北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系
第1课 用表格表示的变量间的关系
一、新课学习
知识点：变量、自变量、因变量、常量
引例：哥哥陈滴比弟弟陈卓大7岁，假设弟弟x岁时，哥哥y岁.请填空：
弟弟年龄/岁 1 2 3 4 … 10 … x
哥哥年龄/岁 8 … … y
（1）变量：数值_______的量.例如弟弟年龄x与哥哥年龄y都是变量.
（2）常量：数值_______的量，例如这里的7就是常量.
（3）自变量与因变量：哥哥的年龄y随弟弟的年龄x的变化而变化，x是自变量，y是因变量.
1.某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（ ）
A.y,t和100都是变量
B.100和y都是常量
C.y和t是变量
D.100和1都是常量
2.假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（ ）
①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中的因变量是（ ）
A.太阳光强弱 B.水的温度 C.所晒时间 D.热水器
4.一个圆柱的高h为10cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化在这个变化过程中（ ）
A.r是因变量，V是自变量
B.r是自变量，V是因变量
C.r是自变量，h是因变量
D.h是自变量，V是因变量
5.下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
时间/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
温度/℃ 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100
（1）时间是8分钟时，水的温度为______；
（2）此表反映了变量______和______之间的关系，其中______是自变量，______是因变量；
（3）在______时间内，温度随时间的增加而增加；______时间内，水的温度不再变化.
6.下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：
通话时间/分 1 2 3 4 5 6 7
电话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2
（1）上表反映了______与______之间的变化关系，其中______是自变量______是因变量；
（2）如果用x表示时间，y表示电话费，那么随着x的增加，y的变化趋势是______；
（3）丽丽打了5分钟电话，需付______元电话费；
（4）请你帮丽丽预测一下，如果打10分钟电话，需付______元电话费.
7.某超市某种商品的单价为70元/件，若买x件该商品的总价为y元，则其中的常量是（ ）
A.70 B.x C.y D.不确定
8.小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A.金额 B.数量 C.单价 D.金额和数量
9.人的身高h随时间t的变化而变化，那么下列说法正确的是（ ）
A.h,t都是不变量
B.t是自变量，h是因变量
C.h,t都是自变量
D.h是自变量，t是因变量
10.我们知道，圆的周长公式是C=2πr，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是（ ）
A.2是常量，C,π,r是变量
B.2π是常量，C,r是变量
C.2是常量，π,r是变量
D.2是常量，C,π是变量
11.弹簧挂上物体后会伸长，测得－弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的系：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B.所挂物体质量为4kg时，弹簧长度为12cm
C.弹簧不挂重物时的长度为0cm
D.物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm
12.下表反映的是某地区电的使用量与应交电费之间的关系：
用电量/千瓦时 1 2 3 4 …
应交电费/元 0.55 1.1 1.65 2.2 …
下列叙述错误的是（ ）
A.所交电费随使用量的增加而增加
B.若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元
C.若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时
D.用电量每增加1千瓦时，电费增加0.s5元
13.某公交车每月支出的费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润=收入费用－支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x/人 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y/元 －3000 －2000 －1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月的乘车人数为3500人时，每月利润为多少元.
14.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）
提出概念所用的时间/x 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力/y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.36 55
（1）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
（2）你认为提出概念几分钟时.学生的接受能力最强；
（3）当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第1课 用表格表示的变量间的关系
1.C 2.C 3.B 4.B
5.（1）100℃
（2）温度 时间 时间 温度
（3）0至8分钟 8至12分钟
6.（1）通话时间，电话费，通话时间，电话费；
（2）逐渐增加；
（3）3.0 （4）6.0.
7.A 8.D 9.B 10.B 11.C 12.C
13.解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数工是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案：每月的乘车人数，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才会亏损；
故答案为：2000；
（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元.
14.解：（1）当=10，y=59时，
（2）提出概念13分钟时，学生的接受能力最强；
（3）当0≤≤13时，学生的接受能力逐步增强；
当13≤≤30时，学生的接受能力逐步降低北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第2课 用关系式表示的变量间关系
一、新课学习
1.正方形的边长是x，正方形的面积为y.
（1）y与x的关系式是y=_________.
（2）自变量是：_________，因变量是：_________
（3）当x=4时，y=_________，当y=4时，x=_________.
2.现有笔记本500本分给学生，每人5本.
（1）余下的本数y和学生数x之间的函数关系式是_________.
（2）自变量是_________，因变量是_________.
（3）当x=10时，余下本数为_________，当余下本数为0时，学生有_________人.
3.如图，三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果三角形的底边长为x（cm），那么三角形的面积y（cm2）可以表示为_________.
（3）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从_________cm2变化到_________cm2.
4.如图，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8.
（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？
（2）用表格表示当x从4变到14时（每次增加1）,y的相应值；
（3）当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由.
（4）当x=0时，y等于什么？此时它表示的是什么？
5.如图，圆锥的底面半径是2cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量是______,因变量是______.
（2）此题中的两个变量：圆锥的体积V（cm3）与它的高h（cm）之间的关系可以表示为_________.
（3）当高由1cm变化到10cm时，圆锥体积的变化范围是多少？
6.已知一个圆柱的底面半径是3cm，当圆柱的高h（cm）变化时，圆柱的V（cm3）也随之变化.
（1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是________.
（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积V与高h之间的关系式；
（3）当h由3cm变化到6cm时，V是怎样变化的？
7.变量y与x之间的关系式是，当自变量x=2时，因变量y的值是（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.3
8.长方形周长为30，设长为x，宽为y，则y与x的关系式为（ ）
A.y=30－x B.y=30－2x C.y=15－x D.y=15+2x
9.如图所示的计算程序，若输入的值为－1，则输出的结果应为________.
10.已知△ABC是等腰三角形，周长是60cm，腰长为xcm，底长为ycm.
（1）用含x的代数式表示y:__________.
（2）当腰长由20cm变化到25cm时，底边长由______cm变化到______cm.
11.如图，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化。
（1）在这个变化过程中，自变量是_______，因变量是_______.
（2）如挖去的圆半径为x（cm），求圆环的面积y（cm2）与x的关系式；
（3）当挖去圆的半径为9cm时，剩下圆环面积为多少cm2？
12.某超市为方便顾客购买，将瓜子放人包装袋内出售，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表（售价中的0.10元是包装袋的费用）:
质量x/kg 售价y/元
1 2 3 4 … 15.00+0.10 30.00+0.10 45.00+0.10 60.00+0.10 …
（1）观察表格，写出y与x之间的关系式；
（2）买8kg这种瓜子需花费多少元？
（3）用100元去买这种瓜子，最多能买多少千克？
13.图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层（n为正整数）圆点的个数，则下列关系中正确的是（ ）
A.y=4n－4. B.y=4n. C.y=4n+4 D.y=n2
14.将一张长方形的纸对折，如图①，可得到一条折痕继续对折，对折时每条折痕与上次的折痕保持平行，如图②.连续对折三次后，可以得到7条折痕，如图③.回答下列问题：
（1）对折四次可得到条折痕；
（2）写出折痕的条数y与对折次数x之间的关系.
北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第2课 用关系式表示的变量间关系
1.（1）3（2） y（3）16 2
2.（1）y=500-5（2） y（3）450 100
3.解：（1）由题意可知：底边长是自变量，面积为因变量；
（2）由三角形面积公式得y=×6=3；
（3）由（2）可知，函数关系式为y=3，所以由题意可得
当=12时，y=3×12=36，当=3时，y=3×3=9.
即当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从36平方厘米变化到9平方厘米.
4.解：（1）由图形可得出：
y=×8×(15+)=4+60；
（2）见下表：
4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 76 80 84 88 92 96 100 104 108
（3）每增加1时，y增加4.理由：
y=4+60，若增加1，则y=4(+1)+60=4+64，即y增加4.
（4）=0时，y=60，此时它表示的是三角形的面积
5.解：（1）圆锥的高 圆锥的体积
（2）πh
（3）当h=1cm时，V=π cm2；
当h=10cm时，V=π×10=π cm3
∴圆锥体积的变化范围为π6.解：（1）h V
（2）V=π·32·h=9πh；
（3）当h=3cm时，V=27π cm3
∴当h=6cm时，V=54π cm3.
∴V是由27π cm3变化到54π cm3.
7.D 8.C 9.7
10.（1）y=60-2（2）20 10
11.解：（1）小圆半径圆环面积
（2）y=π·182-π·2=324π-π2
（3）当=9时，y=324π-π·92=243π
12.解：（1）y=15+0.10
（2）当=8kg时，y=15×8+0.10=120.10(元)
（3）当y=100元时，15+0.10=100得=6.66
13.B
14.解：（1）15（2）y=2-1北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第3课 用图像表示的变量间关系
一、新课学习
1.北京某天的气温变化如下图.
（1）4时，气温为_____℃,_____时气温为5℃；
（2）_____时气温最高，为_____℃，最低温_____℃；
（3）从_____时到_____时气温逐渐上升；从_____时到_____时，_____时到_____时，气温逐渐下降；
（4）从_____时到_____时，气温在0℃以下.
2.小明去年体重的变化如图所示.
（1）点A表示5月份小明体重为60kg，则点B表示___________.
（2）______月小明体重最重，为_______kg,______月小明体重最轻，为______kg；
（3）从______月到______月小明的体重呈下降趋势；
（4）什么时间范围小明的体重呈上升趋势？答：___________.
3.如图，反映的是陈滴从家去书店看了一会儿书，再回家.图中x表示时间，y表示陈滴离家的距离.请解答下列问题：
（1）点A表示10分时陈滴离家1000米；点B表示___________；点C表示___________.
（2）OA表示陈滴从家去书店的过程；AB表示___________；BC表示___________.
（3）书店离陈滴家______米，陈滴在书店看书花了______分钟，回家花了______分钟.
（4）陈滴从家去书店的速度为______米/分，陈滴从书店回家的速度为______米/分.
4.小华与小明约定周末一起到学校打羽毛球，以下图象反映的过程是：小华骑自行车从家中出发，途经小明家，在小明家停留片刻后，与小明一起骑自行车来到学校，打完羽毛球后，小华沿原路骑自行车直接返回家.
根据图象回答下列问题：
（1）小明家到学校有______米路程；
（2）小华从家中骑自行车到小明家用了______分钟，在小明家逗留了_____分钟，与小明一起在学校打了______分钟的羽毛球；
（3）小华在回家时，骑自行车的速度是每分钟______米.
课堂总结：看图象要注意：
①横轴、纵轴分别表示的意义；
②图象由点组成，特别要弄明白转折点的意义；
③每条线段所表示的意义；
④一般地，图象并不代表行走的路径.
5.如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车沿相同路线由A地到B地，行驶过程中的函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）______先出发，提前______小时；
（2）______先到达B地，早到______小时；
（3）甲的速度为______千米/时，乙的速度为______千米/时；
（4）两线交点P表示____________.
6.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的图象如图所示，请解答下列问题.
（1）______车先出发，提前______小时；
（2）______车先到达B地，早到______小时；
（3）快车出发______小时后追上慢车；
（4）快车速度为______千米/时.
7.某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图象是（ ）
8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图，则下列说法正确的是
（ ）
A.甲，乙两人的速度相同
B.甲先到达终点
C.乙用的时间短
D.乙比甲跑的路程多
9.均匀地向如图的容器中注满水，能反映在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象是
（ ）
10.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间x（分钟）之间的函数关系用图象表示.如图.则小明打了6分钟需付费_______元.
11.同学们都非常熟悉“龟兔赛跑”的故事，下图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛
跑”的路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题.
（1）填空：线段OD表示赛跑过程中________（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全程是_______米；
（2）乌龟每分钟爬_______米；
（3）乌龟用了_______分钟追上了正在睡觉的兔子；
（4）兔子醒来，以12米/分的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了2分钟.兔子中间停下睡觉用了_______分钟.
12.如图，已知正方形ABCD的边长是2,E是CD的中点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点即停止运动，若点P经过的路程为x,△APE的面积为y，试求出y与x之间的关系式，并求出当时x的值.
北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第3课 用图像表示的变量间关系
1.（1）-2 10或17
（2）13 8 -2
（3）4 13 0 4 13 24
（4）2 6
2.（1）8月份小明体重为55kg
（2）5 60 9 50
（3）5 9
（4）1月份到5月份和9月份到12月份小明的体重呈上升趋势
3.（1）30分时陈滴离家1000米
50分时陈滴回到家
（2）陈滴在书店停留
陈滴从书店回家的过程
（3）1000 20 20（4）100 50
4.（1）1000（2）5 5 55
（3）200
5.（1）甲 3（2）乙 3（3）10 40
（4）甲、乙两人相遇(或乙追上甲)
6.（1）慢 2 （2）快 4 （3）4 （4）75
7.B 8.C 9.A 10.1.8
11.（1）乌龟 100 （2）5 （3）8 （4）13
12.解：如图，当0<≤2时.y=··2=
当2<≤4时，y=(1+2)·2-·2·(-2)-·1·(4-)=-+3
当4<≤5时，y=·(5-)·2=-+5
∴
当y=时，=或北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第4课 变量之间的关系单元复习
一、基础练习
1.树的高度h随时间t的变化而变化，下列说法正确的是（ ）
A.h,t都是常量
B.t是自变量，h是因变量
C.h,t都是自变量
D.h是自变量，t是因变量
2.变量y与x之间的关系式是，当自变量x=2时，因变量y的值是（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.3
3.如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x之间的关系应该是（ ）
A.y=12x B.y=18x C. D.
4.汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为___________，该汽车最多可行驶_____小时.
5.如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了某市冬季某8天气温T随着时间t变化而变
化的关系，观察图像得到下列信息，其中错误的是（ ）
A.凌晨4时气温最低，为－3℃
B.14时气温最高，为8℃
C.从0时至14时，气温随时间增长而上升
D.从14时至24时，气温随时间增长而下降
6.如图，一只蚂蚁从点O出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与点O的距离为s，则s与t之间的关系图象大致是（ ）
7.植物的呼吸作用受温度影响很大，观察图，回答问题：
（1）此图反映的自变量和因变量分别是什么？
（2）温度在什么范围内时豌豆苗的呼吸强度逐渐变强？在什么范围内逐渐减弱？
（3）要使豌豆呼吸作用最强，应控制在什么温度左右？
8.某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分）之间的关系如折线图所示.根据图象解答下列问题：
（1）图象反映的是哪两个变量之间的关系？
（2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
（3）在第10分钟时，洗衣机处于哪个过程？
9.如图，平行四边形ABCD的底边BC上的高为6cm,当边DC向右平移时，平行四边形的面积发生了变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果底边BC的长为xcm，那么平行四边形的面积y（cm2）可以表示为____________.
（3）当底边BC的长从12cm增加到20cm时，平行四边形ABCD的面积增加了多少？
10.如图，在一个边长为20cm的正方形的四角上，都剪去一个大小相同的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化.
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）若小正方形的边长为xcm（0＜x＜10），图中阴影部分的面积为ycm2，请直接写出y与x之间的关系式；并求出当x=3时，阴影部分的面积.
11.图甲是由一个大长方形剪去一个小长方形后形成的图形，已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→+D→E→F→A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=6cm，试回答下列问题：
（1）图甲中的BC长是多少？
（2）图乙中的a值是多少？
（3）图甲中的图形面积是多少？
（4）图乙中的b值是多少？
12.高速公路上有两辆行驶的货车甲和小轿车乙，甲车在乙车前方akm处，甲车在C地，乙车在A地，两车同时同向出发前往距A地1500km的B地，已知乙车由A地到B地共用了15h，设甲车行驶的时间为xh，行驶中两车的距离为ykm,y（km）与x（h）之间的关系如图，根据图象解答下列问题：
（1）a=________.
（2）解释图中点D的实际意义：________.
（3）求甲车的速度；
（4）当乙车到达B地时，甲车距离B地多少千米？
北师大数学七年级下册第三章 变量之间的关系第4课 变量之间的关系单元复习
1.B 2.D 3.D 4.y=40-5 8
5.C 6.B
7.解：（1）自变量是温度，因变量是呼吸作用强度；
（2）0-35℃时，蜿豆苗的呼吸强度随温度升高而增强，35-50℃随温度升高而减弱；
（3）要使豌豆苗呼吸作用最强，应控制在35℃左右.
8.解：（1）图象反应的是：水量与时间之间的关系；
（2）洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机的水量是40升；
（3）0~4分钟是进水过程，4~15分钟是清洗过程，15分钟过后是排水过程；
故可得第10分钟时，洗衣机处于清洗过程.
9.解：（1）自变量是边BC的长.因变量是平行四边形的面积；
（2）平行四边形的面积y(cm2)可以表示为：y=6；
（3）平行四边形ABCD的面积增加的数值是：6(20-12)=48(cm2).
10.解：（1）由题意可得：自变量是小正方形的边长，因变量是阴影部分的面积；
（2）由题意可得：
y=202-42=400-42(0<<10)，
当=3时，y=400-4×32=364.
答：当=3cm时，阴影部分面积为364cm2.
11.解：（1）动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4s，易得：BC=2cm/s×4s=8cm； 故图甲中的BC长是8cm.
（2）由（1）可得，BC=8cm，则：a=×BC×AB=24cm2；
图乙中的a是24cm2.
（3）由图可得：CD=2×2=4(cm)，DE=2×3=6(cm)，
则AF=BC+DE=14cm，又由AB=6cm，
则甲图的面积为AB×AF-CD×DE=60cm2，
图甲中的图形面积为60cm2.
（4）根据题意，动点Р共运动了
BC+CD+DE+EF+FA=8+4+6+2+14=34(cm).
其速度是2cm/s，则b==17(s)，图乙中的b是17s.
12.解：（1）当=0时，y=100，
∴AC两地间的距离a=100；
（2）点D的实际意义：点D表示乙车追上甲车；
故答案为（1）100；（2）点D表示乙车追上甲车；
（3）乙车的速度：
1500÷15=100(千米/小时)设甲车行驶的时间为小时，
根据题意得5+100=5×100，解得=80
∴甲车的速度是80千米/小时；
（4）乙车到达B地的时间：
1500÷100=15(小时)，
(1500-100)-80×15=1400-1200=200(千米)；
答：乙车到达B地时，甲车距B地200千米.
