22.1.8 用待定系数法求二次函数的解析式 课件（共32张PPT）

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九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
22.1.8用待定系数法求二次函数的解析式
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.(难点）
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.（重点）
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
3.已知一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵ 一次函数经过点(1，3)和(-2，-12)
∴ 得关于k，b的二元一次方程组：
解得：
∴ 这个一次函数的解析式为y=5x-2.
4.解三元一次方程组：
解：由①-③与②-③得二元一次方程组
解这个方程组，得
把a=2，b=3代入③得 c=1
因此，三元一次方程组的解为
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
问题1：由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值.
类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值. 由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值.
我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题：
问题2：如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c.由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，
得关于a，b，c的三元一次方程组
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5.
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
例1.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
一个二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9) 三点.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=4x2+5x.
例2.已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式.
解：由抛物线的顶点是(1，-3)，
可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3
∵ 抛物线经过点M(2，0)
∴ 0=a×(2-1)2-3，解得 a=3
∴ 抛物线的解析式为：y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标；
③将另一点的坐标代入解析式求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的关系式.
解：设二次函数的解析式为y=a(x 1)2－2，
∵二次函数的图象经过原点，
∴0=a(0 1)2－2，
∴a=2，
∴二次函数的解析式为y=2(x 1)2－2，即y=2x2－4x．
例3.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．
解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，
又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，
设此函数的解析式是y=a（x-1）2+2，
再把（2，1）代入函数中可得
a（2-1）2+2=1，
解得a=-1，
故函数解析式是y=-x2+2x+1．
已知二次函数图象过点A（2，1），B（4，1）且最大值为2，求二次函数的解析式．
解：对称轴是x=3，顶点是（3，2），
设解析式是y=a（x-3）2+2，
根据题意得：a+2=1，
解得a=-1，
∴解析式是：y=-（x-3）2+2，即y=-x2+6x-7．
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
已知抛物线经过(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中；
③将另一点坐标代入函数解析式求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式（化为一般式）.
例4. 已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
例5.二次函数过A（-1，0），B（0，-3）两点，且对称轴是x=1，求出它的解析式．
解：∵抛物线过点A（-1，0），对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴另一交点是（3，0），
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将B（0，-3）代入，得a=1，
∴y=(x+1)(x-3)，
即y=x2-2x-3．
1.如图,抛物线的函数解析式是( )
y=x2-x+2 B. y=x2+x+2
C. y=-x2-x+2 D. y=-x2+x+2
2.已知拋物线y=2x2+bx+c的顶点是(-1，-2)，则b与c的值分别为( ) A.-1,-2 B.4,-2 C.4,0 D.-4,0
3.若二次函数y=ax2+b.x+c的x与y的部分对应值如下表:
则当x=1时，y的值为( )
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
D
C
D
4.抛物线y=x2+bx+c经过点A(O, 3)，B(2, 3)，则抛物线所对应的函数解析式为_____________.
5.拋物线y=ax2+bx+c与y=2x2的形状相同，开口方向不同,且其顶点坐标是
(-3，0)，则其解析式为________________.
y=x2-2x+3
y=-2(x+3)2
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示:则这个
二次函数的解析式为_____________________.
7.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y
轴的交点坐标为(O, 3) 的抛物线的解析式为________________.
y=x2-4x+3
y=(x-1)2-1
8.分别求出满足下列条件的二次函数的解析式.
(1)图象顶点坐标是(-2，3)，且过点(1，-3);
(2)图象经过点A(1, 0)，B(0,-3)，对称轴是直线x=2.
解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x+2)2+3，再把(1，-3)代入,可得
a×(1+2)2+3=-3,解得a=-
∴y=-(x+2)2+3=-x2-x+
(2) 设二次函数的解析式为y=a (x-2)2+k，由题意得a+k=0，4a+k=-3，
则a=-1，k=1，则y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3.
9.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题意得
解这个方程组，得
因此，所求二次函数的解析式为y=x2+x-1.
解法二：
解：根据题意，设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-)
再把点(0，-1)代入上式得-1=a(x+2)(x-)，解得a=1
因此，所求二次函数的解析式为y=(x+2)(x-)即y=x2+x-1.
9.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与时，y=0.求这个二次函数的解析式.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．
x … -2 0 2 …
y … -1 1 11 …
解：（1）依题意,得
解得：
∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．
（2）根据顶点坐标公式可求得顶点坐标为（-，-）
11.在平面直角坐标系中，过点(0, 2)且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B,拋物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点A，B的坐标;
(2)求抛物线C1对应的函数解析式及顶点坐标;
解:(1)在直线y=x-1中，
当y=2时，2=x-1, 解得x=3
∴点A的坐标为(3，2)
∵点A关于直线v=1的对称点为点B
∴点B的坐标为(-1, 2)
11.在平面直角坐标系中，过点(0, 2)且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B,拋物线C1:y=x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点A，B的坐标;
(2)求抛物线C1对应的函数解析式及顶点坐标;
解: (2) 把A(3, 2),B(-1，2)代入y=x2+bx+c
解得
∴抛物线C1：y=x2-2x-1=(x-1)2-2
∴抛物线C1的顶点坐标为(1,-2)
二次函数解析式的类型及适用 情况
谢谢
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