=51°
∴∠BOD+∠BOD=51°
∴∠BOD=34°
∵AO⊥BC
∴∠AOB=90°
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+34°=124°
16.解：AD⊥BC.理由如下：
∵：FG⊥BC
∴∠FGC=90°
∴∠4+∠C=90°
∵∠1=∠C，∠2=∠4
∴∠2+∠1=90°即∠ADB=90°
∴AD⊥BC
