第三章 指数运算与指数函数 培优专练-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（Word版含答案）

《第三章　指数运算与指数函数》培优专练
一、选择题
1. [2021全国甲卷文]下列函数中是增函数的为(　　)
A.f(x)=-x B.f(x)=()x
C.f(x)=x2 D.f(x)=
2.[2019全国Ⅱ卷文]设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=(　　)
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
3.[2020北京卷]已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　　)
A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)
4.已知函数f(x)=,若存在互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是(　　)
A.(16,32) B.(18,34)
C.(17,35) D.(6,7)
5.已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象大致为(　　)
6.若函数y=f(x)的图象上有不同的两点A,B关于原点对称,则称点对(A,B)是函数y=f(x)的一对“镜像点对”,点对(A,B)与(B,A)看作同一对“镜像点对”.已知函数f(x)=,则该函数的“镜像点对”的对数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、非选择题
7. [2021新高考Ⅰ卷]已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.
8. 已知函数f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=3|x-1|,若直线y=a与函数y=f(x)的图象有4个交点,则实数a的取值范围是　　　　.
9.设函数f(x)=|3x-1|,cf(a)>f(b),则在关系式①3c>3b;②3b>3a;③3c+3a>2;④3c+3a<2中,一定成立的是　 　　　(填序号).
10.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-2,2]上的函数值总小于2,则实数a的取值范围为　　　　.
11. 已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),求函数f(x)在[0,+∞)上的值域.
12.已知a>0,且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时,均有f(x)<,求实数a的取值范围.
13.已知函数f(x)=a3x+1,g(x)=()5-2x,其中a>0,且a≠1.
(1)求f(x)在[1,2]上的取值范围;
(2)求不等式f(x)≥g(x)的解集.
14.[2022广东汕头高一上期末考试]设函数y=f(x)的定义域为D,那么“函数y=f(x)的图象关于原点中心对称”的充要条件是“ x∈D,f(-x)=-f(x)”.可将其推广为:设函数y=f(x)的定义域为D ,那么“函数y=f(x)的图象关于点(m,n)中心对称”的充要条件是“ x∈D,f(2m-x)+f(x)=2n”.
(1)判断函数f(x)=的奇偶性,并证明.
(2)判断函数g(x)=的图象是否为中心对称图形.若是,求出其对称中心的坐标;若不是,说明理由.
参考答案
一、选择题
1.D 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C
二、非选择题
7.1
8.(1,3)
9.④
10.(,1)∪(1,)
11.令t=ax,则f(x)可化为g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1,x≥0时,t≥1,
又g(t)在[1,+∞)上单调递增,
∴g(t)≥g(1)=2,即f(x)≥2;
当0又g(t)在(0,1]上单调递增,
∴-1综上,当a>1时,函数f(x)在[0,+∞)上的值域是[2,+∞);当012.由题意,知当x∈(-1,1)时,有x2-ax<,即x2-画出函数g(x)在(-1,1)上的大致图象,如图所示.
可得或,
解得1综上,实数a的取值范围是[,1)∪(1,2].
13.(1)当0所以f(x)max=f(1)=a4,f(x)min=f(2)=a7,
此时f(x)在[1,2]上的取值范围是[a7,a4].
当a>1时,f(x)=a3x+1在[1,2]上单调递增,
所以f(x)max=f(2)=a7,f(x)min=f(1)=a4,
此时f(x)在[1,2]上的取值范围是[a4,a7].
综上,当01时,f(x)在[1,2]上的取值范围是[a4,a7].
(2)由不等式f(x)≥g(x),得a3x+1≥a2x-5.
当0当a>1时,可得3x+1≥2x-5,解得x≥-6,所以不等式的解集为{x|x≥-6}.
综上,当01时,不等式的解集为{x|x≥-6}.
14.(1)函数f(x)为奇函数,证明如下:
函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称,
又f(-x)==-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)函数g(x)的图象是中心对称图形,其对称中心的坐标为(-1,1).
由3x+1-1≠0,得x≠-1,所以函数g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),定义域关于点(-1,0)对称,
所以若函数g(x)=的图象是中心对称图形,则其对称中心的横坐标必为-1.
设其对称中心为点(-1,n),则由题意可知 x∈D,g(-2-x)+g(x)=2n,
令x=-2,则2n=g(0)+g(-2)=1-3=-2,所以n=-1,
所以若函数g(x)为中心对称图形,其对称中心必为点(-1,-1).
下面证明函数g(x)=的图象关于点(-1,-1)中心对称:
x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),g(-2-x)+g(x)==-2×=-2,得证.